WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 534 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 10 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 457 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 149 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 92 ms] (20) typed CpxTrs (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 101 ms] (22) typed CpxTrs (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 147 ms] (24) typed CpxTrs (25) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 103 ms] (26) typed CpxTrs (27) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 148 ms] (28) typed CpxTrs (29) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 9579 ms] (30) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(terms(N)) -> mark(cons(recip(sqr(N)), terms(s(N)))) active(sqr(0)) -> mark(0) active(sqr(s(X))) -> mark(s(add(sqr(X), dbl(X)))) active(dbl(0)) -> mark(0) active(dbl(s(X))) -> mark(s(s(dbl(X)))) active(add(0, X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(first(0, X)) -> mark(nil) active(first(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, first(X, Z))) active(terms(X)) -> terms(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(recip(X)) -> recip(active(X)) active(sqr(X)) -> sqr(active(X)) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2)) active(dbl(X)) -> dbl(active(X)) active(first(X1, X2)) -> first(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(X1, active(X2)) terms(mark(X)) -> mark(terms(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) recip(mark(X)) -> mark(recip(X)) sqr(mark(X)) -> mark(sqr(X)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2)) dbl(mark(X)) -> mark(dbl(X)) first(mark(X1), X2) -> mark(first(X1, X2)) first(X1, mark(X2)) -> mark(first(X1, X2)) proper(terms(X)) -> terms(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(recip(X)) -> recip(proper(X)) proper(sqr(X)) -> sqr(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(0) -> ok(0) proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) proper(dbl(X)) -> dbl(proper(X)) proper(first(X1, X2)) -> first(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) terms(ok(X)) -> ok(terms(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) recip(ok(X)) -> ok(recip(X)) sqr(ok(X)) -> ok(sqr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) dbl(ok(X)) -> ok(dbl(X)) first(ok(X1), ok(X2)) -> ok(first(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_terms(x_1)) -> terms(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_recip(x_1)) -> recip(encArg(x_1)) encArg(cons_sqr(x_1)) -> sqr(encArg(x_1)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_dbl(x_1)) -> dbl(encArg(x_1)) encArg(cons_first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_terms(x_1) -> terms(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_recip(x_1) -> recip(encArg(x_1)) encode_sqr(x_1) -> sqr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_dbl(x_1) -> dbl(encArg(x_1)) encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(terms(N)) -> mark(cons(recip(sqr(N)), terms(s(N)))) active(sqr(0)) -> mark(0) active(sqr(s(X))) -> mark(s(add(sqr(X), dbl(X)))) active(dbl(0)) -> mark(0) active(dbl(s(X))) -> mark(s(s(dbl(X)))) active(add(0, X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(first(0, X)) -> mark(nil) active(first(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, first(X, Z))) active(terms(X)) -> terms(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(recip(X)) -> recip(active(X)) active(sqr(X)) -> sqr(active(X)) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2)) active(dbl(X)) -> dbl(active(X)) active(first(X1, X2)) -> first(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(X1, active(X2)) terms(mark(X)) -> mark(terms(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) recip(mark(X)) -> mark(recip(X)) sqr(mark(X)) -> mark(sqr(X)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2)) dbl(mark(X)) -> mark(dbl(X)) first(mark(X1), X2) -> mark(first(X1, X2)) first(X1, mark(X2)) -> mark(first(X1, X2)) proper(terms(X)) -> terms(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(recip(X)) -> recip(proper(X)) proper(sqr(X)) -> sqr(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(0) -> ok(0) proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) proper(dbl(X)) -> dbl(proper(X)) proper(first(X1, X2)) -> first(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) terms(ok(X)) -> ok(terms(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) recip(ok(X)) -> ok(recip(X)) sqr(ok(X)) -> ok(sqr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) dbl(ok(X)) -> ok(dbl(X)) first(ok(X1), ok(X2)) -> ok(first(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_terms(x_1)) -> terms(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_recip(x_1)) -> recip(encArg(x_1)) encArg(cons_sqr(x_1)) -> sqr(encArg(x_1)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_dbl(x_1)) -> dbl(encArg(x_1)) encArg(cons_first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_terms(x_1) -> terms(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_recip(x_1) -> recip(encArg(x_1)) encode_sqr(x_1) -> sqr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_dbl(x_1) -> dbl(encArg(x_1)) encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(terms(N)) -> mark(cons(recip(sqr(N)), terms(s(N)))) active(sqr(0)) -> mark(0) active(sqr(s(X))) -> mark(s(add(sqr(X), dbl(X)))) active(dbl(0)) -> mark(0) active(dbl(s(X))) -> mark(s(s(dbl(X)))) active(add(0, X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(first(0, X)) -> mark(nil) active(first(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, first(X, Z))) active(terms(X)) -> terms(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(recip(X)) -> recip(active(X)) active(sqr(X)) -> sqr(active(X)) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2)) active(dbl(X)) -> dbl(active(X)) active(first(X1, X2)) -> first(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(X1, active(X2)) terms(mark(X)) -> mark(terms(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) recip(mark(X)) -> mark(recip(X)) sqr(mark(X)) -> mark(sqr(X)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2)) dbl(mark(X)) -> mark(dbl(X)) first(mark(X1), X2) -> mark(first(X1, X2)) first(X1, mark(X2)) -> mark(first(X1, X2)) proper(terms(X)) -> terms(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(recip(X)) -> recip(proper(X)) proper(sqr(X)) -> sqr(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(0) -> ok(0) proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) proper(dbl(X)) -> dbl(proper(X)) proper(first(X1, X2)) -> first(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) terms(ok(X)) -> ok(terms(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) recip(ok(X)) -> ok(recip(X)) sqr(ok(X)) -> ok(sqr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) dbl(ok(X)) -> ok(dbl(X)) first(ok(X1), ok(X2)) -> ok(first(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_terms(x_1)) -> terms(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_recip(x_1)) -> recip(encArg(x_1)) encArg(cons_sqr(x_1)) -> sqr(encArg(x_1)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_dbl(x_1)) -> dbl(encArg(x_1)) encArg(cons_first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_terms(x_1) -> terms(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_recip(x_1) -> recip(encArg(x_1)) encode_sqr(x_1) -> sqr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_dbl(x_1) -> dbl(encArg(x_1)) encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(terms(N)) -> mark(cons(recip(sqr(N)), terms(s(N)))) active(sqr(0')) -> mark(0') active(sqr(s(X))) -> mark(s(add(sqr(X), dbl(X)))) active(dbl(0')) -> mark(0') active(dbl(s(X))) -> mark(s(s(dbl(X)))) active(add(0', X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(first(0', X)) -> mark(nil) active(first(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, first(X, Z))) active(terms(X)) -> terms(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(recip(X)) -> recip(active(X)) active(sqr(X)) -> sqr(active(X)) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2)) active(dbl(X)) -> dbl(active(X)) active(first(X1, X2)) -> first(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(X1, active(X2)) terms(mark(X)) -> mark(terms(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) recip(mark(X)) -> mark(recip(X)) sqr(mark(X)) -> mark(sqr(X)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2)) dbl(mark(X)) -> mark(dbl(X)) first(mark(X1), X2) -> mark(first(X1, X2)) first(X1, mark(X2)) -> mark(first(X1, X2)) proper(terms(X)) -> terms(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(recip(X)) -> recip(proper(X)) proper(sqr(X)) -> sqr(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) proper(dbl(X)) -> dbl(proper(X)) proper(first(X1, X2)) -> first(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) terms(ok(X)) -> ok(terms(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) recip(ok(X)) -> ok(recip(X)) sqr(ok(X)) -> ok(sqr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) dbl(ok(X)) -> ok(dbl(X)) first(ok(X1), ok(X2)) -> ok(first(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_terms(x_1)) -> terms(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_recip(x_1)) -> recip(encArg(x_1)) encArg(cons_sqr(x_1)) -> sqr(encArg(x_1)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_dbl(x_1)) -> dbl(encArg(x_1)) encArg(cons_first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_terms(x_1) -> terms(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_recip(x_1) -> recip(encArg(x_1)) encode_sqr(x_1) -> sqr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_dbl(x_1) -> dbl(encArg(x_1)) encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(terms(N)) -> mark(cons(recip(sqr(N)), terms(s(N)))) active(sqr(0')) -> mark(0') active(sqr(s(X))) -> mark(s(add(sqr(X), dbl(X)))) active(dbl(0')) -> mark(0') active(dbl(s(X))) -> mark(s(s(dbl(X)))) active(add(0', X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(first(0', X)) -> mark(nil) active(first(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, first(X, Z))) active(terms(X)) -> terms(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(recip(X)) -> recip(active(X)) active(sqr(X)) -> sqr(active(X)) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2)) active(dbl(X)) -> dbl(active(X)) active(first(X1, X2)) -> first(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(X1, active(X2)) terms(mark(X)) -> mark(terms(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) recip(mark(X)) -> mark(recip(X)) sqr(mark(X)) -> mark(sqr(X)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2)) dbl(mark(X)) -> mark(dbl(X)) first(mark(X1), X2) -> mark(first(X1, X2)) first(X1, mark(X2)) -> mark(first(X1, X2)) proper(terms(X)) -> terms(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(recip(X)) -> recip(proper(X)) proper(sqr(X)) -> sqr(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) proper(dbl(X)) -> dbl(proper(X)) proper(first(X1, X2)) -> first(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) terms(ok(X)) -> ok(terms(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) recip(ok(X)) -> ok(recip(X)) sqr(ok(X)) -> ok(sqr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) dbl(ok(X)) -> ok(dbl(X)) first(ok(X1), ok(X2)) -> ok(first(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_terms(x_1)) -> terms(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_recip(x_1)) -> recip(encArg(x_1)) encArg(cons_sqr(x_1)) -> sqr(encArg(x_1)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_dbl(x_1)) -> dbl(encArg(x_1)) encArg(cons_first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_terms(x_1) -> terms(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_recip(x_1) -> recip(encArg(x_1)) encode_sqr(x_1) -> sqr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_dbl(x_1) -> dbl(encArg(x_1)) encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top terms :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top recip :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top sqr :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top 0' :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top add :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top dbl :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top first :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encArg :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_terms :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_recip :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_sqr :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_add :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_dbl :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_first :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_terms :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_recip :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_sqr :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_0 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_add :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_dbl :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_first :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top hole_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top1_3 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3 :: Nat -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: active, cons, recip, sqr, terms, s, add, dbl, first, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cons < active recip < active sqr < active terms < active s < active add < active dbl < active first < active active < top active < encArg cons < proper cons < encArg recip < proper recip < encArg sqr < proper sqr < encArg terms < proper terms < encArg s < proper s < encArg add < proper add < encArg dbl < proper dbl < encArg first < proper first < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(terms(N)) -> mark(cons(recip(sqr(N)), terms(s(N)))) active(sqr(0')) -> mark(0') active(sqr(s(X))) -> mark(s(add(sqr(X), dbl(X)))) active(dbl(0')) -> mark(0') active(dbl(s(X))) -> mark(s(s(dbl(X)))) active(add(0', X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(first(0', X)) -> mark(nil) active(first(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, first(X, Z))) active(terms(X)) -> terms(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(recip(X)) -> recip(active(X)) active(sqr(X)) -> sqr(active(X)) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2)) active(dbl(X)) -> dbl(active(X)) active(first(X1, X2)) -> first(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(X1, active(X2)) terms(mark(X)) -> mark(terms(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) recip(mark(X)) -> mark(recip(X)) sqr(mark(X)) -> mark(sqr(X)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2)) dbl(mark(X)) -> mark(dbl(X)) first(mark(X1), X2) -> mark(first(X1, X2)) first(X1, mark(X2)) -> mark(first(X1, X2)) proper(terms(X)) -> terms(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(recip(X)) -> recip(proper(X)) proper(sqr(X)) -> sqr(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) proper(dbl(X)) -> dbl(proper(X)) proper(first(X1, X2)) -> first(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) terms(ok(X)) -> ok(terms(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) recip(ok(X)) -> ok(recip(X)) sqr(ok(X)) -> ok(sqr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) dbl(ok(X)) -> ok(dbl(X)) first(ok(X1), ok(X2)) -> ok(first(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_terms(x_1)) -> terms(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_recip(x_1)) -> recip(encArg(x_1)) encArg(cons_sqr(x_1)) -> sqr(encArg(x_1)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_dbl(x_1)) -> dbl(encArg(x_1)) encArg(cons_first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_terms(x_1) -> terms(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_recip(x_1) -> recip(encArg(x_1)) encode_sqr(x_1) -> sqr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_dbl(x_1) -> dbl(encArg(x_1)) encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top terms :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top recip :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top sqr :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top 0' :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top add :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top dbl :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top first :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encArg :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_terms :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_recip :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_sqr :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_add :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_dbl :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_first :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_terms :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_recip :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_sqr :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_0 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_add :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_dbl :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_first :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top hole_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top1_3 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3 :: Nat -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top Generator Equations: gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: cons, active, recip, sqr, terms, s, add, dbl, first, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cons < active recip < active sqr < active terms < active s < active add < active dbl < active first < active active < top active < encArg cons < proper cons < encArg recip < proper recip < encArg sqr < proper sqr < encArg terms < proper terms < encArg s < proper s < encArg add < proper add < encArg dbl < proper dbl < encArg first < proper first < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: cons(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) Induction Base: cons(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, 0)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) Induction Step: cons(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, +(n4_3, 1))), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) ->_R^Omega(1) mark(cons(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: active(terms(N)) -> mark(cons(recip(sqr(N)), terms(s(N)))) active(sqr(0')) -> mark(0') active(sqr(s(X))) -> mark(s(add(sqr(X), dbl(X)))) active(dbl(0')) -> mark(0') active(dbl(s(X))) -> mark(s(s(dbl(X)))) active(add(0', X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(first(0', X)) -> mark(nil) active(first(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, first(X, Z))) active(terms(X)) -> terms(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(recip(X)) -> recip(active(X)) active(sqr(X)) -> sqr(active(X)) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2)) active(dbl(X)) -> dbl(active(X)) active(first(X1, X2)) -> first(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(X1, active(X2)) terms(mark(X)) -> mark(terms(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) recip(mark(X)) -> mark(recip(X)) sqr(mark(X)) -> mark(sqr(X)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2)) dbl(mark(X)) -> mark(dbl(X)) first(mark(X1), X2) -> mark(first(X1, X2)) first(X1, mark(X2)) -> mark(first(X1, X2)) proper(terms(X)) -> terms(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(recip(X)) -> recip(proper(X)) proper(sqr(X)) -> sqr(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) proper(dbl(X)) -> dbl(proper(X)) proper(first(X1, X2)) -> first(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) terms(ok(X)) -> ok(terms(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) recip(ok(X)) -> ok(recip(X)) sqr(ok(X)) -> ok(sqr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) dbl(ok(X)) -> ok(dbl(X)) first(ok(X1), ok(X2)) -> ok(first(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_terms(x_1)) -> terms(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_recip(x_1)) -> recip(encArg(x_1)) encArg(cons_sqr(x_1)) -> sqr(encArg(x_1)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_dbl(x_1)) -> dbl(encArg(x_1)) encArg(cons_first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_terms(x_1) -> terms(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_recip(x_1) -> recip(encArg(x_1)) encode_sqr(x_1) -> sqr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_dbl(x_1) -> dbl(encArg(x_1)) encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top terms :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top recip :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top sqr :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top 0' :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top add :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top dbl :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top first :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encArg :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_terms :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_recip :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_sqr :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_add :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_dbl :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_first :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_terms :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_recip :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_sqr :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_0 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_add :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_dbl :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_first :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top hole_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top1_3 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3 :: Nat -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top Generator Equations: gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: cons, active, recip, sqr, terms, s, add, dbl, first, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cons < active recip < active sqr < active terms < active s < active add < active dbl < active first < active active < top active < encArg cons < proper cons < encArg recip < proper recip < encArg sqr < proper sqr < encArg terms < proper terms < encArg s < proper s < encArg add < proper add < encArg dbl < proper dbl < encArg first < proper first < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(terms(N)) -> mark(cons(recip(sqr(N)), terms(s(N)))) active(sqr(0')) -> mark(0') active(sqr(s(X))) -> mark(s(add(sqr(X), dbl(X)))) active(dbl(0')) -> mark(0') active(dbl(s(X))) -> mark(s(s(dbl(X)))) active(add(0', X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(first(0', X)) -> mark(nil) active(first(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, first(X, Z))) active(terms(X)) -> terms(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(recip(X)) -> recip(active(X)) active(sqr(X)) -> sqr(active(X)) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2)) active(dbl(X)) -> dbl(active(X)) active(first(X1, X2)) -> first(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(X1, active(X2)) terms(mark(X)) -> mark(terms(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) recip(mark(X)) -> mark(recip(X)) sqr(mark(X)) -> mark(sqr(X)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2)) dbl(mark(X)) -> mark(dbl(X)) first(mark(X1), X2) -> mark(first(X1, X2)) first(X1, mark(X2)) -> mark(first(X1, X2)) proper(terms(X)) -> terms(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(recip(X)) -> recip(proper(X)) proper(sqr(X)) -> sqr(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) proper(dbl(X)) -> dbl(proper(X)) proper(first(X1, X2)) -> first(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) terms(ok(X)) -> ok(terms(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) recip(ok(X)) -> ok(recip(X)) sqr(ok(X)) -> ok(sqr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) dbl(ok(X)) -> ok(dbl(X)) first(ok(X1), ok(X2)) -> ok(first(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_terms(x_1)) -> terms(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_recip(x_1)) -> recip(encArg(x_1)) encArg(cons_sqr(x_1)) -> sqr(encArg(x_1)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_dbl(x_1)) -> dbl(encArg(x_1)) encArg(cons_first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_terms(x_1) -> terms(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_recip(x_1) -> recip(encArg(x_1)) encode_sqr(x_1) -> sqr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_dbl(x_1) -> dbl(encArg(x_1)) encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top terms :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top recip :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top sqr :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top 0' :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top add :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top dbl :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top first :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encArg :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_terms :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_recip :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_sqr :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_add :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_dbl :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_first :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_terms :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_recip :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_sqr :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_0 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_add :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_dbl :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_first :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top hole_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top1_3 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3 :: Nat -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top Lemmas: cons(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) Generator Equations: gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: recip, active, sqr, terms, s, add, dbl, first, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: recip < active sqr < active terms < active s < active add < active dbl < active first < active active < top active < encArg recip < proper recip < encArg sqr < proper sqr < encArg terms < proper terms < encArg s < proper s < encArg add < proper add < encArg dbl < proper dbl < encArg first < proper first < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: recip(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n1981_3))) -> *3_3, rt in Omega(n1981_3) Induction Base: recip(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, 0))) Induction Step: recip(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, +(n1981_3, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(recip(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n1981_3)))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(terms(N)) -> mark(cons(recip(sqr(N)), terms(s(N)))) active(sqr(0')) -> mark(0') active(sqr(s(X))) -> mark(s(add(sqr(X), dbl(X)))) active(dbl(0')) -> mark(0') active(dbl(s(X))) -> mark(s(s(dbl(X)))) active(add(0', X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(first(0', X)) -> mark(nil) active(first(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, first(X, Z))) active(terms(X)) -> terms(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(recip(X)) -> recip(active(X)) active(sqr(X)) -> sqr(active(X)) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2)) active(dbl(X)) -> dbl(active(X)) active(first(X1, X2)) -> first(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(X1, active(X2)) terms(mark(X)) -> mark(terms(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) recip(mark(X)) -> mark(recip(X)) sqr(mark(X)) -> mark(sqr(X)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2)) dbl(mark(X)) -> mark(dbl(X)) first(mark(X1), X2) -> mark(first(X1, X2)) first(X1, mark(X2)) -> mark(first(X1, X2)) proper(terms(X)) -> terms(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(recip(X)) -> recip(proper(X)) proper(sqr(X)) -> sqr(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) proper(dbl(X)) -> dbl(proper(X)) proper(first(X1, X2)) -> first(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) terms(ok(X)) -> ok(terms(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) recip(ok(X)) -> ok(recip(X)) sqr(ok(X)) -> ok(sqr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) dbl(ok(X)) -> ok(dbl(X)) first(ok(X1), ok(X2)) -> ok(first(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_terms(x_1)) -> terms(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_recip(x_1)) -> recip(encArg(x_1)) encArg(cons_sqr(x_1)) -> sqr(encArg(x_1)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_dbl(x_1)) -> dbl(encArg(x_1)) encArg(cons_first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_terms(x_1) -> terms(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_recip(x_1) -> recip(encArg(x_1)) encode_sqr(x_1) -> sqr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_dbl(x_1) -> dbl(encArg(x_1)) encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top