WORST_CASE(Omega(n^1), ?)
proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 495 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(6) CpxRelTRS
(7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(8) typed CpxTrs
(9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(10) typed CpxTrs
(11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 401 ms]
(12) BEST
    (13) proven lower bound
        (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (15) BOUNDS(n^1, INF)
    (16) typed CpxTrs
        (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 136 ms]
        (18) typed CpxTrs
        (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 114 ms]
        (20) typed CpxTrs
        (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 153 ms]
        (22) typed CpxTrs
        (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 168 ms]
        (24) typed CpxTrs
        (25) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 118 ms]
        (26) typed CpxTrs
        (27) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 153 ms]
        (28) typed CpxTrs
        (29) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 100 ms]
        (30) typed CpxTrs
        (31) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 91 ms]
        (32) typed CpxTrs


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   active(primes) -> mark(sieve(from(s(s(0)))))
   active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X))))
   active(head(cons(X, Y))) -> mark(X)
   active(tail(cons(X, Y))) -> mark(Y)
   active(if(true, X, Y)) -> mark(X)
   active(if(false, X, Y)) -> mark(Y)
   active(filter(s(s(X)), cons(Y, Z))) -> mark(if(divides(s(s(X)), Y), filter(s(s(X)), Z), cons(Y, filter(X, sieve(Y)))))
   active(sieve(cons(X, Y))) -> mark(cons(X, filter(X, sieve(Y))))
   active(sieve(X)) -> sieve(active(X))
   active(from(X)) -> from(active(X))
   active(s(X)) -> s(active(X))
   active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
   active(head(X)) -> head(active(X))
   active(tail(X)) -> tail(active(X))
   active(if(X1, X2, X3)) -> if(active(X1), X2, X3)
   active(filter(X1, X2)) -> filter(active(X1), X2)
   active(filter(X1, X2)) -> filter(X1, active(X2))
   active(divides(X1, X2)) -> divides(active(X1), X2)
   active(divides(X1, X2)) -> divides(X1, active(X2))
   sieve(mark(X)) -> mark(sieve(X))
   from(mark(X)) -> mark(from(X))
   s(mark(X)) -> mark(s(X))
   cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
   head(mark(X)) -> mark(head(X))
   tail(mark(X)) -> mark(tail(X))
   if(mark(X1), X2, X3) -> mark(if(X1, X2, X3))
   filter(mark(X1), X2) -> mark(filter(X1, X2))
   filter(X1, mark(X2)) -> mark(filter(X1, X2))
   divides(mark(X1), X2) -> mark(divides(X1, X2))
   divides(X1, mark(X2)) -> mark(divides(X1, X2))
   proper(primes) -> ok(primes)
   proper(sieve(X)) -> sieve(proper(X))
   proper(from(X)) -> from(proper(X))
   proper(s(X)) -> s(proper(X))
   proper(0) -> ok(0)
   proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
   proper(head(X)) -> head(proper(X))
   proper(tail(X)) -> tail(proper(X))
   proper(if(X1, X2, X3)) -> if(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
   proper(true) -> ok(true)
   proper(false) -> ok(false)
   proper(filter(X1, X2)) -> filter(proper(X1), proper(X2))
   proper(divides(X1, X2)) -> divides(proper(X1), proper(X2))
   sieve(ok(X)) -> ok(sieve(X))
   from(ok(X)) -> ok(from(X))
   s(ok(X)) -> ok(s(X))
   cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
   head(ok(X)) -> ok(head(X))
   tail(ok(X)) -> ok(tail(X))
   if(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(if(X1, X2, X3))
   filter(ok(X1), ok(X2)) -> ok(filter(X1, X2))
   divides(ok(X1), ok(X2)) -> ok(divides(X1, X2))
   top(mark(X)) -> top(proper(X))
   top(ok(X)) -> top(active(X))

