WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 320 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 271 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 6126 ms] (18) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: lt(0, s(X)) -> true lt(s(X), 0) -> false lt(s(X), s(Y)) -> lt(X, Y) append(nil, Y) -> Y append(add(N, X), Y) -> add(N, append(X, Y)) split(N, nil) -> pair(nil, nil) split(N, add(M, Y)) -> f_1(split(N, Y), N, M, Y) f_1(pair(X, Z), N, M, Y) -> f_2(lt(N, M), N, M, Y, X, Z) f_2(true, N, M, Y, X, Z) -> pair(X, add(M, Z)) f_2(false, N, M, Y, X, Z) -> pair(add(M, X), Z) qsort(nil) -> nil qsort(add(N, X)) -> f_3(split(N, X), N, X) f_3(pair(Y, Z), N, X) -> append(qsort(Y), add(X, qsort(Z))) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(nil) -> nil encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_split(x_1, x_2)) -> split(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_f_1(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> f_1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_f_2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6)) -> f_2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5), encArg(x_6)) encArg(cons_qsort(x_1)) -> qsort(encArg(x_1)) encArg(cons_f_3(x_1, x_2, x_3)) -> f_3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_split(x_1, x_2) -> split(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_f_1(x_1, x_2, x_3, x_4) -> f_1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_f_2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6) -> f_2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5), encArg(x_6)) encode_qsort(x_1) -> qsort(encArg(x_1)) encode_f_3(x_1, x_2, x_3) -> f_3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: lt(0, s(X)) -> true lt(s(X), 0) -> false lt(s(X), s(Y)) -> lt(X, Y) append(nil, Y) -> Y append(add(N, X), Y) -> add(N, append(X, Y)) split(N, nil) -> pair(nil, nil) split(N, add(M, Y)) -> f_1(split(N, Y), N, M, Y) f_1(pair(X, Z), N, M, Y) -> f_2(lt(N, M), N, M, Y, X, Z) f_2(true, N, M, Y, X, Z) -> pair(X, add(M, Z)) f_2(false, N, M, Y, X, Z) -> pair(add(M, X), Z) qsort(nil) -> nil qsort(add(N, X)) -> f_3(split(N, X), N, X) f_3(pair(Y, Z), N, X) -> append(qsort(Y), add(X, qsort(Z))) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(nil) -> nil encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_split(x_1, x_2)) -> split(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_f_1(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> f_1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_f_2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6)) -> f_2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5), encArg(x_6)) encArg(cons_qsort(x_1)) -> qsort(encArg(x_1)) encArg(cons_f_3(x_1, x_2, x_3)) -> f_3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_split(x_1, x_2) -> split(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_f_1(x_1, x_2, x_3, x_4) -> f_1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_f_2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6) -> f_2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5), encArg(x_6)) encode_qsort(x_1) -> qsort(encArg(x_1)) encode_f_3(x_1, x_2, x_3) -> f_3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: lt(0, s(X)) -> true lt(s(X), 0) -> false lt(s(X), s(Y)) -> lt(X, Y) append(nil, Y) -> Y append(add(N, X), Y) -> add(N, append(X, Y)) split(N, nil) -> pair(nil, nil) split(N, add(M, Y)) -> f_1(split(N, Y), N, M, Y) f_1(pair(X, Z), N, M, Y) -> f_2(lt(N, M), N, M, Y, X, Z) f_2(true, N, M, Y, X, Z) -> pair(X, add(M, Z)) f_2(false, N, M, Y, X, Z) -> pair(add(M, X), Z) qsort(nil) -> nil qsort(add(N, X)) -> f_3(split(N, X), N, X) f_3(pair(Y, Z), N, X) -> append(qsort(Y), add(X, qsort(Z))) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(nil) -> nil encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_split(x_1, x_2)) -> split(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_f_1(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> f_1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_f_2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6)) -> f_2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5), encArg(x_6)) encArg(cons_qsort(x_1)) -> qsort(encArg(x_1)) encArg(cons_f_3(x_1, x_2, x_3)) -> f_3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_split(x_1, x_2) -> split(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_f_1(x_1, x_2, x_3, x_4) -> f_1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_f_2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6) -> f_2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5), encArg(x_6)) encode_qsort(x_1) -> qsort(encArg(x_1)) encode_f_3(x_1, x_2, x_3) -> f_3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: lt(0', s(X)) -> true lt(s(X), 0') -> false lt(s(X), s(Y)) -> lt(X, Y) append(nil, Y) -> Y append(add(N, X), Y) -> add(N, append(X, Y)) split(N, nil) -> pair(nil, nil) split(N, add(M, Y)) -> f_1(split(N, Y), N, M, Y) f_1(pair(X, Z), N, M, Y) -> f_2(lt(N, M), N, M, Y, X, Z) f_2(true, N, M, Y, X, Z) -> pair(X, add(M, Z)) f_2(false, N, M, Y, X, Z) -> pair(add(M, X), Z) qsort(nil) -> nil qsort(add(N, X)) -> f_3(split(N, X), N, X) f_3(pair(Y, Z), N, X) -> append(qsort(Y), add(X, qsort(Z))) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(nil) -> nil encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_split(x_1, x_2)) -> split(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_f_1(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> f_1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_f_2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6)) -> f_2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5), encArg(x_6)) encArg(cons_qsort(x_1)) -> qsort(encArg(x_1)) encArg(cons_f_3(x_1, x_2, x_3)) -> f_3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_split(x_1, x_2) -> split(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_f_1(x_1, x_2, x_3, x_4) -> f_1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_f_2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6) -> f_2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5), encArg(x_6)) encode_qsort(x_1) -> qsort(encArg(x_1)) encode_f_3(x_1, x_2, x_3) -> f_3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: lt(0', s(X)) -> true lt(s(X), 0') -> false