WORST_CASE(Omega(n^1), ?)
proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 333 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(6) CpxRelTRS
(7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(8) typed CpxTrs
(9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(10) typed CpxTrs
(11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 282 ms]
(12) BEST
    (13) proven lower bound
        (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (15) BOUNDS(n^1, INF)
    (16) typed CpxTrs
        (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 50 ms]
        (18) typed CpxTrs
        (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 1114 ms]
        (20) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   -(x, 0) -> x
   -(s(x), s(y)) -> -(x, y)
   <=(0, y) -> true
   <=(s(x), 0) -> false
   <=(s(x), s(y)) -> <=(x, y)
   if(true, x, y) -> x
   if(false, x, y) -> y
   perfectp(0) -> false
   perfectp(s(x)) -> f(x, s(0), s(x), s(x))
   f(0, y, 0, u) -> true
   f(0, y, s(z), u) -> false
   f(s(x), 0, z, u) -> f(x, u, -(z, s(x)), u)
   f(s(x), s(y), z, u) -> if(<=(x, y), f(s(x), -(y, x), z, u), f(x, u, z, u))

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_<=(x_1, x_2)) -> <=(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_perfectp(x_1)) -> perfectp(encArg(x_1))
   encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_<=(x_1, x_2) -> <=(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_perfectp(x_1) -> perfectp(encArg(x_1))
   encode_f(x_1, x_2, x_3, x_4) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   -(x, 0) -> x
   -(s(x), s(y)) -> -(x, y)
   <=(0, y) -> true
   <=(s(x), 0) -> false
   <=(s(x), s(y)) -> <=(x, y)
   if(true, x, y) -> x
   if(false, x, y) -> y
   perfectp(0) -> false
   perfectp(s(x)) -> f(x, s(0), s(x), s(x))
   f(0, y, 0, u) -> true
   f(0, y, s(z), u) -> false
   f(s(x), 0, z, u) -> f(x, u, -(z, s(x)), u)
   f(s(x), s(y), z, u) -> if(<=(x, y), f(s(x), -(y, x), z, u), f(x, u, z, u))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_<=(x_1, x_2)) -> <=(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_perfectp(x_1)) -> perfectp(encArg(x_1))
   encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_<=(x_1, x_2) -> <=(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_perfectp(x_1) -> perfectp(encArg(x_1))
   encode_f(x_1, x_2, x_3, x_4) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   -(x, 0) -> x
   -(s(x), s(y)) -> -(x, y)
   <=(0, y) -> true
   <=(s(x), 0) -> false
   <=(s(x), s(y)) -> <=(x, y)
   if(true, x, y) -> x
   if(false, x, y) -> y
   perfectp(0) -> false
   perfectp(s(x)) -> f(x, s(0), s(x), s(x))
   f(0, y, 0, u) -> true
   f(0, y, s(z), u) -> false
   f(s(x), 0, z, u) -> f(x, u, -(z, s(x)), u)
   f(s(x), s(y), z, u) -> if(<=(x, y), f(s(x), -(y, x), z, u), f(x, u, z, u))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_<=(x_1, x_2)) -> <=(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_perfectp(x_1)) -> perfectp(encArg(x_1))
   encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_<=(x_1, x_2) -> <=(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_perfectp(x_1) -> perfectp(encArg(x_1))
   encode_f(x_1, x_2, x_3, x_4) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   -(x, 0') -> x
   -(s(x), s(y)) -> -(x, y)
   <=(0', y) -> true
   <=(s(x), 0') -> false
   <=(s(x), s(y)) -> <=(x, y)
   if(true, x, y) -> x
   if(false, x, y) -> y
   perfectp(0') -> false
   perfectp(s(x)) -> f(x, s(0'), s(x), s(x))
   f(0', y, 0', u) -> true
   f(0', y, s(z), u) -> false
   f(s(x), 0', z, u) -> f(x, u, -(z, s(x)), u)
   f(s(x), s(y), z, u) -> if(<=(x, y), f(s(x), -(y, x), z, u), f(x, u, z, u))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0') -> 0'
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_<=(x_1, x_2)) -> <=(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_perfectp(x_1)) -> perfectp(encArg(x_1))
   encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0'
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_<=(x_1, x_2) -> <=(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_perfectp(x_1) -> perfectp(encArg(x_1))
   encode_f(x_1, x_2, x_3, x_4) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(8)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
-(x, 0') -> x
-(s(x), s(y)) -> -(x, y)
<=(0', y) -> true
<=(s(x), 0') -> false
<=(s(x), s(y)) -> <=(x, y)
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
perfectp(0') -> false
perfectp(s(x)) -> f(x, s(0'), s(x), s(x))
f(0', y, 0', u) -> true
f(0', y, s(z), u) -> false
f(s(x), 0', z, u) -> f(x, u, -(z, s(x)), u)
f(s(x), s(y), z, u) -> if(<=(x, y), f(s(x), -(y, x), z, u), f(x, u, z, u))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_<=(x_1, x_2)) -> <=(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_perfectp(x_1)) -> perfectp(encArg(x_1))
encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_<=(x_1, x_2) -> <=(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_perfectp(x_1) -> perfectp(encArg(x_1))
encode_f(x_1, x_2, x_3, x_4) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Types:
- :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
0' :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
s :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
<= :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
true :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
false :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
if :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
perfectp :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
f :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encArg :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
cons_- :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
cons_<= :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
cons_if :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
cons_perfectp :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
cons_f :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_- :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_s :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_<= :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_true :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_false :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_if :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_perfectp :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_f :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
hole_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f1_5 :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f

