WORST_CASE(Omega(n^1), ?)
proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 45 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(6) CpxRelTRS
(7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(8) typed CpxTrs
(9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(10) typed CpxTrs
(11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 571 ms]
(12) BEST
    (13) proven lower bound
        (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (15) BOUNDS(n^1, INF)
    (16) typed CpxTrs
        (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 179 ms]
        (18) typed CpxTrs
        (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 197 ms]
        (20) typed CpxTrs
        (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 131 ms]
        (22) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   a(b(c(a(x1)))) -> b(a(c(b(a(b(x1))))))
   a(d(x1)) -> c(x1)
   a(f(f(x1))) -> g(x1)
   b(g(x1)) -> g(b(x1))
   c(x1) -> f(f(x1))
   c(a(c(x1))) -> b(c(a(b(c(x1)))))
   c(d(x1)) -> a(a(x1))
   g(x1) -> c(a(x1))
   g(x1) -> d(d(d(d(x1))))

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(d(x_1)) -> d(encArg(x_1))
   encArg(f(x_1)) -> f(encArg(x_1))
   encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1))
   encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1))
   encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1))
   encArg(cons_g(x_1)) -> g(encArg(x_1))
   encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1))
   encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1))
   encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1))
   encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1))
   encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1))
   encode_g(x_1) -> g(encArg(x_1))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   a(b(c(a(x1)))) -> b(a(c(b(a(b(x1))))))
   a(d(x1)) -> c(x1)
   a(f(f(x1))) -> g(x1)
   b(g(x1)) -> g(b(x1))
   c(x1) -> f(f(x1))
   c(a(c(x1))) -> b(c(a(b(c(x1)))))
   c(d(x1)) -> a(a(x1))
   g(x1) -> c(a(x1))
   g(x1) -> d(d(d(d(x1))))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(d(x_1)) -> d(encArg(x_1))
   encArg(f(x_1)) -> f(encArg(x_1))
   encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1))
   encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1))
   encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1))
   encArg(cons_g(x_1)) -> g(encArg(x_1))
   encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1))
   encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1))
   encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1))
   encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1))
   encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1))
   encode_g(x_1) -> g(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   a(b(c(a(x1)))) -> b(a(c(b(a(b(x1))))))
   a(d(x1)) -> c(x1)
   a(f(f(x1))) -> g(x1)
   b(g(x1)) -> g(b(x1))
   c(x1) -> f(f(x1))
   c(a(c(x1))) -> b(c(a(b(c(x1)))))
   c(d(x1)) -> a(a(x1))
   g(x1) -> c(a(x1))
   g(x1) -> d(d(d(d(x1))))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(d(x_1)) -> d(encArg(x_1))
   encArg(f(x_1)) -> f(encArg(x_1))
   encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1))
   encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1))
   encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1))
   encArg(cons_g(x_1)) -> g(encArg(x_1))
   encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1))
   encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1))
   encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1))
   encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1))
   encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1))
   encode_g(x_1) -> g(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   a(b(c(a(x1)))) -> b(a(c(b(a(b(x1))))))
   a(d(x1)) -> c(x1)
   a(f(f(x1))) -> g(x1)
   b(g(x1)) -> g(b(x1))
   c(x1) -> f(f(x1))
   c(a(c(x1))) -> b(c(a(b(c(x1)))))
   c(d(x1)) -> a(a(x1))
   g(x1) -> c(a(x1))
   g(x1) -> d(d(d(d(x1))))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(d(x_1)) -> d(encArg(x_1))
   encArg(f(x_1)) -> f(encArg(x_1))
   encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1))
   encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1))
   encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1))
   encArg(cons_g(x_1)) -> g(encArg(x_1))
   encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1))
   encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1))
   encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1))
   encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1))
   encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1))
   encode_g(x_1) -> g(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(8)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a(b(c(a(x1)))) -> b(a(c(b(a(b(x1))))))
a(d(x1)) -> c(x1)
a(f(f(x1))) -> g(x1)
b(g(x1)) -> g(b(x1))
c(x1) -> f(f(x1))
c(a(c(x1))) -> b(c(a(b(c(x1)))))
c(d(x1)) -> a(a(x1))
g(x1) -> c(a(x1))
g(x1) -> d(d(d(d(x1))))
encArg(d(x_1)) -> d(encArg(x_1))
encArg(f(x_1)) -> f(encArg(x_1))
encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1))
encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1))
encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1))
encArg(cons_g(x_1)) -> g(encArg(x_1))
encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1))
encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1))
encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1))
encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1))
encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1))
encode_g(x_1) -> g(encArg(x_1))

