WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 466 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 9137 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 54.4 s] (18) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__terms(N) -> cons(recip(a__sqr(mark(N))), terms(s(N))) a__sqr(0) -> 0 a__sqr(s(X)) -> s(a__add(a__sqr(mark(X)), a__dbl(mark(X)))) a__dbl(0) -> 0 a__dbl(s(X)) -> s(s(a__dbl(mark(X)))) a__add(0, X) -> mark(X) a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y))) a__first(0, X) -> nil a__first(s(X), cons(Y, Z)) -> cons(mark(Y), first(X, Z)) mark(terms(X)) -> a__terms(mark(X)) mark(sqr(X)) -> a__sqr(mark(X)) mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2)) mark(dbl(X)) -> a__dbl(mark(X)) mark(first(X1, X2)) -> a__first(mark(X1), mark(X2)) mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(recip(X)) -> recip(mark(X)) mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0) -> 0 mark(nil) -> nil a__terms(X) -> terms(X) a__sqr(X) -> sqr(X) a__add(X1, X2) -> add(X1, X2) a__dbl(X) -> dbl(X) a__first(X1, X2) -> first(X1, X2) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(recip(x_1)) -> recip(encArg(x_1)) encArg(terms(x_1)) -> terms(encArg(x_1)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(nil) -> nil encArg(first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(sqr(x_1)) -> sqr(encArg(x_1)) encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(dbl(x_1)) -> dbl(encArg(x_1)) encArg(cons_a__terms(x_1)) -> a__terms(encArg(x_1)) encArg(cons_a__sqr(x_1)) -> a__sqr(encArg(x_1)) encArg(cons_a__dbl(x_1)) -> a__dbl(encArg(x_1)) encArg(cons_a__add(x_1, x_2)) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__first(x_1, x_2)) -> a__first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__terms(x_1) -> a__terms(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_recip(x_1) -> recip(encArg(x_1)) encode_a__sqr(x_1) -> a__sqr(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_terms(x_1) -> terms(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_a__add(x_1, x_2) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__dbl(x_1) -> a__dbl(encArg(x_1)) encode_a__first(x_1, x_2) -> a__first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sqr(x_1) -> sqr(encArg(x_1)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_dbl(x_1) -> dbl(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__terms(N) -> cons(recip(a__sqr(mark(N))), terms(s(N))) a__sqr(0) -> 0 a__sqr(s(X)) -> s(a__add(a__sqr(mark(X)), a__dbl(mark(X)))) a__dbl(0) -> 0 a__dbl(s(X)) -> s(s(a__dbl(mark(X)))) a__add(0, X) -> mark(X) a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y))) a__first(0, X) -> nil a__first(s(X), cons(Y, Z)) -> cons(mark(Y), first(X, Z)) mark(terms(X)) -> a__terms(mark(X)) mark(sqr(X)) -> a__sqr(mark(X)) mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2)) mark(dbl(X)) -> a__dbl(mark(X)) mark(first(X1, X2)) -> a__first(mark(X1), mark(X2)) mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(recip(X)) -> recip(mark(X)) mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0) -> 0 mark(nil) -> nil a__terms(X) -> terms(X) a__sqr(X) -> sqr(X) a__add(X1, X2) -> add(X1, X2) a__dbl(X) -> dbl(X) a__first(X1, X2) -> first(X1, X2) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(recip(x_1)) -> recip(encArg(x_1)) encArg(terms(x_1)) -> terms(encArg(x_1)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(nil) -> nil encArg(first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(sqr(x_1)) -> sqr(encArg(x_1)) encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(dbl(x_1)) -> dbl(encArg(x_1)) encArg(cons_a__terms(x_1)) -> a__terms(encArg(x_1)) encArg(cons_a__sqr(x_1)) -> a__sqr(encArg(x_1)) encArg(cons_a__dbl(x_1)) -> a__dbl(encArg(x_1)) encArg(cons_a__add(x_1, x_2)) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__first(x_1, x_2)) -> a__first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__terms(x_1) -> a__terms(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_recip(x_1) -> recip(encArg(x_1)) encode_a__sqr(x_1) -> a__sqr(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_terms(x_1) -> terms(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_a__add(x_1, x_2) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__dbl(x_1) -> a__dbl(encArg(x_1)) encode_a__first(x_1, x_2) -> a__first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sqr(x_1) -> sqr(encArg(x_1)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_dbl(x_1) -> dbl(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__terms(N) -> cons(recip(a__sqr(mark(N))), terms(s(N))) a__sqr(0) -> 0 a__sqr(s(X)) -> s(a__add(a__sqr(mark(X)), a__dbl(mark(X)))) a__dbl(0) -> 0 a__dbl(s(X)) -> s(s(a__dbl(mark(X)))) a__add(0, X) -> mark(X) a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y))) a__first(0, X) -> nil