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(primes) -> primes
   encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
   encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
   encArg(cons_sieve(x_1)) -> sieve(encArg(x_1))
   encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1))
   encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1))
   encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_filter(x_1, x_2)) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
   encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
   encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
   encode_primes -> primes
   encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
   encode_sieve(x_1) -> sieve(encArg(x_1))
   encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1))
   encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_filter(x_1, x_2) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
   encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
   encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   active(primes) -> mark(sieve(from(s(s(0)))))
   active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X))))
   active(head(cons(X, Y))) -> mark(X)
   active(tail(cons(X, Y))) -> mark(Y)
   active(if(true, X, Y)) -> mark(X)
   active(if(false, X, Y)) -> mark(Y)
   active(filter(s(s(X)), cons(Y, Z))) -> mark(if(divides(s(s(X)), Y), filter(s(s(X)), Z), cons(Y, filter(X, sieve(Y)))))
   active(sieve(cons(X, Y))) -> mark(cons(X, filter(X, sieve(Y))))
   active(sieve(X)) -> sieve(active(X))
   active(from(X)) -> from(active(X))
   active(s(X)) -> s(active(X))
   active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
   active(head(X)) -> head(active(X))
   active(tail(X)) -> tail(active(X))
   active(if(X1, X2, X3)) -> if(active(X1), X2, X3)
   active(filter(X1, X2)) -> filter(active(X1), X2)
   active(filter(X1, X2)) -> filter(X1, active(X2))
   active(divides(X1, X2)) -> divides(active(X1), X2)
   active(divides(X1, X2)) -> divides(X1, active(X2))
   sieve(mark(X)) -> mark(sieve(X))
   from(mark(X)) -> mark(from(X))
   s(mark(X)) -> mark(s(X))
   cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
   head(mark(X)) -> mark(head(X))
   tail(mark(X)) -> mark(tail(X))
   if(mark(X1), X2, X3) -> mark(if(X1, X2, X3))
   filter(mark(X1), X2) -> mark(filter(X1, X2))
   filter(X1, mark(X2)) -> mark(filter(X1, X2))
   divides(mark(X1), X2) -> mark(divides(X1, X2))
   divides(X1, mark(X2)) -> mark(divides(X1, X2))
   proper(primes) -> ok(primes)
   proper(sieve(X)) -> sieve(proper(X))
   proper(from(X)) -> from(proper(X))
   proper(s(X)) -> s(proper(X))
   proper(0) -> ok(0)
   proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
   proper(head(X)) -> head(proper(X))
   proper(tail(X)) -> tail(proper(X))
   proper(if(X1, X2, X3)) -> if(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
   proper(true) -> ok(true)
   proper(false) -> ok(false)
   proper(filter(X1, X2)) -> filter(proper(X1), proper(X2))
   proper(divides(X1, X2)) -> divides(proper(X1), proper(X2))
   sieve(ok(X)) -> ok(sieve(X))
   from(ok(X)) -> ok(from(X))
   s(ok(X)) -> ok(s(X))
   cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
   head(ok(X)) -> ok(head(X))
   tail(ok(X)) -> ok(tail(X))
   if(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(if(X1, X2, X3))
   filter(ok(X1), ok(X2)) -> ok(filter(X1, X2))
   divides(ok(X1), ok(X2)) -> ok(divides(X1, X2))
   top(mark(X)) -> top(proper(X))
   top(ok(X)) -> top(active(X))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(primes) -> primes
   encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
   encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
   encArg(cons_sieve(x_1)) -> sieve(encArg(x_1))
   encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1))
   encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1))
   encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_filter(x_1, x_2)) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
   encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
   encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
   encode_primes -> primes
   encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
   encode_sieve(x_1) -> sieve(encArg(x_1))
   encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1))
   encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_filter(x_1, x_2) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
   encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
   encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   active(primes) -> mark(sieve(from(s(s(0)))))
   active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X))))
   active(head(cons(X, Y))) -> mark(X)
   active(tail(cons(X, Y))) -> mark(Y)
   active(if(true, X, Y)) -> mark(X)
   active(if(false, X, Y)) -> mark(Y)
   active(filter(s(s(X)), cons(Y, Z))) -> mark(if(divides(s(s(X)), Y), filter(s(s(X)), Z), cons(Y, filter(X, sieve(Y)))))
   active(sieve(cons(X, Y))) -> mark(cons(X, filter(X, sieve(Y))))
   active(sieve(X)) -> sieve(active(X))
   active(from(X)) -> from(active(X))
   active(s(X)) -> s(active(X))
   active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
   active(head(X)) -> head(active(X))
   active(tail(X)) -> tail(active(X))
   active(if(X1, X2, X3)) -> if(active(X1), X2, X3)
   active(filter(X1, X2)) -> filter(active(X1), X2)
   active(filter(X1, X2)) -> filter(X1, active(X2))
   active(divides(X1, X2)) -> divides(active(X1), X2)
   active(divides(X1, X2)) -> divides(X1, active(X2))
   sieve(mark(X)) -> mark(sieve(X))
   from(mark(X)) -> mark(from(X))
   s(mark(X)) -> mark(s(X))
   cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
   head(mark(X)) -> mark(head(X))
   tail(mark(X)) -> mark(tail(X))
   if(mark(X1), X2, X3) -> mark(if(X1, X2, X3))
   filter(mark(X1), X2) -> mark(filter(X1, X2))
   filter(X1, mark(X2)) -> mark(filter(X1, X2))
   divides(mark(X1), X2) -> mark(divides(X1, X2))
   divides(X1, mark(X2)) -> mark(divides(X1, X2))
   proper(primes) -> ok(primes)
   proper(sieve(X)) -> sieve(proper(X))
   proper(from(X)) -> from(proper(X))
   proper(s(X)) -> s(proper(X))
   proper(0) -> ok(0)
   proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
   proper(head(X)) -> head(proper(X))
   proper(tail(X)) -> tail(proper(X))
   proper(if(X1, X2, X3)) -> if(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
   proper(true) -> ok(true)
   proper(false) -> ok(false)
   proper(filter(X1, X2)) -> filter(proper(X1), proper(X2))
   proper(divides(X1, X2)) -> divides(proper(X1), proper(X2))
   sieve(ok(X)) -> ok(sieve(X))
   from(ok(X)) -> ok(from(X))
   s(ok(X)) -> ok(s(X))
   cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
   head(ok(X)) -> ok(head(X))
   tail(ok(X)) -> ok(tail(X))
   if(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(if(X1, X2, X3))
   filter(ok(X1), ok(X2)) -> ok(filter(X1, X2))
   divides(ok(X1), ok(X2)) -> ok(divides(X1, X2))
   top(mark(X)) -> top(proper(X))
   top(ok(X)) -> top(active(X))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(primes) -> primes
   encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
   encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
   encArg(cons_sieve(x_1)) -> sieve(encArg(x_1))
   encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1))
   encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1))
   encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_filter(x_1, x_2)) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
   encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
   encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
   encode_primes -> primes
   encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
   encode_sieve(x_1) -> sieve(encArg(x_1))
   encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1))
   encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_filter(x_1, x_2) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
   encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
   encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   active(primes) -> mark(sieve(from(s(s(0')))))
   active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X))))
   active(head(cons(X, Y))) -> mark(X)
   active(tail(cons(X, Y))) -> mark(Y)
   active(if(true, X, Y)) -> mark(X)
   active(if(false, X, Y)) -> mark(Y)
   active(filter(s(s(X)), cons(Y, Z))) -> mark(if(divides(s(s(X)), Y), filter(s(s(X)), Z), cons(Y, filter(X, sieve(Y)))))
   active(sieve(cons(X, Y))) -> mark(cons(X, filter(X, sieve(Y))))
   active(sieve(X)) -> sieve(active(X))
   active(from(X)) -> from(active(X))
   active(s(X)) -> s(active(X))
   active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
   active(head(X)) -> head(active(X))
   active(tail(X)) -> tail(active(X))
   active(if(X1, X2, X3)) -> if(active(X1), X2, X3)
   active(filter(X1, X2)) -> filter(active(X1), X2)
   active(filter(X1, X2)) -> filter(X1, active(X2))
   active(divides(X1, X2)) -> divides(active(X1), X2)
   active(divides(X1, X2)) -> divides(X1, active(X2))
   sieve(mark(X)) -> mark(sieve(X))
   from(mark(X)) -> mark(from(X))
   s(mark(X)) -> mark(s(X))
   cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
   head(mark(X)) -> mark(head(X))
   tail(mark(X)) -> mark(tail(X))
   if(mark(X1), X2, X3) -> mark(if(X1, X2, X3))
   filter(mark(X1), X2) -> mark(filter(X1, X2))
   filter(X1, mark(X2)) -> mark(filter(X1, X2))
   divides(mark(X1), X2) -> mark(divides(X1, X2))
   divides(X1, mark(X2)) -> mark(divides(X1, X2))
   proper(primes) -> ok(primes)
   proper(sieve(X)) -> sieve(proper(X))
   proper(from(X)) -> from(proper(X))
   proper(s(X)) -> s(proper(X))
   proper(0') -> ok(0')
   proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
   proper(head(X)) -> head(proper(X))
   proper(tail(X)) -> tail(proper(X))
   proper(if(X1, X2, X3)) -> if(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
   proper(true) -> ok(true)
   proper(false) -> ok(false)
   proper(filter(X1, X2)) -> filter(proper(X1), proper(X2))
   proper(divides(X1, X2)) -> divides(proper(X1), proper(X2))
   sieve(ok(X)) -> ok(sieve(X))
   from(ok(X)) -> ok(from(X))
   s(ok(X)) -> ok(s(X))
   cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
   head(ok(X)) -> ok(head(X))
   tail(ok(X)) -> ok(tail(X))
   if(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(if(X1, X2, X3))
   filter(ok(X1), ok(X2)) -> ok(filter(X1, X2))
   divides(ok(X1), ok(X2)) -> ok(divides(X1, X2))
   top(mark(X)) -> top(proper(X))
   top(ok(X)) -> top(active(X))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(primes) -> primes
   encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
   encArg(0') -> 0'
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
   encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
   encArg(cons_sieve(x_1)) -> sieve(encArg(x_1))
   encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1))
   encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1))
   encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_filter(x_1, x_2)) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
   encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
   encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
   encode_primes -> primes
   encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
   encode_sieve(x_1) -> sieve(encArg(x_1))
   encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0'
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1))
   encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_filter(x_1, x_2) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
   encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
   encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(8)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(primes) -> mark(sieve(from(s(s(0')))))
active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X))))
active(head(cons(X, Y))) -> mark(X)
active(tail(cons(X, Y))) -> mark(Y)
active(if(true, X, Y)) -> mark(X)
active(if(false, X, Y)) -> mark(Y)
active(filter(s(s(X)), cons(Y, Z))) -> mark(if(divides(s(s(X)), Y), filter(s(s(X)), Z), cons(Y, filter(X, sieve(Y)))))
active(sieve(cons(X, Y))) -> mark(cons(X, filter(X, sieve(Y))))
active(sieve(X)) -> sieve(active(X))
active(from(X)) -> from(active(X))
active(s(X)) -> s(active(X))
active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
active(head(X)) -> head(active(X))
active(tail(X)) -> tail(active(X))
active(if(X1, X2, X3)) -> if(active(X1), X2, X3)
active(filter(X1, X2)) -> filter(active(X1), X2)
active(filter(X1, X2)) -> filter(X1, active(X2))
active(divides(X1, X2)) -> divides(active(X1), X2)
active(divides(X1, X2)) -> divides(X1, active(X2))
sieve(mark(X)) -> mark(sieve(X))
from(mark(X)) -> mark(from(X))
s(mark(X)) -> mark(s(X))
cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
head(mark(X)) -> mark(head(X))
tail(mark(X)) -> mark(tail(X))
if(mark(X1), X2, X3) -> mark(if(X1, X2, X3))
filter(mark(X1), X2) -> mark(filter(X1, X2))
filter(X1, mark(X2)) -> mark(filter(X1, X2))
divides(mark(X1), X2) -> mark(divides(X1, X2))
divides(X1, mark(X2)) -> mark(divides(X1, X2))
proper(primes) -> ok(primes)
proper(sieve(X)) -> sieve(proper(X))
proper(from(X)) -> from(proper(X))
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(0') -> ok(0')
proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
proper(head(X)) -> head(proper(X))
proper(tail(X)) -> tail(proper(X))
proper(if(X1, X2, X3)) -> if(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(true) -> ok(true)
proper(false) -> ok(false)
proper(filter(X1, X2)) -> filter(proper(X1), proper(X2))
proper(divides(X1, X2)) -> divides(proper(X1), proper(X2))
sieve(ok(X)) -> ok(sieve(X))
from(ok(X)) -> ok(from(X))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
head(ok(X)) -> ok(head(X))
tail(ok(X)) -> ok(tail(X))
if(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(if(X1, X2, X3))
filter(ok(X1), ok(X2)) -> ok(filter(X1, X2))
divides(ok(X1), ok(X2)) -> ok(divides(X1, X2))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(primes) -> primes
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_sieve(x_1)) -> sieve(encArg(x_1))
encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1))
encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_filter(x_1, x_2)) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_primes -> primes
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_sieve(x_1) -> sieve(encArg(x_1))
encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1))
encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_filter(x_1, x_2) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
primes :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
mark :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
0' :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
true :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
false :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
ok :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encArg :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_primes :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_mark :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_0 :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_true :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_false :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_ok :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
hole_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top1_4 :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4 :: Nat -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top

