WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 297 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 3 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 488 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 110 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 112 ms] (20) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: cond(true, x, y) -> cond(gr(x, y), x, add(x, y)) gr(0, x) -> false gr(s(x), 0) -> true gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y) add(0, x) -> x add(s(x), y) -> s(add(x, y)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(true) -> true encArg(0) -> 0 encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_gr(x_1, x_2)) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cond(x_1, x_2, x_3) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_true -> true encode_gr(x_1, x_2) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_false -> false encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: cond(true, x, y) -> cond(gr(x, y), x, add(x, y)) gr(0, x) -> false gr(s(x), 0) -> true gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y) add(0, x) -> x add(s(x), y) -> s(add(x, y)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(true) -> true encArg(0) -> 0 encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_gr(x_1, x_2)) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cond(x_1, x_2, x_3) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_true -> true encode_gr(x_1, x_2) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_false -> false encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: cond(true, x, y) -> cond(gr(x, y), x, add(x, y)) gr(0, x) -> false gr(s(x), 0) -> true gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y) add(0, x) -> x add(s(x), y) -> s(add(x, y)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(true) -> true encArg(0) -> 0 encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_gr(x_1, x_2)) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cond(x_1, x_2, x_3) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_true -> true encode_gr(x_1, x_2) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_false -> false encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: cond(true, x, y) -> cond(gr(x, y), x, add(x, y)) gr(0', x) -> false gr(s(x), 0') -> true gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y) add(0', x) -> x add(s(x), y) -> s(add(x, y)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(true) -> true encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_gr(x_1, x_2)) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cond(x_1, x_2, x_3) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_true -> true encode_gr(x_1, x_2) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_false -> false encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: cond(true, x, y) -> cond(gr(x, y), x, add(x, y)) gr(0', x) -> false gr(s(x), 0') -> true gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y) add(0', x) -> x add(s(x), y) -> s(add(x, y)) encArg(true) -> true encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_gr(x_1, x_2)) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cond(x_1, x_2, x_3) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_true -> true encode_gr(x_1, x_2) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_false -> false encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Types: cond :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add true :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add gr :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add add :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add 0' :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add false :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add s :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encArg :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add cons_cond :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add cons_gr :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add cons_add :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_cond :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_true :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_gr :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_add :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_0 :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_false :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_s :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add hole_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add1_4 :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4 :: Nat -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: cond, gr, add, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: gr < cond add < cond cond < encArg gr < encArg add < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: cond(true, x, y) -> cond(gr(x, y), x, add(x, y)) gr(0', x) -> false gr(s(x), 0') -> true gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y) add(0', x) -> x add(s(x), y) -> s(add(x, y)) encArg(true) -> true encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_gr(x_1, x_2)) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cond(x_1, x_2, x_3) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_true -> true encode_gr(x_1, x_2) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_false -> false encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Types: cond :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add true :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add gr :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add add :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add 0' :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add false :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add s :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encArg :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add cons_cond :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add cons_gr :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add cons_add :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_cond :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_true :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_gr :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_add :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_0 :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_false :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_s :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add hole_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add1_4 :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4 :: Nat -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add Generator Equations: gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(0) <=> true gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: gr, cond, add, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: gr < cond add < cond cond < encArg gr < encArg add < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: gr(gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(+(1, n4_4)), gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) Induction Base: gr(gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(+(1, 0)), gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(+(1, 0))) Induction Step: gr(gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(+(1, +(n4_4, 1))), gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(+(1, +(n4_4, 1)))) ->_R^Omega(1) gr(gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(+(1, n4_4)), gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(+(1, n4_4))) ->_IH *3_4 We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: cond(true, x, y) -> cond(gr(x, y), x, add(x, y)) gr(0', x) -> false gr(s(x), 0') -> true gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y) add(0', x) -> x add(s(x), y) -> s(add(x, y)) encArg(true) -> true encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_gr(x_1, x_2)) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cond(x_1, x_2, x_3) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_true -> true encode_gr(x_1, x_2) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_false -> false encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Types: cond :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add true :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add gr :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add add :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add 0' :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add false :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add s :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encArg :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add cons_cond :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add cons_gr :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add cons_add :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_cond :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_true :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_gr :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_add :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_0 :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_false :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_s :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add hole_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add1_4 :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4 :: Nat -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add Generator Equations: gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(0) <=> true gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: gr, cond, add, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: gr < cond add < cond cond < encArg gr < encArg add < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: cond(true, x, y) -> cond(gr(x, y), x, add(x, y)) gr(0', x) -> false gr(s(x), 0') -> true gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y) add(0', x) -> x add(s(x), y) -> s(add(x, y)) encArg(true) -> true encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_gr(x_1, x_2)) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cond(x_1, x_2, x_3) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_true -> true encode_gr(x_1, x_2) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_false -> false encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Types: cond :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add true :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add gr :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add add :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add 0' :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add false :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add s :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encArg :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add cons_cond :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add cons_gr :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add cons_add :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_cond :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_true :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_gr :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_add :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_0 :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_false :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_s :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add hole_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add1_4 :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4 :: Nat -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add Lemmas: gr(gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(+(1, n4_4)), gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) Generator Equations: gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(0) <=> true gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: add, cond, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: add < cond cond < encArg add < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: add(gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(+(1, n1170_4)), gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n1170_4) Induction Base: add(gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(+(1, 0)), gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(b)) Induction Step: add(gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(+(1, +(n1170_4, 1))), gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(b)) ->_R^Omega(1) s(add(gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(+(1, n1170_4)), gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(b))) ->_IH s(*3_4) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: cond(true, x, y) -> cond(gr(x, y), x, add(x, y)) gr(0', x) -> false gr(s(x), 0') -> true gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y) add(0', x) -> x add(s(x), y) -> s(add(x, y)) encArg(true) -> true encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_gr(x_1, x_2)) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cond(x_1, x_2, x_3) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_true -> true encode_gr(x_1, x_2) -> gr(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_false -> false encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) Types: cond :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add true :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add gr :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add add :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add 0' :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add false :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add s :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encArg :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add cons_cond :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add cons_gr :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add cons_add :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_cond :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_true :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_gr :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_add :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_0 :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_false :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add encode_s :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add hole_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add1_4 :: true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4 :: Nat -> true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add Lemmas: gr(gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(+(1, n4_4)), gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) add(gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(+(1, n1170_4)), gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n1170_4) Generator Equations: gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(0) <=> true gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: cond, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cond < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(n3572_4)) -> gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(n3572_4), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(0)) ->_R^Omega(0) true Induction Step: encArg(gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(+(n3572_4, 1))) ->_R^Omega(0) s(encArg(gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(n3572_4))) ->_IH s(gen_true:0':false:s:cons_cond:cons_gr:cons_add2_4(c3573_4)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (20) BOUNDS(1, INF)