WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 377 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 372 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 144 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 118 ms] (20) typed CpxTrs (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 120 ms] (22) typed CpxTrs (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 139 ms] (24) typed CpxTrs (25) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 109 ms] (26) typed CpxTrs (27) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 1159 ms] (28) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(fib(N)) -> mark(sel(N, fib1(s(0), s(0)))) active(fib1(X, Y)) -> mark(cons(X, fib1(Y, add(X, Y)))) active(add(0, X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(sel(0, cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(fib(X)) -> fib(active(X)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) active(fib1(X1, X2)) -> fib1(active(X1), X2) active(fib1(X1, X2)) -> fib1(X1, active(X2)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2)) fib(mark(X)) -> mark(fib(X)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) fib1(mark(X1), X2) -> mark(fib1(X1, X2)) fib1(X1, mark(X2)) -> mark(fib1(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2)) proper(fib(X)) -> fib(proper(X)) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) proper(fib1(X1, X2)) -> fib1(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(0) -> ok(0) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) fib(ok(X)) -> ok(fib(X)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) fib1(ok(X1), ok(X2)) -> ok(fib1(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fib1(x_1, x_2)) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_fib1(x_1, x_2) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(fib(N)) -> mark(sel(N, fib1(s(0), s(0)))) active(fib1(X, Y)) -> mark(cons(X, fib1(Y, add(X, Y)))) active(add(0, X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(sel(0, cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(fib(X)) -> fib(active(X)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) active(fib1(X1, X2)) -> fib1(active(X1), X2) active(fib1(X1, X2)) -> fib1(X1, active(X2)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2)) fib(mark(X)) -> mark(fib(X)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) fib1(mark(X1), X2) -> mark(fib1(X1, X2)) fib1(X1, mark(X2)) -> mark(fib1(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2)) proper(fib(X)) -> fib(proper(X)) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) proper(fib1(X1, X2)) -> fib1(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(0) -> ok(0) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) fib(ok(X)) -> ok(fib(X)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) fib1(ok(X1), ok(X2)) -> ok(fib1(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fib1(x_1, x_2)) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_fib1(x_1, x_2) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(fib(N)) -> mark(sel(N, fib1(s(0), s(0)))) active(fib1(X, Y)) -> mark(cons(X, fib1(Y, add(X, Y)))) active(add(0, X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(sel(0, cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(fib(X)) -> fib(active(X)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) active(fib1(X1, X2)) -> fib1(active(X1), X2) active(fib1(X1, X2)) -> fib1(X1, active(X2)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2)) fib(mark(X)) -> mark(fib(X)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) fib1(mark(X1), X2) -> mark(fib1(X1, X2)) fib1(X1, mark(X2)) -> mark(fib1(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2)) proper(fib(X)) -> fib(proper(X)) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) proper(fib1(X1, X2)) -> fib1(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(0) -> ok(0) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) fib(ok(X)) -> ok(fib(X)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) fib1(ok(X1), ok(X2)) -> ok(fib1(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fib1(x_1, x_2)) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_fib1(x_1, x_2) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(fib(N)) -> mark(sel(N, fib1(s(0'), s(0')))) active(fib1(X, Y)) -> mark(cons(X, fib1(Y, add(X, Y)))) active(add(0', X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(sel(0', cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(fib(X)) -> fib(active(X)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) active(fib1(X1, X2)) -> fib1(active(X1), X2) active(fib1(X1, X2)) -> fib1(X1, active(X2)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2)) fib(mark(X)) -> mark(fib(X)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) fib1(mark(X1), X2) -> mark(fib1(X1, X2)) fib1(X1, mark(X2)) -> mark(fib1(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2)) proper(fib(X)) -> fib(proper(X)) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) proper(fib1(X1, X2)) -> fib1(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) fib(ok(X)) -> ok(fib(X)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) fib1(ok(X1), ok(X2)) -> ok(fib1(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fib1(x_1, x_2)) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_fib1(x_1, x_2) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(fib(N)) -> mark(sel(N, fib1(s(0'), s(0')))) active(fib1(X, Y)) -> mark(cons(X, fib1(Y, add(X, Y)))) active(add(0', X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(sel(0', cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(fib(X)) -> fib(active(X)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) active(fib1(X1, X2)) -> fib1(active(X1), X2) active(fib1(X1, X2)) -> fib1(X1, active(X2)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2)) fib(mark(X)) -> mark(fib(X)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) fib1(mark(X1), X2) -> mark(fib1(X1, X2)) fib1(X1, mark(X2)) -> mark(fib1(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2)) proper(fib(X)) -> fib(proper(X)) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) proper(fib1(X1, X2)) -> fib1(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) fib(ok(X)) -> ok(fib(X)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) fib1(ok(X1), ok(X2)) -> ok(fib1(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fib1(x_1, x_2)) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_fib1(x_1, x_2) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top fib :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top mark :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top sel :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top fib1 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top 0' :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top add :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top ok :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encArg :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_fib :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_sel :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_fib1 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_add :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_fib :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_mark :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_sel :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_fib1 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_0 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_add :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_ok :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top hole_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top1_3 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: active, sel, fib1, s, cons, add, fib, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: sel < active fib1 < active s < active cons < active add < active fib < active active < top active < encArg sel < proper sel < encArg fib1 < proper fib1 < encArg s < proper s < encArg cons < proper cons < encArg add < proper add < encArg fib < proper fib < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(fib(N)) -> mark(sel(N, fib1(s(0'), s(0')))) active(fib1(X, Y)) -> mark(cons(X, fib1(Y, add(X, Y)))) active(add(0', X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(sel(0', cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(fib(X)) -> fib(active(X)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) active(fib1(X1, X2)) -> fib1(active(X1), X2) active(fib1(X1, X2)) -> fib1(X1, active(X2)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2)) fib(mark(X)) -> mark(fib(X)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) fib1(mark(X1), X2) -> mark(fib1(X1, X2)) fib1(X1, mark(X2)) -> mark(fib1(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2)) proper(fib(X)) -> fib(proper(X)) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) proper(fib1(X1, X2)) -> fib1(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) fib(ok(X)) -> ok(fib(X)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) fib1(ok(X1), ok(X2)) -> ok(fib1(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fib1(x_1, x_2)) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_fib1(x_1, x_2) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top fib :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top mark :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top sel :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top fib1 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top 0' :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top add :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top ok :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encArg :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_fib :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_sel :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_fib1 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_add :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_fib :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_mark :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_sel :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_fib1 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_0 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_add :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_ok :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top hole_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top1_3 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top Generator Equations: gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: sel, active, fib1, s, cons, add, fib, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: sel < active fib1 < active s < active cons < active add < active fib < active active < top active < encArg sel < proper sel < encArg fib1 < proper fib1 < encArg s < proper s < encArg cons < proper cons < encArg add < proper add < encArg fib < proper fib < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: sel(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) Induction Base: sel(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(b)) Induction Step: sel(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n4_3, 1))), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(b)) ->_R^Omega(1) mark(sel(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(b))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: active(fib(N)) -> mark(sel(N, fib1(s(0'), s(0')))) active(fib1(X, Y)) -> mark(cons(X, fib1(Y, add(X, Y)))) active(add(0', X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(sel(0', cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(fib(X)) -> fib(active(X)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) active(fib1(X1, X2)) -> fib1(active(X1), X2) active(fib1(X1, X2)) -> fib1(X1, active(X2)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2)) fib(mark(X)) -> mark(fib(X)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) fib1(mark(X1), X2) -> mark(fib1(X1, X2)) fib1(X1, mark(X2)) -> mark(fib1(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2)) proper(fib(X)) -> fib(proper(X)) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) proper(fib1(X1, X2)) -> fib1(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) fib(ok(X)) -> ok(fib(X)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) fib1(ok(X1), ok(X2)) -> ok(fib1(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fib1(x_1, x_2)) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_fib1(x_1, x_2) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top fib :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top mark :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top sel :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top fib1 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top 0' :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top add :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top ok :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encArg :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_fib :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_sel :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_fib1 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_add :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_fib :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_mark :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_sel :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_fib1 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_0 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_add :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_ok :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top hole_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top1_3 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top Generator Equations: gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: sel, active, fib1, s, cons, add, fib, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: sel < active fib1 < active s < active cons < active add < active fib < active active < top active < encArg sel < proper sel < encArg fib1 < proper fib1 < encArg s < proper s < encArg cons < proper cons < encArg add < proper add < encArg fib < proper fib < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(fib(N)) -> mark(sel(N, fib1(s(0'), s(0')))) active(fib1(X, Y)) -> mark(cons(X, fib1(Y, add(X, Y)))) active(add(0', X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(sel(0', cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(fib(X)) -> fib(active(X)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) active(fib1(X1, X2)) -> fib1(active(X1), X2) active(fib1(X1, X2)) -> fib1(X1, active(X2)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2)) fib(mark(X)) -> mark(fib(X)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) fib1(mark(X1), X2) -> mark(fib1(X1, X2)) fib1(X1, mark(X2)) -> mark(fib1(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2)) proper(fib(X)) -> fib(proper(X)) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) proper(fib1(X1, X2)) -> fib1(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) fib(ok(X)) -> ok(fib(X)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) fib1(ok(X1), ok(X2)) -> ok(fib1(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fib1(x_1, x_2)) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_fib1(x_1, x_2) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top fib :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top mark :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top sel :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top fib1 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top 0' :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top add :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top ok :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encArg :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_fib :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_sel :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_fib1 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_add :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_fib :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_mark :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_sel :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_fib1 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_0 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_add :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_ok :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top hole_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top1_3 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top Lemmas: sel(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) Generator Equations: gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: fib1, active, s, cons, add, fib, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: fib1 < active s < active cons < active add < active fib < active active < top active < encArg fib1 < proper fib1 < encArg s < proper s < encArg cons < proper cons < encArg add < proper add < encArg fib < proper fib < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: fib1(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1772_3)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n1772_3) Induction Base: fib1(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(b)) Induction Step: fib1(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n1772_3, 1))), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(b)) ->_R^Omega(1) mark(fib1(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1772_3)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(b))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(fib(N)) -> mark(sel(N, fib1(s(0'), s(0')))) active(fib1(X, Y)) -> mark(cons(X, fib1(Y, add(X, Y)))) active(add(0', X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(sel(0', cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(fib(X)) -> fib(active(X)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) active(fib1(X1, X2)) -> fib1(active(X1), X2) active(fib1(X1, X2)) -> fib1(X1, active(X2)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2)) fib(mark(X)) -> mark(fib(X)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) fib1(mark(X1), X2) -> mark(fib1(X1, X2)) fib1(X1, mark(X2)) -> mark(fib1(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2)) proper(fib(X)) -> fib(proper(X)) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) proper(fib1(X1, X2)) -> fib1(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) fib(ok(X)) -> ok(fib(X)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) fib1(ok(X1), ok(X2)) -> ok(fib1(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fib1(x_1, x_2)) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_fib1(x_1, x_2) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top fib :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top mark :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top sel :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top fib1 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top 0' :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top add :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top ok :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encArg :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_fib :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_sel :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_fib1 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_add :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_fib :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_mark :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_sel :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_fib1 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_0 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_add :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_ok :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top hole_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top1_3 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top Lemmas: sel(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) fib1(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1772_3)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n1772_3) Generator Equations: gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: s, active, cons, add, fib, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: s < active cons < active add < active fib < active active < top active < encArg s < proper s < encArg cons < proper cons < encArg add < proper add < encArg fib < proper fib < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: s(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3844_3))) -> *3_3, rt in Omega(n3844_3) Induction Base: s(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0))) Induction Step: s(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n3844_3, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(s(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3844_3)))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (20) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(fib(N)) -> mark(sel(N, fib1(s(0'), s(0')))) active(fib1(X, Y)) -> mark(cons(X, fib1(Y, add(X, Y)))) active(add(0', X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(sel(0', cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(fib(X)) -> fib(active(X)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) active(fib1(X1, X2)) -> fib1(active(X1), X2) active(fib1(X1, X2)) -> fib1(X1, active(X2)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2)) fib(mark(X)) -> mark(fib(X)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) fib1(mark(X1), X2) -> mark(fib1(X1, X2)) fib1(X1, mark(X2)) -> mark(fib1(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2)) proper(fib(X)) -> fib(proper(X)) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) proper(fib1(X1, X2)) -> fib1(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) fib(ok(X)) -> ok(fib(X)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) fib1(ok(X1), ok(X2)) -> ok(fib1(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fib1(x_1, x_2)) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_fib1(x_1, x_2) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top