WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 579 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 284 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 4704 ms] (18) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: max(nil) -> 0 max(cons(x, nil)) -> x max(cons(x, cons(y, xs))) -> if1(ge(x, y), x, y, xs) if1(true, x, y, xs) -> max(cons(x, xs)) if1(false, x, y, xs) -> max(cons(y, xs)) del(x, nil) -> nil del(x, cons(y, xs)) -> if2(eq(x, y), x, y, xs) if2(true, x, y, xs) -> xs if2(false, x, y, xs) -> cons(y, del(x, xs)) eq(0, 0) -> true eq(0, s(y)) -> false eq(s(x), 0) -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) sort(nil) -> nil sort(cons(x, xs)) -> cons(max(cons(x, xs)), sort(h(del(max(cons(x, xs)), cons(x, xs))))) ge(0, 0) -> true ge(s(x), 0) -> true ge(0, s(x)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) h(nil) -> nil h(cons(x, xs)) -> cons(x, h(xs)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(nil) -> nil encArg(0) -> 0 encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_max(x_1)) -> max(encArg(x_1)) encArg(cons_if1(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_del(x_1, x_2)) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sort(x_1)) -> sort(encArg(x_1)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_h(x_1)) -> h(encArg(x_1)) encode_max(x_1) -> max(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_0 -> 0 encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if1(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_del(x_1, x_2) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if2(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_sort(x_1) -> sort(encArg(x_1)) encode_h(x_1) -> h(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: max(nil) -> 0 max(cons(x, nil)) -> x max(cons(x, cons(y, xs))) -> if1(ge(x, y), x, y, xs) if1(true, x, y, xs) -> max(cons(x, xs)) if1(false, x, y, xs) -> max(cons(y, xs)) del(x, nil) -> nil del(x, cons(y, xs)) -> if2(eq(x, y), x, y, xs) if2(true, x, y, xs) -> xs if2(false, x, y, xs) -> cons(y, del(x, xs)) eq(0, 0) -> true eq(0, s(y)) -> false eq(s(x), 0) -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) sort(nil) -> nil sort(cons(x, xs)) -> cons(max(cons(x, xs)), sort(h(del(max(cons(x, xs)), cons(x, xs))))) ge(0, 0) -> true ge(s(x), 0) -> true ge(0, s(x)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) h(nil) -> nil h(cons(x, xs)) -> cons(x, h(xs)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(nil) -> nil encArg(0) -> 0 encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_max(x_1)) -> max(encArg(x_1)) encArg(cons_if1(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_del(x_1, x_2)) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sort(x_1)) -> sort(encArg(x_1)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_h(x_1)) -> h(encArg(x_1)) encode_max(x_1) -> max(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_0 -> 0 encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if1(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_del(x_1, x_2) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if2(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_sort(x_1) -> sort(encArg(x_1)) encode_h(x_1) -> h(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: max(nil) -> 0 max(cons(x, nil)) -> x max(cons(x, cons(y, xs))) -> if1(ge(x, y), x, y, xs) if1(true, x, y, xs) -> max(cons(x, xs)) if1(false, x, y, xs) -> max(cons(y, xs)) del(x, nil) -> nil del(x, cons(y, xs)) -> if2(eq(x, y), x, y, xs) if2(true, x, y, xs) -> xs if2(false, x, y, xs) -> cons(y, del(x, xs)) eq(0, 0) -> true eq(0, s(y)) -> false eq(s(x), 0) -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) sort(nil) -> nil sort(cons(x, xs)) -> cons(max(cons(x, xs)), sort(h(del(max(cons(x, xs)), cons(x, xs))))) ge(0, 0) -> true ge(s(x), 0) -> true ge(0, s(x)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) h(nil) -> nil h(cons(x, xs)) -> cons(x, h(xs)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(nil) -> nil encArg(0) -> 0 encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_max(x_1)) -> max(encArg(x_1)) encArg(cons_if1(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_del(x_1, x_2)) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sort(x_1)) -> sort(encArg(x_1)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_h(x_1)) -> h(encArg(x_1)) encode_max(x_1) -> max(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_0 -> 0 encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if1(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_del(x_1, x_2) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if2(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_sort(x_1) -> sort(encArg(x_1)) encode_h(x_1) -> h(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: max(nil) -> 0' max(cons(x, nil)) -> x max(cons(x, cons(y, xs))) -> if1(ge(x, y), x, y, xs) if1(true, x, y, xs) -> max(cons(x, xs)) if1(false, x, y, xs) -> max(cons(y, xs)) del(x, nil) -> nil del(x, cons(y, xs)) -> if2(eq(x, y), x, y, xs) if2(true, x, y, xs) -> xs if2(false, x, y, xs) -> cons(y, del(x, xs)) eq(0', 0') -> true eq(0', s(y)) -> false eq(s(x), 0') -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) sort(nil) -> nil sort(cons(x, xs)) -> cons(max(cons(x, xs)), sort(h(del(max(cons(x, xs)), cons(x, xs))))) ge(0', 0') -> true ge(s(x), 0') -> true ge(0', s(x)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) h(nil) -> nil h(cons(x, xs)) -> cons(x, h(xs)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(nil) -> nil