WORST_CASE(Omega(n^1), ?)
proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 244 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 2 ms]
(6) CpxRelTRS
(7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(8) typed CpxTrs
(9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(10) typed CpxTrs
(11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 271 ms]
(12) BEST
    (13) proven lower bound
        (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (15) BOUNDS(n^1, INF)
    (16) typed CpxTrs
        (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 3102 ms]
        (18) typed CpxTrs
        (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
        (20) typed CpxTrs
        (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 31 ms]
        (22) typed CpxTrs
        (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 1474 ms]
        (24) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   -(x, 0) -> x
   -(s(x), s(y)) -> -(x, y)
   *(x, 0) -> 0
   *(x, s(y)) -> +(*(x, y), x)
   if(true, x, y) -> x
   if(false, x, y) -> y
   odd(0) -> false
   odd(s(0)) -> true
   odd(s(s(x))) -> odd(x)
   half(0) -> 0
   half(s(0)) -> 0
   half(s(s(x))) -> s(half(x))
   if(true, x, y) -> true
   if(false, x, y) -> false
   pow(x, y) -> f(x, y, s(0))
   f(x, 0, z) -> z
   f(x, s(y), z) -> if(odd(s(y)), f(x, y, *(x, z)), f(*(x, x), half(s(y)), z))

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(+(x_1, x_2)) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_odd(x_1)) -> odd(encArg(x_1))
   encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1))
   encArg(cons_pow(x_1, x_2)) -> pow(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_*(x_1, x_2) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_+(x_1, x_2) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_odd(x_1) -> odd(encArg(x_1))
   encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1))
   encode_pow(x_1, x_2) -> pow(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_f(x_1, x_2, x_3) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   -(x, 0) -> x
   -(s(x), s(y)) -> -(x, y)
   *(x, 0) -> 0
   *(x, s(y)) -> +(*(x, y), x)
   if(true, x, y) -> x
   if(false, x, y) -> y
   odd(0) -> false
   odd(s(0)) -> true
   odd(s(s(x))) -> odd(x)
   half(0) -> 0
   half(s(0)) -> 0
   half(s(s(x))) -> s(half(x))
   if(true, x, y) -> true
   if(false, x, y) -> false
   pow(x, y) -> f(x, y, s(0))
   f(x, 0, z) -> z
   f(x, s(y), z) -> if(odd(s(y)), f(x, y, *(x, z)), f(*(x, x), half(s(y)), z))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(+(x_1, x_2)) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_odd(x_1)) -> odd(encArg(x_1))
   encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1))
   encArg(cons_pow(x_1, x_2)) -> pow(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_*(x_1, x_2) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_+(x_1, x_2) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_odd(x_1) -> odd(encArg(x_1))
   encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1))
   encode_pow(x_1, x_2) -> pow(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_f(x_1, x_2, x_3) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   -(x, 0) -> x
   -(s(x), s(y)) -> -(x, y)
   *(x, 0) -> 0
   *(x, s(y)) -> +(*(x, y), x)
   if(true, x, y) -> x
   if(false, x, y) -> y
   odd(0) -> false
   odd(s(0)) -> true
   odd(s(s(x))) -> odd(x)
   half(0) -> 0
   half(s(0)) -> 0
   half(s(s(x))) -> s(half(x))
   if(true, x, y) -> true
   if(false, x, y) -> false
   pow(x, y) -> f(x, y, s(0))
   f(x, 0, z) -> z
   f(x, s(y), z) -> if(odd(s(y)), f(x, y, *(x, z)), f(*(x, x), half(s(y)), z))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(+(x_1, x_2)) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_odd(x_1)) -> odd(encArg(x_1))
   encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1))
   encArg(cons_pow(x_1, x_2)) -> pow(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_*(x_1, x_2) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_+(x_1, x_2) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_odd(x_1) -> odd(encArg(x_1))
   encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1))
   encode_pow(x_1, x_2) -> pow(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_f(x_1, x_2, x_3) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   -(x, 0') -> x
   -(s(x), s(y)) -> -(x, y)
   *'(x, 0') -> 0'
   *'(x, s(y)) -> +'(*'(x, y), x)
   if(true, x, y) -> x
   if(false, x, y) -> y
   odd(0') -> false
   odd(s(0')) -> true
   odd(s(s(x))) -> odd(x)
   half(0') -> 0'
   half(s(0')) -> 0'
   half(s(s(x))) -> s(half(x))
   if(true, x, y) -> true
   if(false, x, y) -> false
   pow(x, y) -> f(x, y, s(0'))
   f(x, 0', z) -> z
   f(x, s(y), z) -> if(odd(s(y)), f(x, y, *'(x, z)), f(*'(x, x), half(s(y)), z))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0') -> 0'
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(+'(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_odd(x_1)) -> odd(encArg(x_1))
   encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1))
   encArg(cons_pow(x_1, x_2)) -> pow(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0'
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_odd(x_1) -> odd(encArg(x_1))
   encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1))
   encode_pow(x_1, x_2) -> pow(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_f(x_1, x_2, x_3) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(8)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
-(x, 0') -> x
-(s(x), s(y)) -> -(x, y)
*'(x, 0') -> 0'
*'(x, s(y)) -> +'(*'(x, y), x)
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
odd(0') -> false
odd(s(0')) -> true
odd(s(s(x))) -> odd(x)
half(0') -> 0'
half(s(0')) -> 0'
half(s(s(x))) -> s(half(x))
if(true, x, y) -> true
if(false, x, y) -> false
pow(x, y) -> f(x, y, s(0'))
f(x, 0', z) -> z
f(x, s(y), z) -> if(odd(s(y)), f(x, y, *'(x, z)), f(*'(x, x), half(s(y)), z))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(+'(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_odd(x_1)) -> odd(encArg(x_1))
encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1))
encArg(cons_pow(x_1, x_2)) -> pow(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_odd(x_1) -> odd(encArg(x_1))
encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1))
encode_pow(x_1, x_2) -> pow(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_f(x_1, x_2, x_3) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Types:
- :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
0' :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
s :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
*' :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
+' :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
if :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
true :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
false :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
odd :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
half :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
pow :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
f :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encArg :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_- :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_* :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_if :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_odd :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_half :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_pow :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_f :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_- :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_0 :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_s :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_* :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_+ :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_if :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_true :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_false :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_odd :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_half :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_pow :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_f :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
hole_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f1_4 :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4 :: Nat -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f

