WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 397 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 11 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 467 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 157 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 112 ms] (20) typed CpxTrs (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 103 ms] (22) typed CpxTrs (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 143 ms] (24) typed CpxTrs (25) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 83 ms] (26) typed CpxTrs (27) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 1039 ms] (28) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(app(nil, YS)) -> mark(YS) active(app(cons(X, XS), YS)) -> mark(cons(X, app(XS, YS))) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(zWadr(nil, YS)) -> mark(nil) active(zWadr(XS, nil)) -> mark(nil) active(zWadr(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(app(Y, cons(X, nil)), zWadr(XS, YS))) active(prefix(L)) -> mark(cons(nil, zWadr(L, prefix(L)))) active(app(X1, X2)) -> app(active(X1), X2) active(app(X1, X2)) -> app(X1, active(X2)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(from(X)) -> from(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(active(X1), X2) active(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(X1, active(X2)) active(prefix(X)) -> prefix(active(X)) app(mark(X1), X2) -> mark(app(X1, X2)) app(X1, mark(X2)) -> mark(app(X1, X2)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) zWadr(mark(X1), X2) -> mark(zWadr(X1, X2)) zWadr(X1, mark(X2)) -> mark(zWadr(X1, X2)) prefix(mark(X)) -> mark(prefix(X)) proper(app(X1, X2)) -> app(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(proper(X1), proper(X2)) proper(prefix(X)) -> prefix(proper(X)) app(ok(X1), ok(X2)) -> ok(app(X1, X2)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) zWadr(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zWadr(X1, X2)) prefix(ok(X)) -> ok(prefix(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(nil) -> nil encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_zWadr(x_1, x_2)) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_prefix(x_1)) -> prefix(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_zWadr(x_1, x_2) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_prefix(x_1) -> prefix(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(app(nil, YS)) -> mark(YS) active(app(cons(X, XS), YS)) -> mark(cons(X, app(XS, YS))) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(zWadr(nil, YS)) -> mark(nil) active(zWadr(XS, nil)) -> mark(nil) active(zWadr(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(app(Y, cons(X, nil)), zWadr(XS, YS))) active(prefix(L)) -> mark(cons(nil, zWadr(L, prefix(L)))) active(app(X1, X2)) -> app(active(X1), X2) active(app(X1, X2)) -> app(X1, active(X2)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(from(X)) -> from(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(active(X1), X2) active(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(X1, active(X2)) active(prefix(X)) -> prefix(active(X)) app(mark(X1), X2) -> mark(app(X1, X2)) app(X1, mark(X2)) -> mark(app(X1, X2)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) zWadr(mark(X1), X2) -> mark(zWadr(X1, X2)) zWadr(X1, mark(X2)) -> mark(zWadr(X1, X2)) prefix(mark(X)) -> mark(prefix(X)) proper(app(X1, X2)) -> app(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(proper(X1), proper(X2)) proper(prefix(X)) -> prefix(proper(X)) app(ok(X1), ok(X2)) -> ok(app(X1, X2)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) zWadr(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zWadr(X1, X2)) prefix(ok(X)) -> ok(prefix(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(nil) -> nil encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_zWadr(x_1, x_2)) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_prefix(x_1)) -> prefix(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_zWadr(x_1, x_2) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_prefix(x_1) -> prefix(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(app(nil, YS)) -> mark(YS) active(app(cons(X, XS), YS)) -> mark(cons(X, app(XS, YS))) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(zWadr(nil, YS)) -> mark(nil) active(zWadr(XS, nil)) -> mark(nil) active(zWadr(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(app(Y, cons(X, nil)), zWadr(XS, YS))) active(prefix(L)) -> mark(cons(nil, zWadr(L, prefix(L)))) active(app(X1, X2)) -> app(active(X1), X2) active(app(X1, X2)) -> app(X1, active(X2)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(from(X)) -> from(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(active(X1), X2) active(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(X1, active(X2)) active(prefix(X)) -> prefix(active(X)) app(mark(X1), X2) -> mark(app(X1, X2)) app(X1, mark(X2)) -> mark(app(X1, X2)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) zWadr(mark(X1), X2) -> mark(zWadr(X1, X2)) zWadr(X1, mark(X2)) -> mark(zWadr(X1, X2)) prefix(mark(X)) -> mark(prefix(X)) proper(app(X1, X2)) -> app(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(proper(X1), proper(X2)) proper(prefix(X)) -> prefix(proper(X)) app(ok(X1), ok(X2)) -> ok(app(X1, X2)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) zWadr(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zWadr(X1, X2)) prefix(ok(X)) -> ok(prefix(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(nil) -> nil encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_zWadr(x_1, x_2)) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_prefix(x_1)) -> prefix(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_zWadr(x_1, x_2) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_prefix(x_1) -> prefix(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(app(nil, YS)) -> mark(YS) active(app(cons(X, XS), YS)) -> mark(cons(X, app(XS, YS))) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(zWadr(nil, YS)) -> mark(nil) active(zWadr(XS, nil)) -> mark(nil) active(zWadr(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(app(Y, cons(X, nil)), zWadr(XS, YS))) active(prefix(L)) -> mark(cons(nil, zWadr(L, prefix(L)))) active(app(X1, X2)) -> app(active(X1), X2) active(app(X1, X2)) -> app(X1, active(X2)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(from(X)) -> from(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(active(X1), X2) active(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(X1, active(X2)) active(prefix(X)) -> prefix(active(X)) app(mark(X1), X2) -> mark(app(X1, X2)) app(X1, mark(X2)) -> mark(app(X1, X2)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) zWadr(mark(X1), X2) -> mark(zWadr(X1, X2)) zWadr(X1, mark(X2)) -> mark(zWadr(X1, X2)) prefix(mark(X)) -> mark(prefix(X)) proper(app(X1, X2)) -> app(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(proper(X1), proper(X2)) proper(prefix(X)) -> prefix(proper(X)) app(ok(X1), ok(X2)) -> ok(app(X1, X2)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) zWadr(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zWadr(X1, X2)) prefix(ok(X)) -> ok(prefix(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(nil) -> nil encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_zWadr(x_1, x_2)) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_prefix(x_1)) -> prefix(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_zWadr(x_1, x_2) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_prefix(x_1) -> prefix(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(app(nil, YS)) -> mark(YS) active(app(cons(X, XS), YS)) -> mark(cons(X, app(XS, YS))) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(zWadr(nil, YS)) -> mark(nil) active(zWadr(XS, nil)) -> mark(nil) active(zWadr(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(app(Y, cons(X, nil)), zWadr(XS, YS))) active(prefix(L)) -> mark(cons(nil, zWadr(L, prefix(L)))) active(app(X1, X2)) -> app(active(X1), X2) active(app(X1, X2)) -> app(X1, active(X2)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(from(X)) -> from(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(active(X1), X2) active(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(X1, active(X2)) active(prefix(X)) -> prefix(active(X)) app(mark(X1), X2) -> mark(app(X1, X2)) app(X1, mark(X2)) -> mark(app(X1, X2)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) zWadr(mark(X1), X2) -> mark(zWadr(X1, X2)) zWadr(X1, mark(X2)) -> mark(zWadr(X1, X2)) prefix(mark(X)) -> mark(prefix(X)) proper(app(X1, X2)) -> app(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(proper(X1), proper(X2)) proper(prefix(X)) -> prefix(proper(X)) app(ok(X1), ok(X2)) -> ok(app(X1, X2)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) zWadr(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zWadr(X1, X2)) prefix(ok(X)) -> ok(prefix(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(nil) -> nil encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_zWadr(x_1, x_2)) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_prefix(x_1)) -> prefix(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_zWadr(x_1, x_2) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_prefix(x_1) -> prefix(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top app :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top nil :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top mark :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top from :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top s :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top zWadr :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top prefix :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top proper :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top ok :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top top :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encArg :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_active :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_app :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_cons :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_from :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_s :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_zWadr :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_prefix :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_proper :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_top :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_active :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_app :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_nil :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_mark :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_cons :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_from :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_s :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_zWadr :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_prefix :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_proper :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_ok :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_top :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top hole_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top1_0 :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0 :: Nat -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: active, cons, app, from, s, zWadr, prefix, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cons < active app < active from < active s < active zWadr < active prefix < active active < top active < encArg cons < proper cons < encArg app < proper app < encArg from < proper from < encArg s < proper s < encArg zWadr < proper zWadr < encArg prefix < proper prefix < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(app(nil, YS)) -> mark(YS) active(app(cons(X, XS), YS)) -> mark(cons(X, app(XS, YS))) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(zWadr(nil, YS)) -> mark(nil) active(zWadr(XS, nil)) -> mark(nil) active(zWadr(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(app(Y, cons(X, nil)), zWadr(XS, YS))) active(prefix(L)) -> mark(cons(nil, zWadr(L, prefix(L)))) active(app(X1, X2)) -> app(active(X1), X2) active(app(X1, X2)) -> app(X1, active(X2)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(from(X)) -> from(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(active(X1), X2) active(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(X1, active(X2)) active(prefix(X)) -> prefix(active(X)) app(mark(X1), X2) -> mark(app(X1, X2)) app(X1, mark(X2)) -> mark(app(X1, X2)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) zWadr(mark(X1), X2) -> mark(zWadr(X1, X2)) zWadr(X1, mark(X2)) -> mark(zWadr(X1, X2)) prefix(mark(X)) -> mark(prefix(X)) proper(app(X1, X2)) -> app(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(proper(X1), proper(X2)) proper(prefix(X)) -> prefix(proper(X)) app(ok(X1), ok(X2)) -> ok(app(X1, X2)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) zWadr(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zWadr(X1, X2)) prefix(ok(X)) -> ok(prefix(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(nil) -> nil encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_zWadr(x_1, x_2)) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_prefix(x_1)) -> prefix(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_zWadr(x_1, x_2) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_prefix(x_1) -> prefix(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top app :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top nil :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top mark :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top from :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top s :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top zWadr :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top prefix :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top proper :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top ok :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top top :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encArg :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_active :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_app :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_cons :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_from :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_s :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_zWadr :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_prefix :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_proper :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_top :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_active :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_app :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_nil :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_mark :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_cons :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_from :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_s :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_zWadr :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_prefix :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_proper :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_ok :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_top :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top hole_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top1_0 :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0 :: Nat -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top Generator Equations: gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(0) <=> nil gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: cons, active, app, from, s, zWadr, prefix, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cons < active app < active from < active s < active zWadr < active prefix < active active < top active < encArg cons < proper cons < encArg app < proper app < encArg from < proper from < encArg s < proper s < encArg zWadr < proper zWadr < encArg prefix < proper prefix < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: cons(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n4_0)), gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(b)) -> *3_0, rt in Omega(n4_0) Induction Base: cons(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, 0)), gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(b)) Induction Step: cons(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, +(n4_0, 1))), gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(b)) ->_R^Omega(1) mark(cons(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n4_0)), gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(b))) ->_IH mark(*3_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: active(app(nil, YS)) -> mark(YS) active(app(cons(X, XS), YS)) -> mark(cons(X, app(XS, YS))) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(zWadr(nil, YS)) -> mark(nil) active(zWadr(XS, nil)) -> mark(nil) active(zWadr(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(app(Y, cons(X, nil)), zWadr(XS, YS))) active(prefix(L)) -> mark(cons(nil, zWadr(L, prefix(L)))) active(app(X1, X2)) -> app(active(X1), X2) active(app(X1, X2)) -> app(X1, active(X2)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(from(X)) -> from(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(active(X1), X2) active(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(X1, active(X2)) active(prefix(X)) -> prefix(active(X)) app(mark(X1), X2) -> mark(app(X1, X2)) app(X1, mark(X2)) -> mark(app(X1, X2)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) zWadr(mark(X1), X2) -> mark(zWadr(X1, X2)) zWadr(X1, mark(X2)) -> mark(zWadr(X1, X2)) prefix(mark(X)) -> mark(prefix(X)) proper(app(X1, X2)) -> app(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(proper(X1), proper(X2)) proper(prefix(X)) -> prefix(proper(X)) app(ok(X1), ok(X2)) -> ok(app(X1, X2)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) zWadr(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zWadr(X1, X2)) prefix(ok(X)) -> ok(prefix(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(nil) -> nil encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_zWadr(x_1, x_2)) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_prefix(x_1)) -> prefix(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_zWadr(x_1, x_2) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_prefix(x_1) -> prefix(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top app :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top nil :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top mark :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top from :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top s :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top zWadr :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top prefix :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top proper :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top ok :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top top :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encArg :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_active :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_app :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_cons :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_from :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_s :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_zWadr :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_prefix :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_proper :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_top :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_active :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_app :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_nil :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_mark :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_cons :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_from :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_s :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_zWadr :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_prefix :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_proper :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_ok :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_top :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top hole_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top1_0 :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0 :: Nat -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top Generator Equations: gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(0) <=> nil gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: cons, active, app, from, s, zWadr, prefix, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cons < active app < active from < active s < active zWadr < active prefix < active active < top active < encArg cons < proper cons < encArg app < proper app < encArg from < proper from < encArg s < proper s < encArg zWadr < proper zWadr < encArg prefix < proper prefix < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(app(nil, YS)) -> mark(YS) active(app(cons(X, XS), YS)) -> mark(cons(X, app(XS, YS))) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(zWadr(nil, YS)) -> mark(nil) active(zWadr(XS, nil)) -> mark(nil) active(zWadr(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(app(Y, cons(X, nil)), zWadr(XS, YS))) active(prefix(L)) -> mark(cons(nil, zWadr(L, prefix(L)))) active(app(X1, X2)) -> app(active(X1), X2) active(app(X1, X2)) -> app(X1, active(X2)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(from(X)) -> from(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(active(X1), X2) active(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(X1, active(X2)) active(prefix(X)) -> prefix(active(X)) app(mark(X1), X2) -> mark(app(X1, X2)) app(X1, mark(X2)) -> mark(app(X1, X2)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) zWadr(mark(X1), X2) -> mark(zWadr(X1, X2)) zWadr(X1, mark(X2)) -> mark(zWadr(X1, X2)) prefix(mark(X)) -> mark(prefix(X)) proper(app(X1, X2)) -> app(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(proper(X1), proper(X2)) proper(prefix(X)) -> prefix(proper(X)) app(ok(X1), ok(X2)) -> ok(app(X1, X2)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) zWadr(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zWadr(X1, X2)) prefix(ok(X)) -> ok(prefix(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(nil) -> nil encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_zWadr(x_1, x_2)) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_prefix(x_1)) -> prefix(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_zWadr(x_1, x_2) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_prefix(x_1) -> prefix(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top