WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 544 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 469 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 119 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 88 ms] (20) typed CpxTrs (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 109 ms] (22) typed CpxTrs (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 144 ms] (24) typed CpxTrs (25) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 166 ms] (26) typed CpxTrs (27) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 109 ms] (28) typed CpxTrs (29) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 4369 ms] (30) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(head(cons(X, XS))) -> mark(X) active(2nd(cons(X, XS))) -> mark(head(XS)) active(take(0, XS)) -> mark(nil) active(take(s(N), cons(X, XS))) -> mark(cons(X, take(N, XS))) active(sel(0, cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(from(X)) -> from(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(head(X)) -> head(active(X)) active(2nd(X)) -> 2nd(active(X)) active(take(X1, X2)) -> take(active(X1), X2) active(take(X1, X2)) -> take(X1, active(X2)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) head(mark(X)) -> mark(head(X)) 2nd(mark(X)) -> mark(2nd(X)) take(mark(X1), X2) -> mark(take(X1, X2)) take(X1, mark(X2)) -> mark(take(X1, X2)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(head(X)) -> head(proper(X)) proper(2nd(X)) -> 2nd(proper(X)) proper(take(X1, X2)) -> take(proper(X1), proper(X2)) proper(0) -> ok(0) proper(nil) -> ok(nil) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) head(ok(X)) -> ok(head(X)) 2nd(ok(X)) -> ok(2nd(X)) take(ok(X1), ok(X2)) -> ok(take(X1, X2)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_2nd(x_1)) -> 2nd(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_2nd(x_1) -> 2nd(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_nil -> nil encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(head(cons(X, XS))) -> mark(X) active(2nd(cons(X, XS))) -> mark(head(XS)) active(take(0, XS)) -> mark(nil) active(take(s(N), cons(X, XS))) -> mark(cons(X, take(N, XS))) active(sel(0, cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(from(X)) -> from(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(head(X)) -> head(active(X)) active(2nd(X)) -> 2nd(active(X)) active(take(X1, X2)) -> take(active(X1), X2) active(take(X1, X2)) -> take(X1, active(X2)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) head(mark(X)) -> mark(head(X)) 2nd(mark(X)) -> mark(2nd(X)) take(mark(X1), X2) -> mark(take(X1, X2)) take(X1, mark(X2)) -> mark(take(X1, X2)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(head(X)) -> head(proper(X)) proper(2nd(X)) -> 2nd(proper(X)) proper(take(X1, X2)) -> take(proper(X1), proper(X2)) proper(0) -> ok(0) proper(nil) -> ok(nil) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) head(ok(X)) -> ok(head(X)) 2nd(ok(X)) -> ok(2nd(X)) take(ok(X1), ok(X2)) -> ok(take(X1, X2)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_2nd(x_1)) -> 2nd(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_2nd(x_1) -> 2nd(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_nil -> nil encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(head(cons(X, XS))) -> mark(X) active(2nd(cons(X, XS))) -> mark(head(XS)) active(take(0, XS)) -> mark(nil) active(take(s(N), cons(X, XS))) -> mark(cons(X, take(N, XS))) active(sel(0, cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(from(X)) -> from(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(head(X)) -> head(active(X)) active(2nd(X)) -> 2nd(active(X)) active(take(X1, X2)) -> take(active(X1), X2) active(take(X1, X2)) -> take(X1, active(X2)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) head(mark(X)) -> mark(head(X)) 2nd(mark(X)) -> mark(2nd(X)) take(mark(X1), X2) -> mark(take(X1, X2)) take(X1, mark(X2)) -> mark(take(X1, X2)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(head(X)) -> head(proper(X)) proper(2nd(X)) -> 2nd(proper(X)) proper(take(X1, X2)) -> take(proper(X1), proper(X2)) proper(0) -> ok(0) proper(nil) -> ok(nil) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) head(ok(X)) -> ok(head(X)) 2nd(ok(X)) -> ok(2nd(X)) take(ok(X1), ok(X2)) -> ok(take(X1, X2)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_2nd(x_1)) -> 2nd(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_2nd(x_1) -> 2nd(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_nil -> nil encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(head(cons(X, XS))) -> mark(X) active(2nd(cons(X, XS))) -> mark(head(XS)) active(take(0', XS)) -> mark(nil) active(take(s(N), cons(X, XS))) -> mark(cons(X, take(N, XS))) active(sel(0', cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(from(X)) -> from(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(head(X)) -> head(active(X)) active(2nd(X)) -> 2nd(active(X)) active(take(X1, X2)) -> take(active(X1), X2) active(take(X1, X2)) -> take(X1, active(X2)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) head(mark(X)) -> mark(head(X)) 2nd(mark(X)) -> mark(2nd(X)) take(mark(X1), X2) -> mark(take(X1, X2)) take(X1, mark(X2)) -> mark(take(X1, X2)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(head(X)) -> head(proper(X)) proper(2nd(X)) -> 2nd(proper(X)) proper(take(X1, X2)) -> take(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(nil) -> ok(nil) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) head(ok(X)) -> ok(head(X)) 2nd(ok(X)) -> ok(2nd(X)) take(ok(X1), ok(X2)) -> ok(take(X1, X2)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_2nd(x_1)) -> 2nd(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_2nd(x_1) -> 2nd(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_nil -> nil encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(head(cons(X, XS))) -> mark(X) active(2nd(cons(X, XS))) -> mark(head(XS)) active(take(0', XS)) -> mark(nil) active(take(s(N), cons(X, XS))) -> mark(cons(X, take(N, XS))) active(sel(0', cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(from(X)) -> from(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(head(X)) -> head(active(X)) active(2nd(X)) -> 2nd(active(X)) active(take(X1, X2)) -> take(active(X1), X2) active(take(X1, X2)) -> take(X1, active(X2)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) head(mark(X)) -> mark(head(X)) 