WORST_CASE(Omega(n^1), ?)
proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 479 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(6) CpxRelTRS
(7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(8) typed CpxTrs
(9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(10) typed CpxTrs
(11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 502 ms]
(12) BEST
    (13) proven lower bound
        (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (15) BOUNDS(n^1, INF)
    (16) typed CpxTrs


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   a__fact(X) -> a__if(a__zero(mark(X)), s(0), prod(X, fact(p(X))))
   a__add(0, X) -> mark(X)
   a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y)))
   a__prod(0, X) -> 0
   a__prod(s(X), Y) -> a__add(mark(Y), a__prod(mark(X), mark(Y)))
   a__if(true, X, Y) -> mark(X)
   a__if(false, X, Y) -> mark(Y)
   a__zero(0) -> true
   a__zero(s(X)) -> false
   a__p(s(X)) -> mark(X)
   mark(fact(X)) -> a__fact(mark(X))
   mark(if(X1, X2, X3)) -> a__if(mark(X1), X2, X3)
   mark(zero(X)) -> a__zero(mark(X))
   mark(prod(X1, X2)) -> a__prod(mark(X1), mark(X2))
   mark(p(X)) -> a__p(mark(X))
   mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2))
   mark(s(X)) -> s(mark(X))
   mark(0) -> 0
   mark(true) -> true
   mark(false) -> false
   a__fact(X) -> fact(X)
   a__if(X1, X2, X3) -> if(X1, X2, X3)
   a__zero(X) -> zero(X)
   a__prod(X1, X2) -> prod(X1, X2)
   a__p(X) -> p(X)
   a__add(X1, X2) -> add(X1, X2)