lt(s(X), s(Y)) -> lt(X, Y) append(nil, Y) -> Y append(add(N, X), Y) -> add(N, append(X, Y)) split(N, nil) -> pair(nil, nil) split(N, add(M, Y)) -> f_1(split(N, Y), N, M, Y) f_1(pair(X, Z), N, M, Y) -> f_2(lt(N, M), N, M, Y, X, Z) f_2(true, N, M, Y, X, Z) -> pair(X, add(M, Z)) f_2(false, N, M, Y, X, Z) -> pair(add(M, X), Z) qsort(nil) -> nil qsort(add(N, X)) -> f_3(split(N, X), N, X) f_3(pair(Y, Z), N, X) -> append(qsort(Y), add(X, qsort(Z))) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(nil) -> nil encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_split(x_1, x_2)) -> split(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_f_1(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> f_1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_f_2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6)) -> f_2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5), encArg(x_6)) encArg(cons_qsort(x_1)) -> qsort(encArg(x_1)) encArg(cons_f_3(x_1, x_2, x_3)) -> f_3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_split(x_1, x_2) -> split(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_f_1(x_1, x_2, x_3, x_4) -> f_1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_f_2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6) -> f_2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5), encArg(x_6)) encode_qsort(x_1) -> qsort(encArg(x_1)) encode_f_3(x_1, x_2, x_3) -> f_3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: lt :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 0' :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 s :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 true :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 false :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 append :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 nil :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 add :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 split :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 pair :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 f_1 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 f_2 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 qsort :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 f_3 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encArg :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 cons_lt :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 cons_append :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 cons_split :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 cons_f_1 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 cons_f_2 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 cons_qsort :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 cons_f_3 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_lt :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_0 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_s :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_true :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_false :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_append :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_nil :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_add :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_split :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_pair :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_f_1 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_f_2 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_qsort :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_f_3 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 hole_0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_31_7 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 gen_0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_32_7 :: Nat -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: lt, append, split, qsort, f_3, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: lt < encArg append < f_3 append < encArg split < qsort split < encArg qsort = f_3 qsort < encArg f_3 < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: lt(0', s(X)) -> true lt(s(X), 0') -> false lt(s(X), s(Y)) -> lt(X, Y) append(nil, Y) -> Y append(add(N, X), Y) -> add(N, append(X, Y)) split(N, nil) -> pair(nil, nil) split(N, add(M, Y)) -> f_1(split(N, Y), N, M, Y) f_1(pair(X, Z), N, M, Y) -> f_2(lt(N, M), N, M, Y, X, Z) f_2(true, N, M, Y, X, Z) -> pair(X, add(M, Z)) f_2(false, N, M, Y, X, Z) -> pair(add(M, X), Z) qsort(nil) -> nil qsort(add(N, X)) -> f_3(split(N, X), N, X) f_3(pair(Y, Z), N, X) -> append(qsort(Y), add(X, qsort(Z))) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(nil) -> nil encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_split(x_1, x_2)) -> split(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_f_1(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> f_1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_f_2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6)) -> f_2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5), encArg(x_6)) encArg(cons_qsort(x_1)) -> qsort(encArg(x_1)) encArg(cons_f_3(x_1, x_2, x_3)) -> f_3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_split(x_1, x_2) -> split(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_f_1(x_1, x_2, x_3, x_4) -> f_1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_f_2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6) -> f_2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5), encArg(x_6)) encode_qsort(x_1) -> qsort(encArg(x_1)) encode_f_3(x_1, x_2, x_3) -> f_3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: lt :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 0' :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 s :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 true :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 false :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 append :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 nil :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 add :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 split :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 pair :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 f_1 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 f_2 