2nd(mark(X)) -> mark(2nd(X)) take(mark(X1), X2) -> mark(take(X1, X2)) take(X1, mark(X2)) -> mark(take(X1, X2)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(head(X)) -> head(proper(X)) proper(2nd(X)) -> 2nd(proper(X)) proper(take(X1, X2)) -> take(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(nil) -> ok(nil) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) head(ok(X)) -> ok(head(X)) 2nd(ok(X)) -> ok(2nd(X)) take(ok(X1), ok(X2)) -> ok(take(X1, X2)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_2nd(x_1)) -> 2nd(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_2nd(x_1) -> 2nd(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_nil -> nil encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top head :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top 2nd :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top take :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top 0' :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encArg :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_head :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_2nd :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_take :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_head :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_2nd :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_take :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_0 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top hole_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top1_3 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: active, cons, from, s, head, take, sel, 2nd, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cons < active from < active s < active head < active take < active sel < active 2nd < active active < top active < encArg cons < proper cons < encArg from < proper from < encArg s < proper s < encArg head < proper head < encArg take < proper take < encArg sel < proper sel < encArg 2nd < proper 2nd < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(head(cons(X, XS))) -> mark(X) active(2nd(cons(X, XS))) -> mark(head(XS)) active(take(0', XS)) -> mark(nil) active(take(s(N), cons(X, XS))) -> mark(cons(X, take(N, XS))) active(sel(0', cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(from(X)) -> from(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(head(X)) -> head(active(X)) active(2nd(X)) -> 2nd(active(X)) active(take(X1, X2)) -> take(active(X1), X2) active(take(X1, X2)) -> take(X1, active(X2)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) head(mark(X)) -> mark(head(X)) 2nd(mark(X)) -> mark(2nd(X)) take(mark(X1), X2) -> mark(take(X1, X2)) take(X1, mark(X2)) -> mark(take(X1, X2)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(head(X)) -> head(proper(X)) proper(2nd(X)) -> 2nd(proper(X)) proper(take(X1, X2)) -> take(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(nil) -> ok(nil) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) head(ok(X)) -> ok(head(X)) 2nd(ok(X)) -> ok(2nd(X)) take(ok(X1), ok(X2)) -> ok(take(X1, X2)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_2nd(x_1)) -> 2nd(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_2nd(x_1) -> 2nd(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_nil -> nil encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top head :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top 2nd :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top take :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top 0' :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encArg :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_head :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_2nd :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_take :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_head :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_2nd :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_take :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_0 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top hole_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top1_3 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top Generator Equations: gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: cons, active, from, s, head, take, sel, 2nd, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cons < active from < active s < active head < active take < active sel < active 2nd < active active < top active < encArg cons < proper cons < encArg from < proper from < encArg s < proper s < encArg head < proper head < encArg take < proper take < encArg sel < proper sel < encArg 2nd < proper 2nd < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: cons(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) Induction Base: cons(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(b)) Induction Step: cons(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n4_3, 1))), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(b)) ->_R^Omega(1) mark(cons(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(b))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(head(cons(X, XS))) -> mark(X) active(2nd(cons(X, XS))) -> mark(head(XS)) active(take(0', XS)) -> mark(nil) active(take(s(N), cons(X, XS))) -> mark(cons(X, take(N, XS))) active(sel(0', cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(from(X)) -> from(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(head(X)) -> head(active(X)) active(2nd(X)) -> 2nd(active(X)) active(take(X1, X2)) -> take(active(X1), X2) active(take(X1, X2)) -> take(X1, active(X2)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) head(mark(X)) -> mark(head(X)) 2nd(mark(X)) -> mark(2nd(X)) take(mark(X1), X2) -> mark(take(X1, X2)) take(X1, mark(X2)) -> mark(take(X1, X2)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(head(X)) -> head(proper(X)) proper(2nd(X)) -> 2nd(proper(X)) proper(take(X1, X2)) -> take(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(nil) -> ok(nil) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) head(ok(X)) -> ok(head(X)) 2nd(ok(X)) -> ok(2nd(X)) take(ok(X1), ok(X2)) -> ok(take(X1, X2)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_2nd(x_1)) -> 2nd(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_2nd(x_1) -> 2nd(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_nil -> nil encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top