WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 729 ms] (4) CpxRelTRS (5) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (6) TRS for Loop Detection (7) DecreasingLoopProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (8) BEST (9) proven lower bound (10) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (11) BOUNDS(n^1, INF) (12) TRS for Loop Detection ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: times(x, y) -> sum(generate(x, y)) generate(x, y) -> gen(x, y, 0) gen(x, y, z) -> if(ge(z, x), x, y, z) if(true, x, y, z) -> nil if(false, x, y, z) -> cons(y, gen(x, y, s(z))) sum(xs) -> sum2(xs, 0) sum2(xs, y) -> ifsum(isNil(xs), isZero(head(xs)), xs, y) ifsum(true, b, xs, y) -> y ifsum(false, b, xs, y) -> ifsum2(b, xs, y) ifsum2(true, xs, y) -> sum2(tail(xs), y) ifsum2(false, xs, y) -> sum2(cons(p(head(xs)), tail(xs)), s(y)) isNil(nil) -> true isNil(cons(x, xs)) -> false tail(nil) -> nil tail(cons(x, xs)) -> xs head(cons(x, xs)) -> x head(nil) -> error isZero(0) -> true isZero(s(0)) -> false isZero(s(s(x))) -> isZero(s(x)) p(0) -> s(s(0)) p(s(0)) -> 0 p(s(s(x))) -> s(p(s(x))) ge(x, 0) -> true ge(0, s(y)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) a -> c a -> d S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(nil) -> nil encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(error) -> error encArg(c) -> c encArg(d) -> d encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_generate(x_1, x_2)) -> generate(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gen(x_1, x_2, x_3)) -> gen(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encArg(cons_sum2(x_1, x_2)) -> sum2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_ifsum(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> ifsum(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_ifsum2(x_1, x_2, x_3)) -> ifsum2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_isNil(x_1)) -> isNil(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_isZero(x_1)) -> isZero(encArg(x_1)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a) -> a encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) encode_generate(x_1, x_2) -> generate(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gen(x_1, x_2, x_3) -> gen(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_0 -> 0 encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_nil -> nil encode_false -> false encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_sum2(x_1, x_2) -> sum2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_ifsum(x_1, x_2, x_3, x_4) -> ifsum(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_isNil(x_1) -> isNil(encArg(x_1)) encode_isZero(x_1) -> isZero(encArg(x_1)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_ifsum2(x_1, x_2, x_3) -> ifsum2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_error -> error encode_a -> a encode_c -> c encode_d -> d ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: times(x, y) -> sum(generate(x, y)) generate(x, y) -> gen(x, y, 0) gen(x, y, z) -> if(ge(z, x), x, y, z) if(true, x, y, z) -> nil if(false, x, y, z) -> cons(y, gen(x, y, s(z))) sum(xs) -> sum2(xs, 0) sum2(xs, y) -> ifsum(isNil(xs), isZero(head(xs)), xs, y) ifsum(true, b, xs, y) -> y ifsum(false, b, xs, y) -> ifsum2(b, xs, y) ifsum2(true, xs, y) -> sum2(tail(xs), y) ifsum2(false, xs, y) -> sum2(cons(p(head(xs)), tail(xs)), s(y)) isNil(nil) -> true isNil(cons(x, xs)) -> false tail(nil) -> nil tail(cons(x, xs)) -> xs head(cons(x, xs)) -> x head(nil) -> error isZero(0) -> true isZero(s(0)) -> false isZero(s(s(x))) -> isZero(s(x)) p(0) -> s(s(0)) p(s(0)) -> 0 p(s(s(x))) -> s(p(s(x))) ge(x, 0) -> true ge(0, s(y)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) a -> c a -> d The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(nil) -> nil encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(error) -> error encArg(c) -> c encArg(d) -> d encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_generate(x_1, x_2)) -> generate(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gen(x_1, x_2, x_3)) -> gen(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encArg(cons_sum2(x_1, x_2)) -> sum2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_ifsum(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> ifsum(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_ifsum2(x_1, x_2, x_3)) -> ifsum2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_isNil(x_1)) -> isNil(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_isZero(x_1)) -> isZero(encArg(x_1)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a) -> a encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) encode_generate(x_1, x_2) -> generate(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gen(x_1, x_2, x_3) -> gen(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_0 -> 0 encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_nil -> nil encode_false -> false encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_sum2(x_1, x_2) -> sum2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_ifsum(x_1, x_2, x_3, x_4) -> ifsum(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_isNil(x_1) -> isNil(encArg(x_1)) encode_isZero(x_1) -> isZero(encArg(x_1)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_ifsum2(x_1, x_2, x_3) -> ifsum2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_error -> error encode_a -> a encode_c -> c encode_d -> d Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: times(x, y) -> sum(generate(x, y)) generate(x, y) -> gen(x, y, 0) gen(x, y, z) -> if(ge(z, x), x, y, z) if(true, x, y, z) -> nil if(false, x, y, z) -> cons(y, gen(x, y, s(z))) sum(xs) -> sum2(xs, 0) sum2(xs, y) -> ifsum(isNil(xs), isZero(head(xs)), xs, y) ifsum(true, b, xs, y) -> y ifsum(false, b, xs, y) -> ifsum2(b, xs, y) ifsum2(true, xs, y) -> sum2(tail(xs), y) ifsum2(false, xs, y) -> sum2(cons(p(head(xs)), tail(xs)), s(y)) isNil(nil) -> true isNil(cons(x, xs)) -> false tail(nil) -> nil tail(cons(x, xs)) -> xs head(cons(x, xs)) -> x head(nil) -> error isZero(0) -> true isZero(s(0)) -> false isZero(s(s(x))) -> isZero(s(x)) p(0) -> s(s(0)) p(s(0)) -> 0 p(s(s(x))) -> s(p(s(x))) ge(x, 0) -> true ge(0, s(y)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) a -> c a -> d The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(nil) -> nil encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(error) -> error encArg(c) -> c encArg(d) -> d encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_generate(x_1, x_2)) -> generate(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gen(x_1, x_2, x_3)) -> gen(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encArg(cons_sum2(x_1, x_2)) -> sum2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_ifsum(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> ifsum(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_ifsum2(x_1, x_2, x_3)) -> ifsum2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_isNil(x_1)) -> isNil(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_isZero(x_1)) -> isZero(encArg(x_1)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a) -> a encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) encode_generate(x_1, x_2) -> generate(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gen(x_1, x_2, x_3) -> gen(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_0 -> 0 encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_nil -> nil encode_false -> false encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_sum2(x_1, x_2) -> sum2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_ifsum(x_1, x_2, x_3, x_4) -> ifsum(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_isNil(x_1) -> isNil(encArg(x_1)) encode_isZero(x_1) -> isZero(encArg(x_1)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_ifsum2(x_1, x_2, x_3) -> ifsum2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_error -> error encode_a -> a encode_c -> c encode_d -> d Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof (LOWER BOUND(ID)) Transformed a relative TRS into a decreasing-loop problem. ---------------------------------------- (6) Obligation: Analyzing the following TRS for decreasing loops: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: times(x, y) -> sum(generate(x, y)) generate(x, y) -> gen(x, y, 0) gen(x, y, z) -> if(ge(z, x), x, y, z) if(true, x, y, z) -> nil if(false, x, y, z) -> cons(y, gen(x, y, s(z))) sum(xs) -> sum2(xs, 0) sum2(xs, y) -> ifsum(isNil(xs), isZero(head(xs)), xs, y) ifsum(true, b, xs, y) -> y ifsum(false, b, xs, y) -> ifsum2(b, xs, y) ifsum2(true, xs, y) -> sum2(tail(xs), y) ifsum2(false, xs, y) -> sum2(cons(p(head(xs)), tail(xs)), s(y)) isNil(nil) -> true isNil(cons(x, xs)) -> false tail(nil) -> nil tail(cons(x, xs)) -> xs head(cons(x, xs)) -> x head(nil) -> error isZero(0) -> true isZero(s(0)) -> false isZero(s(s(x))) -> isZero(s(x)) p(0) -> s(s(0)) p(s(0)) -> 0 p(s(s(x))) -> s(p(s(x))) ge(x, 0) -> true ge(0, s(y)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) a -> c a -> d The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(nil) -> nil encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(error) -> error encArg(c) -> c encArg(d) -> d encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_generate(x_1, x_2)) -> generate(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gen(x_1, x_2, x_3)) -> gen(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encArg(cons_sum2(x_1, x_2)) -> sum2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_ifsum(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> ifsum(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_ifsum2(x_1, x_2, x_3)) -> ifsum2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_isNil(x_1)) -> isNil(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_isZero(x_1)) -> isZero(encArg(x_1)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a) -> a encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) encode_generate(x_1, x_2) -> generate(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gen(x_1, x_2, x_3) -> gen(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_0 -> 0 encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_nil -> nil encode_false -> false encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_sum2(x_1, x_2) -> sum2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_ifsum(x_1, x_2, x_3, x_4) -> ifsum(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_isNil(x_1) -> isNil(encArg(x_1)) encode_isZero(x_1) -> isZero(encArg(x_1)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_ifsum2(x_1, x_2, x_3) -> ifsum2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_error -> error encode_a -> a encode_c -> c encode_d -> d Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) DecreasingLoopProof (LOWER BOUND(ID)) The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Omega(n^1): The rewrite sequence p(s(s(x))) ->^+ s(p(s(x))) gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0]. The