WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 303 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 1 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 520 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 58 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 105 ms] (20) typed CpxTrs (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 764 ms] (22) typed CpxTrs (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 346 ms] (24) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: log(x, s(s(y))) -> cond(le(x, s(s(y))), x, y) cond(true, x, y) -> s(0) cond(false, x, y) -> double(log(x, square(s(s(y))))) le(0, v) -> true le(s(u), 0) -> false le(s(u), s(v)) -> le(u, v) double(0) -> 0 double(s(x)) -> s(s(double(x))) square(0) -> 0 square(s(x)) -> s(plus(square(x), double(x))) plus(n, 0) -> n plus(n, s(m)) -> s(plus(n, m)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(0) -> 0 encArg(false) -> false encArg(cons_log(x_1, x_2)) -> log(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1)) encArg(cons_square(x_1)) -> square(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_log(x_1, x_2) -> log(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_cond(x_1, x_2, x_3) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_0 -> 0 encode_false -> false encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1)) encode_square(x_1) -> square(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: log(x, s(s(y))) -> cond(le(x, s(s(y))), x, y) cond(true, x, y) -> s(0) cond(false, x, y) -> double(log(x, square(s(s(y))))) le(0, v) -> true le(s(u), 0) -> false le(s(u), s(v)) -> le(u, v) double(0) -> 0 double(s(x)) -> s(s(double(x))) square(0) -> 0 square(s(x)) -> s(plus(square(x), double(x))) plus(n, 0) -> n plus(n, s(m)) -> s(plus(n, m)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(0) -> 0 encArg(false) -> false encArg(cons_log(x_1, x_2)) -> log(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1)) encArg(cons_square(x_1)) -> square(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_log(x_1, x_2) -> log(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_cond(x_1, x_2, x_3) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_0 -> 0 encode_false -> false encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1)) encode_square(x_1) -> square(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: log(x, s(s(y))) -> cond(le(x, s(s(y))), x, y) cond(true, x, y) -> s(0) cond(false, x, y) -> double(log(x, square(s(s(y))))) le(0, v) -> true le(s(u), 0) -> false le(s(u), s(v)) -> le(u, v) double(0) -> 0 double(s(x)) -> s(s(double(x))) square(0) -> 0 square(s(x)) -> s(plus(square(x), double(x))) plus(n, 0) -> n plus(n, s(m)) -> s(plus(n, m)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(0) -> 0 encArg(false) -> false encArg(cons_log(x_1, x_2)) -> log(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1)) encArg(cons_square(x_1)) -> square(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_log(x_1, x_2) -> log(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_cond(x_1, x_2, x_3) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_0 -> 0 encode_false -> false encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1)) encode_square(x_1) -> square(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: log(x, s(s(y))) -> cond(le(x, s(s(y))), x, y) cond(true, x, y) -> s(0') cond(false, x, y) -> double(log(x, square(s(s(y))))) le(0', v) -> true le(s(u), 0') -> false le(s(u), s(v)) -> le(u, v) double(0') -> 0' double(s(x)) -> s(s(double(x))) square(0') -> 0' square(s(x)) -> s(plus(square(x), double(x))) plus(n, 0') -> n plus(n, s(m)) -> s(plus(n, m)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(cons_log(x_1, x_2)) -> log(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1)) encArg(cons_square(x_1)) -> square(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_log(x_1, x_2) -> log(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_cond(x_1, x_2, x_3) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_0 -> 0' encode_false -> false encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1)) encode_square(x_1) -> square(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: log(x, s(s(y))) -> cond(le(x, s(s(y))), x, y) cond(true, x, y) -> s(0') cond(false, x, y) -> double(log(x, square(s(s(y))))) le(0', v) -> true le(s(u), 0') -> false le(s(u), s(v)) -> le(u, v) double(0') -> 0' double(s(x)) -> s(s(double(x))) square(0') -> 0' square(s(x)) -> s(plus(square(x), double(x))) plus(n, 0') -> n plus(n, s(m)) -> s(plus(n, m)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(cons_log(x_1, x_2)) -> log(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1)) encArg(cons_square(x_1)) -> square(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_log(x_1, x_2) -> log(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_cond(x_1, x_2, x_3) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_0 -> 0' encode_false -> false encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1)) encode_square(x_1) -> square(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: log :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus s :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cond :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus le :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus true :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus 0' :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus false :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus double :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus square :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus plus :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encArg :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_log :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_cond :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_le :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_double :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_square :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_plus :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_log :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_s :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_cond :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_le :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_true :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_0 :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_false :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_double :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_square :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_plus :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus hole_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus1_4 :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4 :: Nat -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: log, cond, le, double, square, plus, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: log = cond le < log log < encArg double < cond square < cond cond < encArg le < encArg double < square double < encArg plus < square square < encArg plus < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: log(x, s(s(y))) -> cond(le(x, s(s(y))), x, y) cond(true, x, y) -> s(0') cond(false, x, y) -> double(log(x, square(s(s(y))))) le(0', v) -> true le(s(u), 0') -> false le(s(u), s(v)) -> le(u, v) double(0') -> 0' double(s(x)) -> s(s(double(x))) square(0') -> 0' square(s(x)) -> s(plus(square(x), double(x))) plus(n, 0') -> n plus(n, s(m)) -> s(plus(n, m)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(cons_log(x_1, x_2)) -> log(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1)) encArg(cons_square(x_1)) -> square(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_log(x_1, x_2) -> log(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_cond(x_1, x_2, x_3) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_0 -> 0' encode_false -> false encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1)) encode_square(x_1) -> square(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: log :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus s :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cond :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus le :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus true :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus 0' :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus false :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus double :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus square :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus plus :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encArg :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_log :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_cond :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_le :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_double :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_square :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_plus :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_log :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_s :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_cond :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_le :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_true :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_0 :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_false :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_double :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_square :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_plus :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus hole_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus1_4 :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4 :: Nat -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus Generator Equations: gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(0) <=> true gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: le, log, cond, double, square, plus, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: log = cond le < log log < encArg double < cond square < cond cond < encArg le < encArg double < square double < encArg plus < square square < encArg plus < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: le(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, n4_4)), gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) Induction Base: le(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, 0)), gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, 0))) Induction Step: le(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, +(n4_4, 1))), gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, +(n4_4, 1)))) ->_R^Omega(1) le(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, n4_4)), gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, n4_4))) ->_IH *3_4 We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: log(x, s(s(y))) -> cond(le(x, s(s(y))), x, y) cond(true, x, y) -> s(0') cond(false, x, y) -> double(log(x, square(s(s(y))))) le(0', v) -> true le(s(u), 0') -> false le(s(u), s(v)) -> le(u, v) double(0') -> 0' double(s(x)) -> s(s(double(x))) square(0') -> 0' square(s(x)) -> s(plus(square(x), double(x))) plus(n, 0') -> n plus(n, s(m)) -> s(plus(n, m)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(cons_log(x_1, x_2)) -> log(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1)) encArg(cons_square(x_1)) -> square(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_log(x_1, x_2) -> log(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_cond(x_1, x_2, x_3) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_0 -> 0' encode_false -> false encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1)) encode_square(x_1) -> square(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: log :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus s :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cond :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus le :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus true :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus 0' :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus false :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus double :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus square :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus plus :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encArg :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_log :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_cond :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_le :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_double :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_square :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_plus :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_log :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_s :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_cond :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_le :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_true :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_0 :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_false :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_double :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_square :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_plus :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus hole_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus1_4 :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4 :: Nat -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus Generator Equations: gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(0) <=> true gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: le, log, cond, double, square, plus, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: log = cond le < log log < encArg double < cond square < cond cond < encArg le < encArg double < square double < encArg plus < square square < encArg plus < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: log(x, s(s(y))) -> cond(le(x, s(s(y))), x, y) cond(true, x, y) -> s(0') cond(false, x, y) -> double(log(x, square(s(s(y))))) le(0', v) -> true le(s(u), 0') -> false le(s(u), s(v)) -> le(u, v) double(0') -> 0' double(s(x)) -> s(s(double(x))) square(0') -> 0' square(s(x)) -> s(plus(square(x), double(x))) plus(n, 0') -> n plus(n, s(m)) -> s(plus(n, m)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(cons_log(x_1, x_2)) -> log(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1)) encArg(cons_square(x_1)) -> square(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_log(x_1, x_2) -> log(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_cond(x_1, x_2, x_3) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_0 -> 0' encode_false -> false encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1)) encode_square(x_1) -> square(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: log :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus s :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cond :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus le :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus true :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus 0' :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus false :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus double :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus square :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus plus :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encArg :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_log :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_cond :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_le :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_double :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_square :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_plus :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_log :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_s :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_cond :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_le :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_true :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_0 :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_false :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_double :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_square :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_plus :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus hole_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus1_4 :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4 :: Nat -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus Lemmas: le(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, n4_4)), gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) Generator Equations: gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(0) <=> true gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: double, log, cond, square, plus, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: log = cond log < encArg double < cond square < cond cond < encArg double < square double < encArg plus < square square < encArg plus < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: double(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, n1314_4))) -> *3_4, rt in Omega(n1314_4) Induction Base: double(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, 0))) Induction Step: double(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, +(n1314_4, 1)))) ->_R^Omega(1) s(s(double(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, n1314_4))))) ->_IH s(s(*3_4)) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: log(x, s(s(y))) -> cond(le(x, s(s(y))), x, y) cond(true, x, y) -> s(0') cond(false, x, y) -> double(log(x, square(s(s(y))))) le(0', v) -> true le(s(u), 0') -> false le(s(u), s(v)) -> le(u, v) double(0') -> 0' double(s(x)) -> s(s(double(x))) square(0') -> 0' square(s(x)) -> s(plus(square(x), double(x))) plus(n, 0') -> n plus(n, s(m)) -> s(plus(n, m)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(cons_log(x_1, x_2)) -> log(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1)) encArg(cons_square(x_1)) -> square(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_log(x_1, x_2) -> log(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_cond(x_1, x_2, x_3) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_0 -> 0' encode_false -> false encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1)) encode_square(x_1) -> square(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: log :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus s :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cond :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus le :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus true :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus 0' :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus false :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus double :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus square :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus plus :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encArg :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_log :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_cond :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_le :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_double :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_square :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_plus :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_log :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_s :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_cond :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_le :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_true :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_0 :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_false :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_double :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_square :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_plus :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus hole_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus1_4 :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4 :: Nat -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus Lemmas: le(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, n4_4)), gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) double(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, n1314_4))) -> *3_4, rt in Omega(n1314_4) Generator Equations: gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(0) <=> true gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: plus, log, cond, square, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: log = cond log < encArg square < cond cond < encArg plus < square square < encArg plus < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: plus(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(a), gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, n1831_4))) -> *3_4, rt in Omega(n1831_4) Induction Base: plus(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(a), gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, 0))) Induction Step: plus(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(a), gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, +(n1831_4, 1)))) ->_R^Omega(1) s(plus(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(a), gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, n1831_4)))) ->_IH s(*3_4) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (20) Obligation: Innermost TRS: Rules: log(x, s(s(y))) -> cond(le(x, s(s(y))), x, y) cond(true, x, y) -> s(0') cond(false, x, y) -> double(log(x, square(s(s(y))))) le(0', v) -> true le(s(u), 0') -> false le(s(u), s(v)) -> le(u, v) double(0') -> 0' double(s(x)) -> s(s(double(x))) square(0') -> 0' square(s(x)) -> s(plus(square(x), double(x))) plus(n, 0') -> n plus(n, s(m)) -> s(plus(n, m)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(cons_log(x_1, x_2)) -> log(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1)) encArg(cons_square(x_1)) -> square(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_log(x_1, x_2) -> log(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_cond(x_1, x_2, x_3) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_0 -> 0' encode_false -> false encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1)) encode_square(x_1) -> square(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: log :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus s :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cond :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus le :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus true :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus 0' :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus false :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus double :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus square :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus plus :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encArg :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_log :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_cond :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_le :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_double :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_square :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_plus :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_log :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_s :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_cond :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_le :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_true :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_0 :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_false :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_double :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_square :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_plus :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus hole_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus1_4 :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4 :: Nat -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus Lemmas: le(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, n4_4)), gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) double(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, n1314_4))) -> *3_4, rt in Omega(n1314_4) plus(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(a), gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, n1831_4))) -> *3_4, rt in Omega(n1831_4) Generator Equations: gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(0) <=> true gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: square, log, cond, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: log = cond log < encArg square < cond cond < encArg square < encArg ---------------------------------------- (21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: square(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, n3275_4))) -> *3_4, rt in Omega(n3275_4) Induction Base: square(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, 0))) Induction Step: square(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, +(n3275_4, 1)))) ->_R^Omega(1) s(plus(square(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, n3275_4))), double(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, n3275_4))))) ->_IH s(plus(*3_4, double(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, n3275_4))))) ->_R^Omega(1) s(plus(*3_4, s(s(double(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(n3275_4)))))) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (22) Obligation: Innermost TRS: Rules: log(x, s(s(y))) -> cond(le(x, s(s(y))), x, y) cond(true, x, y) -> s(0') cond(false, x, y) -> double(log(x, square(s(s(y))))) le(0', v) -> true le(s(u), 0') -> false le(s(u), s(v)) -> le(u, v) double(0') -> 0' double(s(x)) -> s(s(double(x))) square(0') -> 0' square(s(x)) -> s(plus(square(x), double(x))) plus(n, 0') -> n plus(n, s(m)) -> s(plus(n, m)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(cons_log(x_1, x_2)) -> log(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_cond(x_1, x_2, x_3)) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1)) encArg(cons_square(x_1)) -> square(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_log(x_1, x_2) -> log(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_cond(x_1, x_2, x_3) -> cond(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_0 -> 0' encode_false -> false encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1)) encode_square(x_1) -> square(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: log :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus s :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cond :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus le :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus true :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus 0' :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus false :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus double :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus square :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus plus :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encArg :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_log :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_cond :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_le :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_double :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_square :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus cons_plus :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_log :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_s :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_cond :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_le :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_true :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_0 :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_false :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_double :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_square :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus encode_plus :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus hole_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus1_4 :: s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4 :: Nat -> s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus Lemmas: le(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, n4_4)), gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, n4_4))) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) double(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, n1314_4))) -> *3_4, rt in Omega(n1314_4) plus(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(a), gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, n1831_4))) -> *3_4, rt in Omega(n1831_4) square(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(1, n3275_4))) -> *3_4, rt in Omega(n3275_4) Generator Equations: gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(0) <=> true gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: cond, log, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: log = cond log < encArg cond < encArg ---------------------------------------- (23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(n6852_4)) -> gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(n6852_4), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(0)) ->_R^Omega(0) true Induction Step: encArg(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(+(n6852_4, 1))) ->_R^Omega(0) s(encArg(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(n6852_4))) ->_IH s(gen_s:true:0':false:cons_log:cons_cond:cons_le:cons_double:cons_square:cons_plus2_4(c6853_4)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (24) BOUNDS(1, INF)