----------------------------------------

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
-, *', odd, half, f, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
- < encArg
*' < f
*' < encArg
odd < f
odd < encArg
half < f
half < encArg
f < encArg

----------------------------------------

(10)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
-(x, 0') -> x
-(s(x), s(y)) -> -(x, y)
*'(x, 0') -> 0'
*'(x, s(y)) -> +'(*'(x, y), x)
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
odd(0') -> false
odd(s(0')) -> true
odd(s(s(x))) -> odd(x)
half(0') -> 0'
half(s(0')) -> 0'
half(s(s(x))) -> s(half(x))
if(true, x, y) -> true
if(false, x, y) -> false
pow(x, y) -> f(x, y, s(0'))
f(x, 0', z) -> z
f(x, s(y), z) -> if(odd(s(y)), f(x, y, *'(x, z)), f(*'(x, x), half(s(y)), z))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(+'(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_odd(x_1)) -> odd(encArg(x_1))
encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1))
encArg(cons_pow(x_1, x_2)) -> pow(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_odd(x_1) -> odd(encArg(x_1))
encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1))
encode_pow(x_1, x_2) -> pow(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_f(x_1, x_2, x_3) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Types:
- :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
0' :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
s :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
*' :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
+' :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
if :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
true :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
false :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
odd :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
half :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
pow :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
f :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encArg :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_- :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_* :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_if :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_odd :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_half :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_pow :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_f :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_- :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_0 :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_s :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_* :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_+ :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_if :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_true :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_false :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_odd :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_half :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_pow :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_f :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
hole_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f1_4 :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4 :: Nat -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f


Generator Equations:
gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(0) <=> 0'
gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
-, *', odd, half, f, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
- < encArg
*' < f
*' < encArg
odd < f
odd < encArg
half < f
half < encArg
f < encArg

----------------------------------------

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
-(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(n4_4), gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(n4_4)) -> gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(0), rt in Omega(1 + n4_4)

Induction Base:
-(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(0), gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(0)) ->_R^Omega(1)
gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(0)

Induction Step:
-(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(+(n4_4, 1)), gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(+(n4_4, 1))) ->_R^Omega(1)
-(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(n4_4), gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(n4_4)) ->_IH
gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(0)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(12)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(13)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
-(x, 0') -> x
-(s(x), s(y)) -> -(x, y)
*'(x, 0') -> 0'
*'(x, s(y)) -> +'(*'(x, y), x)
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
odd(0') -> false
odd(s(0')) -> true
odd(s(s(x))) -> odd(x)
half(0') -> 0'
half(s(0')) -> 0'
half(s(s(x))) -> s(half(x))
if(true, x, y) -> true
if(false, x, y) -> false
pow(x, y) -> f(x, y, s(0'))
f(x, 0', z) -> z
f(x, s(y), z) -> if(odd(s(y)), f(x, y, *'(x, z)), f(*'(x, x), half(s(y)), z))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(+'(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_odd(x_1)) -> odd(encArg(x_1))
encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1))
encArg(cons_pow(x_1, x_2)) -> pow(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_odd(x_1) -> odd(encArg(x_1))
encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1))
encode_pow(x_1, x_2) -> pow(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_f(x_1, x_2, x_3) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Types:
- :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
0' :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
s :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
*' :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
+' :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
if :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
true :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
false :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
odd :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
half :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
pow :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
f :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encArg :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_- :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_* :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_if :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_odd :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_half :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_pow :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_f :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_- :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_0 :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_s :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_* :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_+ :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_if :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_true :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_false :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_odd :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_half :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_pow :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_f :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
hole_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f1_4 :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4 :: Nat -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f