a__first(s(X), cons(Y, Z)) -> cons(mark(Y), first(X, Z)) mark(terms(X)) -> a__terms(mark(X)) mark(sqr(X)) -> a__sqr(mark(X)) mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2)) mark(dbl(X)) -> a__dbl(mark(X)) mark(first(X1, X2)) -> a__first(mark(X1), mark(X2)) mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(recip(X)) -> recip(mark(X)) mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0) -> 0 mark(nil) -> nil a__terms(X) -> terms(X) a__sqr(X) -> sqr(X) a__add(X1, X2) -> add(X1, X2) a__dbl(X) -> dbl(X) a__first(X1, X2) -> first(X1, X2) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(recip(x_1)) -> recip(encArg(x_1)) encArg(terms(x_1)) -> terms(encArg(x_1)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(nil) -> nil encArg(first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(sqr(x_1)) -> sqr(encArg(x_1)) encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(dbl(x_1)) -> dbl(encArg(x_1)) encArg(cons_a__terms(x_1)) -> a__terms(encArg(x_1)) encArg(cons_a__sqr(x_1)) -> a__sqr(encArg(x_1)) encArg(cons_a__dbl(x_1)) -> a__dbl(encArg(x_1)) encArg(cons_a__add(x_1, x_2)) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__first(x_1, x_2)) -> a__first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__terms(x_1) -> a__terms(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_recip(x_1) -> recip(encArg(x_1)) encode_a__sqr(x_1) -> a__sqr(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_terms(x_1) -> terms(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_a__add(x_1, x_2) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__dbl(x_1) -> a__dbl(encArg(x_1)) encode_a__first(x_1, x_2) -> a__first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sqr(x_1) -> sqr(encArg(x_1)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_dbl(x_1) -> dbl(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__terms(N) -> cons(recip(a__sqr(mark(N))), terms(s(N))) a__sqr(0') -> 0' a__sqr(s(X)) -> s(a__add(a__sqr(mark(X)), a__dbl(mark(X)))) a__dbl(0') -> 0' a__dbl(s(X)) -> s(s(a__dbl(mark(X)))) a__add(0', X) -> mark(X) a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y))) a__first(0', X) -> nil a__first(s(X), cons(Y, Z)) -> cons(mark(Y), first(X, Z)) mark(terms(X)) -> a__terms(mark(X)) mark(sqr(X)) -> a__sqr(mark(X)) mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2)) mark(dbl(X)) -> a__dbl(mark(X)) mark(first(X1, X2)) -> a__first(mark(X1), mark(X2)) mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(recip(X)) -> recip(mark(X)) mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' mark(nil) -> nil a__terms(X) -> terms(X) a__sqr(X) -> sqr(X) a__add(X1, X2) -> add(X1, X2) a__dbl(X) -> dbl(X) a__first(X1, X2) -> first(X1, X2) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(recip(x_1)) -> recip(encArg(x_1)) encArg(terms(x_1)) -> terms(encArg(x_1)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(sqr(x_1)) -> sqr(encArg(x_1)) encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(dbl(x_1)) -> dbl(encArg(x_1)) encArg(cons_a__terms(x_1)) -> a__terms(encArg(x_1)) encArg(cons_a__sqr(x_1)) -> a__sqr(encArg(x_1)) encArg(cons_a__dbl(x_1)) -> a__dbl(encArg(x_1)) encArg(cons_a__add(x_1, x_2)) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__first(x_1, x_2)) -> a__first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__terms(x_1) -> a__terms(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_recip(x_1) -> recip(encArg(x_1)) encode_a__sqr(x_1) -> a__sqr(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_terms(x_1) -> terms(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_a__add(x_1, x_2) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__dbl(x_1) -> a__dbl(encArg(x_1)) encode_a__first(x_1, x_2) -> a__first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sqr(x_1) -> sqr(encArg(x_1)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_dbl(x_1) -> dbl(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: a__terms(N) -> cons(recip(a__sqr(mark(N))), terms(s(N))) a__sqr(0') -> 0' a__sqr(s(X)) -> s(a__add(a__sqr(mark(X)), a__dbl(mark(X)))) a__dbl(0') -> 0' a__dbl(s(X)) -> s(s(a__dbl(mark(X)))) a__add(0', X) -> mark(X) a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y))) a__first(0', X) -> nil a__first(s(X), cons(Y, Z)) -> cons(mark(Y), first(X, Z)) mark(terms(X)) -> a__terms(mark(X)) mark(sqr(X)) -> a__sqr(mark(X)) mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2)) mark(dbl(X)) -> a__dbl(mark(X)) mark(first(X1, X2)) -> a__first(mark(X1), mark(X2)) mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(recip(X)) -> recip(mark(X)) mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' mark(nil) -> nil