terms :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top recip :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top sqr :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top 0' :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top add :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top dbl :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top first :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encArg :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_terms :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_recip :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_sqr :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_add :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_dbl :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_first :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_terms :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_recip :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_sqr :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_0 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_add :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_dbl :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_first :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top hole_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top1_3 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3 :: Nat -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top Lemmas: cons(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) recip(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n1981_3))) -> *3_3, rt in Omega(n1981_3) Generator Equations: gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: sqr, active, terms, s, add, dbl, first, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: sqr < active terms < active s < active add < active dbl < active first < active active < top active < encArg sqr < proper sqr < encArg terms < proper terms < encArg s < proper s < encArg add < proper add < encArg dbl < proper dbl < encArg first < proper first < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: sqr(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n2862_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2862_3) Induction Base: sqr(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, 0))) Induction Step: sqr(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, +(n2862_3, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(sqr(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n2862_3)))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (20) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(terms(N)) -> mark(cons(recip(sqr(N)), terms(s(N)))) active(sqr(0')) -> mark(0') active(sqr(s(X))) -> mark(s(add(sqr(X), dbl(X)))) active(dbl(0')) -> mark(0') active(dbl(s(X))) -> mark(s(s(dbl(X)))) active(add(0', X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(first(0', X)) -> mark(nil) active(first(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, first(X, Z))) active(terms(X)) -> terms(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(recip(X)) -> recip(active(X)) active(sqr(X)) -> sqr(active(X)) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2)) active(dbl(X)) -> dbl(active(X)) active(first(X1, X2)) -> first(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(X1, active(X2)) terms(mark(X)) -> mark(terms(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) recip(mark(X)) -> mark(recip(X)) sqr(mark(X)) -> mark(sqr(X)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2)) dbl(mark(X)) -> mark(dbl(X)) first(mark(X1), X2) -> mark(first(X1, X2)) first(X1, mark(X2)) -> mark(first(X1, X2)) proper(terms(X)) -> terms(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(recip(X)) -> recip(proper(X)) proper(sqr(X)) -> sqr(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) proper(dbl(X)) -> dbl(proper(X)) proper(first(X1, X2)) -> first(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) terms(ok(X)) -> ok(terms(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) recip(ok(X)) -> ok(recip(X)) sqr(ok(X)) -> ok(sqr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) dbl(ok(X)) -> ok(dbl(X)) first(ok(X1), ok(X2)) -> ok(first(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_terms(x_1)) -> terms(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_recip(x_1)) -> recip(encArg(x_1)) encArg(cons_sqr(x_1)) -> sqr(encArg(x_1)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_dbl(x_1)) -> dbl(encArg(x_1)) encArg(cons_first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_terms(x_1) -> terms(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_recip(x_1) -> recip(encArg(x_1)) encode_sqr(x_1) -> sqr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_dbl(x_1) -> dbl(encArg(x_1)) encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top terms :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top recip :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top sqr :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top 0' :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top add :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top dbl :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top first :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encArg :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_terms :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_recip :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_sqr :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_add :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_dbl :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_first :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_terms :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_recip :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_sqr :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_0 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_add :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_dbl :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_first :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top hole_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top1_3 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3 :: Nat -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top Lemmas: cons(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) recip(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n1981_3))) -> *3_3, rt in Omega(n1981_3) sqr(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n2862_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2862_3) Generator Equations: gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: terms, active, s, add, dbl, first, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: terms < active s < active add < active dbl < active first < active active < top active < encArg terms < proper terms < encArg s < proper s < encArg add < proper add < encArg dbl < proper dbl < encArg first < proper first < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: terms(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n3844_3))) -> *3_3, rt in Omega(n3844_3) Induction Base: terms(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, 0))) Induction Step: terms(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, +(n3844_3, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(terms(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n3844_3)))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (22) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(terms(N)) -> mark(cons(recip(sqr(N)), terms(s(N)))) active(sqr(0')) -> mark(0') active(sqr(s(X))) -> mark(s(add(sqr(X), dbl(X)))) active(dbl(0')) -> mark(0') active(dbl(s(X))) -> mark(s(s(dbl(X)))) active(add(0', X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(first(0', X)) -> mark(nil) active(first(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, first(X, Z))) active(terms(X)) -> terms(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(recip(X)) -> recip(active(X)) active(sqr(X)) -> sqr(active(X)) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2)) active(dbl(X)) -> dbl(active(X)) active(first(X1, X2)) -> first(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(X1, active(X2)) terms(mark(X)) -> mark(terms(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) recip(mark(X)) -> mark(recip(X)) sqr(mark(X)) -> mark(sqr(X)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2)) dbl(mark(X)) -> mark(dbl(X)) first(mark(X1), X2) -> mark(first(X1, X2)) first(X1, mark(X2)) -> mark(first(X1, X2)) proper(terms(X)) -> terms(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(recip(X)) -> recip(proper(X)) proper(sqr(X)) -> sqr(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) proper(dbl(X)) -> dbl(proper(X)) proper(first(X1, X2)) -> first(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) terms(ok(X)) -> ok(terms(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) recip(ok(X)) -> ok(recip(X)) sqr(ok(X)) -> ok(sqr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) dbl(ok(X)) -> ok(dbl(X)) first(ok(X1), ok(X2)) -> ok(first(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_terms(x_1)) -> terms(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_recip(x_1)) -> recip(encArg(x_1)) encArg(cons_sqr(x_1)) -> sqr(encArg(x_1)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_dbl(x_1)) -> dbl(encArg(x_1)) encArg(cons_first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_terms(x_1) -> terms(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_recip(x_1) -> recip(encArg(x_1)) encode_sqr(x_1) -> sqr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_dbl(x_1) -> dbl(encArg(x_1)) encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top terms :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top recip :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top sqr :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top 0' :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top add :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top dbl :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top first :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encArg :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_terms :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_recip :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_sqr :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_add :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_dbl :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_first :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_terms :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_recip :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_sqr :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_0 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_add :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_dbl :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_first :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top hole_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top1_3 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3 :: Nat -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top Lemmas: cons(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) recip(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n1981_3))) -> *3_3, rt in Omega(n1981_3) sqr(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n2862_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2862_3) terms(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n3844_3))) -> *3_3, rt in Omega(n3844_3) Generator Equations: gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: s, active, add, dbl, first, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: s < active add < active dbl < active first < active active < top active < encArg s < proper s < encArg add < proper add < encArg dbl < proper dbl < encArg first < proper first < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: add(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n4945_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4945_3) Induction Base: add(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, 0)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) Induction Step: add(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, +(n4945_3, 1))), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) ->_R^Omega(1) mark(add(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n4945_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (24) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(terms(N)) -> mark(cons(recip(sqr(N)), terms(s(N)))) active(sqr(0')) -> mark(0') active(sqr(s(X))) -> mark(s(add(sqr(X), dbl(X)))) active(dbl(0')) -> mark(0') active(dbl(s(X))) -> mark(s(s(dbl(X)))) active(add(0', X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(first(0', X)) -> mark(nil) active(first(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, first(X, Z))) active(terms(X)) -> terms(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(recip(X)) -> recip(active(X)) active(sqr(X)) -> sqr(active(X)) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2)) active(dbl(X)) -> dbl(active(X)) active(first(X1, X2)) -> first(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(X1, active(X2)) terms(mark(X)) -> mark(terms(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) recip(mark(X)) -> mark(recip(X)) sqr(mark(X)) -> mark(sqr(X)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2)) dbl(mark(X)) -> mark(dbl(X)) first(mark(X1), X2) -> mark(first(X1, X2)) first(X1, mark(X2)) -> mark