WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 799 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 9 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 13.6 s] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__pairNs -> cons(0, incr(oddNs)) a__oddNs -> a__incr(a__pairNs) a__incr(cons(X, XS)) -> cons(s(mark(X)), incr(XS)) a__take(0, XS) -> nil a__take(s(N), cons(X, XS)) -> cons(mark(X), take(N, XS)) a__zip(nil, XS) -> nil a__zip(X, nil) -> nil a__zip(cons(X, XS), cons(Y, YS)) -> cons(pair(mark(X), mark(Y)), zip(XS, YS)) a__tail(cons(X, XS)) -> mark(XS) a__repItems(nil) -> nil a__repItems(cons(X, XS)) -> cons(mark(X), cons(X, repItems(XS))) mark(pairNs) -> a__pairNs mark(incr(X)) -> a__incr(mark(X)) mark(oddNs) -> a__oddNs mark(take(X1, X2)) -> a__take(mark(X1), mark(X2)) mark(zip(X1, X2)) -> a__zip(mark(X1), mark(X2)) mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(repItems(X)) -> a__repItems(mark(X)) mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(0) -> 0 mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(pair(X1, X2)) -> pair(mark(X1), mark(X2)) a__pairNs -> pairNs a__incr(X) -> incr(X) a__oddNs -> oddNs a__take(X1, X2) -> take(X1, X2) a__zip(X1, X2) -> zip(X1, X2) a__tail(X) -> tail(X) a__repItems(X) -> repItems(X) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(oddNs) -> oddNs encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(zip(x_1, x_2)) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(repItems(x_1)) -> repItems(encArg(x_1)) encArg(pairNs) -> pairNs encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_a__pairNs) -> a__pairNs encArg(cons_a__oddNs) -> a__oddNs encArg(cons_a__incr(x_1)) -> a__incr(encArg(x_1)) encArg(cons_a__take(x_1, x_2)) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__zip(x_1, x_2)) -> a__zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_a__repItems(x_1)) -> a__repItems(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__pairNs -> a__pairNs encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_oddNs -> oddNs encode_a__oddNs -> a__oddNs encode_a__incr(x_1) -> a__incr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__take(x_1, x_2) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__zip(x_1, x_2) -> a__zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_zip(x_1, x_2) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_a__repItems(x_1) -> a__repItems(encArg(x_1)) encode_repItems(x_1) -> repItems(encArg(x_1)) encode_pairNs -> pairNs encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__pairNs -> cons(0, incr(oddNs)) a__oddNs -> a__incr(a__pairNs) a__incr(cons(X, XS)) -> cons(s(mark(X)), incr(XS)) a__take(0, XS) -> nil a__take(s(N), cons(X, XS)) -> cons(mark(X), take(N, XS)) a__zip(nil, XS) -> nil a__zip(X, nil) -> nil a__zip(cons(X, XS), cons(Y, YS)) -> cons(pair(mark(X), mark(Y)), zip(XS, YS)) a__tail(cons(X, XS)) -> mark(XS) a__repItems(nil) -> nil a__repItems(cons(X, XS)) -> cons(mark(X), cons(X, repItems(XS))) mark(pairNs) -> a__pairNs mark(incr(X)) -> a__incr(mark(X)) mark(oddNs) -> a__oddNs mark(take(X1, X2)) -> a__take(mark(X1), mark(X2)) mark(zip(X1, X2)) -> a__zip(mark(X1), mark(X2)) mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(repItems(X)) -> a__repItems(mark(X)) mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(0) -> 0 mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(pair(X1, X2)) -> pair(mark(X1), mark(X2)) a__pairNs -> pairNs a__incr(X) -> incr(X) a__oddNs -> oddNs a__take(X1, X2) -> take(X1, X2) a__zip(X1, X2) -> zip(X1, X2) a__tail(X) -> tail(X) a__repItems(X) -> repItems(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(oddNs) -> oddNs encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(zip(x_1, x_2)) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(repItems(x_1)) -> repItems(encArg(x_1)) encArg(pairNs) -> pairNs encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_a__pairNs) -> a__pairNs encArg(cons_a__oddNs) -> a__oddNs encArg(cons_a__incr(x_1)) -> a__incr(encArg(x_1)) encArg(cons_a__take(x_1, x_2)) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__zip(x_1, x_2)) -> a__zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_a__repItems(x_1)) -> a__repItems(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__pairNs -> a__pairNs encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_oddNs -> oddNs encode_a__oddNs -> a__oddNs encode_a__incr(x_1) -> a__incr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__take(x_1, x_2) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__zip(x_1, x_2) -> a__zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_zip(x_1, x_2) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_a__repItems(x_1) -> a__repItems(encArg(x_1)) encode_repItems(x_1) -> repItems(encArg(x_1)) encode_pairNs -> pairNs encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__pairNs -> cons(0, incr(oddNs)) a__oddNs -> a__incr(a__pairNs) a__incr(cons(X, XS)) -> cons(s(mark(X)), incr(XS)) a__take(0, XS) -> nil a__take(s(N), cons(X, XS)) -> cons(mark(X), take(N, XS)) a__zip(nil, XS) -> nil a__zip(X, nil) -> nil a__zip(cons(X, XS), cons(Y, YS)) -> cons(pair(mark(X), mark(Y)), zip(XS, YS)) a__tail(cons(X, XS)) -> mark(XS) a__repItems(nil) -> nil a__repItems(cons(X, XS)) -> cons(mark(X), cons(X, repItems(XS))) mark(pairNs) -> a__pairNs mark(incr(X)) -> a__incr(mark(X)) mark(oddNs) -> a__oddNs