app :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top nil :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top mark :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top from :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top s :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top zWadr :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top prefix :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top proper :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top ok :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top top :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encArg :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_active :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_app :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_cons :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_from :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_s :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_zWadr :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_prefix :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_proper :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_top :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_active :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_app :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_nil :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_mark :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_cons :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_from :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_s :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_zWadr :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_prefix :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_proper :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_ok :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_top :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top hole_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top1_0 :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0 :: Nat -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n4_0)), gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(b)) -> *3_0, rt in Omega(n4_0) Generator Equations: gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(0) <=> nil gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: app, active, from, s, zWadr, prefix, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: app < active from < active s < active zWadr < active prefix < active active < top active < encArg app < proper app < encArg from < proper from < encArg s < proper s < encArg zWadr < proper zWadr < encArg prefix < proper prefix < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: app(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n1681_0)), gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(b)) -> *3_0, rt in Omega(n1681_0) Induction Base: app(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, 0)), gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(b)) Induction Step: app(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, +(n1681_0, 1))), gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(b)) ->_R^Omega(1) mark(app(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n1681_0)), gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(b))) ->_IH mark(*3_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(app(nil, YS)) -> mark(YS) active(app(cons(X, XS), YS)) -> mark(cons(X, app(XS, YS))) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(zWadr(nil, YS)) -> mark(nil) active(zWadr(XS, nil)) -> mark(nil) active(zWadr(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(app(Y, cons(X, nil)), zWadr(XS, YS))) active(prefix(L)) -> mark(cons(nil, zWadr(L, prefix(L)))) active(app(X1, X2)) -> app(active(X1), X2) active(app(X1, X2)) -> app(X1, active(X2)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(from(X)) -> from(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(active(X1), X2) active(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(X1, active(X2)) active(prefix(X)) -> prefix(active(X)) app(mark(X1), X2) -> mark(app(X1, X2)) app(X1, mark(X2)) -> mark(app(X1, X2)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) zWadr(mark(X1), X2) -> mark(zWadr(X1, X2)) zWadr(X1, mark(X2)) -> mark(zWadr(X1, X2)) prefix(mark(X)) -> mark(prefix(X)) proper(app(X1, X2)) -> app(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(proper(X1), proper(X2)) proper(prefix(X)) -> prefix(proper(X)) app(ok(X1), ok(X2)) -> ok(app(X1, X2)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) zWadr(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zWadr(X1, X2)) prefix(ok(X)) -> ok(prefix(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(nil) -> nil encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_zWadr(x_1, x_2)) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_prefix(x_1)) -> prefix(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_zWadr(x_1, x_2) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_prefix(x_1) -> prefix(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top app :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top nil :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top mark :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top from :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top s :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top zWadr :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top prefix :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top proper :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top ok :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top top :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encArg :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_active :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_app :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_cons :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_from :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_s :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_zWadr :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_prefix :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_proper :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_top :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_active :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_app :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_nil :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_mark :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_cons :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_from :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_s :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_zWadr :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_prefix :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_proper :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_ok :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_top :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top hole_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top1_0 :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0 :: Nat -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n4_0)), gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(b)) -> *3_0, rt in Omega(n4_0) app(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n1681_0)), gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(b)) -> *3_0, rt