Generator Equations:
gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(0) <=> 0'
gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
-, *', odd, half, f, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
- < encArg
*' < f
*' < encArg
odd < f
odd < encArg
half < f
half < encArg
f < encArg

----------------------------------------

(14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(15)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
-(x, 0') -> x
-(s(x), s(y)) -> -(x, y)
*'(x, 0') -> 0'
*'(x, s(y)) -> +'(*'(x, y), x)
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
odd(0') -> false
odd(s(0')) -> true
odd(s(s(x))) -> odd(x)
half(0') -> 0'
half(s(0')) -> 0'
half(s(s(x))) -> s(half(x))
if(true, x, y) -> true
if(false, x, y) -> false
pow(x, y) -> f(x, y, s(0'))
f(x, 0', z) -> z
f(x, s(y), z) -> if(odd(s(y)), f(x, y, *'(x, z)), f(*'(x, x), half(s(y)), z))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(+'(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_odd(x_1)) -> odd(encArg(x_1))
encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1))
encArg(cons_pow(x_1, x_2)) -> pow(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_odd(x_1) -> odd(encArg(x_1))
encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1))
encode_pow(x_1, x_2) -> pow(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_f(x_1, x_2, x_3) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Types:
- :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
0' :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
s :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
*' :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
+' :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
if :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
true :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
false :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
odd :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
half :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
pow :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
f :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encArg :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_- :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_* :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_if :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_odd :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_half :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_pow :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_f :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_- :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_0 :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_s :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_* :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_+ :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_if :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_true :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_false :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_odd :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_half :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_pow :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_f :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
hole_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f1_4 :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4 :: Nat -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f


Lemmas:
-(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(n4_4), gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(n4_4)) -> gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(0), rt in Omega(1 + n4_4)


Generator Equations:
gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(0) <=> 0'
gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
*', odd, half, f, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
*' < f
*' < encArg
odd < f
odd < encArg
half < f
half < encArg
f < encArg

----------------------------------------

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
*'(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(a), gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(+(1, n824_4))) -> *3_4, rt in Omega(n824_4)

Induction Base:
*'(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(a), gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(+(1, 0)))

Induction Step:
*'(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(a), gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(+(1, +(n824_4, 1)))) ->_R^Omega(1)
+'(*'(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(a), gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(+(1, n824_4))), gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(a)) ->_IH
+'(*3_4, gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(a))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(18)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
-(x, 0') -> x
-(s(x), s(y)) -> -(x, y)
*'(x, 0') -> 0'
*'(x, s(y)) -> +'(*'(x, y), x)
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
odd(0') -> false
odd(s(0')) -> true
odd(s(s(x))) -> odd(x)
half(0') -> 0'
half(s(0')) -> 0'
half(s(s(x))) -> s(half(x))
if(true, x, y) -> true
if(false, x, y) -> false
pow(x, y) -> f(x, y, s(0'))
f(x, 0', z) -> z
f(x, s(y), z) -> if(odd(s(y)), f(x, y, *'(x, z)), f(*'(x, x), half(s(y)), z))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(+'(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_odd(x_1)) -> odd(encArg(x_1))
encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1))
encArg(cons_pow(x_1, x_2)) -> pow(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_odd(x_1) -> odd(encArg(x_1))
encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1))
encode_pow(x_1, x_2) -> pow(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_f(x_1, x_2, x_3) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Types:
- :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
0' :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
s :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
*' :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
+' :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
if :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
true :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
false :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
odd :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
half :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
pow :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
f :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encArg :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_- :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_* :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_if :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_odd :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_half :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_pow :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_f :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_- :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_0 :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_s :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_* :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_+ :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_if :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_true :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_false :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_odd :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_half :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_pow :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_f :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
hole_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f1_4 :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4 :: Nat -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f


Lemmas:
-(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(n4_4), gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(n4_4)) -> gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(0), rt in Omega(1 + n4_4)
*'(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(a), gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(+(1, n824_4))) -> *3_4, rt in Omega(n824_4)


Generator Equations:
gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(0) <=> 0'
gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
odd, half, f, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
odd < f
odd < encArg
half < f
half < encArg
f < encArg

----------------------------------------

(19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
odd(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(*(2, n87562_4))) -> false, rt in Omega(1 + n87562_4)

Induction Base:
odd(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(*(2, 0))) ->_R^Omega(1)
false