a__terms(X) -> terms(X) a__sqr(X) -> sqr(X) a__add(X1, X2) -> add(X1, X2) a__dbl(X) -> dbl(X) a__first(X1, X2) -> first(X1, X2) encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(recip(x_1)) -> recip(encArg(x_1)) encArg(terms(x_1)) -> terms(encArg(x_1)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(sqr(x_1)) -> sqr(encArg(x_1)) encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(dbl(x_1)) -> dbl(encArg(x_1)) encArg(cons_a__terms(x_1)) -> a__terms(encArg(x_1)) encArg(cons_a__sqr(x_1)) -> a__sqr(encArg(x_1)) encArg(cons_a__dbl(x_1)) -> a__dbl(encArg(x_1)) encArg(cons_a__add(x_1, x_2)) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__first(x_1, x_2)) -> a__first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__terms(x_1) -> a__terms(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_recip(x_1) -> recip(encArg(x_1)) encode_a__sqr(x_1) -> a__sqr(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_terms(x_1) -> terms(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_a__add(x_1, x_2) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__dbl(x_1) -> a__dbl(encArg(x_1)) encode_a__first(x_1, x_2) -> a__first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sqr(x_1) -> sqr(encArg(x_1)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_dbl(x_1) -> dbl(encArg(x_1)) Types: a__terms :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark cons :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark recip :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark a__sqr :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark mark :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> 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recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encArg :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark cons_a__terms :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark cons_a__sqr :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark cons_a__dbl :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark cons_a__add :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark cons_a__first :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark cons_mark :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_a__terms :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_cons :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_recip :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_a__sqr :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_mark :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_terms :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_s :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_0 :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_a__add :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_a__dbl :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_a__first :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_nil :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_first :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_sqr :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_add :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_dbl :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark hole_recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark1_3 :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark gen_recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark2_3 :: Nat -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: a__terms, a__sqr, mark, a__add, a__dbl, a__first, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a__terms = a__sqr a__terms = mark a__terms = a__add a__terms = a__dbl a__terms = a__first a__terms < encArg a__sqr = mark a__sqr = a__add a__sqr = a__dbl a__sqr = a__first a__sqr < encArg mark = a__add mark = a__dbl mark = a__first mark < encArg a__add = a__dbl a__add = a__first a__add < encArg a__dbl = a__first a__dbl < encArg a__first < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: a__terms(N) -> cons(recip(a__sqr(mark(N))), terms(s(N))) a__sqr(0') -> 0' a__sqr(s(X)) -> s(a__add(a__sqr(mark(X)), a__dbl(mark(X)))) a__dbl(0') -> 0' a__dbl(s(X)) -> s(s(a__dbl(mark(X)))) a__add(0', X) -> mark(X) a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y))) a__first(0', X) -> nil a__first(s(X), cons(Y, Z)) -> cons(mark(Y), first(X, Z)) mark(terms(X)) -> a__terms(mark(X)) mark(sqr(X)) -> a__sqr(mark(X)) mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2)) mark(dbl(X)) -> a__dbl(mark(X)) mark(first(X1, X2)) -> a__first(mark(X1), mark(X2)) mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(recip(X)) -> recip(mark(X)) mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' mark(nil) -> nil a__terms(X) -> terms(X) a__sqr(X) -> sqr(X) a__add(X1, X2) -> add(X1, X2) a__dbl(X) -> dbl(X) a__first(X1, X2) -> first(X1, X2) encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(recip(x_1)) -> recip(encArg(x_1)) encArg(terms(x_1)) -> terms(encArg(x_1)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(sqr(x_1)) -> sqr(encArg(x_1)) encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(dbl(x_1)) -> dbl(encArg(x_1)) encArg(cons_a__terms(x_1)) -> a__terms(encArg(x_1)) encArg(cons_a__sqr(x_1)) -> a__sqr(encArg(x_1)) encArg(cons_a__dbl(x_1)) -> a__dbl(encArg(x_1)) encArg(cons_a__add(x_1, x_2)) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__first(x_1, x_2)) -> a__first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__terms(x_1) -> a__terms(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_recip(x_1) -> recip(encArg(x_1)) encode_a__sqr(x_1) -> a__sqr(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_terms(x_1) -> terms(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_a__add(x_1, x_2) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__dbl(x_1) -> a__dbl(encArg(x_1)) encode_a__first(x_1, x_2) -> a__first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sqr(x_1) -> sqr(encArg(x_1)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_dbl(x_1) -> dbl(encArg(x_1)) Types: a__terms :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark cons :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark recip :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark a__sqr :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark mark :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark terms :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark s :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark 0' :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark a__add :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark a__dbl :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark a__first :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark nil :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark first :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark sqr :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark add :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark dbl :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encArg :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark cons_a__terms :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark cons_a__sqr :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark cons_a__dbl :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark cons_a__add :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark cons_a__first :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark cons_mark :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_a__terms :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_cons :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_recip :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_a__sqr :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_mark :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_terms :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_s :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_0 :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_a__add :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_a__dbl :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_a__first :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_nil :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_first :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_sqr :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_add :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_dbl :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark hole_recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark1_3 :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark gen_recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark2_3 :: Nat -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark Generator Equations: gen_recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark2_3(0) <=> 0' gen_recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark2_3(+(x, 1)) <=> cons(gen_recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark2_3(x), 0') The following defined symbols remain to be analysed: a__sqr, a__terms, mark, a__add, a__dbl, a__first, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a__terms = a__sqr a__terms = mark a__terms = a__add a__terms = a__dbl a__terms = a__first a__terms < encArg a__sqr = mark a__sqr = a__add a__sqr = a__dbl a__sqr = a__first a__sqr < encArg mark = a__add mark = a__dbl mark = a__first mark < encArg a__add = a__dbl a__add = a__first a__add < encArg a__dbl = a__first a__dbl < encArg a__first < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: mark(gen_recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark2_3(n45919_3)) -> gen_recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark2_3(n45919_3), rt in Omega(1 + n45919_3) Induction Base: mark(gen_recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark2_3(0)) ->_R^Omega(1) 0' Induction Step: mark(gen_recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark2_3(+(n45919_3, 1))) ->_R^Omega(1) cons(mark(gen_recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark2_3(n45919_3)), 0') ->_IH cons(gen_recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark2_3(c45920_3), 0') We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: a__terms(N) -> cons(recip(a__sqr(mark(N))), terms(s(N))) a__sqr(0') -> 0' a__sqr(s(X)) -> s(a__add(a__sqr(mark(X)), a__dbl(mark(X)))) a__dbl(0') -> 0' a__dbl(s(X)) -> s(s(a__dbl(mark(X)))) a__add(0', X) -> mark(X) a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y))) a__first(0', X) -> nil