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(prod(x_1, x_2)) -> prod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(fact(x_1)) -> fact(encArg(x_1))
   encArg(p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(zero(x_1)) -> zero(encArg(x_1))
   encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__fact(x_1)) -> a__fact(encArg(x_1))
   encArg(cons_a__add(x_1, x_2)) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__prod(x_1, x_2)) -> a__prod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__if(x_1, x_2, x_3)) -> a__if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_a__zero(x_1)) -> a__zero(encArg(x_1))
   encArg(cons_a__p(x_1)) -> a__p(encArg(x_1))
   encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
   encode_a__fact(x_1) -> a__fact(encArg(x_1))
   encode_a__if(x_1, x_2, x_3) -> a__if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_a__zero(x_1) -> a__zero(encArg(x_1))
   encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0
   encode_prod(x_1, x_2) -> prod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_fact(x_1) -> fact(encArg(x_1))
   encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
   encode_a__add(x_1, x_2) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_a__prod(x_1, x_2) -> a__prod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_a__p(x_1) -> a__p(encArg(x_1))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_zero(x_1) -> zero(encArg(x_1))
   encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   a__fact(X) -> a__if(a__zero(mark(X)), s(0), prod(X, fact(p(X))))
   a__add(0, X) -> mark(X)
   a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y)))
   a__prod(0, X) -> 0
   a__prod(s(X), Y) -> a__add(mark(Y), a__prod(mark(X), mark(Y)))
   a__if(true, X, Y) -> mark(X)
   a__if(false, X, Y) -> mark(Y)
   a__zero(0) -> true
   a__zero(s(X)) -> false
   a__p(s(X)) -> mark(X)
   mark(fact(X)) -> a__fact(mark(X))
   mark(if(X1, X2, X3)) -> a__if(mark(X1), X2, X3)
   mark(zero(X)) -> a__zero(mark(X))
   mark(prod(X1, X2)) -> a__prod(mark(X1), mark(X2))
   mark(p(X)) -> a__p(mark(X))
   mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2))
   mark(s(X)) -> s(mark(X))
   mark(0) -> 0
   mark(true) -> true
   mark(false) -> false
   a__fact(X) -> fact(X)
   a__if(X1, X2, X3) -> if(X1, X2, X3)
   a__zero(X) -> zero(X)
   a__prod(X1, X2) -> prod(X1, X2)
   a__p(X) -> p(X)
   a__add(X1, X2) -> add(X1, X2)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(prod(x_1, x_2)) -> prod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(fact(x_1)) -> fact(encArg(x_1))
   encArg(p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(zero(x_1)) -> zero(encArg(x_1))
   encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__fact(x_1)) -> a__fact(encArg(x_1))
   encArg(cons_a__add(x_1, x_2)) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__prod(x_1, x_2)) -> a__prod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__if(x_1, x_2, x_3)) -> a__if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_a__zero(x_1)) -> a__zero(encArg(x_1))
   encArg(cons_a__p(x_1)) -> a__p(encArg(x_1))
   encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
   encode_a__fact(x_1) -> a__fact(encArg(x_1))
   encode_a__if(x_1, x_2, x_3) -> a__if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_a__zero(x_1) -> a__zero(encArg(x_1))
   encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0
   encode_prod(x_1, x_2) -> prod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_fact(x_1) -> fact(encArg(x_1))
   encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
   encode_a__add(x_1, x_2) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_a__prod(x_1, x_2) -> a__prod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_a__p(x_1) -> a__p(encArg(x_1))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_zero(x_1) -> zero(encArg(x_1))
   encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   a__fact(X) -> a__if(a__zero(mark(X)), s(0), prod(X, fact(p(X))))
   a__add(0, X) -> mark(X)
   a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y)))
   a__prod(0, X) -> 0
   a__prod(s(X), Y) -> a__add(mark(Y), a__prod(mark(X), mark(Y)))
   a__if(true, X, Y) -> mark(X)
   a__if(false, X, Y) -> mark(Y)
   a__zero(0) -> true
   a__zero(s(X)) -> false
   a__p(s(X)) -> mark(X)
   mark(fact(X)) -> a__fact(mark(X))
   mark(if(X1, X2, X3)) -> a__if(mark(X1), X2, X3)
   mark(zero(X)) -> a__zero(mark(X))
   mark(prod(X1, X2)) -> a__prod(mark(X1), mark(X2))
   mark(p(X)) -> a__p(mark(X))
   mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2))
   mark(s(X)) -> s(mark(X))
   mark(0) -> 0
   mark(true) -> true
   mark(false) -> false
   a__fact(X) -> fact(X)
   a__if(X1, X2, X3) -> if(X1, X2, X3)
   a__zero(X) -> zero(X)
   a__prod(X1, X2) -> prod(X1, X2)
   a__p(X) -> p(X)
   a__add(X1, X2) -> add(X1, X2)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(prod(x_1, x_2)) -> prod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(fact(x_1)) -> fact(encArg(x_1))
   encArg(p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(zero(x_1)) -> zero(encArg(x_1))
   encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__fact(x_1)) -> a__fact(encArg(x_1))
   encArg(cons_a__add(x_1, x_2)) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__prod(x_1, x_2)) -> a__prod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__if(x_1, x_2, x_3)) -> a__if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_a__zero(x_1)) -> a__zero(encArg(x_1))
   encArg(cons_a__p(x_1)) -> a__p(encArg(x_1))
   encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
   encode_a__fact(x_1) -> a__fact(encArg(x_1))
   encode_a__if(x_1, x_2, x_3) -> a__if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_a__zero(x_1) -> a__zero(encArg(x_1))
   encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0
   encode_prod(x_1, x_2) -> prod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_fact(x_1) -> fact(encArg(x_1))
   encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
   encode_a__add(x_1, x_2) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_a__prod(x_1, x_2) -> a__prod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_a__p(x_1) -> a__p(encArg(x_1))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_zero(x_1) -> zero(encArg(x_1))
   encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   a__fact(X) -> a__if(a__zero(mark(X)), s(0'), prod(X, fact(p(X))))
   a__add(0', X) -> mark(X)
   a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y)))
   a__prod(0', X) -> 0'
   a__prod(s(X), Y) -> a__add(mark(Y), a__prod(mark(X), mark(Y)))
   a__if(true, X, Y) -> mark(X)
   a__if(false, X, Y) -> mark(Y)
   a__zero(0') -> true
   a__zero(s(X)) -> false
   a__p(s(X)) -> mark(X)
   mark(fact(X)) -> a__fact(mark(X))
   mark(if(X1, X2, X3)) -> a__if(mark(X1), X2, X3)
   mark(zero(X)) -> a__zero(mark(X))
   mark(prod(X1, X2)) -> a__prod(mark(X1), mark(X2))
   mark(p(X)) -> a__p(mark(X))
   mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2))
   mark(s(X)) -> s(mark(X))
   mark(0') -> 0'
   mark(true) -> true
   mark(false) -> false
   a__fact(X) -> fact(X)
   a__if(X1, X2, X3) -> if(X1, X2, X3)
   a__zero(X) -> zero(X)
   a__prod(X1, X2) -> prod(X1, X2)
   a__p(X) -> p(X)
   a__add(X1, X2) -> add(X1, X2)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(0') -> 0'
   encArg(prod(x_1, x_2)) -> prod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(fact(x_1)) -> fact(encArg(x_1))
   encArg(p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(zero(x_1)) -> zero(encArg(x_1))
   encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__fact(x_1)) -> a__fact(encArg(x_1))
   encArg(cons_a__add(x_1, x_2)) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__prod(x_1, x_2)) -> a__prod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_a__if(x_1, x_2, x_3)) -> a__if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_a__zero(x_1)) -> a__zero(encArg(x_1))
   encArg(cons_a__p(x_1)) -> a__p(encArg(x_1))
   encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
   encode_a__fact(x_1) -> a__fact(encArg(x_1))
   encode_a__if(x_1, x_2, x_3) -> a__if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_a__zero(x_1) -> a__zero(encArg(x_1))
   encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0'
   encode_prod(x_1, x_2) -> prod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_fact(x_1) -> fact(encArg(x_1))
   encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
   encode_a__add(x_1, x_2) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_a__prod(x_1, x_2) -> a__prod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_a__p(x_1) -> a__p(encArg(x_1))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_zero(x_1) -> zero(encArg(x_1))
   encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(8)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__fact(X) -> a__if(a__zero(mark(X)), s(0'), prod(X, fact(p(X))))
a__add(0', X) -> mark(X)
a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__prod(0', X) -> 0'
a__prod(s(X), Y) -> a__add(mark(Y), a__prod(mark(X), mark(Y)))
a__if(true, X, Y) -> mark(X)
a__if(false, X, Y) -> mark(Y)
a__zero(0') -> true
a__zero(s(X)) -> false
a__p(s(X)) -> mark(X)
mark(fact(X)) -> a__fact(mark(X))
mark(if(X1, X2, X3)) -> a__if(mark(X1), X2, X3)
mark(zero(X)) -> a__zero(mark(X))
mark(prod(X1, X2)) -> a__prod(mark(X1), mark(X2))
mark(p(X)) -> a__p(mark(X))
mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) -> s(mark(X))
mark(0') -> 0'
mark(true) -> true
mark(false) -> false
a__fact(X) -> fact(X)
a__if(X1, X2, X3) -> if(X1, X2, X3)
a__zero(X) -> zero(X)
a__prod(X1, X2) -> prod(X1, X2)
a__p(X) -> p(X)
a__add(X1, X2) -> add(X1, X2)
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(prod(x_1, x_2)) -> prod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(fact(x_1)) -> fact(encArg(x_1))
encArg(p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(zero(x_1)) -> zero(encArg(x_1))
encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__fact(x_1)) -> a__fact(encArg(x_1))
encArg(cons_a__add(x_1, x_2)) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__prod(x_1, x_2)) -> a__prod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__if(x_1, x_2, x_3)) -> a__if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_a__zero(x_1)) -> a__zero(encArg(x_1))
encArg(cons_a__p(x_1)) -> a__p(encArg(x_1))
encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__fact(x_1) -> a__fact(encArg(x_1))
encode_a__if(x_1, x_2, x_3) -> a__if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_a__zero(x_1) -> a__zero(encArg(x_1))
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_prod(x_1, x_2) -> prod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_fact(x_1) -> fact(encArg(x_1))
encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
encode_a__add(x_1, x_2) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_a__prod(x_1, x_2) -> a__prod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_a__p(x_1) -> a__p(encArg(x_1))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_zero(x_1) -> zero(encArg(x_1))
encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
a__fact :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
a__if :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
a__zero :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
mark :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
s :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
0' :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
prod :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
fact :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
p :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
a__add :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
a__prod :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
true :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
false :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
a__p :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
if :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
zero :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
add :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encArg :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
cons_a__fact :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
cons_a__add :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
cons_a__prod :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
cons_a__if :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
cons_a__zero :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
cons_a__p :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
cons_mark :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_a__fact :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_a__if :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_a__zero :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_mark :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_s :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_0 :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_prod :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_fact :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_p :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_a__add :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_a__prod :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_true :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_false :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_a__p :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_if :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_zero :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_add :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
hole_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark1_4 :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark2_4 :: Nat -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark

----------------------------------------

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
a__fact, a__if, mark, a__add, a__prod, a__p, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__fact = a__if
a__fact = mark
a__fact = a__add
a__fact = a__prod
a__fact = a__p
a__fact < encArg
a__if = mark
a__if = a__add
a__if = a__prod
a__if = a__p
a__if < encArg
mark = a__add
mark = a__prod
mark = a__p
mark < encArg
a__add = a__prod
a__add = a__p
a__add < encArg
a__prod = a__p
a__prod < encArg
a__p < encArg

----------------------------------------

(10)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__fact(X) -> a__if(a__zero(mark(X)), s(0'), prod(X, fact(p(X))))
a__add(0', X) -> mark(X)
a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__prod(0', X) -> 0'
a__prod(s(X), Y) -> a__add(mark(Y), a__prod(mark(X), mark(Y)))
a__if(true, X, Y) -> mark(X)
a__if(false, X, Y) -> mark(Y)
a__zero(0') -> true
a__zero(s(X)) -> false
a__p(s(X)) -> mark(X)
mark(fact(X)) -> a__fact(mark(X))
mark(if(X1, X2, X3)) -> a__if(mark(X1), X2, X3)
mark(zero(X)) -> a__zero(mark(X))
mark(prod(X1, X2)) -> a__prod(mark(X1), mark(X2))
mark(p(X)) -> a__p(mark(X))
mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) -> s(mark(X))
mark(0') -> 0'
mark(true) -> true
mark(false) -> false
a__fact(X) -> fact(X)
a__if(X1, X2, X3) -> if(X1, X2, X3)
a__zero(X) -> zero(X)
a__prod(X1, X2) -> prod(X1, X2)
a__p(X) -> p(X)
a__add(X1, X2) -> add(X1, X2)
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(prod(x_1, x_2)) -> prod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(fact(x_1)) -> fact(encArg(x_1))
encArg(p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(zero(x_1)) -> zero(encArg(x_1))
encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__fact(x_1)) -> a__fact(encArg(x_1))
encArg(cons_a__add(x_1, x_2)) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__prod(x_1, x_2)) -> a__prod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__if(x_1, x_2, x_3)) -> a__if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_a__zero(x_1)) -> a__zero(encArg(x_1))
encArg(cons_a__p(x_1)) -> a__p(encArg(x_1))
encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__fact(x_1) -> a__fact(encArg(x_1))
encode_a__if(x_1, x_2, x_3) -> a__if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_a__zero(x_1) -> a__zero(encArg(x_1))
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_prod(x_1, x_2) -> prod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_fact(x_1) -> fact(encArg(x_1))
encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
encode_a__add(x_1, x_2) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_a__prod(x_1, x_2) -> a__prod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_a__p(x_1) -> a__p(encArg(x_1))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_zero(x_1) -> zero(encArg(x_1))
encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
a__fact :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
a__if :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
a__zero :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
mark :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
s :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
0' :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
prod :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
fact :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
p :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
a__add :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
a__prod :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
true :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
false :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
a__p :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
if :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
zero :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
add :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encArg :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
cons_a__fact :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
cons_a__add :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
cons_a__prod :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
cons_a__if :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
cons_a__zero :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
cons_a__p :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
cons_mark :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_a__fact :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_a__if :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_a__zero :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_mark :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_s :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_0 :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_prod :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_fact :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_p :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_a__add :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_a__prod :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_true :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_false :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_a__p :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_if :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_zero :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_add :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
hole_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark1_4 :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark2_4 :: Nat -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark


Generator Equations:
gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark2_4(0) <=> 0'
gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
a__if, a__fact, mark, a__add, a__prod, a__p, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__fact = a__if
a__fact = mark
a__fact = a__add
a__fact = a__prod
a__fact = a__p
a__fact < encArg
a__if = mark
a__if = a__add
a__if = a__prod
a__if = a__p
a__if < encArg
mark = a__add
mark = a__prod
mark = a__p
mark < encArg
a__add = a__prod
a__add = a__p
a__add < encArg
a__prod = a__p
a__prod < encArg
a__p < encArg

----------------------------------------

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
mark(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark2_4(n26_4)) -> gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark2_4(n26_4), rt in Omega(1 + n26_4)

Induction Base:
mark(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark2_4(0)) ->_R^Omega(1)
0'

Induction Step:
mark(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark2_4(+(n26_4, 1))) ->_R^Omega(1)
s(mark(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark2_4(n26_4))) ->_IH
s(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark2_4(c27_4))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(12)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(13)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
a__fact(X) -> a__if(a__zero(mark(X)), s(0'), prod(X, fact(p(X))))
a__add(0', X) -> mark(X)
a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__prod(0', X) -> 0'
a__prod(s(X), Y) -> a__add(mark(Y), a__prod(mark(X), mark(Y)))
a__if(true, X, Y) -> mark(X)
a__if(false, X, Y) -> mark(Y)
a__zero(0') -> true
a__zero(s(X)) -> false
a__p(s(X)) -> mark(X)
mark(fact(X)) -> a__fact(mark(X))
mark(if(X1, X2, X3)) -> a__if(mark(X1), X2, X3)
mark(zero(X)) -> a__zero(mark(X))
mark(prod(X1, X2)) -> a__prod(mark(X1), mark(X2))
mark(p(X)) -> a__p(mark(X))
mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) -> s(mark(X))
mark(0') -> 0'
mark(true) -> true
mark(false) -> false
a__fact(X) -> fact(X)
a__if(X1, X2, X3) -> if(X1, X2, X3)
a__zero(X) -> zero(X)
a__prod(X1, X2) -> prod(X1, X2)
a__p(X) -> p(X)
a__add(X1, X2) -> add(X1, X2)
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(prod(x_1, x_2)) -> prod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(fact(x_1)) -> fact(encArg(x_1))
encArg(p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(zero(x_1)) -> zero(encArg(x_1))
encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__fact(x_1)) -> a__fact(encArg(x_1))
encArg(cons_a__add(x_1, x_2)) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__prod(x_1, x_2)) -> a__prod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__if(x_1, x_2, x_3)) -> a__if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_a__zero(x_1)) -> a__zero(encArg(x_1))
encArg(cons_a__p(x_1)) -> a__p(encArg(x_1))
encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__fact(x_1) -> a__fact(encArg(x_1))
encode_a__if(x_1, x_2, x_3) -> a__if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_a__zero(x_1) -> a__zero(encArg(x_1))
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_prod(x_1, x_2) -> prod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_fact(x_1) -> fact(encArg(x_1))
encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
encode_a__add(x_1, x_2) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_a__prod(x_1, x_2) -> a__prod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_a__p(x_1) -> a__p(encArg(x_1))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_zero(x_1) -> zero(encArg(x_1))
encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
a__fact :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
a__if :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
a__zero :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
mark :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
s :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
0' :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
prod :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
fact :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
p :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
a__add :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
a__prod :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
true :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
false :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
a__p :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
if :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
zero :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
add :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encArg :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
cons_a__fact :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
cons_a__add :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
cons_a__prod :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
cons_a__if :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
cons_a__zero :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
cons_a__p :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
cons_mark :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_a__fact :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_a__if :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_a__zero :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_mark :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_s :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_0 :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_prod :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_fact :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_p :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_a__add :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_a__prod :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_true :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_false :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_a__p :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_if :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_zero :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_add :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
hole_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark1_4 :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark2_4 :: Nat -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark


Generator Equations:
gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark2_4(0) <=> 0'
gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__fact, a__add, a__prod, a__p, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__fact = a__if
a__fact = mark
a__fact = a__add
a__fact = a__prod
a__fact = a__p
a__fact < encArg
a__if = mark
a__if = a__add
a__if = a__prod
a__if = a__p
a__if < encArg
mark = a__add
mark = a__prod
mark = a__p
mark < encArg
a__add = a__prod
a__add = a__p
a__add < encArg
a__prod = a__p
a__prod < encArg
a__p < encArg