----------------------------------------

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
active, sieve, from, s, cons, if, divides, filter, head, tail, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
sieve < active
from < active
s < active
cons < active
if < active
divides < active
filter < active
head < active
tail < active
active < top
active < encArg
sieve < proper
sieve < encArg
from < proper
from < encArg
s < proper
s < encArg
cons < proper
cons < encArg
if < proper
if < encArg
divides < proper
divides < encArg
filter < proper
filter < encArg
head < proper
head < encArg
tail < proper
tail < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(10)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(primes) -> mark(sieve(from(s(s(0')))))
active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X))))
active(head(cons(X, Y))) -> mark(X)
active(tail(cons(X, Y))) -> mark(Y)
active(if(true, X, Y)) -> mark(X)
active(if(false, X, Y)) -> mark(Y)
active(filter(s(s(X)), cons(Y, Z))) -> mark(if(divides(s(s(X)), Y), filter(s(s(X)), Z), cons(Y, filter(X, sieve(Y)))))
active(sieve(cons(X, Y))) -> mark(cons(X, filter(X, sieve(Y))))
active(sieve(X)) -> sieve(active(X))
active(from(X)) -> from(active(X))
active(s(X)) -> s(active(X))
active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
active(head(X)) -> head(active(X))
active(tail(X)) -> tail(active(X))
active(if(X1, X2, X3)) -> if(active(X1), X2, X3)
active(filter(X1, X2)) -> filter(active(X1), X2)
active(filter(X1, X2)) -> filter(X1, active(X2))
active(divides(X1, X2)) -> divides(active(X1), X2)
active(divides(X1, X2)) -> divides(X1, active(X2))
sieve(mark(X)) -> mark(sieve(X))
from(mark(X)) -> mark(from(X))
s(mark(X)) -> mark(s(X))
cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
head(mark(X)) -> mark(head(X))
tail(mark(X)) -> mark(tail(X))
if(mark(X1), X2, X3) -> mark(if(X1, X2, X3))
filter(mark(X1), X2) -> mark(filter(X1, X2))
filter(X1, mark(X2)) -> mark(filter(X1, X2))
divides(mark(X1), X2) -> mark(divides(X1, X2))
divides(X1, mark(X2)) -> mark(divides(X1, X2))
proper(primes) -> ok(primes)
proper(sieve(X)) -> sieve(proper(X))
proper(from(X)) -> from(proper(X))
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(0') -> ok(0')
proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
proper(head(X)) -> head(proper(X))
proper(tail(X)) -> tail(proper(X))
proper(if(X1, X2, X3)) -> if(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(true) -> ok(true)
proper(false) -> ok(false)
proper(filter(X1, X2)) -> filter(proper(X1), proper(X2))
proper(divides(X1, X2)) -> divides(proper(X1), proper(X2))
sieve(ok(X)) -> ok(sieve(X))
from(ok(X)) -> ok(from(X))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
head(ok(X)) -> ok(head(X))
tail(ok(X)) -> ok(tail(X))
if(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(if(X1, X2, X3))
filter(ok(X1), ok(X2)) -> ok(filter(X1, X2))
divides(ok(X1), ok(X2)) -> ok(divides(X1, X2))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(primes) -> primes
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_sieve(x_1)) -> sieve(encArg(x_1))
encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1))
encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_filter(x_1, x_2)) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_primes -> primes
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_sieve(x_1) -> sieve(encArg(x_1))
encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1))
encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_filter(x_1, x_2) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
primes :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
mark :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
0' :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
true :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
false :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
ok :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encArg :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_primes :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_mark :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_0 :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_true :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_false :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_ok :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
hole_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top1_4 :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4 :: Nat -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top


Generator Equations:
gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(0) <=> primes
gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
sieve, active, from, s, cons, if, divides, filter, head, tail, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
sieve < active
from < active
s < active
cons < active
if < active
divides < active
filter < active
head < active
tail < active
active < top
active < encArg
sieve < proper
sieve < encArg
from < proper
from < encArg
s < proper
s < encArg
cons < proper
cons < encArg
if < proper
if < encArg
divides < proper
divides < encArg
filter < proper
filter < encArg
head < proper
head < encArg
tail < proper
tail < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
sieve(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4)

Induction Base:
sieve(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, 0)))