head :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top 2nd :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top take :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top 0' :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encArg :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_head :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_2nd :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_take :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_head :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_2nd :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_take :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_0 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top hole_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top1_3 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top Generator Equations: gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: cons, active, from, s, head, take, sel, 2nd, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cons < active from < active s < active head < active take < active sel < active 2nd < active active < top active < encArg cons < proper cons < encArg from < proper from < encArg s < proper s < encArg head < proper head < encArg take < proper take < encArg sel < proper sel < encArg 2nd < proper 2nd < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(head(cons(X, XS))) -> mark(X) active(2nd(cons(X, XS))) -> mark(head(XS)) active(take(0', XS)) -> mark(nil) active(take(s(N), cons(X, XS))) -> mark(cons(X, take(N, XS))) active(sel(0', cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(from(X)) -> from(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(head(X)) -> head(active(X)) active(2nd(X)) -> 2nd(active(X)) active(take(X1, X2)) -> take(active(X1), X2) active(take(X1, X2)) -> take(X1, active(X2)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) head(mark(X)) -> mark(head(X)) 2nd(mark(X)) -> mark(2nd(X)) take(mark(X1), X2) -> mark(take(X1, X2)) take(X1, mark(X2)) -> mark(take(X1, X2)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(head(X)) -> head(proper(X)) proper(2nd(X)) -> 2nd(proper(X)) proper(take(X1, X2)) -> take(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(nil) -> ok(nil) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) head(ok(X)) -> ok(head(X)) 2nd(ok(X)) -> ok(2nd(X)) take(ok(X1), ok(X2)) -> ok(take(X1, X2)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_2nd(x_1)) -> 2nd(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_2nd(x_1) -> 2nd(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_nil -> nil encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top head :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top 2nd :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top take :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top 0' :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encArg :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_head :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_2nd :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_take :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_head :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_2nd :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_take :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_0 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top hole_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top1_3 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) Generator Equations: gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: from, active, s, head, take, sel, 2nd, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: from < active s < active head < active take < active sel < active 2nd < active active < top active < encArg from < proper from < encArg s < proper s < encArg head < proper head < encArg take < proper take < encArg sel < proper sel < encArg 2nd < proper 2nd < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: from(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1861_3))) -> *3_3, rt in Omega(n1861_3) Induction Base: from(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0))) Induction Step: from(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n1861_3, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(from(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1861_3)))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(head(cons(X, XS))) -> mark(X) active(2nd(cons(X, XS))) -> mark(head(XS)) active(take(0', XS)) -> mark(nil) active(take(s(N), cons(X, XS))) -> mark(cons(X, take(N, XS))) active(sel(0', cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(from(X)) -> from(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(head(X)) -> head(active(X)) active(2nd(X)) -> 2nd(active(X)) active(take(X1, X2)) -> take(active(X1), X2) active(take(X1, X2)) -> take(X1, active(X2)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) head(mark(X)) -> mark(head(X)) 2nd(mark(X)) -> mark(2nd(X)) take(mark(X1), X2) -> mark(take(X1, X2)) take(X1, mark(X2)) -> mark(take(X1, X2)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(head(X)) -> head(proper(X)) proper(2nd(X)) -> 2nd(proper(X)) proper(take(X1, X2)) -> take(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(nil) -> ok(nil) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) head(ok(X)) -> ok(head(X)) 2nd(ok(X)) -> ok(2nd(X)) take(ok(X1), ok(X2)) -> ok(take(X1, X2)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_2nd(x_1)) -> 2nd(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_2nd(x_1) -> 2nd(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_nil -> nil encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top head :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top 2nd :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top take :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top 0' :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encArg :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_head :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_2nd :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_take :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_head :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_2nd :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_take :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_0 