----------------------------------------

(14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(15)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
a__fact(X) -> a__if(a__zero(mark(X)), s(0'), prod(X, fact(p(X))))
a__add(0', X) -> mark(X)
a__add(s(X), Y) -> s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__prod(0', X) -> 0'
a__prod(s(X), Y) -> a__add(mark(Y), a__prod(mark(X), mark(Y)))
a__if(true, X, Y) -> mark(X)
a__if(false, X, Y) -> mark(Y)
a__zero(0') -> true
a__zero(s(X)) -> false
a__p(s(X)) -> mark(X)
mark(fact(X)) -> a__fact(mark(X))
mark(if(X1, X2, X3)) -> a__if(mark(X1), X2, X3)
mark(zero(X)) -> a__zero(mark(X))
mark(prod(X1, X2)) -> a__prod(mark(X1), mark(X2))
mark(p(X)) -> a__p(mark(X))
mark(add(X1, X2)) -> a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) -> s(mark(X))
mark(0') -> 0'
mark(true) -> true
mark(false) -> false
a__fact(X) -> fact(X)
a__if(X1, X2, X3) -> if(X1, X2, X3)
a__zero(X) -> zero(X)
a__prod(X1, X2) -> prod(X1, X2)
a__p(X) -> p(X)
a__add(X1, X2) -> add(X1, X2)
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(prod(x_1, x_2)) -> prod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(fact(x_1)) -> fact(encArg(x_1))
encArg(p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(zero(x_1)) -> zero(encArg(x_1))
encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__fact(x_1)) -> a__fact(encArg(x_1))
encArg(cons_a__add(x_1, x_2)) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__prod(x_1, x_2)) -> a__prod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_a__if(x_1, x_2, x_3)) -> a__if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_a__zero(x_1)) -> a__zero(encArg(x_1))
encArg(cons_a__p(x_1)) -> a__p(encArg(x_1))
encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1))
encode_a__fact(x_1) -> a__fact(encArg(x_1))
encode_a__if(x_1, x_2, x_3) -> a__if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_a__zero(x_1) -> a__zero(encArg(x_1))
encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_prod(x_1, x_2) -> prod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_fact(x_1) -> fact(encArg(x_1))
encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
encode_a__add(x_1, x_2) -> a__add(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_a__prod(x_1, x_2) -> a__prod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_a__p(x_1) -> a__p(encArg(x_1))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_zero(x_1) -> zero(encArg(x_1))
encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
a__fact :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
a__if :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
a__zero :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
mark :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
s :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
0' :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
prod :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
fact :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
p :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
a__add :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
a__prod :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
true :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
false :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
a__p :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
if :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
zero :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
add :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encArg :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
cons_a__fact :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
cons_a__add :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
cons_a__prod :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
cons_a__if :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
cons_a__zero :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
cons_a__p :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
cons_mark :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_a__fact :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_a__if :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_a__zero :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_mark :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_s :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_0 :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_prod :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_fact :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_p :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_a__add :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_a__prod :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_true :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_false :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_a__p :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_if :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_zero :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
encode_add :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
hole_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark1_4 :: 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark
gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark2_4 :: Nat -> 0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark


Lemmas:
mark(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark2_4(n26_4)) -> gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark2_4(n26_4), rt in Omega(1 + n26_4)


Generator Equations:
gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark2_4(0) <=> 0'
gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:p:fact:prod:true:false:if:zero:add:cons_a__fact:cons_a__add:cons_a__prod:cons_a__if:cons_a__zero:cons_a__p:cons_mark2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
a__fact, a__if, a__add, a__prod, a__p, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__fact = a__if
a__fact = mark
a__fact = a__add
a__fact = a__prod
a__fact = a__p
a__fact < encArg
a__if = mark
a__if = a__add
a__if = a__prod
a__if = a__p
a__if < encArg
mark = a__add
mark = a__prod
mark = a__p
mark < encArg
a__add = a__prod
a__add = a__p
a__add < encArg
a__prod = a__p
a__prod < encArg
a__p < encArg