mark(take(X1, X2)) -> a__take(mark(X1), mark(X2)) mark(zip(X1, X2)) -> a__zip(mark(X1), mark(X2)) mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(repItems(X)) -> a__repItems(mark(X)) mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(0) -> 0 mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(pair(X1, X2)) -> pair(mark(X1), mark(X2)) a__pairNs -> pairNs a__incr(X) -> incr(X) a__oddNs -> oddNs a__take(X1, X2) -> take(X1, X2) a__zip(X1, X2) -> zip(X1, X2) a__tail(X) -> tail(X) a__repItems(X) -> repItems(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(oddNs) -> oddNs encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(zip(x_1, x_2)) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(repItems(x_1)) -> repItems(encArg(x_1)) encArg(pairNs) -> pairNs encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_a__pairNs) -> a__pairNs encArg(cons_a__oddNs) -> a__oddNs encArg(cons_a__incr(x_1)) -> a__incr(encArg(x_1)) encArg(cons_a__take(x_1, x_2)) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__zip(x_1, x_2)) -> a__zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_a__repItems(x_1)) -> a__repItems(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__pairNs -> a__pairNs encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_oddNs -> oddNs encode_a__oddNs -> a__oddNs encode_a__incr(x_1) -> a__incr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__take(x_1, x_2) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__zip(x_1, x_2) -> a__zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_zip(x_1, x_2) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_a__repItems(x_1) -> a__repItems(encArg(x_1)) encode_repItems(x_1) -> repItems(encArg(x_1)) encode_pairNs -> pairNs encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__pairNs -> cons(0', incr(oddNs)) a__oddNs -> a__incr(a__pairNs) a__incr(cons(X, XS)) -> cons(s(mark(X)), incr(XS)) a__take(0', XS) -> nil a__take(s(N), cons(X, XS)) -> cons(mark(X), take(N, XS)) a__zip(nil, XS) -> nil a__zip(X, nil) -> nil a__zip(cons(X, XS), cons(Y, YS)) -> cons(pair(mark(X), mark(Y)), zip(XS, YS)) a__tail(cons(X, XS)) -> mark(XS) a__repItems(nil) -> nil a__repItems(cons(X, XS)) -> cons(mark(X), cons(X, repItems(XS))) mark(pairNs) -> a__pairNs mark(incr(X)) -> a__incr(mark(X)) mark(oddNs) -> a__oddNs mark(take(X1, X2)) -> a__take(mark(X1), mark(X2)) mark(zip(X1, X2)) -> a__zip(mark(X1), mark(X2)) mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(repItems(X)) -> a__repItems(mark(X)) mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(0') -> 0' mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(pair(X1, X2)) -> pair(mark(X1), mark(X2)) a__pairNs -> pairNs a__incr(X) -> incr(X) a__oddNs -> oddNs a__take(X1, X2) -> take(X1, X2) a__zip(X1, X2) -> zip(X1, X2) a__tail(X) -> tail(X) a__repItems(X) -> repItems(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0') -> 0' encArg(incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(oddNs) -> oddNs encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(zip(x_1, x_2)) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(repItems(x_1)) -> repItems(encArg(x_1)) encArg(pairNs) -> pairNs encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_a__pairNs) -> a__pairNs encArg(cons_a__oddNs) -> a__oddNs encArg(cons_a__incr(x_1)) -> a__incr(encArg(x_1)) encArg(cons_a__take(x_1, x_2)) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__zip(x_1, x_2)) -> a__zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_a__repItems(x_1)) -> a__repItems(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__pairNs -> a__pairNs encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_oddNs -> oddNs encode_a__oddNs -> a__oddNs encode_a__incr(x_1) -> a__incr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__take(x_1, x_2) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__zip(x_1, x_2) -> a__zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_zip(x_1, x_2) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_a__repItems(x_1) -> a__repItems(encArg(x_1)) encode_repItems(x_1) -> repItems(encArg(x_1)) encode_pairNs -> pairNs encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: a__pairNs -> cons(0', incr(oddNs)) a__oddNs -> a__incr(a__pairNs) a__incr(cons(X, XS)) -> cons(s(mark(X)), incr(XS)) a__take(0', XS) -> nil a__take(s(N), cons(X, XS)) -> cons(mark(X), take(N, XS)) a__zip(nil, XS) -> nil a__zip(X, nil) -> nil a__zip(cons(X, XS), cons(Y, YS)) -> cons(pair(mark(X), mark(Y)), zip(XS, YS)) a__tail(cons(X, XS)) -> mark(XS) a__repItems(nil) -> nil a__repItems(cons(X, XS)) -> cons(mark(X), cons(X, repItems(XS))) mark(pairNs) -> a__pairNs mark(incr(X)) -> a__incr(mark(X)) mark(oddNs) -> a__oddNs mark(take(X1, X2)) -> a__take(mark(X1), mark(X2)) mark(zip(X1, X2)) -> a__zip(mark(X1), mark(X2)) mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(repItems(X)) -> a__repItems(mark(X)) mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(0') -> 0' mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(pair(X1, X2)) -> pair(mark(X1), mark(X2)) a__pairNs -> pairNs a__incr(X) -> incr(X) a__oddNs -> oddNs a__take(X1, X2) -> take(X1, X2) a__zip(X1, X2) -> zip(X1, X2) a__tail(X) -> tail(X) a__repItems(X) -> repItems(X) encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0') -> 0' encArg(incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(oddNs) -> oddNs encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(zip(x_1, x_2)) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(repItems(x_1)) -> repItems(encArg(x_1)) encArg(pairNs) -> pairNs encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_a__pairNs) -> a__pairNs encArg(cons_a__oddNs) -> a__oddNs encArg(cons_a__incr(x_1)) -> a__incr(encArg(x_1)) encArg(cons_a__take(x_1, x_2)) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__zip(x_1, x_2)) -> a__zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_a__repItems(x_1)) -> a__repItems(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__pairNs -> a__pairNs encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_oddNs -> oddNs encode_a__oddNs -> a__oddNs encode_a__incr(x_1) -> a__incr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__take(x_1, x_2) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__zip(x_1, x_2) -> a__zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_zip(x_1, x_2) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_a__repItems(x_1) -> a__repItems(encArg(x_1)) encode_repItems(x_1) -> repItems(encArg(x_1)) encode_pairNs -> pairNs encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) Types: a__pairNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark cons :: 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0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: a__oddNs, a__incr, mark, a__take, a__zip, a__tail, a__repItems, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a__oddNs = a__incr a__oddNs = mark a__oddNs = a__take a__oddNs = a__zip a__oddNs = a__tail a__oddNs = a__repItems a__oddNs < encArg a__incr = mark a__incr = a__take a__incr = a__zip a__incr = a__tail a__incr = a__repItems a__incr < encArg mark = a__take mark = a__zip mark = a__tail mark = a__repItems mark < encArg a__take = a__zip a__take = a__tail a__take = a__repItems a__take < encArg a__zip = a__tail a__zip = a__repItems a__zip < encArg a__tail = a__repItems a__tail < encArg a__repItems < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: a__pairNs -> cons(0', incr(oddNs)) a__oddNs -> a__incr(a__pairNs) a__incr(cons(X, XS)) -> cons(s(mark(X)), incr(XS)) a__take(0', XS) -> nil a__take(s(N), cons(X, XS)) -> cons(mark(X), take(N, XS)) a__zip(nil, XS) -> nil a__zip(X, nil) -> nil a__zip(cons(X, XS), cons(Y, YS)) -> cons(pair(mark(X), mark(Y)), zip(XS, YS)) a__tail(cons(X, XS)) -> mark(XS) a__repItems(nil) -> nil a__repItems(cons(X, XS)) -> cons(mark(X), cons(X, repItems(XS))) mark(pairNs) -> a__pairNs mark(incr(X)) -> a__incr(mark(X)) mark(oddNs) -> a__oddNs mark(take(X1, X2)) -> a__take(mark(X1), mark(X2)) mark(zip(X1, X2)) -> a__zip(mark(X1), mark(X2)) mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(repItems(X)) -> a__repItems(mark(X)) mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(0') -> 0' mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(pair(X1, X2)) -> pair(mark(X1), mark(X2)) a__pairNs -> pairNs a__incr(X) -> incr(X) a__oddNs -> oddNs a__take(X1, X2) -> take(X1, X2) a__zip(X1, X2) -> zip(X1, X2) a__tail(X) -> tail(X) a__repItems(X) -> repItems(X) encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0') -> 0' encArg(incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(oddNs) -> oddNs encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(zip(x_1, x_2)) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(repItems(x_1)) -> repItems(encArg(x_1)) encArg(pairNs) -> pairNs encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_a__pairNs) -> a__pairNs encArg(cons_a__oddNs) -> a__oddNs encArg(cons_a__incr(x_1)) -> a__incr(encArg(x_1)) encArg(cons_a__take(x_1, x_2)) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__zip(x_1, x_2)) -> a__zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_a__repItems(x_1)) -> a__repItems(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__pairNs -> a__pairNs encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_oddNs -> oddNs encode_a__oddNs -> a__oddNs encode_a__incr(x_1) -> a__incr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__take(x_1, x_2) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__zip(x_1, x_2) -> a__zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_zip(x_1, x_2) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_a__repItems(x_1) -> a__repItems(encArg(x_1)) encode_repItems(x_1) -> repItems(encArg(x_1)) encode_pairNs -> pairNs encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) Types: a__pairNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark cons :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark 0' :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark incr :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark oddNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark a__oddNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark a__incr :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark s :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark mark :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark a__take :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark nil :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark take :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark a__zip :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark pair :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark zip :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark a__tail :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark a__repItems :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark repItems :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark pairNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark tail :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark encArg :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 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0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark encode_0 :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark encode_incr :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark encode_oddNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark encode_a__oddNs :: 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0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark encode_a__take :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark encode_nil :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark encode_take :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark encode_a__zip :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark encode_pair :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark encode_zip :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark encode_a__tail :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark encode_a__repItems :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark encode_repItems :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark encode_pairNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark encode_tail :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark hole_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark1_3 :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark2_3 :: Nat -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark Generator Equations: gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark2_3(0) <=> 0' gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark2_3(+(x, 1)) <=> cons(gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark2_3(x), 0') The following defined symbols remain to be analysed: a__incr, a__oddNs, mark, a__take, a__zip, a__tail, a__repItems, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a__oddNs = a__incr a__oddNs = mark a__oddNs = a__take a__oddNs = a__zip a__oddNs = a__tail a__oddNs = a__repItems a__oddNs < encArg a__incr = mark a__incr = a__take a__incr = a__zip a__incr = a__tail a__incr = a__repItems a__incr < encArg mark = a__take mark = a__zip mark = a__tail mark = a__repItems mark < encArg a__take = a__zip a__take = a__tail a__take = a__repItems a__take < encArg a__zip = a__tail a__zip = a__repItems a__zip < encArg a__tail = a__repItems a__tail < encArg a__repItems < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: mark(gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark2_3(n1256293_3)) -> gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark2_3(n1256293_3), rt in Omega(1 + n1256293_3) Induction Base: mark(gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark2_3(0)) ->_R^Omega(1) 0' Induction Step: mark(gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark2_3(+(n1256293_3, 1))) ->_R^Omega(1) cons(mark(gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark2_3(n1256293_3)), 0') ->_IH cons(gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark2_3(c1256294_3), 0') We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: a__pairNs -> cons(0', incr(oddNs)) a__oddNs -> a__incr(a__pairNs) a__incr(cons(X, XS)) -> cons(s(mark(X)), incr(XS)) a__take(0', XS) -> nil a__take(s(N), cons(X, XS)) -> cons(mark(X), take(N, XS)) a__zip(nil, XS) -> nil a__zip(X, nil) -> nil a__zip(cons(X, XS), cons(Y, YS)) -> cons(pair(mark(X), mark(Y)), zip(XS, YS)) a__tail(cons(X, XS)) -> mark(XS) a__repItems(nil) -> nil a__repItems(cons(X, XS)) -> cons(mark(X), cons(X, repItems(XS))) mark(pairNs) -> a__pairNs mark(incr(X)) -> a__incr(mark(X)) mark(oddNs) -> a__oddNs mark(take(X1, X2)) -> a__take(mark(X1), mark(X2)) mark(zip(X1, X2)) -> a__zip(mark(X1), mark(X2)) mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(repItems(X)) -> a__repItems(mark(X)) mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(0') -> 0' mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(pair(X1, X2)) -> pair(mark(X1), mark(X2)) a__pairNs -> pairNs a__incr(X) -> incr(X) a__oddNs -> oddNs a__take(X1, X2) -> take(X1, X2) a__zip(X1, X2) -> zip(X1, X2) a__tail(X) -> tail(X) a__repItems(X) -> repItems(X) encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0') -> 0' encArg(incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(oddNs) -> oddNs encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(take(x_1, x_2)) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(pair(x_1, x_2)) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(zip(x_1, x_2)) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(repItems(x_1)) -> repItems(encArg(x_1)) encArg(pairNs) -> pairNs encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_a__pairNs) -> a__pairNs encArg(cons_a__oddNs) -> a__oddNs encArg(cons_a__incr(x_1)) -> a__incr(encArg(x_1)) encArg(cons_a__take(x_1, x_2)) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__zip(x_1, x_2)) -> a__zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_a__repItems(x_1)) -> a__repItems(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__pairNs -> a__pairNs encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_oddNs -> oddNs encode_a__oddNs -> a__oddNs