----------------------------------------

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
-, <=, f, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
- < f
- < encArg
<= < f
<= < encArg
f < encArg

----------------------------------------

(10)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
-(x, 0') -> x
-(s(x), s(y)) -> -(x, y)
<=(0', y) -> true
<=(s(x), 0') -> false
<=(s(x), s(y)) -> <=(x, y)
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
perfectp(0') -> false
perfectp(s(x)) -> f(x, s(0'), s(x), s(x))
f(0', y, 0', u) -> true
f(0', y, s(z), u) -> false
f(s(x), 0', z, u) -> f(x, u, -(z, s(x)), u)
f(s(x), s(y), z, u) -> if(<=(x, y), f(s(x), -(y, x), z, u), f(x, u, z, u))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_<=(x_1, x_2)) -> <=(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_perfectp(x_1)) -> perfectp(encArg(x_1))
encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_<=(x_1, x_2) -> <=(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_perfectp(x_1) -> perfectp(encArg(x_1))
encode_f(x_1, x_2, x_3, x_4) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Types:
- :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
0' :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
s :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
<= :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
true :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
false :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
if :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
perfectp :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
f :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encArg :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
cons_- :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
cons_<= :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
cons_if :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
cons_perfectp :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
cons_f :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_- :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_s :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_<= :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_true :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_false :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_if :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_perfectp :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_f :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
hole_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f1_5 :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
-, <=, f, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
- < f
- < encArg
<= < f
<= < encArg
f < encArg

----------------------------------------

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
-(gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(n4_5), gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(n4_5)) -> gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(0), rt in Omega(1 + n4_5)

Induction Base:
-(gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(0), gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(0)) ->_R^Omega(1)
gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(0)

Induction Step:
-(gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(+(n4_5, 1)), gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(+(n4_5, 1))) ->_R^Omega(1)
-(gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(n4_5), gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(n4_5)) ->_IH
gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(0)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(12)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(13)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
-(x, 0') -> x
-(s(x), s(y)) -> -(x, y)
<=(0', y) -> true
<=(s(x), 0') -> false
<=(s(x), s(y)) -> <=(x, y)
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
perfectp(0') -> false
perfectp(s(x)) -> f(x, s(0'), s(x), s(x))
f(0', y, 0', u) -> true
f(0', y, s(z), u) -> false
f(s(x), 0', z, u) -> f(x, u, -(z, s(x)), u)
f(s(x), s(y), z, u) -> if(<=(x, y), f(s(x), -(y, x), z, u), f(x, u, z, u))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_<=(x_1, x_2)) -> <=(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_perfectp(x_1)) -> perfectp(encArg(x_1))
encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_<=(x_1, x_2) -> <=(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_perfectp(x_1) -> perfectp(encArg(x_1))
encode_f(x_1, x_2, x_3, x_4) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Types:
- :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
0' :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
s :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
<= :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
true :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
false :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
if :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
perfectp :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
f :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encArg :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
cons_- :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
cons_<= :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
cons_if :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
cons_perfectp :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
cons_f :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_- :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_s :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_<= :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_true :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_false :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_if :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_perfectp :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_f :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
hole_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f1_5 :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
-, <=, f, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
- < f
- < encArg
<= < f
<= < encArg
f < encArg