in Omega(n1681_0) Generator Equations: gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(0) <=> nil gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: from, active, s, zWadr, prefix, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: from < active s < active zWadr < active prefix < active active < top active < encArg from < proper from < encArg s < proper s < encArg zWadr < proper zWadr < encArg prefix < proper prefix < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: from(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n3735_0))) -> *3_0, rt in Omega(n3735_0) Induction Base: from(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, 0))) Induction Step: from(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, +(n3735_0, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(from(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n3735_0)))) ->_IH mark(*3_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (20) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(app(nil, YS)) -> mark(YS) active(app(cons(X, XS), YS)) -> mark(cons(X, app(XS, YS))) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(zWadr(nil, YS)) -> mark(nil) active(zWadr(XS, nil)) -> mark(nil) active(zWadr(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(app(Y, cons(X, nil)), zWadr(XS, YS))) active(prefix(L)) -> mark(cons(nil, zWadr(L, prefix(L)))) active(app(X1, X2)) -> app(active(X1), X2) active(app(X1, X2)) -> app(X1, active(X2)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(from(X)) -> from(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(active(X1), X2) active(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(X1, active(X2)) active(prefix(X)) -> prefix(active(X)) app(mark(X1), X2) -> mark(app(X1, X2)) app(X1, mark(X2)) -> mark(app(X1, X2)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) zWadr(mark(X1), X2) -> mark(zWadr(X1, X2)) zWadr(X1, mark(X2)) -> mark(zWadr(X1, X2)) prefix(mark(X)) -> mark(prefix(X)) proper(app(X1, X2)) -> app(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(proper(X1), proper(X2)) proper(prefix(X)) -> prefix(proper(X)) app(ok(X1), ok(X2)) -> ok(app(X1, X2)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) zWadr(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zWadr(X1, X2)) prefix(ok(X)) -> ok(prefix(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(nil) -> nil encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_zWadr(x_1, x_2)) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_prefix(x_1)) -> prefix(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_zWadr(x_1, x_2) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_prefix(x_1) -> prefix(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top app :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top nil :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top mark :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top from :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top s :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top zWadr :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top prefix :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top proper :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top ok :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top top :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encArg :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_active :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_app :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_cons :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_from :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_s :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_zWadr :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_prefix :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_proper :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_top :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_active :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_app :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_nil :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_mark :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_cons :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_from :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_s :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_zWadr :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_prefix :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_proper :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_ok :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_top :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top hole_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top1_0 :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0 :: Nat -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n4_0)), gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(b)) -> *3_0, rt in Omega(n4_0) app(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n1681_0)), gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(b)) -> *3_0, rt in Omega(n1681_0) from(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n3735_0))) -> *3_0, rt in Omega(n3735_0) Generator Equations: gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(0) <=> nil gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: s, active, zWadr, prefix, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: s < active zWadr < active prefix < active active < top active < encArg s < proper s < encArg zWadr < proper zWadr < encArg prefix < proper prefix < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: s(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n4676_0))) -> *3_0, rt in Omega(n4676_0) Induction Base: s(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, 0))) Induction Step: s(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, +(n4676_0, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(s(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n4676_0)))) ->_IH mark(*3_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (22) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(app(nil, YS)) -> mark(YS) active(app(cons(X, XS), YS)) -> mark(cons(X, app(XS, YS))) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(zWadr(nil, YS)) -> mark(nil) active(zWadr(XS, nil)) -> mark(nil) active(zWadr(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(app(Y, cons(X, nil)), zWadr(XS, YS))) active(prefix(L)) -> mark(cons(nil, zWadr(L, prefix(L)))) active(app(X1, X2)) -> app(active(X1), X2) active(app(X1, X2)) -> app(X1, active(X2)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(from(X)) -> from(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(active(X1), X2) active(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(X1, active(X2)) active(prefix(X)) -> prefix(active(X)) app(mark(X1), X2) -> mark(app(X1, X2)) app(X1, mark(X2)) -> mark(app(X1, X2)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) zWadr(mark(X1), X2) -> mark(zWadr(X1, X2)) zWadr(X1, mark(X2)) -> mark(zWadr(X1, X2)) prefix(mark(X)) -> mark(prefix(X)) proper(app(X1, X2)) -> app(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(proper(X1), proper(X2)) proper(prefix(X)) -> prefix(proper(X)) app(ok(X1), ok(X2)) -> ok(app(X1, X2)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) zWadr(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zWadr(X1, X2)) prefix(ok(X)) -> ok(prefix(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(nil) -> nil encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_zWadr(x_1, x_2)) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_prefix(x_1)) -> prefix(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_zWadr(x_1, x_2) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_prefix(x_1) -> prefix(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top app :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top nil :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top mark :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top from :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top s :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top zWadr :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top prefix :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top proper :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top ok :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top top :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encArg :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_active :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_app :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_cons :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_from :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_s :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_zWadr :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_prefix :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_proper :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_top :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_active :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_app :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_nil :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_mark :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_cons :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_from :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_s :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_zWadr :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_prefix :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_proper :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_ok :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_top :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top hole_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top1_0 :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0 :: Nat -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n4_0)), gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(b)) -> *3_0, rt in Omega(n4_0) app(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n1681_0)), gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(b)) -> *3_0, rt in Omega(n1681_0) from(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n3735_0))) -> *3_0, rt in Omega(n3735_0) s(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n4676_0))) -> *3_0, rt in Omega(n4676_0) Generator Equations: gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(0) <=> nil gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: zWadr, active, prefix, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: zWadr < active prefix < active active < top active < encArg zWadr < proper zWadr < encArg prefix < proper prefix < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: zWadr(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n5718_0)), gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(b)) -> *3_0, rt in Omega(n5718_0) Induction Base: zWadr(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, 0)), gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(b)) Induction Step: zWadr(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, +(n5718_0, 1))), gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(b)) ->_R^Omega(1) mark(zWadr(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n5718_0)), gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(b))) ->_IH mark(*3_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (24) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(app(nil, YS)) -> mark(YS) active(app(cons(X, XS), YS)) -> mark(cons(X, app(XS, YS))) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(zWadr(nil, YS)) -> mark(nil) active(zWadr(XS, nil)) -> mark(nil) active(zWadr(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(app(Y, cons(X, nil)), zWadr(XS, YS))) active(prefix(L)) -> mark(cons(nil, zWadr(L, prefix(L)))) active(app(X1, X2)) -> app(active(X1), X2) active(app(X1, X2)) -> app(X1, active(X2)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(from(X)) -> from(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(active(X1), X2) active(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(X1, active(X2)) active(prefix(X)) -> prefix(active(X)) app(mark(X1), X2) -> mark(app(X1, X2)) app(X1, mark(X2)) -> mark(app(X1, X2)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) zWadr(mark(X1), X2) -> mark(zWadr(X1, X2)) zWadr(X1, mark(X2)) -> mark(zWadr(X1, X2)) prefix(mark(X)) -> mark(prefix(X)) proper(app(X1, X2)) -> app(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(proper(X1), proper(X2)) proper(prefix(X)) -> prefix(proper(X)) app(ok(X1), ok(X2)) -> ok(app(X1, X2)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) zWadr(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zWadr(X1, X2)) prefix(ok(X)) -> ok(prefix(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(nil) -> nil encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_zWadr(x_1, x_2)) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_prefix(x_1)) -> prefix(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_zWadr(x_1, x_2) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_prefix(x_1) -> prefix(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top app :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top nil :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top mark :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top from :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top s :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top zWadr :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top prefix :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top proper :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top ok :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top top :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encArg :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_active :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_app :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_cons :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_from :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_s :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_zWadr :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_prefix :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_proper :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_top :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_active :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_app :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_nil :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_mark :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_cons :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_from :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_s :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_zWadr :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_prefix :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_proper :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_ok :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_top :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top