(first(X1, X2)) proper(terms(X)) -> terms(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(recip(X)) -> recip(proper(X)) proper(sqr(X)) -> sqr(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) proper(dbl(X)) -> dbl(proper(X)) proper(first(X1, X2)) -> first(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) terms(ok(X)) -> ok(terms(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) recip(ok(X)) -> ok(recip(X)) sqr(ok(X)) -> ok(sqr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) dbl(ok(X)) -> ok(dbl(X)) first(ok(X1), ok(X2)) -> ok(first(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_terms(x_1)) -> terms(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_recip(x_1)) -> recip(encArg(x_1)) encArg(cons_sqr(x_1)) -> sqr(encArg(x_1)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_dbl(x_1)) -> dbl(encArg(x_1)) encArg(cons_first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_terms(x_1) -> terms(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_recip(x_1) -> recip(encArg(x_1)) encode_sqr(x_1) -> sqr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_dbl(x_1) -> dbl(encArg(x_1)) encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top terms :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top recip :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top sqr :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top 0' :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top add :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top dbl :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top first :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encArg :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_terms :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_recip :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_sqr :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_add :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_dbl :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_first :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_terms :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_recip :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_sqr :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_0 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_add :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_dbl :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_first :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top hole_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top1_3 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3 :: Nat -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top Lemmas: cons(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) recip(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n1981_3))) -> *3_3, rt in Omega(n1981_3) sqr(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n2862_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2862_3) terms(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n3844_3))) -> *3_3, rt in Omega(n3844_3) add(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n4945_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4945_3) Generator Equations: gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: dbl, active, first, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: dbl < active first < active active < top active < encArg dbl < proper dbl < encArg first < proper first < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: dbl(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n7887_3))) -> *3_3, rt in Omega(n7887_3) Induction Base: dbl(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, 0))) Induction Step: dbl(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, +(n7887_3, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(dbl(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n7887_3)))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (26) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(terms(N)) -> mark(cons(recip(sqr(N)), terms(s(N)))) active(sqr(0')) -> mark(0') active(sqr(s(X))) -> mark(s(add(sqr(X), dbl(X)))) active(dbl(0')) -> mark(0') active(dbl(s(X))) -> mark(s(s(dbl(X)))) active(add(0', X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(first(0', X)) -> mark(nil) active(first(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, first(X, Z))) active(terms(X)) -> terms(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(recip(X)) -> recip(active(X)) active(sqr(X)) -> sqr(active(X)) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2)) active(dbl(X)) -> dbl(active(X)) active(first(X1, X2)) -> first(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(X1, active(X2)) terms(mark(X)) -> mark(terms(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) recip(mark(X)) -> mark(recip(X)) sqr(mark(X)) -> mark(sqr(X)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2)) dbl(mark(X)) -> mark(dbl(X)) first(mark(X1), X2) -> mark(first(X1, X2)) first(X1, mark(X2)) -> mark(first(X1, X2)) proper(terms(X)) -> terms(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(recip(X)) -> recip(proper(X)) proper(sqr(X)) -> sqr(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) proper(dbl(X)) -> dbl(proper(X)) proper(first(X1, X2)) -> first(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) terms(ok(X)) -> ok(terms(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) recip(ok(X)) -> ok(recip(X)) sqr(ok(X)) -> ok(sqr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) dbl(ok(X)) -> ok(dbl(X)) first(ok(X1), ok(X2)) -> ok(first(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_terms(x_1)) -> terms(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_recip(x_1)) -> recip(encArg(x_1)) encArg(cons_sqr(x_1)) -> sqr(encArg(x_1)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_dbl(x_1)) -> dbl(encArg(x_1)) encArg(cons_first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_terms(x_1) -> terms(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_recip(x_1) -> recip(encArg(x_1)) encode_sqr(x_1) -> sqr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_dbl(x_1) -> dbl(encArg(x_1)) encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top terms :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top recip :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top sqr :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top 0' :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top add :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top dbl :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top first :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encArg :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_terms :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_recip :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_sqr :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_add :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_dbl :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_first :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_terms :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_recip :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_sqr :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_0 