Induction Step:
sieve(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, +(n4_4, 1)))) ->_R^Omega(1)
mark(sieve(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n4_4)))) ->_IH
mark(*3_4)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(12)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(13)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
active(primes) -> mark(sieve(from(s(s(0')))))
active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X))))
active(head(cons(X, Y))) -> mark(X)
active(tail(cons(X, Y))) -> mark(Y)
active(if(true, X, Y)) -> mark(X)
active(if(false, X, Y)) -> mark(Y)
active(filter(s(s(X)), cons(Y, Z))) -> mark(if(divides(s(s(X)), Y), filter(s(s(X)), Z), cons(Y, filter(X, sieve(Y)))))
active(sieve(cons(X, Y))) -> mark(cons(X, filter(X, sieve(Y))))
active(sieve(X)) -> sieve(active(X))
active(from(X)) -> from(active(X))
active(s(X)) -> s(active(X))
active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
active(head(X)) -> head(active(X))
active(tail(X)) -> tail(active(X))
active(if(X1, X2, X3)) -> if(active(X1), X2, X3)
active(filter(X1, X2)) -> filter(active(X1), X2)
active(filter(X1, X2)) -> filter(X1, active(X2))
active(divides(X1, X2)) -> divides(active(X1), X2)
active(divides(X1, X2)) -> divides(X1, active(X2))
sieve(mark(X)) -> mark(sieve(X))
from(mark(X)) -> mark(from(X))
s(mark(X)) -> mark(s(X))
cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
head(mark(X)) -> mark(head(X))
tail(mark(X)) -> mark(tail(X))
if(mark(X1), X2, X3) -> mark(if(X1, X2, X3))
filter(mark(X1), X2) -> mark(filter(X1, X2))
filter(X1, mark(X2)) -> mark(filter(X1, X2))
divides(mark(X1), X2) -> mark(divides(X1, X2))
divides(X1, mark(X2)) -> mark(divides(X1, X2))
proper(primes) -> ok(primes)
proper(sieve(X)) -> sieve(proper(X))
proper(from(X)) -> from(proper(X))
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(0') -> ok(0')
proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
proper(head(X)) -> head(proper(X))
proper(tail(X)) -> tail(proper(X))
proper(if(X1, X2, X3)) -> if(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(true) -> ok(true)
proper(false) -> ok(false)
proper(filter(X1, X2)) -> filter(proper(X1), proper(X2))
proper(divides(X1, X2)) -> divides(proper(X1), proper(X2))
sieve(ok(X)) -> ok(sieve(X))
from(ok(X)) -> ok(from(X))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
head(ok(X)) -> ok(head(X))
tail(ok(X)) -> ok(tail(X))
if(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(if(X1, X2, X3))
filter(ok(X1), ok(X2)) -> ok(filter(X1, X2))
divides(ok(X1), ok(X2)) -> ok(divides(X1, X2))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(primes) -> primes
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_sieve(x_1)) -> sieve(encArg(x_1))
encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1))
encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_filter(x_1, x_2)) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_primes -> primes
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_sieve(x_1) -> sieve(encArg(x_1))
encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1))
encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_filter(x_1, x_2) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
primes :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
mark :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
0' :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
true :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
false :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
ok :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encArg :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_primes :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_mark :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_0 :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_true :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_false :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_ok :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
hole_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top1_4 :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4 :: Nat -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top


Generator Equations:
gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(0) <=> primes
gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
sieve, active, from, s, cons, if, divides, filter, head, tail, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
sieve < active
from < active
s < active
cons < active
if < active
divides < active
filter < active
head < active
tail < active
active < top
active < encArg
sieve < proper
sieve < encArg
from < proper
from < encArg
s < proper
s < encArg
cons < proper
cons < encArg
if < proper
if < encArg
divides < proper
divides < encArg
filter < proper
filter < encArg
head < proper
head < encArg
tail < proper
tail < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(15)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(primes) -> mark(sieve(from(s(s(0')))))
active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X))))
active(head(cons(X, Y))) -> mark(X)
active(tail(cons(X, Y))) -> mark(Y)
active(if(true, X, Y)) -> mark(X)
active(if(false, X, Y)) -> mark(Y)
active(filter(s(s(X)), cons(Y, Z))) -> mark(if(divides(s(s(X)), Y), filter(s(s(X)), Z), cons(Y, filter(X, sieve(Y)))))
active(sieve(cons(X, Y))) -> mark(cons(X, filter(X, sieve(Y))))
active(sieve(X)) -> sieve(active(X))
active(from(X)) -> from(active(X))
active(s(X)) -> s(active(X))
active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
active(head(X)) -> head(active(X))
active(tail(X)) -> tail(active(X))
active(if(X1, X2, X3)) -> if(active(X1), X2, X3)
active(filter(X1, X2)) -> filter(active(X1), X2)
active(filter(X1, X2)) -> filter(X1, active(X2))
active(divides(X1, X2)) -> divides(active(X1), X2)
active(divides(X1, X2)) -> divides(X1, active(X2))
sieve(mark(X)) -> mark(sieve(X))
from(mark(X)) -> mark(from(X))
s(mark(X)) -> mark(s(X))
cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
head(mark(X)) -> mark(head(X))
tail(mark(X)) -> mark(tail(X))
if(mark(X1), X2, X3) -> mark(if(X1, X2, X3))
filter(mark(X1), X2) -> mark(filter(X1, X2))
filter(X1, mark(X2)) -> mark(filter(X1, X2))
divides(mark(X1), X2) -> mark(divides(X1, X2))
divides(X1, mark(X2)) -> mark(divides(X1, X2))
proper(primes) -> ok(primes)
proper(sieve(X)) -> sieve(proper(X))
proper(from(X)) -> from(proper(X))
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(0') -> ok(0')
proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
proper(head(X)) -> head(proper(X))
proper(tail(X)) -> tail(proper(X))
proper(if(X1, X2, X3)) -> if(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(true) -> ok(true)
proper(false) -> ok(false)
proper(filter(X1, X2)) -> filter(proper(X1), proper(X2))
proper(divides(X1, X2)) -> divides(proper(X1), proper(X2))
sieve(ok(X)) -> ok(sieve(X))
from(ok(X)) -> ok(from(X))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
head(ok(X)) -> ok(head(X))
tail(ok(X)) -> ok(tail(X))
if(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(if(X1, X2, X3))
filter(ok(X1), ok(X2)) -> ok(filter(X1, X2))
divides(ok(X1), ok(X2)) -> ok(divides(X1, X2))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(primes) -> primes
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_sieve(x_1)) -> sieve(encArg(x_1))
encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1))
encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_filter(x_1, x_2)) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_primes -> primes
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_sieve(x_1) -> sieve(encArg(x_1))
encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1))
encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_filter(x_1, x_2) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
primes :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
mark :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
0' :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
true :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
false :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
ok :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encArg :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_primes :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_mark :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_0 :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_true :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_false :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_ok :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
hole_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top1_4 :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4 :: Nat -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top


Lemmas:
sieve(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4)


Generator Equations:
gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(0) <=> primes
gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
from, active, s, cons, if, divides, filter, head, tail, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
from < active
s < active
cons < active
if < active
divides < active
filter < active
head < active
tail < active
active < top
active < encArg
from < proper
from < encArg
s < proper
s < encArg
cons < proper
cons < encArg
if < proper
if < encArg
divides < proper
divides < encArg
filter < proper
filter < encArg
head < proper
head < encArg
tail < proper
tail < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
from(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n813_4))) -> *3_4, rt in Omega(n813_4)

Induction Base:
from(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, 0)))

Induction Step:
from(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, +(n813_4, 1)))) ->_R^Omega(1)
mark(from(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n813_4)))) ->_IH
mark(*3_4)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(18)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(primes) -> mark(sieve(from(s(s(0')))))
active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X))))
active(head(cons(X, Y))) -> mark(X)
active(tail(cons(X, Y))) -> mark(Y)
active(if(true, X, Y)) -> mark(X)
active(if(false, X, Y)) -> mark(Y)
active(filter(s(s(X)), cons(Y, Z))) -> mark(if(divides(s(s(X)), Y), filter(s(s(X)), Z), cons(Y, filter(X, sieve(Y)))))
active(sieve(cons(X, Y))) -> mark(cons(X, filter(X, sieve(Y))))
active(sieve(X)) -> sieve(active(X))
active(from(X)) -> from(active(X))
active(s(X)) -> s(active(X))
active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
active(head(X)) -> head(active(X))
active(tail(X)) -> tail(active(X))
active(if(X1, X2, X3)) -> if(active(X1), X2, X3)
active(filter(X1, X2)) -> filter(active(X1), X2)
active(filter(X1, X2)) -> filter(X1, active(X2))
active(divides(X1, X2)) -> divides(active(X1), X2)
active(divides(X1, X2)) -> divides(X1, active(X2))
sieve(mark(X)) -> mark(sieve(X))
from(mark(X)) -> mark(from(X))
s(mark(X)) -> mark(s(X))
cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
head(mark(X)) -> mark(head(X))
tail(mark(X)) -> mark(tail(X))
if(mark(X1), X2, X3) -> mark(if(X1, X2, X3))
filter(mark(X1), X2) -> mark(filter(X1, X2))
filter(X1, mark(X2)) -> mark(filter(X1, X2))
divides(mark(X1), X2) -> mark(divides(X1, X2))
divides(X1, mark(X2)) -> mark(divides(X1, X2))
proper(primes) -> ok(primes)
proper(sieve(X)) -> sieve(proper(X))
proper(from(X)) -> from(proper(X))
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(0') -> ok(0')
proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
proper(head(X)) -> head(proper(X))
proper(tail(X)) -> tail(proper(X))
proper(if(X1, X2, X3)) -> if(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(true) -> ok(true)
proper(false) -> ok(false)
proper(filter(X1, X2)) -> filter(proper(X1), proper(X2))
proper(divides(X1, X2)) -> divides(proper(X1), proper(X2))
sieve(ok(X)) -> ok(sieve(X))
from(ok(X)) -> ok(from(X))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
head(ok(X)) -> ok(head(X))
tail(ok(X)) -> ok(tail(X))
if(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(if(X1, X2, X3))
filter(ok(X1), ok(X2)) -> ok(filter(X1, X2))
divides(ok(X1), ok(X2)) -> ok(divides(X1, X2))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(primes) -> primes
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_sieve(x_1)) -> sieve(encArg(x_1))
encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1))
encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_filter(x_1, x_2)) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_primes -> primes
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_sieve(x_1) -> sieve(encArg(x_1))
encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1))
encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_filter(x_1, x_2) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
primes :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
mark :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
0' :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
true :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
false :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
ok :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encArg :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_primes :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_mark :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_0 :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_true :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_false :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_ok :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
hole_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top1_4 :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4 :: Nat -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top