hole_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top1_0 :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0 :: Nat -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n4_0)), gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(b)) -> *3_0, rt in Omega(n4_0) app(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n1681_0)), gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(b)) -> *3_0, rt in Omega(n1681_0) from(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n3735_0))) -> *3_0, rt in Omega(n3735_0) s(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n4676_0))) -> *3_0, rt in Omega(n4676_0) zWadr(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n5718_0)), gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(b)) -> *3_0, rt in Omega(n5718_0) Generator Equations: gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(0) <=> nil gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: prefix, active, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: prefix < active active < top active < encArg prefix < proper prefix < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: prefix(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n8488_0))) -> *3_0, rt in Omega(n8488_0) Induction Base: prefix(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, 0))) Induction Step: prefix(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, +(n8488_0, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(prefix(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n8488_0)))) ->_IH mark(*3_0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (26) Obligation: Innermost TRS: Rules: active(app(nil, YS)) -> mark(YS) active(app(cons(X, XS), YS)) -> mark(cons(X, app(XS, YS))) active(from(X)) -> mark(cons(X, from(s(X)))) active(zWadr(nil, YS)) -> mark(nil) active(zWadr(XS, nil)) -> mark(nil) active(zWadr(cons(X, XS), cons(Y, YS))) -> mark(cons(app(Y, cons(X, nil)), zWadr(XS, YS))) active(prefix(L)) -> mark(cons(nil, zWadr(L, prefix(L)))) active(app(X1, X2)) -> app(active(X1), X2) active(app(X1, X2)) -> app(X1, active(X2)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(from(X)) -> from(active(X)) active(s(X)) -> s(active(X)) active(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(active(X1), X2) active(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(X1, active(X2)) active(prefix(X)) -> prefix(active(X)) app(mark(X1), X2) -> mark(app(X1, X2)) app(X1, mark(X2)) -> mark(app(X1, X2)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) from(mark(X)) -> mark(from(X)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) zWadr(mark(X1), X2) -> mark(zWadr(X1, X2)) zWadr(X1, mark(X2)) -> mark(zWadr(X1, X2)) prefix(mark(X)) -> mark(prefix(X)) proper(app(X1, X2)) -> app(proper(X1), proper(X2)) proper(nil) -> ok(nil) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(from(X)) -> from(proper(X)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(zWadr(X1, X2)) -> zWadr(proper(X1), proper(X2)) proper(prefix(X)) -> prefix(proper(X)) app(ok(X1), ok(X2)) -> ok(app(X1, X2)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) from(ok(X)) -> ok(from(X)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) zWadr(ok(X1), ok(X2)) -> ok(zWadr(X1, X2)) prefix(ok(X)) -> ok(prefix(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(nil) -> nil encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_from(x_1)) -> from(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_zWadr(x_1, x_2)) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_prefix(x_1)) -> prefix(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_from(x_1) -> from(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_zWadr(x_1, x_2) -> zWadr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_prefix(x_1) -> prefix(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top app :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top nil :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top mark :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top from :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top s :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top zWadr :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top prefix :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top proper :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top ok :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top top :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encArg :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_active :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_app :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_cons :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_from :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_s :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_zWadr :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_prefix :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_proper :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top cons_top :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_active :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_app :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_nil :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_mark :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_cons :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_from :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_s :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_zWadr :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_prefix :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_proper :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_ok :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top encode_top :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top hole_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top1_0 :: nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0 :: Nat -> nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n4_0)), gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(b)) -> *3_0, rt in Omega(n4_0) app(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n1681_0)), gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(b)) -> *3_0, rt in Omega(n1681_0) from(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n3735_0))) -> *3_0, rt in Omega(n3735_0) s(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n4676_0))) -> *3_0, rt in Omega(n4676_0) zWadr(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n5718_0)), gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(b)) -> *3_0, rt in Omega(n5718_0) prefix(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(1, n8488_0))) -> *3_0, rt in Omega(n8488_0) Generator Equations: gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(0) <=> nil gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(x, 1)) <=> mark(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: active, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: active < top active < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (27) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(n44697_0)) -> gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(n44697_0), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(0)) ->_R^Omega(0) nil Induction Step: encArg(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(+(n44697_0, 1))) ->_R^Omega(0) mark(encArg(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(n44697_0))) ->_IH mark(gen_nil:mark:ok:cons_active:cons_app:cons_cons:cons_from:cons_s:cons_zWadr:cons_prefix:cons_proper:cons_top2_0(c44698_0)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (28) BOUNDS(1, INF)