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 qsort :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 f_3 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encArg :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 cons_lt :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 cons_append :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 cons_split :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 cons_f_1 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 cons_f_2 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 cons_qsort :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 cons_f_3 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_lt :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_0 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_s :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_true :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_false :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_append :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_nil :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_add :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_split :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_pair :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_f_1 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_f_2 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_qsort :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_f_3 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 hole_0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_31_7 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 gen_0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_32_7 :: Nat -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 Generator Equations: gen_0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_32_7(0) <=> 0' gen_0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_32_7(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_32_7(x)) The following defined symbols remain to be analysed: lt, append, split, qsort, f_3, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: lt < encArg append < f_3 append < encArg split < qsort split < encArg qsort = f_3 qsort < encArg f_3 < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: lt(gen_0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_32_7(n4_7), gen_0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_32_7(+(1, n4_7))) -> true, rt in Omega(1 + n4_7) Induction Base: lt(gen_0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_32_7(0), gen_0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_32_7(+(1, 0))) ->_R^Omega(1) true Induction Step: lt(gen_0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_32_7(+(n4_7, 1)), gen_0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_32_7(+(1, +(n4_7, 1)))) ->_R^Omega(1) lt(gen_0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_32_7(n4_7), gen_0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_32_7(+(1, n4_7))) ->_IH true We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: lt(0', s(X)) -> true lt(s(X), 0') -> false lt(s(X), s(Y)) -> lt(X, Y) append(nil, Y) -> Y append(add(N, X), Y) -> add(N, append(X, Y)) split(N, nil) -> pair(nil, nil) split(N, add(M, Y)) -> f_1(split(N, Y), N, M, Y) f_1(pair(X, Z), N, M, Y) -> f_2(lt(N, M), N, M, Y, X, Z) f_2(true, N, M, Y, X, Z) -> pair(X, add(M, Z)) f_2(false, N, M, Y, X, Z) -> pair(add(M, X), Z) qsort(nil) -> nil qsort(add(N, X)) -> f_3(split(N, X), N, X) f_3(pair(Y, Z), N, X) -> append(qsort(Y), add(X, qsort(Z))) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(nil) -> nil encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_split(x_1, x_2)) -> split(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_f_1(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> f_1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_f_2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6)) -> f_2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5), encArg(x_6)) encArg(cons_qsort(x_1)) -> qsort(encArg(x_1)) encArg(cons_f_3(x_1, x_2, x_3)) -> f_3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_split(x_1, x_2) -> split(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_f_1(x_1, x_2, x_3, x_4) -> f_1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_f_2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6) -> f_2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5), encArg(x_6)) encode_qsort(x_1) -> qsort(encArg(x_1)) encode_f_3(x_1, x_2, x_3) -> f_3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: lt :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 0' :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 s :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 true :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 false :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 append :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 nil :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 add :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 split :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 pair :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 f_1 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 f_2 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 qsort :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 f_3 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encArg :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 cons_lt :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 cons_append :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 cons_split :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 cons_f_1 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 cons_f_2 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 cons_qsort :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 cons_f_3 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_lt :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_0 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_s :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_true :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_false :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_append :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_nil :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_add :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_split :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_pair :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_f_1 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_f_2 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_qsort :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_f_3 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 hole_0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_31_7 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 gen_0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_32_7 :: Nat -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 Generator Equations: gen_0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_32_7(0) <=> 0' gen_0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_32_7(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_32_7(x)) The following defined symbols remain to be analysed: lt, append, split, qsort, f_3, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: lt < encArg append < f_3 append < encArg split < qsort split < encArg qsort = f_3 qsort < encArg f_3 < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: lt(0', s(X)) -> true lt(s(X), 0') -> false lt(s(X), s(Y)) -> lt(X, Y) append(nil, Y) -> Y append(add(N, X), Y) -> add(N, append(X, Y)) split(N, nil) -> pair(nil, nil) split(N, add(M, Y)) -> f_1(split(N, Y), N, M, Y) f_1(pair(X, Z), N, M, Y) -> f_2(lt(N, M), N, M, Y, X, Z) f_2(true, N, M, Y, X, Z) -> pair(X, add(M, Z)) f_2(false, N, M, Y, X, Z) -> pair(add(M, X), Z) qsort(nil) -> nil qsort(add(N, X)) -> f_3(split(N, X), N, X) f_3(pair(Y, Z), N, X) -> append(qsort(Y), add(X, qsort(Z))) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(nil) -> nil encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_split(x_1, x_2)) -> split(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_f_1(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> f_1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_f_2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6)) -> f_2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5), encArg(x_6)) encArg(cons_qsort(x_1)) -> qsort(encArg(x_1)) encArg(cons_f_3(x_1, x_2, x_3)) -> f_3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_split(x_1, x_2) -> split(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_f_1(x_1, x_2, x_3, x_4) -> f_1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_f_2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6) -> f_2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5), encArg(x_6)) encode_qsort(x_1) -> qsort(encArg(x_1)) encode_f_3(x_1, x_2, x_3) -> f_3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: lt :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 0' :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 s :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 true :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 false :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 append :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 nil :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 add :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 split :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 pair :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 f_1 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 f_2 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 qsort :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 f_3 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encArg :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 cons_lt :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 cons_append :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 cons_split :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 cons_f_1 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 cons_f_2 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 cons_qsort :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 cons_f_3 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_lt :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_0 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_s :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_true :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_false :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_append :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_nil :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_add :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_split :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_pair :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_f_1 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_f_2 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_qsort :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 encode_f_3 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 hole_0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_31_7 :: 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 gen_0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_32_7 :: Nat -> 0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_3 Lemmas: lt(gen_0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_32_7(n4_7), gen_0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_32_7(+(1, n4_7))) -> true, rt in Omega(1 + n4_7) Generator Equations: gen_0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_32_7(0) <=> 0' gen_0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_32_7(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_32_7(x)) The following defined symbols remain to be analysed: append, split, qsort, f_3, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: append < f_3 append < encArg split < qsort split < encArg qsort = f_3 qsort < encArg f_3 < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_32_7(n731_7)) -> gen_0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_32_7(n731_7), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_32_7(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_32_7(+(n731_7, 1))) ->_R^Omega(0) s(encArg(gen_0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_32_7(n731_7))) ->_IH s(gen_0':s:true:false:nil:add:pair:cons_lt:cons_append:cons_split:cons_f_1:cons_f_2:cons_qsort:cons_f_32_7(c732_7)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (18) BOUNDS(1, INF)