Lemmas:
sieve(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4)
from(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n813_4))) -> *3_4, rt in Omega(n813_4)


Generator Equations:
gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(0) <=> primes
gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
s, active, cons, if, divides, filter, head, tail, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
s < active
cons < active
if < active
divides < active
filter < active
head < active
tail < active
active < top
active < encArg
s < proper
s < encArg
cons < proper
cons < encArg
if < proper
if < encArg
divides < proper
divides < encArg
filter < proper
filter < encArg
head < proper
head < encArg
tail < proper
tail < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
s(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n1723_4))) -> *3_4, rt in Omega(n1723_4)

Induction Base:
s(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, 0)))

Induction Step:
s(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, +(n1723_4, 1)))) ->_R^Omega(1)
mark(s(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n1723_4)))) ->_IH
mark(*3_4)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(20)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(primes) -> mark(sieve(from(s(s(0')))))
active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X))))
active(head(cons(X, Y))) -> mark(X)
active(tail(cons(X, Y))) -> mark(Y)
active(if(true, X, Y)) -> mark(X)
active(if(false, X, Y)) -> mark(Y)
active(filter(s(s(X)), cons(Y, Z))) -> mark(if(divides(s(s(X)), Y), filter(s(s(X)), Z), cons(Y, filter(X, sieve(Y)))))
active(sieve(cons(X, Y))) -> mark(cons(X, filter(X, sieve(Y))))
active(sieve(X)) -> sieve(active(X))
active(from(X)) -> from(active(X))
active(s(X)) -> s(active(X))
active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
active(head(X)) -> head(active(X))
active(tail(X)) -> tail(active(X))
active(if(X1, X2, X3)) -> if(active(X1), X2, X3)
active(filter(X1, X2)) -> filter(active(X1), X2)
active(filter(X1, X2)) -> filter(X1, active(X2))
active(divides(X1, X2)) -> divides(active(X1), X2)
active(divides(X1, X2)) -> divides(X1, active(X2))
sieve(mark(X)) -> mark(sieve(X))
from(mark(X)) -> mark(from(X))
s(mark(X)) -> mark(s(X))
cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
head(mark(X)) -> mark(head(X))
tail(mark(X)) -> mark(tail(X))
if(mark(X1), X2, X3) -> mark(if(X1, X2, X3))
filter(mark(X1), X2) -> mark(filter(X1, X2))
filter(X1, mark(X2)) -> mark(filter(X1, X2))
divides(mark(X1), X2) -> mark(divides(X1, X2))
divides(X1, mark(X2)) -> mark(divides(X1, X2))
proper(primes) -> ok(primes)
proper(sieve(X)) -> sieve(proper(X))
proper(from(X)) -> from(proper(X))
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(0') -> ok(0')
proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
proper(head(X)) -> head(proper(X))
proper(tail(X)) -> tail(proper(X))
proper(if(X1, X2, X3)) -> if(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(true) -> ok(true)
proper(false) -> ok(false)
proper(filter(X1, X2)) -> filter(proper(X1), proper(X2))
proper(divides(X1, X2)) -> divides(proper(X1), proper(X2))
sieve(ok(X)) -> ok(sieve(X))
from(ok(X)) -> ok(from(X))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
head(ok(X)) -> ok(head(X))
tail(ok(X)) -> ok(tail(X))
if(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(if(X1, X2, X3))
filter(ok(X1), ok(X2)) -> ok(filter(X1, X2))
divides(ok(X1), ok(X2)) -> ok(divides(X1, X2))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(primes) -> primes
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_sieve(x_1)) -> sieve(encArg(x_1))
encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1))
encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_filter(x_1, x_2)) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_primes -> primes
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_sieve(x_1) -> sieve(encArg(x_1))
encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1))
encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_filter(x_1, x_2) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
primes :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
mark :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
0' :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
true :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
false :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
ok :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encArg :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_primes :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_mark :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_0 :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_true :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_false :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_ok :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
hole_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top1_4 :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4 :: Nat -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top


Lemmas:
sieve(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4)
from(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n813_4))) -> *3_4, rt in Omega(n813_4)
s(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n1723_4))) -> *3_4, rt in Omega(n1723_4)


Generator Equations:
gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(0) <=> primes
gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
cons, active, if, divides, filter, head, tail, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
cons < active
if < active
divides < active
filter < active
head < active
tail < active
active < top
active < encArg
cons < proper
cons < encArg
if < proper
if < encArg
divides < proper
divides < encArg
filter < proper
filter < encArg
head < proper
head < encArg
tail < proper
tail < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
cons(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n2734_4)), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n2734_4)

Induction Base:
cons(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, 0)), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(b))