encode_a__incr(x_1) -> a__incr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__take(x_1, x_2) -> a__take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_take(x_1, x_2) -> take(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__zip(x_1, x_2) -> a__zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_pair(x_1, x_2) -> pair(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_zip(x_1, x_2) -> zip(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_a__repItems(x_1) -> a__repItems(encArg(x_1)) encode_repItems(x_1) -> repItems(encArg(x_1)) encode_pairNs -> pairNs encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) Types: a__pairNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark cons :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark 0' :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark incr :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark oddNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark a__oddNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark a__incr :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark s :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark mark :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark a__take :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark nil :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark take :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark a__zip :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark pair :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark zip :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark a__tail :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark a__repItems :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark repItems :: 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0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark cons_a__take :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark cons_a__zip :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark cons_a__tail :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark cons_a__repItems :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark cons_mark :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark encode_a__pairNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark encode_cons :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark encode_0 :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark encode_incr :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark encode_oddNs :: 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0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark encode_mark :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark encode_a__take :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark encode_nil :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark encode_take :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark encode_a__zip :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark encode_pair :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark encode_zip :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark encode_a__tail :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark encode_a__repItems :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark encode_repItems :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark encode_pairNs :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark encode_tail :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark hole_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark1_3 :: 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark2_3 :: Nat -> 0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark Generator Equations: gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark2_3(0) <=> 0' gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark2_3(+(x, 1)) <=> cons(gen_0':oddNs:incr:cons:s:nil:take:pair:zip:repItems:pairNs:tail:cons_a__pairNs:cons_a__oddNs:cons_a__incr:cons_a__take:cons_a__zip:cons_a__tail:cons_a__repItems:cons_mark2_3(x), 0') The following defined symbols remain to be analysed: mark, a__oddNs, a__take, a__zip, a__tail, a__repItems, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a__oddNs = a__incr a__oddNs = mark a__oddNs = a__take a__oddNs = a__zip a__oddNs = a__tail a__oddNs = a__repItems a__oddNs < encArg a__incr = mark a__incr = a__take a__incr = a__zip a__incr = a__tail a__incr = a__repItems a__incr < encArg mark = a__take mark = a__zip mark = a__tail mark = a__repItems mark < encArg a__take = a__zip a__take = a__tail a__take = a__repItems a__take < encArg a__zip = a__tail a__zip = a__repItems a__zip < encArg a__tail = a__repItems a__tail < encArg a__repItems < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: a__pairNs -> cons(0', incr(oddNs)) a__oddNs -> a__incr(a__pairNs) a__incr(cons(X, XS)) -> cons(s(mark(X)), incr(XS)) a__take(0', XS) -> nil 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following defined symbols remain to be analysed: a__oddNs, a__incr, a__take, a__zip, a__tail, a__repItems, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a__oddNs = a__incr a__oddNs = mark a__oddNs = a__take a__oddNs = a__zip a__oddNs = a__tail a__oddNs = a__repItems a__oddNs < encArg a__incr = mark a__incr = a__take a__incr = a__zip a__incr = a__tail a__incr = a__repItems a__incr < encArg mark = a__take mark = a__zip mark = a__tail mark = a__repItems mark < encArg a__take = a__zip a__take = a__tail a__take = a__repItems a__take < encArg a__zip = a__tail a__zip = a__repItems a__zip < encArg a__tail = a__repItems a__tail < encArg a__repItems < encArg