a__first(s(X), cons(Y, Z)) -> cons(mark(Y), first(X, Z)) mark(terms(X)) -> a__terms(mark(X)) mark(sqr(X)) -> a__sqr(mark(X)) mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2)) mark(dbl(X)) -> a__dbl(mark(X)) mark(first(X1, X2)) -> a__first(mark(X1), mark(X2)) mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(recip(X)) -> recip(mark(X)) mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' mark(nil) -> nil a__terms(X) -> terms(X) a__sqr(X) -> sqr(X) a__add(X1, X2) -> add(X1, X2) a__dbl(X) -> dbl(X) a__first(X1, X2) -> first(X1, X2) encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(recip(x_1)) -> recip(encArg(x_1)) encArg(terms(x_1)) -> terms(encArg(x_1)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(sqr(x_1)) -> sqr(encArg(x_1)) encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(dbl(x_1)) -> dbl(encArg(x_1)) encArg(cons_a__terms(x_1)) -> a__terms(encArg(x_1)) encArg(cons_a__sqr(x_1)) -> a__sqr(encArg(x_1)) encArg(cons_a__dbl(x_1)) -> a__dbl(encArg(x_1)) encArg(cons_a__add(x_1, x_2)) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__first(x_1, x_2)) -> a__first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__terms(x_1) -> a__terms(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_recip(x_1) -> recip(encArg(x_1)) encode_a__sqr(x_1) -> a__sqr(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_terms(x_1) -> terms(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_a__add(x_1, x_2) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__dbl(x_1) -> a__dbl(encArg(x_1)) encode_a__first(x_1, x_2) -> a__first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sqr(x_1) -> sqr(encArg(x_1)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_dbl(x_1) -> dbl(encArg(x_1)) Types: a__terms :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark cons :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark recip :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark a__sqr :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark mark :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark terms :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark s :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark 0' :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark a__add :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark a__dbl :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark a__first :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark nil :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark first :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark sqr :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark add :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark dbl :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encArg :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark cons_a__terms :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark cons_a__sqr :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark cons_a__dbl :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark cons_a__add :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark cons_a__first :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark cons_mark :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_a__terms :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_cons :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_recip :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_a__sqr :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_mark :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_terms :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_s :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark 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:: Nat -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark Generator Equations: gen_recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark2_3(0) <=> 0' gen_recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark2_3(+(x, 1)) <=> cons(gen_recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark2_3(x), 0') The following defined symbols remain to be analysed: mark, a__terms, a__dbl, a__first, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a__terms = a__sqr a__terms = mark a__terms = a__add a__terms = a__dbl a__terms = a__first a__terms < encArg a__sqr = mark a__sqr = a__add a__sqr = a__dbl a__sqr = a__first a__sqr < encArg mark = a__add mark = a__dbl mark = a__first mark < encArg a__add = a__dbl a__add = a__first a__add < encArg a__dbl = a__first a__dbl < encArg a__first < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: a__terms(N) -> cons(recip(a__sqr(mark(N))), terms(s(N))) a__sqr(0') -> 0' a__sqr(s(X)) -> s(a__add(a__sqr(mark(X)), a__dbl(mark(X)))) a__dbl(0') -> 0' a__dbl(s(X)) -> s(s(a__dbl(mark(X)))) a__add(0', X) -> mark(X) a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y))) a__first(0', X) -> nil