WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 200 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 499 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 1438 ms] (18) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a(h, h, h, x) -> s(x) a(l, x, s(y), h) -> a(l, x, y, s(h)) a(l, x, s(y), s(z)) -> a(l, x, y, a(l, x, s(y), z)) a(l, s(x), h, z) -> a(l, x, z, z) a(s(l), h, h, z) -> a(l, z, h, z) +(x, h) -> x +(h, x) -> x +(s(x), s(y)) -> s(s(+(x, y))) +(+(x, y), z) -> +(x, +(y, z)) s(h) -> 1 app(nil, k) -> k app(l, nil) -> l app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k)) sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil) sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(a(x, y, h, h), l)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(h) -> h encArg(1) -> 1 encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encode_a(x_1, x_2, x_3, x_4) -> a(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_h -> h encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_+(x_1, x_2) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1 -> 1 encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a(h, h, h, x) -> s(x) a(l, x, s(y), h) -> a(l, x, y, s(h)) a(l, x, s(y), s(z)) -> a(l, x, y, a(l, x, s(y), z)) a(l, s(x), h, z) -> a(l, x, z, z) a(s(l), h, h, z) -> a(l, z, h, z) +(x, h) -> x +(h, x) -> x +(s(x), s(y)) -> s(s(+(x, y))) +(+(x, y), z) -> +(x, +(y, z)) s(h) -> 1 app(nil, k) -> k app(l, nil) -> l app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k)) sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil) sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(a(x, y, h, h), l)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(h) -> h encArg(1) -> 1 encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encode_a(x_1, x_2, x_3, x_4) -> a(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_h -> h encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_+(x_1, x_2) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1 -> 1 encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a(h, h, h, x) -> s(x) a(l, x, s(y), h) -> a(l, x, y, s(h)) a(l, x, s(y), s(z)) -> a(l, x, y, a(l, x, s(y), z)) a(l, s(x), h, z) -> a(l, x, z, z) a(s(l), h, h, z) -> a(l, z, h, z) +(x, h) -> x +(h, x) -> x +(s(x), s(y)) -> s(s(+(x, y))) +(+(x, y), z) -> +(x, +(y, z)) s(h) -> 1 app(nil, k) -> k app(l, nil) -> l app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k)) sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil) sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(a(x, y, h, h), l)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(h) -> h encArg(1) -> 1 encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encode_a(x_1, x_2, x_3, x_4) -> a(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_h -> h encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_+(x_1, x_2) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1 -> 1 encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a(h, h, h, x) -> s(x) a(l, x, s(y), h) -> a(l, x, y, s(h)) a(l, x, s(y), s(z)) -> a(l, x, y, a(l, x, s(y), z)) a(l, s(x), h, z) -> a(l, x, z, z) a(s(l), h, h, z) -> a(l, z, h, z) +'(x, h) -> x +'(h, x) -> x +'(s(x), s(y)) -> s(s(+'(x, y))) +'(+'(x, y), z) -> +'(x, +'(y, z)) s(h) -> 1' app(nil, k) -> k app(l, nil) -> l app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k)) sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil) sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(a(x, y, h, h), l)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(h) -> h encArg(1') -> 1' encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encode_a(x_1, x_2, x_3, x_4) -> a(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_h -> h encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1 -> 1' encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: a(h, h, h, x) -> s(x) a(l, x, s(y), h) -> a(l, x, y, s(h)) a(l, x, s(y), s(z)) -> a(l, x, y, a(l, x, s(y), z)) a(l, s(x), h, z) -> a(l, x, z, z) a(s(l), h, h, z) -> a(l, z, h, z) +'(x, h) -> x +'(h, x) -> x +'(s(x), s(y)) -> s(s(+'(x, y))) +'(+'(x, y), z) -> +'(x, +'(y, z)) s(h) -> 1' app(nil, k) -> k app(l, nil) -> l app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k)) sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil) sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(a(x, y, h, h), l)) encArg(h) -> h encArg(1') -> 1' encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encode_a(x_1, x_2, x_3, x_4) -> a(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_h -> h encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1 -> 1' encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) Types: a :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum h :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum s :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum +' :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum 1' :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum app :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum nil :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum cons :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum sum :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encArg :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum cons_a :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum cons_+ :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum cons_s :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum cons_app :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum cons_sum :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_a :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_h :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_s :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_+ :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_1 :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_app :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_nil :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_cons :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_sum :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum hole_h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum1_0 :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum gen_h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum2_0 :: Nat -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: a, +', app, sum, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a < sum a < encArg +' < encArg app < encArg sum < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: a(h, h, h, x) -> s(x) a(l, x, s(y), h) -> a(l, x, y, s(h)) a(l, x, s(y), s(z)) -> a(l, x, y, a(l, x, s(y), z)) a(l, s(x), h, z) -> a(l, x, z, z) a(s(l), h, h, z) -> a(l, z, h, z) +'(x, h) -> x +'(h, x) -> x +'(s(x), s(y)) -> s(s(+'(x, y))) +'(+'(x, y), z) -> +'(x, +'(y, z)) s(h) -> 1' app(nil, k) -> k app(l, nil) -> l app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k)) sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil) sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(a(x, y, h, h), l)) encArg(h) -> h encArg(1') -> 1' encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encode_a(x_1, x_2, x_3, x_4) -> a(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_h -> h encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1 -> 1' encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) Types: a :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum h :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum s :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum +' :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum 1' :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum app :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum nil :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum cons :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum sum :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encArg :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum cons_a :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum cons_+ :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum cons_s :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum cons_app :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum cons_sum :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_a :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_h :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_s :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_+ :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_1 :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_app :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_nil :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_cons :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_sum :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum hole_h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum1_0 :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum gen_h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum2_0 :: Nat -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum Generator Equations: gen_h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum2_0(0) <=> h gen_h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum2_0(+(x, 1)) <=> cons(h, gen_h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: a, +', app, sum, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a < sum a < encArg +' < encArg app < encArg sum < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: app(gen_h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum2_0(+(1, n180_0)), gen_h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum2_0(b)) -> *3_0, rt in Omega(n180_0) Induction Base: app(gen_h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum2_0(+(1, 0)), gen_h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum2_0(b)) Induction Step: app(gen_h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum2_0(+(1, +(n180_0, 1))), gen_h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum2_0(b)) ->_R^Omega(1) cons(h, app(gen_h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum2_0(+(1, n180_0)), gen_h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum2_0(b))) ->_IH cons(h, *3_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: a(h, h, h, x) -> s(x) a(l, x, s(y), h) -> a(l, x, y, s(h)) a(l, x, s(y), s(z)) -> a(l, x, y, a(l, x, s(y), z)) a(l, s(x), h, z) -> a(l, x, z, z) a(s(l), h, h, z) -> a(l, z, h, z) +'(x, h) -> x +'(h, x) -> x +'(s(x), s(y)) -> s(s(+'(x, y))) +'(+'(x, y), z) -> +'(x, +'(y, z)) s(h) -> 1' app(nil, k) -> k app(l, nil) -> l app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k)) sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil) sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(a(x, y, h, h), l)) encArg(h) -> h encArg(1') -> 1' encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encode_a(x_1, x_2, x_3, x_4) -> a(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_h -> h encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1 -> 1' encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) Types: a :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum h :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum s :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum +' :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum 1' :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum app :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum nil :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum cons :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum sum :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encArg :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum cons_a :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum cons_+ :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum cons_s :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum cons_app :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum cons_sum :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_a :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_h :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_s :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_+ :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_1 :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_app :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_nil :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_cons :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_sum :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum hole_h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum1_0 :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum gen_h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum2_0 :: Nat -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum Generator Equations: gen_h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum2_0(0) <=> h gen_h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum2_0(+(x, 1)) <=> cons(h, gen_h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: app, sum, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: app < encArg sum < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: a(h, h, h, x) -> s(x) a(l, x, s(y), h) -> a(l, x, y, s(h)) a(l, x, s(y), s(z)) -> a(l, x, y, a(l, x, s(y), z)) a(l, s(x), h, z) -> a(l, x, z, z) a(s(l), h, h, z) -> a(l, z, h, z) +'(x, h) -> x +'(h, x) -> x +'(s(x), s(y)) -> s(s(+'(x, y))) +'(+'(x, y), z) -> +'(x, +'(y, z)) s(h) -> 1' app(nil, k) -> k app(l, nil) -> l app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k)) sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil) sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(a(x, y, h, h), l)) encArg(h) -> h encArg(1') -> 1' encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> a(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encode_a(x_1, x_2, x_3, x_4) -> a(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_h -> h encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1 -> 1' encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) Types: a :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum h :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum s :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum +' :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum 1' :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum app :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum nil :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum cons :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum sum :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encArg :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum cons_a :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum cons_+ :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum cons_s :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum cons_app :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum cons_sum :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_a :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_h :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_s :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_+ :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_1 :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_app :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_nil :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_cons :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum encode_sum :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum hole_h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum1_0 :: h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum gen_h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum2_0 :: Nat -> h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum Lemmas: app(gen_h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum2_0(+(1, n180_0)), gen_h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum2_0(b)) -> *3_0, rt in Omega(n180_0) Generator Equations: gen_h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum2_0(0) <=> h gen_h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum2_0(+(x, 1)) <=> cons(h, gen_h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: sum, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: sum < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum2_0(n147682_0)) -> gen_h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum2_0(n147682_0), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum2_0(0)) ->_R^Omega(0) h Induction Step: encArg(gen_h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum2_0(+(n147682_0, 1))) ->_R^Omega(0) cons(encArg(h), encArg(gen_h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum2_0(n147682_0))) ->_R^Omega(0) cons(h, encArg(gen_h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum2_0(n147682_0))) ->_IH cons(h, gen_h:1':nil:cons:cons_a:cons_+:cons_s:cons_app:cons_sum2_0(c147683_0)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (18) BOUNDS(1, INF)