Types:
a :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
b :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
c :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
d :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
f :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
g :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encArg :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
cons_a :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
cons_b :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
cons_c :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
cons_g :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_a :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_b :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_c :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_d :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_f :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_g :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
hole_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g1_0 :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0 :: Nat -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g

----------------------------------------

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
a, b, c, g, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
a = b
a = c
a = g
a < encArg
b = c
b = g
b < encArg
c = g
c < encArg
g < encArg

----------------------------------------

(10)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a(b(c(a(x1)))) -> b(a(c(b(a(b(x1))))))
a(d(x1)) -> c(x1)
a(f(f(x1))) -> g(x1)
b(g(x1)) -> g(b(x1))
c(x1) -> f(f(x1))
c(a(c(x1))) -> b(c(a(b(c(x1)))))
c(d(x1)) -> a(a(x1))
g(x1) -> c(a(x1))
g(x1) -> d(d(d(d(x1))))
encArg(d(x_1)) -> d(encArg(x_1))
encArg(f(x_1)) -> f(encArg(x_1))
encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1))
encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1))
encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1))
encArg(cons_g(x_1)) -> g(encArg(x_1))
encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1))
encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1))
encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1))
encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1))
encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1))
encode_g(x_1) -> g(encArg(x_1))

Types:
a :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
b :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
c :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
d :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
f :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
g :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encArg :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
cons_a :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
cons_b :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
cons_c :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
cons_g :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_a :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_b :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_c :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_d :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_f :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_g :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
hole_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g1_0 :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0 :: Nat -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g


Generator Equations:
gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(0) <=> hole_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g1_0
gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(+(x, 1)) <=> d(gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
b, a, c, g, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
a = b
a = c
a = g
a < encArg
b = c
b = g
b < encArg
c = g
c < encArg
g < encArg

----------------------------------------

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
c(gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(+(1, *(2, n454_0)))) -> *3_0, rt in Omega(n454_0)

Induction Base:
c(gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(+(1, *(2, 0))))

Induction Step:
c(gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(+(1, *(2, +(n454_0, 1))))) ->_R^Omega(1)
a(a(gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(+(2, *(2, n454_0))))) ->_R^Omega(1)
a(c(gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(+(1, *(2, n454_0))))) ->_IH
a(*3_0)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(12)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(13)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
a(b(c(a(x1)))) -> b(a(c(b(a(b(x1))))))
a(d(x1)) -> c(x1)
a(f(f(x1))) -> g(x1)
b(g(x1)) -> g(b(x1))
c(x1) -> f(f(x1))
c(a(c(x1))) -> b(c(a(b(c(x1)))))
c(d(x1)) -> a(a(x1))
g(x1) -> c(a(x1))
g(x1) -> d(d(d(d(x1))))
encArg(d(x_1)) -> d(encArg(x_1))
encArg(f(x_1)) -> f(encArg(x_1))
encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1))
encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1))
encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1))
encArg(cons_g(x_1)) -> g(encArg(x_1))
encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1))
encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1))
encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1))
encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1))
encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1))
encode_g(x_1) -> g(encArg(x_1))

Types:
a :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
b :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
c :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
d :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
f :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
g :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encArg :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
cons_a :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
cons_b :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
cons_c :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
cons_g :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_a :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_b :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_c :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_d :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_f :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_g :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
hole_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g1_0 :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0 :: Nat -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g


Generator Equations:
gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(0) <=> hole_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g1_0
gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(+(x, 1)) <=> d(gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
c, a, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
a = b
a = c
a = g
a < encArg
b = c
b = g
b < encArg
c = g
c < encArg
g < encArg

----------------------------------------

(14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(15)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a(b(c(a(x1)))) -> b(a(c(b(a(b(x1))))))
a(d(x1)) -> c(x1)
a(f(f(x1))) -> g(x1)
b(g(x1)) -> g(b(x1))
c(x1) -> f(f(x1))
c(a(c(x1))) -> b(c(a(b(c(x1)))))
c(d(x1)) -> a(a(x1))
g(x1) -> c(a(x1))
g(x1) -> d(d(d(d(x1))))
encArg(d(x_1)) -> d(encArg(x_1))
encArg(f(x_1)) -> f(encArg(x_1))
encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1))
encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1))
encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1))
encArg(cons_g(x_1)) -> g(encArg(x_1))
encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1))
encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1))
encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1))
encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1))
encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1))
encode_g(x_1) -> g(encArg(x_1))

Types:
a :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
b :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
c :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
d :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
f :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
g :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encArg :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
cons_a :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
cons_b :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
cons_c :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
cons_g :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_a :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_b :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_c :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_d :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_f :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_g :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
hole_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g1_0 :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0 :: Nat -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g


Lemmas:
c(gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(+(1, *(2, n454_0)))) -> *3_0, rt in Omega(n454_0)