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top hole_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top1_3 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) from(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1861_3))) -> *3_3, rt in Omega(n1861_3) Generator Equations: gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: s, active, head, take, sel, 2nd, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: s < active head < active take < active sel < active 2nd < active active < top active < encArg s < proper s < encArg head < proper head < encArg take < proper take < encArg sel < proper sel < encArg 2nd < proper 2nd < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: s(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2706_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2706_3) Induction Base: s(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0))) Induction Step: s(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n2706_3, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(s(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2706_3)))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (20) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(head(cons(X, XS))) -> mark(X) active(2nd(cons(X, XS))) -> mark(head(XS)) active(take(0', XS)) -> mark(nil) active(take(s(N), cons(X, XS))) -> mark(cons(X, take(N, XS))) active(sel(0', cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(from(X)) -> from(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(head(X)) -> head(active(X)) active(2nd(X)) -> 2nd(active(X)) active(take(X1, X2)) -> take(active(X1), X2) active(take(X1, X2)) -> take(X1, active(X2)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) head(mark(X)) -> mark(head(X)) 2nd(mark(X)) -> mark(2nd(X)) take(mark(X1), X2) -> mark(take(X1, X2)) take(X1, mark(X2)) -> mark(take(X1, X2)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(head(X)) -> head(proper(X)) proper(2nd(X)) -> 2nd(proper(X)) proper(take(X1, X2)) -> take(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(nil) -> ok(nil) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) head(ok(X)) -> ok(head(X)) 2nd(ok(X)) -> ok(2nd(X)) take(ok(X1), ok(X2)) -> ok(take(X1, X2)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_2nd(x_1)) -> 2nd(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_2nd(x_1) -> 2nd(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_nil -> nil encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top head :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top 2nd :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top take :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top 0' :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encArg :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_head :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_2nd :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_take :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_head :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_2nd :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_take :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_0 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top hole_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top1_3 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) from(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1861_3))) -> *3_3, rt in Omega(n1861_3) s(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2706_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2706_3) Generator Equations: gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: head, active, take, sel, 2nd, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: head < active take < active sel < active 2nd < active active < top active < encArg head < proper head < encArg take < proper take < encArg sel < proper sel < encArg 2nd < proper 2nd < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: head(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3652_3))) -> *3_3, rt in Omega(n3652_3) Induction Base: head(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0))) Induction Step: head(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n3652_3, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(head(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3652_3)))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (22) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(head(cons(X, XS))) -> mark(X) active(2nd(cons(X, XS))) -> mark(head(XS)) active(take(0', XS)) -> mark(nil) active(take(s(N), cons(X, XS))) -> mark(cons(X, take(N, XS))) active(sel(0', cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(from(X)) -> from(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(head(X)) -> head(active(X)) active(2nd(X)) -> 2nd(active(X)) active(take(X1, X2)) -> take(active(X1), X2) active(take(X1, X2)) -> take(X1, active(X2)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) head(mark(X)) -> mark(head(X)) 2nd(mark(X)) -> mark(2nd(X)) take(mark(X1), X2) -> mark(take(X1, X2)) take(X1, mark(X2)) -> mark(take(X1, X2)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(head(X)) -> head(proper(X)) proper(2nd(X)) -> 2nd(proper(X)) proper(take(X1, X2)) -> take(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(nil) -> ok(nil) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) head(ok(X)) -> ok(head(X)) 2nd(ok(X)) -> ok(2nd(X)) take(ok(X1), ok(X2)) -> ok(take(X1, X2)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_2nd(x_1)) -> 2nd(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_2nd(x_1) -> 2nd(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_nil -> nil encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top head :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top 2nd :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top take :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top 0' :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encArg :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_head :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_2nd :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_take :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_head :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_2nd :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_take :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_0 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top hole_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top1_3 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) from(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1861_3))) -> *3_3, rt in Omega(n1861_3) s(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2706_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2706_3) head(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3652_3))) -> *3_3, rt in Omega(n3652_3) Generator Equations: gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: take, active, sel, 2nd, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: take < active sel < active 2nd < active active < top active < encArg take < proper take < encArg sel < proper sel < encArg 2nd < proper 2nd < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: take(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4699_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4699_3) Induction Base: take(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(b)) Induction Step: take(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n4699_3, 1))), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(b)) ->_R^Omega(1) mark(take(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4699_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(b))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (24) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(head(cons(X, XS))) -> mark(X) active(2nd(cons(X, XS))) -> mark(head(XS)) active(take(0', XS)) -> mark(nil) active(take(s(N), cons(X, XS))) -> mark(cons(X, take(N, XS))) active(sel(0', cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(from(X)) -> from(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(head(X)) -> head(active(X)) active(2nd(X)) -> 2nd(active(X)) active(take(X1, X2)) -> take(active(X1), X2) active(take(X1, X2)) -> take(X1, active(X2)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) head(mark(X)) -> mark(head(X)) 2nd(mark(X)) -> mark(2nd(X)) take(mark(X1), X2) -> mark(take(X1, X2)) take(X1, mark(X2)) -> mark(take(X1, X2)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(head(X)) -> head(proper(X)) proper(2nd(X)) -> 2nd(proper(X)) proper(take(X1, X2)) -> take(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(nil) -> ok(nil) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) head(ok(X)) -> ok(head(X)) 2nd(ok(X)) -> ok(2nd(X)) take(ok(X1), ok(X2)) -> ok(take(X1, X2)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_2nd(x_1)) -> 2nd(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_2nd(x_1) -> 2nd(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_nil -> nil encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top head :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top 2nd :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top take :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top 0' :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encArg :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_head :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_2nd :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_take :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_head :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_2nd :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_take :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_0 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top hole_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top1_3 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) from(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1861_3))) -> *3_3, rt in Omega(n1861_3) s(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2706_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2706_3) head(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3652_3))) -> *3_3, rt in Omega(n3652_3) take(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4699_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4699_3) Generator Equations: gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: sel, active, 2nd, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: sel < active 2nd < active active < top active < encArg sel < proper sel < encArg 2nd < proper 2nd < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: sel(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n7533_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n7533_3) Induction Base: sel(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(b)) Induction Step: sel(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n7533_3, 1))), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(b)) ->_R^Omega(1) mark(sel(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n7533_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(b))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (26) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(head(cons(X, XS))) -> mark(X) active(2nd(cons(X, XS))) -> mark(head(XS)) active(take(0', XS)) -> mark(nil) active(take(s(N), cons(X, XS))) -> mark(cons(X, take(N, XS))) active(sel(0', cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(from(X)) -> from(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(head(X)) -> head(active(X)) active(2nd(X)) -> 2nd(active(X)) active(take(X1, X2)) -> take(active(X1), X2) active(take(X1, X2)) -> take(X1, active(X2)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) head(mark(X)) -> mark(head(X)) 2nd(mark(X)) -> mark(2nd(X)) take(mark(X1), X2) -> mark(take(X1, X2)) take(X1, mark(X2)) -> mark(take(X1, X2)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(head(X)) -> head(proper(X)) proper(2nd(X)) -> 2nd(proper(X)) proper(take(X1, X2)) -> take(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(nil) -> ok(nil) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) head(ok(X)) -> ok(head(X)) 2nd(ok(X)) -> ok(2nd(X)) take(ok(X1), ok(X2)) -> ok(take(X1, X2)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_2nd(x_1)) -> 2nd(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_2nd(x_1) -> 2nd(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_nil -> nil encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top head :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top 2nd :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top