a__first(s(X), cons(Y, Z)) -> cons(mark(Y), first(X, Z)) mark(terms(X)) -> a__terms(mark(X)) mark(sqr(X)) -> a__sqr(mark(X)) mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2)) mark(dbl(X)) -> a__dbl(mark(X)) mark(first(X1, X2)) -> a__first(mark(X1), mark(X2)) mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(recip(X)) -> recip(mark(X)) mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' mark(nil) -> nil a__terms(X) -> terms(X) a__sqr(X) -> sqr(X) a__add(X1, X2) -> add(X1, X2) a__dbl(X) -> dbl(X) a__first(X1, X2) -> first(X1, X2) encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(recip(x_1)) -> recip(encArg(x_1)) encArg(terms(x_1)) -> terms(encArg(x_1)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(first(x_1, x_2)) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(sqr(x_1)) -> sqr(encArg(x_1)) encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(dbl(x_1)) -> dbl(encArg(x_1)) encArg(cons_a__terms(x_1)) -> a__terms(encArg(x_1)) encArg(cons_a__sqr(x_1)) -> a__sqr(encArg(x_1)) encArg(cons_a__dbl(x_1)) -> a__dbl(encArg(x_1)) encArg(cons_a__add(x_1, x_2)) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__first(x_1, x_2)) -> a__first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__terms(x_1) -> a__terms(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_recip(x_1) -> recip(encArg(x_1)) encode_a__sqr(x_1) -> a__sqr(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_terms(x_1) -> terms(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_a__add(x_1, x_2) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__dbl(x_1) -> a__dbl(encArg(x_1)) encode_a__first(x_1, x_2) -> a__first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_first(x_1, x_2) -> first(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sqr(x_1) -> sqr(encArg(x_1)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_dbl(x_1) -> dbl(encArg(x_1)) Types: a__terms :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark cons :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark recip :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark a__sqr :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark mark :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark terms :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark s :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark 0' :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark a__add :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark a__dbl :: 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recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_0 :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_a__add :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_a__dbl :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_a__first :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_nil :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_first :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_sqr :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_add :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark encode_dbl :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark hole_recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark1_3 :: recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark gen_recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark2_3 :: Nat -> recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark Lemmas: mark(gen_recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark2_3(n45919_3)) -> gen_recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark2_3(n45919_3), rt in Omega(1 + n45919_3) Generator Equations: gen_recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark2_3(0) <=> 0' gen_recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark2_3(+(x, 1)) <=> cons(gen_recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark2_3(x), 0') The following defined symbols remain to be analysed: a__terms, a__sqr, a__add, a__dbl, a__first, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a__terms = a__sqr a__terms = mark a__terms = a__add a__terms = a__dbl a__terms = a__first a__terms < encArg a__sqr = mark a__sqr = a__add a__sqr = a__dbl a__sqr = a__first a__sqr < encArg mark = a__add mark = a__dbl mark = a__first mark < encArg a__add = a__dbl a__add = a__first a__add < encArg a__dbl = a__first a__dbl < encArg a__first < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark2_3(n54774_3)) -> gen_recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark2_3(n54774_3), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark2_3(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark2_3(+(n54774_3, 1))) ->_R^Omega(0) cons(encArg(gen_recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark2_3(n54774_3)), encArg(0')) ->_IH cons(gen_recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark2_3(c54775_3), encArg(0')) ->_R^Omega(0) cons(gen_recip:s:terms:cons:0':nil:first:sqr:add:dbl:cons_a__terms:cons_a__sqr:cons_a__dbl:cons_a__add:cons_a__first:cons_mark2_3(n54774_3), 0') We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (18) BOUNDS(1, INF)