fib :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top mark :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top sel :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top fib1 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top 0' :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top add :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top ok :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encArg :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_fib :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_sel :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_fib1 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_add :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_fib :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_mark :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_sel :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_fib1 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_0 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_add :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_ok :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top hole_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top1_3 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top Lemmas: sel(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) fib1(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1772_3)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n1772_3) s(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3844_3))) -> *3_3, rt in Omega(n3844_3) Generator Equations: gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: cons, active, add, fib, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cons < active add < active fib < active active < top active < encArg cons < proper cons < encArg add < proper add < encArg fib < proper fib < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: cons(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4791_3)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4791_3) Induction Base: cons(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(b)) Induction Step: cons(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n4791_3, 1))), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(b)) ->_R^Omega(1) mark(cons(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4791_3)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(b))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (22) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(fib(N)) -> mark(sel(N, fib1(s(0'), s(0')))) active(fib1(X, Y)) -> mark(cons(X, fib1(Y, add(X, Y)))) active(add(0', X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(sel(0', cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(fib(X)) -> fib(active(X)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) active(fib1(X1, X2)) -> fib1(active(X1), X2) active(fib1(X1, X2)) -> fib1(X1, active(X2)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2)) fib(mark(X)) -> mark(fib(X)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) fib1(mark(X1), X2) -> mark(fib1(X1, X2)) fib1(X1, mark(X2)) -> mark(fib1(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2)) proper(fib(X)) -> fib(proper(X)) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) proper(fib1(X1, X2)) -> fib1(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) fib(ok(X)) -> ok(fib(X)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) fib1(ok(X1), ok(X2)) -> ok(fib1(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fib1(x_1, x_2)) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_fib1(x_1, x_2) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top fib :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top mark :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top sel :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top fib1 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top 0' :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top add :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top ok :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encArg :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_fib :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_sel :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_fib1 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_add :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_fib :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_mark :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_sel :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_fib1 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_0 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_add :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_ok :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top hole_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top1_3 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top Lemmas: sel(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) fib1(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1772_3)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n1772_3) s(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3844_3))) -> *3_3, rt in Omega(n3844_3) cons(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4791_3)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4791_3) Generator Equations: gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: add, active, fib, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: add < active fib < active active < top active < encArg add < proper add < encArg fib < proper fib < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: add(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n7308_3)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n7308_3) Induction Base: add(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(b)) Induction Step: add(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n7308_3, 1))), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(b)) ->_R^Omega(1) mark(add(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n7308_3)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(b))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (24) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(fib(N)) -> mark(sel(N, fib1(s(0'), s(0')))) active(fib1(X, Y)) -> mark(cons(X, fib1(Y, add(X, Y)))) active(add(0', X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(sel(0', cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(fib(X)) -> fib(active(X)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) active(fib1(X1, X2)) -> fib1(active(X1), X2) active(fib1(X1, X2)) -> fib1(X1, active(X2)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2)) fib(mark(X)) -> mark(fib(X)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) fib1(mark(X1), X2) -> mark(fib1(X1, X2)) fib1(X1, mark(X2)) -> mark(fib1(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2)) proper(fib(X)) -> fib(proper(X)) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) proper(fib1(X1, X2)) -> fib1(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) fib(ok(X)) -> ok(fib(X)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) fib1(ok(X1), ok(X2)) -> ok(fib1(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fib1(x_1, x_2)) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_fib1(x_1, x_2) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top