Induction Step:
cons(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, +(n2734_4, 1))), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(b)) ->_R^Omega(1)
mark(cons(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n2734_4)), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(b))) ->_IH
mark(*3_4)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(22)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(primes) -> mark(sieve(from(s(s(0')))))
active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X))))
active(head(cons(X, Y))) -> mark(X)
active(tail(cons(X, Y))) -> mark(Y)
active(if(true, X, Y)) -> mark(X)
active(if(false, X, Y)) -> mark(Y)
active(filter(s(s(X)), cons(Y, Z))) -> mark(if(divides(s(s(X)), Y), filter(s(s(X)), Z), cons(Y, filter(X, sieve(Y)))))
active(sieve(cons(X, Y))) -> mark(cons(X, filter(X, sieve(Y))))
active(sieve(X)) -> sieve(active(X))
active(from(X)) -> from(active(X))
active(s(X)) -> s(active(X))
active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
active(head(X)) -> head(active(X))
active(tail(X)) -> tail(active(X))
active(if(X1, X2, X3)) -> if(active(X1), X2, X3)
active(filter(X1, X2)) -> filter(active(X1), X2)
active(filter(X1, X2)) -> filter(X1, active(X2))
active(divides(X1, X2)) -> divides(active(X1), X2)
active(divides(X1, X2)) -> divides(X1, active(X2))
sieve(mark(X)) -> mark(sieve(X))
from(mark(X)) -> mark(from(X))
s(mark(X)) -> mark(s(X))
cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
head(mark(X)) -> mark(head(X))
tail(mark(X)) -> mark(tail(X))
if(mark(X1), X2, X3) -> mark(if(X1, X2, X3))
filter(mark(X1), X2) -> mark(filter(X1, X2))
filter(X1, mark(X2)) -> mark(filter(X1, X2))
divides(mark(X1), X2) -> mark(divides(X1, X2))
divides(X1, mark(X2)) -> mark(divides(X1, X2))
proper(primes) -> ok(primes)
proper(sieve(X)) -> sieve(proper(X))
proper(from(X)) -> from(proper(X))
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(0') -> ok(0')
proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
proper(head(X)) -> head(proper(X))
proper(tail(X)) -> tail(proper(X))
proper(if(X1, X2, X3)) -> if(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(true) -> ok(true)
proper(false) -> ok(false)
proper(filter(X1, X2)) -> filter(proper(X1), proper(X2))
proper(divides(X1, X2)) -> divides(proper(X1), proper(X2))
sieve(ok(X)) -> ok(sieve(X))
from(ok(X)) -> ok(from(X))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
head(ok(X)) -> ok(head(X))
tail(ok(X)) -> ok(tail(X))
if(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(if(X1, X2, X3))
filter(ok(X1), ok(X2)) -> ok(filter(X1, X2))
divides(ok(X1), ok(X2)) -> ok(divides(X1, X2))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(primes) -> primes
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_sieve(x_1)) -> sieve(encArg(x_1))
encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1))
encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_filter(x_1, x_2)) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_primes -> primes
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_sieve(x_1) -> sieve(encArg(x_1))
encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1))
encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_filter(x_1, x_2) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
primes :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
mark :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
0' :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
true :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
false :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
ok :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encArg :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_primes :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_mark :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_0 :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_true :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_false :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_ok :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
hole_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top1_4 :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4 :: Nat -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top


Lemmas:
sieve(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4)
from(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n813_4))) -> *3_4, rt in Omega(n813_4)
s(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n1723_4))) -> *3_4, rt in Omega(n1723_4)
cons(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n2734_4)), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n2734_4)


Generator Equations:
gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(0) <=> primes
gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
if, active, divides, filter, head, tail, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
if < active
divides < active
filter < active
head < active
tail < active
active < top
active < encArg
if < proper
if < encArg
divides < proper
divides < encArg
filter < proper
filter < encArg
head < proper
head < encArg
tail < proper
tail < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
if(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n5595_4)), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(b), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n5595_4)

Induction Base:
if(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, 0)), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(b), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(c))

Induction Step:
if(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, +(n5595_4, 1))), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(b), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(c)) ->_R^Omega(1)
mark(if(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n5595_4)), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(b), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(c))) ->_IH
mark(*3_4)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(24)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(primes) -> mark(sieve(from(s(s(0')))))
active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X))))
active(head(cons(X, Y))) -> mark(X)
active(tail(cons(X, Y))) -> mark(Y)
active(if(true, X, Y)) -> mark(X)
active(if(false, X, Y)) -> mark(Y)
active(filter(s(s(X)), cons(Y, Z))) -> mark(if(divides(s(s(X)), Y), filter(s(s(X)), Z), cons(Y, filter(X, sieve(Y)))))
active(sieve(cons(X, Y))) -> mark(cons(X, filter(X, sieve(Y))))
active(sieve(X)) -> sieve(active(X))
active(from(X)) -> from(active(X))
active(s(X)) -> s(active(X))
active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
active(head(X)) -> head(active(X))
active(tail(X)) -> tail(active(X))
active(if(X1, X2, X3)) -> if(active(X1), X2, X3)
active(filter(X1, X2)) -> filter(active(X1), X2)
active(filter(X1, X2)) -> filter(X1, active(X2))
active(divides(X1, X2)) -> divides(active(X1), X2)
active(divides(X1, X2)) -> divides(X1, active(X2))
sieve(mark(X)) -> mark(sieve(X))
from(mark(X)) -> mark(from(X))
s(mark(X)) -> mark(s(X))
cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
head(mark(X)) -> mark(head(X))
tail(mark(X)) -> mark(tail(X))
if(mark(X1), X2, X3) -> mark(if(X1, X2, X3))
filter(mark(X1), X2) -> mark(filter(X1, X2))
filter(X1, mark(X2)) -> mark(filter(X1, X2))
divides(mark(X1), X2) -> mark(divides(X1, X2))
divides(X1, mark(X2)) -> mark(divides(X1, X2))
proper(primes) -> ok(primes)
proper(sieve(X)) -> sieve(proper(X))
proper(from(X)) -> from(proper(X))
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(0') -> ok(0')
proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
proper(head(X)) -> head(proper(X))
proper(tail(X)) -> tail(proper(X))
proper(if(X1, X2, X3)) -> if(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(true) -> ok(true)
proper(false) -> ok(false)
proper(filter(X1, X2)) -> filter(proper(X1), proper(X2))
proper(divides(X1, X2)) -> divides(proper(X1), proper(X2))
sieve(ok(X)) -> ok(sieve(X))
from(ok(X)) -> ok(from(X))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
head(ok(X)) -> ok(head(X))
tail(ok(X)) -> ok(tail(X))
if(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(if(X1, X2, X3))
filter(ok(X1), ok(X2)) -> ok(filter(X1, X2))
divides(ok(X1), ok(X2)) -> ok(divides(X1, X2))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(primes) -> primes
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_sieve(x_1)) -> sieve(encArg(x_1))
encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1))
encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_filter(x_1, x_2)) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_primes -> primes
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_sieve(x_1) -> sieve(encArg(x_1))
encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1))
encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_filter(x_1, x_2) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
primes :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
mark :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
0' :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
true :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
false :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
ok :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encArg :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_primes :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_mark :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_0 :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_true :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_false :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_ok :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
hole_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top1_4 :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4 :: Nat -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top


Lemmas:
sieve(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4)
from(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n813_4))) -> *3_4, rt in Omega(n813_4)
s(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n1723_4))) -> *3_4, rt in Omega(n1723_4)
cons(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n2734_4)), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n2734_4)
if(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n5595_4)), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(b), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n5595_4)


Generator Equations:
gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(0) <=> primes
gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
divides, active, filter, head, tail, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
divides < active
filter < active
head < active
tail < active
active < top
active < encArg
divides < proper
divides < encArg
filter < proper
filter < encArg
head < proper
head < encArg
tail < proper
tail < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
divides(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n10667_4)), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n10667_4)

Induction Base:
divides(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, 0)), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(b))