Induction Step:
odd(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(*(2, +(n87562_4, 1)))) ->_R^Omega(1)
odd(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(*(2, n87562_4))) ->_IH
false

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(20)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
-(x, 0') -> x
-(s(x), s(y)) -> -(x, y)
*'(x, 0') -> 0'
*'(x, s(y)) -> +'(*'(x, y), x)
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
odd(0') -> false
odd(s(0')) -> true
odd(s(s(x))) -> odd(x)
half(0') -> 0'
half(s(0')) -> 0'
half(s(s(x))) -> s(half(x))
if(true, x, y) -> true
if(false, x, y) -> false
pow(x, y) -> f(x, y, s(0'))
f(x, 0', z) -> z
f(x, s(y), z) -> if(odd(s(y)), f(x, y, *'(x, z)), f(*'(x, x), half(s(y)), z))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(+'(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_odd(x_1)) -> odd(encArg(x_1))
encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1))
encArg(cons_pow(x_1, x_2)) -> pow(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_odd(x_1) -> odd(encArg(x_1))
encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1))
encode_pow(x_1, x_2) -> pow(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_f(x_1, x_2, x_3) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Types:
- :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
0' :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
s :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
*' :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
+' :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
if :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
true :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
false :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
odd :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
half :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
pow :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
f :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encArg :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_- :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_* :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_if :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_odd :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_half :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_pow :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_f :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_- :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_0 :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_s :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_* :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_+ :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_if :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_true :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_false :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_odd :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_half :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_pow :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_f :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
hole_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f1_4 :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4 :: Nat -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f


Lemmas:
-(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(n4_4), gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(n4_4)) -> gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(0), rt in Omega(1 + n4_4)
*'(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(a), gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(+(1, n824_4))) -> *3_4, rt in Omega(n824_4)
odd(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(*(2, n87562_4))) -> false, rt in Omega(1 + n87562_4)


Generator Equations:
gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(0) <=> 0'
gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
half, f, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
half < f
half < encArg
f < encArg

----------------------------------------

(21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
half(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(*(2, n87984_4))) -> gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(n87984_4), rt in Omega(1 + n87984_4)

Induction Base:
half(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(*(2, 0))) ->_R^Omega(1)
0'

Induction Step:
half(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(*(2, +(n87984_4, 1)))) ->_R^Omega(1)
s(half(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(*(2, n87984_4)))) ->_IH
s(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(c87985_4))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(22)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
-(x, 0') -> x
-(s(x), s(y)) -> -(x, y)
*'(x, 0') -> 0'
*'(x, s(y)) -> +'(*'(x, y), x)
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
odd(0') -> false
odd(s(0')) -> true
odd(s(s(x))) -> odd(x)
half(0') -> 0'
half(s(0')) -> 0'
half(s(s(x))) -> s(half(x))
if(true, x, y) -> true
if(false, x, y) -> false
pow(x, y) -> f(x, y, s(0'))
f(x, 0', z) -> z
f(x, s(y), z) -> if(odd(s(y)), f(x, y, *'(x, z)), f(*'(x, x), half(s(y)), z))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(+'(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_odd(x_1)) -> odd(encArg(x_1))
encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1))
encArg(cons_pow(x_1, x_2)) -> pow(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_odd(x_1) -> odd(encArg(x_1))
encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1))
encode_pow(x_1, x_2) -> pow(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_f(x_1, x_2, x_3) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Types:
- :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
0' :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
s :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
*' :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
+' :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
if :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
true :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
false :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
odd :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
half :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
pow :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
f :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encArg :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_- :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_* :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_if :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_odd :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_half :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_pow :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
cons_f :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_- :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_0 :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_s :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_* :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_+ :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_if :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_true :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_false :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_odd :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_half :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_pow :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
encode_f :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
hole_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f1_4 :: 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f
gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4 :: Nat -> 0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f


Lemmas:
-(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(n4_4), gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(n4_4)) -> gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(0), rt in Omega(1 + n4_4)
*'(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(a), gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(+(1, n824_4))) -> *3_4, rt in Omega(n824_4)
odd(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(*(2, n87562_4))) -> false, rt in Omega(1 + n87562_4)
half(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(*(2, n87984_4))) -> gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(n87984_4), rt in Omega(1 + n87984_4)


Generator Equations:
gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(0) <=> 0'
gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
f, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
f < encArg

----------------------------------------

(23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(n96267_4)) -> gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(n96267_4), rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(0)) ->_R^Omega(0)
0'

Induction Step:
encArg(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(+(n96267_4, 1))) ->_R^Omega(0)
s(encArg(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(n96267_4))) ->_IH
s(gen_0':s:+':true:false:cons_-:cons_*:cons_if:cons_odd:cons_half:cons_pow:cons_f2_4(c96268_4))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(24)
BOUNDS(1, INF)