fib :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top mark :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top sel :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top fib1 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top 0' :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top add :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top ok :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encArg :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_fib :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_sel :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_fib1 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_add :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_fib :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_mark :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_sel :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_fib1 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_0 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_add :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_ok :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top hole_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top1_3 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top Lemmas: sel(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) fib1(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1772_3)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n1772_3) s(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3844_3))) -> *3_3, rt in Omega(n3844_3) cons(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4791_3)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4791_3) add(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n7308_3)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n7308_3) Generator Equations: gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: fib, active, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: fib < active active < top active < encArg fib < proper fib < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: fib(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n10194_3))) -> *3_3, rt in Omega(n10194_3) Induction Base: fib(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0))) Induction Step: fib(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n10194_3, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(fib(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n10194_3)))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (26) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(fib(N)) -> mark(sel(N, fib1(s(0'), s(0')))) active(fib1(X, Y)) -> mark(cons(X, fib1(Y, add(X, Y)))) active(add(0', X)) -> mark(X) active(add(s(X), Y)) -> mark(s(add(X, Y))) active(sel(0', cons(X, XS))) -> mark(X) active(sel(s(N), cons(X, XS))) -> mark(sel(N, XS)) active(fib(X)) -> fib(active(X)) active(sel(X1, X2)) -> sel(active(X1), X2) active(sel(X1, X2)) -> sel(X1, active(X2)) active(fib1(X1, X2)) -> fib1(active(X1), X2) active(fib1(X1, X2)) -> fib1(X1, active(X2)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(active(X1), X2) active(add(X1, X2)) -> add(X1, active(X2)) fib(mark(X)) -> mark(fib(X)) sel(mark(X1), X2) -> mark(sel(X1, X2)) sel(X1, mark(X2)) -> mark(sel(X1, X2)) fib1(mark(X1), X2) -> mark(fib1(X1, X2)) fib1(X1, mark(X2)) -> mark(fib1(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) add(mark(X1), X2) -> mark(add(X1, X2)) add(X1, mark(X2)) -> mark(add(X1, X2)) proper(fib(X)) -> fib(proper(X)) proper(sel(X1, X2)) -> sel(proper(X1), proper(X2)) proper(fib1(X1, X2)) -> fib1(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(add(X1, X2)) -> add(proper(X1), proper(X2)) fib(ok(X)) -> ok(fib(X)) sel(ok(X1), ok(X2)) -> ok(sel(X1, X2)) fib1(ok(X1), ok(X2)) -> ok(fib1(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) add(ok(X1), ok(X2)) -> ok(add(X1, X2)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1)) encArg(cons_sel(x_1, x_2)) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fib1(x_1, x_2)) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_sel(x_1, x_2) -> sel(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_fib1(x_1, x_2) -> fib1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top fib :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top mark :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top sel :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top fib1 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top 0' :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top add :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top ok :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encArg :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_fib :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_sel :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_fib1 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_add :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top cons_top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_fib :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_mark :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_sel :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_fib1 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_0 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_add :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_ok :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top encode_top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top hole_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top1_3 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> 0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top Lemmas: sel(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) fib1(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1772_3)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n1772_3) s(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3844_3))) -> *3_3, rt in Omega(n3844_3) cons(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4791_3)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4791_3) add(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n7308_3)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n7308_3) fib(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n10194_3))) -> *3_3, rt in Omega(n10194_3) Generator Equations: gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: active, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: active < top active < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (27) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(n54454_3)) -> gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(n54454_3), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(+(n54454_3, 1))) ->_R^Omega(0) mark(encArg(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(n54454_3))) ->_IH mark(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_fib:cons_sel:cons_fib1:cons_s:cons_cons:cons_add:cons_proper:cons_top2_3(c54455_3)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (28) BOUNDS(1, INF)