----------------------------------------

(14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(15)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
-(x, 0') -> x
-(s(x), s(y)) -> -(x, y)
<=(0', y) -> true
<=(s(x), 0') -> false
<=(s(x), s(y)) -> <=(x, y)
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
perfectp(0') -> false
perfectp(s(x)) -> f(x, s(0'), s(x), s(x))
f(0', y, 0', u) -> true
f(0', y, s(z), u) -> false
f(s(x), 0', z, u) -> f(x, u, -(z, s(x)), u)
f(s(x), s(y), z, u) -> if(<=(x, y), f(s(x), -(y, x), z, u), f(x, u, z, u))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_<=(x_1, x_2)) -> <=(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_perfectp(x_1)) -> perfectp(encArg(x_1))
encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_<=(x_1, x_2) -> <=(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_perfectp(x_1) -> perfectp(encArg(x_1))
encode_f(x_1, x_2, x_3, x_4) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Types:
- :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
0' :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
s :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
<= :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
true :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
false :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
if :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
perfectp :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
f :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encArg :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
cons_- :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
cons_<= :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
cons_if :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
cons_perfectp :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
cons_f :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_- :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_s :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_<= :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_true :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_false :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_if :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_perfectp :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_f :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
hole_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f1_5 :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f


Lemmas:
-(gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(n4_5), gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(n4_5)) -> gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(0), rt in Omega(1 + n4_5)


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
<=, f, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
<= < f
<= < encArg
f < encArg

----------------------------------------

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
<=(gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(n664_5), gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(n664_5)) -> true, rt in Omega(1 + n664_5)

Induction Base:
<=(gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(0), gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(0)) ->_R^Omega(1)
true

Induction Step:
<=(gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(+(n664_5, 1)), gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(+(n664_5, 1))) ->_R^Omega(1)
<=(gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(n664_5), gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(n664_5)) ->_IH
true

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(18)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
-(x, 0') -> x
-(s(x), s(y)) -> -(x, y)
<=(0', y) -> true
<=(s(x), 0') -> false
<=(s(x), s(y)) -> <=(x, y)
if(true, x, y) -> x
if(false, x, y) -> y
perfectp(0') -> false
perfectp(s(x)) -> f(x, s(0'), s(x), s(x))
f(0', y, 0', u) -> true
f(0', y, s(z), u) -> false
f(s(x), 0', z, u) -> f(x, u, -(z, s(x)), u)
f(s(x), s(y), z, u) -> if(<=(x, y), f(s(x), -(y, x), z, u), f(x, u, z, u))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_<=(x_1, x_2)) -> <=(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_perfectp(x_1)) -> perfectp(encArg(x_1))
encArg(cons_f(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_<=(x_1, x_2) -> <=(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_perfectp(x_1) -> perfectp(encArg(x_1))
encode_f(x_1, x_2, x_3, x_4) -> f(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Types:
- :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
0' :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
s :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
<= :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
true :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
false :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
if :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
perfectp :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
f :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encArg :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
cons_- :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
cons_<= :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
cons_if :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
cons_perfectp :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
cons_f :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_- :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_s :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_<= :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_true :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_false :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_if :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_perfectp :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
encode_f :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
hole_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f1_5 :: 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f
gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f


Lemmas:
-(gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(n4_5), gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(n4_5)) -> gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(0), rt in Omega(1 + n4_5)
<=(gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(n664_5), gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(n664_5)) -> true, rt in Omega(1 + n664_5)


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
f, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
f < encArg

----------------------------------------

(19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(n16923_5)) -> gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(n16923_5), rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(0)) ->_R^Omega(0)
0'

Induction Step:
encArg(gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(+(n16923_5, 1))) ->_R^Omega(0)
s(encArg(gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(n16923_5))) ->_IH
s(gen_0':s:true:false:cons_-:cons_<=:cons_if:cons_perfectp:cons_f2_5(c16924_5))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(20)
BOUNDS(1, INF)