take :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top 0' :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encArg :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_head :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_2nd :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_take :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_head :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_2nd :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_take :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_0 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top hole_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top1_3 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) from(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1861_3))) -> *3_3, rt in Omega(n1861_3) s(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2706_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2706_3) head(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3652_3))) -> *3_3, rt in Omega(n3652_3) take(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4699_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4699_3) sel(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n7533_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n7533_3) Generator Equations: gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: 2nd, active, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: 2nd < active active < top active < encArg 2nd < proper 2nd < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (27) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: 2nd(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n10671_3))) -> *3_3, rt in Omega(n10671_3) Induction Base: 2nd(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0))) Induction Step: 2nd(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n10671_3, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(2nd(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n10671_3)))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (28) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(head(cons(X, XS))) -> mark(X) active(2nd(cons(X, XS))) -> mark(head(XS)) active(take(0', XS)) -> mark(nil) active(take(s(N), cons(X, XS))) -> mark(cons(X, take(N, XS))) active(sel(0', cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(from(X)) -> from(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(head(X)) -> head(active(X)) active(2nd(X)) -> 2nd(active(X)) active(take(X1, X2)) -> take(active(X1), X2) active(take(X1, X2)) -> take(X1, active(X2)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) head(mark(X)) -> mark(head(X)) 2nd(mark(X)) -> mark(2nd(X)) take(mark(X1), X2) -> mark(take(X1, X2)) take(X1, mark(X2)) -> mark(take(X1, X2)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(head(X)) -> head(proper(X)) proper(2nd(X)) -> 2nd(proper(X)) proper(take(X1, X2)) -> take(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(nil) -> ok(nil) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) head(ok(X)) -> ok(head(X)) 2nd(ok(X)) -> ok(2nd(X)) take(ok(X1), ok(X2)) -> ok(take(X1, X2)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_2nd(x_1)) -> 2nd(encArg(x_1)) encArg(cons_take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_2nd(x_1) -> 2nd(encArg(x_1)) encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_nil -> nil encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top head :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top 2nd :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top take :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top 0' :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encArg :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_head :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_2nd :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_take :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top cons_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_active :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_from :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_mark :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_cons :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_s :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_head :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_2nd :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_take :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_0 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_nil :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_sel :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_proper :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_ok :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top encode_top :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top hole_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top1_3 :: mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) from(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1861_3))) -> *3_3, rt in Omega(n1861_3) s(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2706_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2706_3) head(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3652_3))) -> *3_3, rt in Omega(n3652_3) take(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4699_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4699_3) sel(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n7533_3)), gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n7533_3) 2nd(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n10671_3))) -> *3_3, rt in Omega(n10671_3) Generator Equations: gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: active, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: active < top active < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (29) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(n154666_3)) -> gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(n154666_3), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(+(n154666_3, 1))) ->_R^Omega(0) mark(encArg(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(n154666_3))) ->_IH mark(gen_mark:0':nil:ok:cons_active:cons_from:cons_cons:cons_s:cons_head:cons_2nd:cons_take:cons_sel:cons_proper:cons_top2_3(c154667_3)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (30) BOUNDS(1, INF)