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_add :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_dbl :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_first :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top hole_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top1_3 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3 :: Nat -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top Lemmas: cons(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) recip(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n1981_3))) -> *3_3, rt in Omega(n1981_3) sqr(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n2862_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2862_3) terms(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n3844_3))) -> *3_3, rt in Omega(n3844_3) add(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n4945_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4945_3) dbl(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n7887_3))) -> *3_3, rt in Omega(n7887_3) Generator Equations: gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: first, active, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: first < active active < top active < encArg first < proper first < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (27) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: first(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n9221_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n9221_3) Induction Base: first(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, 0)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) Induction Step: first(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, +(n9221_3, 1))), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) ->_R^Omega(1) mark(first(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n9221_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (28) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(terms(N)) -> mark(cons(recip(sqr(N)), terms(s(N)))) active(sqr(0')) -> mark(0') active(sqr(s(X))) -> mark(s(add(sqr(X), dbl(X)))) active(dbl(0')) -> mark(0') active(dbl(s(X))) -> mark(s(s(dbl(X)))) active(add(0', X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(first(0', X)) -> mark(nil) active(first(s(X), cons(Y, Z))) -> mark(cons(Y, first(X, Z))) active(terms(X)) -> terms(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(recip(X)) -> recip(active(X)) active(sqr(X)) -> sqr(active(X)) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2)) active(dbl(X)) -> dbl(active(X)) active(first(X1, X2)) -> first(active(X1), X2) active(first(X1, X2)) -> first(X1, active(X2)) terms(mark(X)) -> mark(terms(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) recip(mark(X)) -> mark(recip(X)) sqr(mark(X)) -> mark(sqr(X)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2)) dbl(mark(X)) -> mark(dbl(X)) first(mark(X1), X2) -> mark(first(X1, X2)) first(X1, mark(X2)) -> mark(first(X1, X2)) proper(terms(X)) -> terms(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(recip(X)) -> recip(proper(X)) proper(sqr(X)) -> sqr(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) proper(dbl(X)) -> dbl(proper(X)) proper(first(X1, X2)) -> first(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) terms(ok(X)) -> ok(terms(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) recip(ok(X)) -> ok(recip(X)) sqr(ok(X)) -> ok(sqr(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) dbl(ok(X)) -> ok(dbl(X)) first(ok(X1), ok(X2)) -> ok(first(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_terms(x_1)) -> terms(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_recip(x_1)) -> recip(encArg(x_1)) encArg(cons_sqr(x_1)) -> sqr(encArg(x_1)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_dbl(x_1)) -> dbl(encArg(x_1)) encArg(cons_first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_terms(x_1) -> terms(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_recip(x_1) -> recip(encArg(x_1)) encode_sqr(x_1) -> sqr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_dbl(x_1) -> dbl(encArg(x_1)) encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top terms :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top recip :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top sqr :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top 0' :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top add :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top dbl :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top first :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encArg :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_terms :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_recip :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_sqr :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_add :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_dbl :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_first :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top cons_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_terms :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_recip :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_sqr :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_0 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_add :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_dbl :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_first :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top encode_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top hole_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top1_3 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3 :: Nat -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top Lemmas: cons(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) recip(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n1981_3))) -> *3_3, rt in Omega(n1981_3) sqr(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n2862_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2862_3) terms(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n3844_3))) -> *3_3, rt in Omega(n3844_3) add(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n4945_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4945_3) dbl(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n7887_3))) -> *3_3, rt in Omega(n7887_3) first(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(1, n9221_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n9221_3) Generator Equations: gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: active, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: active < top active < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (29) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(n498126_3)) -> gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(n498126_3), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(+(n498126_3, 1))) ->_R^Omega(0) mark(encArg(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(n498126_3))) ->_IH mark(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_terms:cons_cons:cons_recip:cons_sqr:cons_add:cons_dbl:cons_first:cons_proper:cons_s:cons_top2_3(c498127_3)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (30) BOUNDS(1, INF)