Induction Step:
divides(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, +(n10667_4, 1))), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(b)) ->_R^Omega(1)
mark(divides(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n10667_4)), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(b))) ->_IH
mark(*3_4)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(26)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(primes) -> mark(sieve(from(s(s(0')))))
active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X))))
active(head(cons(X, Y))) -> mark(X)
active(tail(cons(X, Y))) -> mark(Y)
active(if(true, X, Y)) -> mark(X)
active(if(false, X, Y)) -> mark(Y)
active(filter(s(s(X)), cons(Y, Z))) -> mark(if(divides(s(s(X)), Y), filter(s(s(X)), Z), cons(Y, filter(X, sieve(Y)))))
active(sieve(cons(X, Y))) -> mark(cons(X, filter(X, sieve(Y))))
active(sieve(X)) -> sieve(active(X))
active(from(X)) -> from(active(X))
active(s(X)) -> s(active(X))
active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
active(head(X)) -> head(active(X))
active(tail(X)) -> tail(active(X))
active(if(X1, X2, X3)) -> if(active(X1), X2, X3)
active(filter(X1, X2)) -> filter(active(X1), X2)
active(filter(X1, X2)) -> filter(X1, active(X2))
active(divides(X1, X2)) -> divides(active(X1), X2)
active(divides(X1, X2)) -> divides(X1, active(X2))
sieve(mark(X)) -> mark(sieve(X))
from(mark(X)) -> mark(from(X))
s(mark(X)) -> mark(s(X))
cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
head(mark(X)) -> mark(head(X))
tail(mark(X)) -> mark(tail(X))
if(mark(X1), X2, X3) -> mark(if(X1, X2, X3))
filter(mark(X1), X2) -> mark(filter(X1, X2))
filter(X1, mark(X2)) -> mark(filter(X1, X2))
divides(mark(X1), X2) -> mark(divides(X1, X2))
divides(X1, mark(X2)) -> mark(divides(X1, X2))
proper(primes) -> ok(primes)
proper(sieve(X)) -> sieve(proper(X))
proper(from(X)) -> from(proper(X))
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(0') -> ok(0')
proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
proper(head(X)) -> head(proper(X))
proper(tail(X)) -> tail(proper(X))
proper(if(X1, X2, X3)) -> if(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(true) -> ok(true)
proper(false) -> ok(false)
proper(filter(X1, X2)) -> filter(proper(X1), proper(X2))
proper(divides(X1, X2)) -> divides(proper(X1), proper(X2))
sieve(ok(X)) -> ok(sieve(X))
from(ok(X)) -> ok(from(X))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
head(ok(X)) -> ok(head(X))
tail(ok(X)) -> ok(tail(X))
if(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(if(X1, X2, X3))
filter(ok(X1), ok(X2)) -> ok(filter(X1, X2))
divides(ok(X1), ok(X2)) -> ok(divides(X1, X2))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(primes) -> primes
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_sieve(x_1)) -> sieve(encArg(x_1))
encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1))
encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_filter(x_1, x_2)) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_primes -> primes
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_sieve(x_1) -> sieve(encArg(x_1))
encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1))
encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_filter(x_1, x_2) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
primes :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
mark :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
0' :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
true :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
false :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
ok :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encArg :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_primes :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_mark :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_0 :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_true :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_false :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_ok :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
hole_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top1_4 :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4 :: Nat -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top


Lemmas:
sieve(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4)
from(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n813_4))) -> *3_4, rt in Omega(n813_4)
s(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n1723_4))) -> *3_4, rt in Omega(n1723_4)
cons(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n2734_4)), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n2734_4)
if(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n5595_4)), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(b), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n5595_4)
divides(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n10667_4)), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n10667_4)


Generator Equations:
gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(0) <=> primes
gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
filter, active, head, tail, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
filter < active
head < active
tail < active
active < top
active < encArg
filter < proper
filter < encArg
head < proper
head < encArg
tail < proper
tail < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(27) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
filter(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n14245_4)), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n14245_4)

Induction Base:
filter(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, 0)), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(b))

Induction Step:
filter(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, +(n14245_4, 1))), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(b)) ->_R^Omega(1)
mark(filter(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n14245_4)), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(b))) ->_IH
mark(*3_4)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(28)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(primes) -> mark(sieve(from(s(s(0')))))
active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X))))
active(head(cons(X, Y))) -> mark(X)
active(tail(cons(X, Y))) -> mark(Y)
active(if(true, X, Y)) -> mark(X)
active(if(false, X, Y)) -> mark(Y)
active(filter(s(s(X)), cons(Y, Z))) -> mark(if(divides(s(s(X)), Y), filter(s(s(X)), Z), cons(Y, filter(X, sieve(Y)))))
active(sieve(cons(X, Y))) -> mark(cons(X, filter(X, sieve(Y))))
active(sieve(X)) -> sieve(active(X))
active(from(X)) -> from(active(X))
active(s(X)) -> s(active(X))
active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
active(head(X)) -> head(active(X))
active(tail(X)) -> tail(active(X))
active(if(X1, X2, X3)) -> if(active(X1), X2, X3)
active(filter(X1, X2)) -> filter(active(X1), X2)
active(filter(X1, X2)) -> filter(X1, active(X2))
active(divides(X1, X2)) -> divides(active(X1), X2)
active(divides(X1, X2)) -> divides(X1, active(X2))
sieve(mark(X)) -> mark(sieve(X))
from(mark(X)) -> mark(from(X))
s(mark(X)) -> mark(s(X))
cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
head(mark(X)) -> mark(head(X))
tail(mark(X)) -> mark(tail(X))
if(mark(X1), X2, X3) -> mark(if(X1, X2, X3))
filter(mark(X1), X2) -> mark(filter(X1, X2))
filter(X1, mark(X2)) -> mark(filter(X1, X2))
divides(mark(X1), X2) -> mark(divides(X1, X2))
divides(X1, mark(X2)) -> mark(divides(X1, X2))
proper(primes) -> ok(primes)
proper(sieve(X)) -> sieve(proper(X))
proper(from(X)) -> from(proper(X))
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(0') -> ok(0')
proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
proper(head(X)) -> head(proper(X))
proper(tail(X)) -> tail(proper(X))
proper(if(X1, X2, X3)) -> if(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(true) -> ok(true)
proper(false) -> ok(false)
proper(filter(X1, X2)) -> filter(proper(X1), proper(X2))
proper(divides(X1, X2)) -> divides(proper(X1), proper(X2))
sieve(ok(X)) -> ok(sieve(X))
from(ok(X)) -> ok(from(X))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
head(ok(X)) -> ok(head(X))
tail(ok(X)) -> ok(tail(X))
if(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(if(X1, X2, X3))
filter(ok(X1), ok(X2)) -> ok(filter(X1, X2))
divides(ok(X1), ok(X2)) -> ok(divides(X1, X2))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(primes) -> primes
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_sieve(x_1)) -> sieve(encArg(x_1))
encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1))
encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_filter(x_1, x_2)) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_primes -> primes
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_sieve(x_1) -> sieve(encArg(x_1))
encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1))
encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_filter(x_1, x_2) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
primes :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
mark :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
0' :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
true :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
false :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
ok :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encArg :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_primes :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_mark :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_0 :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_true :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_false :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_ok :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
hole_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top1_4 :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4 :: Nat -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top


Lemmas:
sieve(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4)
from(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n813_4))) -> *3_4, rt in Omega(n813_4)
s(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n1723_4))) -> *3_4, rt in Omega(n1723_4)
cons(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n2734_4)), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n2734_4)
if(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n5595_4)), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(b), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n5595_4)
divides(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n10667_4)), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n10667_4)
filter(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n14245_4)), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n14245_4)


Generator Equations:
gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(0) <=> primes
gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
head, active, tail, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
head < active
tail < active
active < top
active < encArg
head < proper
head < encArg
tail < proper
tail < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(29) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
head(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n18127_4))) -> *3_4, rt in Omega(n18127_4)

Induction Base:
head(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, 0)))