pumping substitution is [x / s(x)]. The result substitution is [ ]. ---------------------------------------- (8) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (9) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: times(x, y) -> sum(generate(x, y)) generate(x, y) -> gen(x, y, 0) gen(x, y, z) -> if(ge(z, x), x, y, z) if(true, x, y, z) -> nil if(false, x, y, z) -> cons(y, gen(x, y, s(z))) sum(xs) -> sum2(xs, 0) sum2(xs, y) -> ifsum(isNil(xs), isZero(head(xs)), xs, y) ifsum(true, b, xs, y) -> y ifsum(false, b, xs, y) -> ifsum2(b, xs, y) ifsum2(true, xs, y) -> sum2(tail(xs), y) ifsum2(false, xs, y) -> sum2(cons(p(head(xs)), tail(xs)), s(y)) isNil(nil) -> true isNil(cons(x, xs)) -> false tail(nil) -> nil tail(cons(x, xs)) -> xs head(cons(x, xs)) -> x head(nil) -> error isZero(0) -> true isZero(s(0)) -> false isZero(s(s(x))) -> isZero(s(x)) p(0) -> s(s(0)) p(s(0)) -> 0 p(s(s(x))) -> s(p(s(x))) ge(x, 0) -> true ge(0, s(y)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) a -> c a -> d The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(nil) -> nil encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(error) -> error encArg(c) -> c encArg(d) -> d encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_generate(x_1, x_2)) -> generate(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gen(x_1, x_2, x_3)) -> gen(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encArg(cons_sum2(x_1, x_2)) -> sum2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_ifsum(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> ifsum(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_ifsum2(x_1, x_2, x_3)) -> ifsum2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_isNil(x_1)) -> isNil(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_isZero(x_1)) -> isZero(encArg(x_1)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a) -> a encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) encode_generate(x_1, x_2) -> generate(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gen(x_1, x_2, x_3) -> gen(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_0 -> 0 encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_nil -> nil encode_false -> false encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_sum2(x_1, x_2) -> sum2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_ifsum(x_1, x_2, x_3, x_4) -> ifsum(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_isNil(x_1) -> isNil(encArg(x_1)) encode_isZero(x_1) -> isZero(encArg(x_1)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_ifsum2(x_1, x_2, x_3) -> ifsum2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_error -> error encode_a -> a encode_c -> c encode_d -> d Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (10) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (11) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (12) Obligation: Analyzing the following TRS for decreasing loops: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: times(x, y) -> sum(generate(x, y)) generate(x, y) -> gen(x, y, 0) gen(x, y, z) -> if(ge(z, x), x, y, z) if(true, x, y, z) -> nil if(false, x, y, z) -> cons(y, gen(x, y, s(z))) sum(xs) -> sum2(xs, 0) sum2(xs, y) -> ifsum(isNil(xs), isZero(head(xs)), xs, y) ifsum(true, b, xs, y) -> y ifsum(false, b, xs, y) -> ifsum2(b, xs, y) ifsum2(true, xs, y) -> sum2(tail(xs), y) ifsum2(false, xs, y) -> sum2(cons(p(head(xs)), tail(xs)), s(y)) isNil(nil) -> true isNil(cons(x, xs)) -> false tail(nil) -> nil tail(cons(x, xs)) -> xs head(cons(x, xs)) -> x head(nil) -> error isZero(0) -> true isZero(s(0)) -> false isZero(s(s(x))) -> isZero(s(x)) p(0) -> s(s(0)) p(s(0)) -> 0 p(s(s(x))) -> s(p(s(x))) ge(x, 0) -> true ge(0, s(y)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) a -> c a -> d The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(nil) -> nil encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(error) -> error encArg(c) -> c encArg(d) -> d encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_generate(x_1, x_2)) -> generate(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_gen(x_1, x_2, x_3)) -> gen(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encArg(cons_sum2(x_1, x_2)) -> sum2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_ifsum(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> ifsum(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_ifsum2(x_1, x_2, x_3)) -> ifsum2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_isNil(x_1)) -> isNil(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_isZero(x_1)) -> isZero(encArg(x_1)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a) -> a encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) encode_generate(x_1, x_2) -> generate(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_gen(x_1, x_2, x_3) -> gen(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_0 -> 0 encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_nil -> nil encode_false -> false encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_sum2(x_1, x_2) -> sum2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_ifsum(x_1, x_2, x_3, x_4) -> ifsum(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_isNil(x_1) -> isNil(encArg(x_1)) encode_isZero(x_1) -> isZero(encArg(x_1)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_ifsum2(x_1, x_2, x_3) -> ifsum2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_error -> error encode_a -> a encode_c -> c encode_d -> d Rewrite Strategy: INNERMOST