Generator Equations:
gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(0) <=> hole_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g1_0
gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(+(x, 1)) <=> d(gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
a, b, g, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
a = b
a = c
a = g
a < encArg
b = c
b = g
b < encArg
c = g
c < encArg
g < encArg

----------------------------------------

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
a(gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(+(1, *(2, n1452_0)))) -> *3_0, rt in Omega(n1452_0)

Induction Base:
a(gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(+(1, *(2, 0))))

Induction Step:
a(gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(+(1, *(2, +(n1452_0, 1))))) ->_R^Omega(1)
c(gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(+(2, *(2, n1452_0)))) ->_R^Omega(1)
a(a(gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(+(1, *(2, n1452_0))))) ->_IH
a(*3_0)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(18)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a(b(c(a(x1)))) -> b(a(c(b(a(b(x1))))))
a(d(x1)) -> c(x1)
a(f(f(x1))) -> g(x1)
b(g(x1)) -> g(b(x1))
c(x1) -> f(f(x1))
c(a(c(x1))) -> b(c(a(b(c(x1)))))
c(d(x1)) -> a(a(x1))
g(x1) -> c(a(x1))
g(x1) -> d(d(d(d(x1))))
encArg(d(x_1)) -> d(encArg(x_1))
encArg(f(x_1)) -> f(encArg(x_1))
encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1))
encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1))
encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1))
encArg(cons_g(x_1)) -> g(encArg(x_1))
encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1))
encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1))
encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1))
encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1))
encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1))
encode_g(x_1) -> g(encArg(x_1))

Types:
a :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
b :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
c :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
d :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
f :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
g :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encArg :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
cons_a :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
cons_b :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
cons_c :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
cons_g :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_a :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_b :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_c :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_d :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_f :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_g :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
hole_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g1_0 :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0 :: Nat -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g


Lemmas:
c(gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(+(1, *(2, n454_0)))) -> *3_0, rt in Omega(n454_0)
a(gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(+(1, *(2, n1452_0)))) -> *3_0, rt in Omega(n1452_0)


Generator Equations:
gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(0) <=> hole_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g1_0
gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(+(x, 1)) <=> d(gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
b, c, g, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
a = b
a = c
a = g
a < encArg
b = c
b = g
b < encArg
c = g
c < encArg
g < encArg

----------------------------------------

(19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
c(gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(+(1, *(2, n3129_0)))) -> *3_0, rt in Omega(n3129_0)

Induction Base:
c(gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(+(1, *(2, 0))))

Induction Step:
c(gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(+(1, *(2, +(n3129_0, 1))))) ->_R^Omega(1)
a(a(gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(+(2, *(2, n3129_0))))) ->_R^Omega(1)
a(c(gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(+(1, *(2, n3129_0))))) ->_IH
a(*3_0)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(20)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a(b(c(a(x1)))) -> b(a(c(b(a(b(x1))))))
a(d(x1)) -> c(x1)
a(f(f(x1))) -> g(x1)
b(g(x1)) -> g(b(x1))
c(x1) -> f(f(x1))
c(a(c(x1))) -> b(c(a(b(c(x1)))))
c(d(x1)) -> a(a(x1))
g(x1) -> c(a(x1))
g(x1) -> d(d(d(d(x1))))
encArg(d(x_1)) -> d(encArg(x_1))
encArg(f(x_1)) -> f(encArg(x_1))
encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1))
encArg(cons_b(x_1)) -> b(encArg(x_1))
encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1))
encArg(cons_g(x_1)) -> g(encArg(x_1))
encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1))
encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1))
encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1))
encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1))
encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1))
encode_g(x_1) -> g(encArg(x_1))

Types:
a :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
b :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
c :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
d :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
f :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
g :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encArg :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
cons_a :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
cons_b :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
cons_c :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
cons_g :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_a :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_b :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_c :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_d :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_f :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
encode_g :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
hole_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g1_0 :: d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g
gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0 :: Nat -> d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g


Lemmas:
c(gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(+(1, *(2, n3129_0)))) -> *3_0, rt in Omega(n3129_0)
a(gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(+(1, *(2, n1452_0)))) -> *3_0, rt in Omega(n1452_0)


Generator Equations:
gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(0) <=> hole_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g1_0
gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(+(x, 1)) <=> d(gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
encArg
----------------------------------------

(21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(+(1, n4349_0))) -> *3_0, rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(+(1, 0)))

Induction Step:
encArg(gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(+(1, +(n4349_0, 1)))) ->_R^Omega(0)
d(encArg(gen_d:f:cons_a:cons_b:cons_c:cons_g2_0(+(1, n4349_0)))) ->_IH
d(*3_0)

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(22)
BOUNDS(1, INF)