Induction Step:
head(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, +(n18127_4, 1)))) ->_R^Omega(1)
mark(head(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n18127_4)))) ->_IH
mark(*3_4)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(30)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(primes) -> mark(sieve(from(s(s(0')))))
active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X))))
active(head(cons(X, Y))) -> mark(X)
active(tail(cons(X, Y))) -> mark(Y)
active(if(true, X, Y)) -> mark(X)
active(if(false, X, Y)) -> mark(Y)
active(filter(s(s(X)), cons(Y, Z))) -> mark(if(divides(s(s(X)), Y), filter(s(s(X)), Z), cons(Y, filter(X, sieve(Y)))))
active(sieve(cons(X, Y))) -> mark(cons(X, filter(X, sieve(Y))))
active(sieve(X)) -> sieve(active(X))
active(from(X)) -> from(active(X))
active(s(X)) -> s(active(X))
active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
active(head(X)) -> head(active(X))
active(tail(X)) -> tail(active(X))
active(if(X1, X2, X3)) -> if(active(X1), X2, X3)
active(filter(X1, X2)) -> filter(active(X1), X2)
active(filter(X1, X2)) -> filter(X1, active(X2))
active(divides(X1, X2)) -> divides(active(X1), X2)
active(divides(X1, X2)) -> divides(X1, active(X2))
sieve(mark(X)) -> mark(sieve(X))
from(mark(X)) -> mark(from(X))
s(mark(X)) -> mark(s(X))
cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
head(mark(X)) -> mark(head(X))
tail(mark(X)) -> mark(tail(X))
if(mark(X1), X2, X3) -> mark(if(X1, X2, X3))
filter(mark(X1), X2) -> mark(filter(X1, X2))
filter(X1, mark(X2)) -> mark(filter(X1, X2))
divides(mark(X1), X2) -> mark(divides(X1, X2))
divides(X1, mark(X2)) -> mark(divides(X1, X2))
proper(primes) -> ok(primes)
proper(sieve(X)) -> sieve(proper(X))
proper(from(X)) -> from(proper(X))
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(0') -> ok(0')
proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
proper(head(X)) -> head(proper(X))
proper(tail(X)) -> tail(proper(X))
proper(if(X1, X2, X3)) -> if(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(true) -> ok(true)
proper(false) -> ok(false)
proper(filter(X1, X2)) -> filter(proper(X1), proper(X2))
proper(divides(X1, X2)) -> divides(proper(X1), proper(X2))
sieve(ok(X)) -> ok(sieve(X))
from(ok(X)) -> ok(from(X))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
head(ok(X)) -> ok(head(X))
tail(ok(X)) -> ok(tail(X))
if(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(if(X1, X2, X3))
filter(ok(X1), ok(X2)) -> ok(filter(X1, X2))
divides(ok(X1), ok(X2)) -> ok(divides(X1, X2))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(primes) -> primes
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_sieve(x_1)) -> sieve(encArg(x_1))
encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1))
encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_filter(x_1, x_2)) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_primes -> primes
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_sieve(x_1) -> sieve(encArg(x_1))
encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1))
encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_filter(x_1, x_2) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
primes :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
mark :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
0' :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
true :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
false :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
ok :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encArg :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_primes :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_mark :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_0 :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_true :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_false :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_ok :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
hole_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top1_4 :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4 :: Nat -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top


Lemmas:
sieve(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4)
from(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n813_4))) -> *3_4, rt in Omega(n813_4)
s(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n1723_4))) -> *3_4, rt in Omega(n1723_4)
cons(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n2734_4)), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n2734_4)
if(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n5595_4)), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(b), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n5595_4)
divides(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n10667_4)), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n10667_4)
filter(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n14245_4)), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n14245_4)
head(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n18127_4))) -> *3_4, rt in Omega(n18127_4)


Generator Equations:
gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(0) <=> primes
gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
tail, active, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
tail < active
active < top
active < encArg
tail < proper
tail < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg

----------------------------------------

(31) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
tail(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n19888_4))) -> *3_4, rt in Omega(n19888_4)

Induction Base:
tail(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, 0)))

Induction Step:
tail(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, +(n19888_4, 1)))) ->_R^Omega(1)
mark(tail(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n19888_4)))) ->_IH
mark(*3_4)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(32)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
active(primes) -> mark(sieve(from(s(s(0')))))
active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X))))
active(head(cons(X, Y))) -> mark(X)
active(tail(cons(X, Y))) -> mark(Y)
active(if(true, X, Y)) -> mark(X)
active(if(false, X, Y)) -> mark(Y)
active(filter(s(s(X)), cons(Y, Z))) -> mark(if(divides(s(s(X)), Y), filter(s(s(X)), Z), cons(Y, filter(X, sieve(Y)))))
active(sieve(cons(X, Y))) -> mark(cons(X, filter(X, sieve(Y))))
active(sieve(X)) -> sieve(active(X))
active(from(X)) -> from(active(X))
active(s(X)) -> s(active(X))
active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2)
active(head(X)) -> head(active(X))
active(tail(X)) -> tail(active(X))
active(if(X1, X2, X3)) -> if(active(X1), X2, X3)
active(filter(X1, X2)) -> filter(active(X1), X2)
active(filter(X1, X2)) -> filter(X1, active(X2))
active(divides(X1, X2)) -> divides(active(X1), X2)
active(divides(X1, X2)) -> divides(X1, active(X2))
sieve(mark(X)) -> mark(sieve(X))
from(mark(X)) -> mark(from(X))
s(mark(X)) -> mark(s(X))
cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2))
head(mark(X)) -> mark(head(X))
tail(mark(X)) -> mark(tail(X))
if(mark(X1), X2, X3) -> mark(if(X1, X2, X3))
filter(mark(X1), X2) -> mark(filter(X1, X2))
filter(X1, mark(X2)) -> mark(filter(X1, X2))
divides(mark(X1), X2) -> mark(divides(X1, X2))
divides(X1, mark(X2)) -> mark(divides(X1, X2))
proper(primes) -> ok(primes)
proper(sieve(X)) -> sieve(proper(X))
proper(from(X)) -> from(proper(X))
proper(s(X)) -> s(proper(X))
proper(0') -> ok(0')
proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2))
proper(head(X)) -> head(proper(X))
proper(tail(X)) -> tail(proper(X))
proper(if(X1, X2, X3)) -> if(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(true) -> ok(true)
proper(false) -> ok(false)
proper(filter(X1, X2)) -> filter(proper(X1), proper(X2))
proper(divides(X1, X2)) -> divides(proper(X1), proper(X2))
sieve(ok(X)) -> ok(sieve(X))
from(ok(X)) -> ok(from(X))
s(ok(X)) -> ok(s(X))
cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2))
head(ok(X)) -> ok(head(X))
tail(ok(X)) -> ok(tail(X))
if(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) -> ok(if(X1, X2, X3))
filter(ok(X1), ok(X2)) -> ok(filter(X1, X2))
divides(ok(X1), ok(X2)) -> ok(divides(X1, X2))
top(mark(X)) -> top(proper(X))
top(ok(X)) -> top(active(X))
encArg(primes) -> primes
encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1))
encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1))
encArg(cons_sieve(x_1)) -> sieve(encArg(x_1))
encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1))
encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1))
encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_filter(x_1, x_2)) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1))
encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1))
encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1))
encode_primes -> primes
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_sieve(x_1) -> sieve(encArg(x_1))
encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1))
encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_filter(x_1, x_2) -> filter(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1))
encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1))
encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1))

Types:
active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
primes :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
mark :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
0' :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
true :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
false :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
ok :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encArg :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
cons_top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_active :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_primes :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_mark :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_sieve :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_from :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_s :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_0 :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_cons :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_head :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_tail :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_if :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_true :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_false :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_filter :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_divides :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_proper :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_ok :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
encode_top :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
hole_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top1_4 :: primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top
gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4 :: Nat -> primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top


Lemmas:
sieve(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4)
from(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n813_4))) -> *3_4, rt in Omega(n813_4)
s(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n1723_4))) -> *3_4, rt in Omega(n1723_4)
cons(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n2734_4)), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n2734_4)
if(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n5595_4)), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(b), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(n5595_4)
divides(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n10667_4)), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n10667_4)
filter(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n14245_4)), gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n14245_4)
head(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n18127_4))) -> *3_4, rt in Omega(n18127_4)
tail(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(1, n19888_4))) -> *3_4, rt in Omega(n19888_4)


Generator Equations:
gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(0) <=> primes
gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(+(x, 1)) <=> mark(gen_primes:0':mark:true:false:ok:cons_active:cons_sieve:cons_from:cons_s:cons_cons:cons_head:cons_tail:cons_if:cons_filter:cons_divides:cons_proper:cons_top2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
active, proper, top, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
active < top
active < encArg
proper < top
proper < encArg
top < encArg