encArg(0') -> 0' encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_max(x_1)) -> max(encArg(x_1)) encArg(cons_if1(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_del(x_1, x_2)) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sort(x_1)) -> sort(encArg(x_1)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_h(x_1)) -> h(encArg(x_1)) encode_max(x_1) -> max(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_0 -> 0' encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if1(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_del(x_1, x_2) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if2(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_sort(x_1) -> sort(encArg(x_1)) encode_h(x_1) -> h(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: max(nil) -> 0' max(cons(x, nil)) -> x max(cons(x, cons(y, xs))) -> if1(ge(x, y), x, y, xs) if1(true, x, y, xs) -> max(cons(x, xs)) if1(false, x, y, xs) -> max(cons(y, xs)) del(x, nil) -> nil del(x, cons(y, xs)) -> if2(eq(x, y), x, y, xs) if2(true, x, y, xs) -> xs if2(false, x, y, xs) -> cons(y, del(x, xs)) eq(0', 0') -> true eq(0', s(y)) -> false eq(s(x), 0') -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) sort(nil) -> nil sort(cons(x, xs)) -> cons(max(cons(x, xs)), sort(h(del(max(cons(x, xs)), cons(x, xs))))) ge(0', 0') -> true ge(s(x), 0') -> true ge(0', s(x)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) h(nil) -> nil h(cons(x, xs)) -> cons(x, h(xs)) encArg(nil) -> nil encArg(0') -> 0' encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_max(x_1)) -> max(encArg(x_1)) encArg(cons_if1(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_del(x_1, x_2)) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sort(x_1)) -> sort(encArg(x_1)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_h(x_1)) -> h(encArg(x_1)) encode_max(x_1) -> max(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_0 -> 0' encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if1(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_del(x_1, x_2) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if2(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_sort(x_1) -> sort(encArg(x_1)) encode_h(x_1) -> h(encArg(x_1)) Types: max :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h nil :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h 0' :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h if1 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h ge :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h true :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h false :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h del :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h if2 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h eq :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h s :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h sort :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h h :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encArg :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons_max :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons_if1 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons_del :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons_if2 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons_eq :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons_sort :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons_ge :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons_h :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_max :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_nil :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_0 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_cons :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_if1 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_ge :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_true :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_false :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_del :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_if2 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_eq :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_s :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_sort :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_h :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h hole_nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h1_5 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h2_5 :: Nat -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: max, if1, ge, del, if2, eq, sort, h, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: max = if1 ge < max max < sort max < encArg if1 < encArg ge < encArg del = if2 eq < del del < sort del < encArg if2 < encArg eq < encArg h < sort sort < encArg h < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: max(nil) -> 0' max(cons(x, nil)) -> x max(cons(x, cons(y, xs))) -> if1(ge(x, y), x, y, xs) if1(true, x, y, xs) -> max(cons(x, xs)) if1(false, x, y, xs) -> max(cons(y, xs)) del(x, nil) -> nil del(x, cons(y, xs)) -> if2(eq(x, y), x, y, xs) if2(true, x, y, xs) -> xs if2(false, x, y, xs) -> cons(y, del(x, xs)) eq(0', 0') -> true eq(0', s(y)) -> false eq(s(x), 0') -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) sort(nil) -> nil sort(cons(x, xs)) -> cons(max(cons(x, xs)), sort(h(del(max(cons(x, xs)), cons(x, xs))))) ge(0', 0') -> true ge(s(x), 0') -> true ge(0', s(x)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) h(nil) -> nil h(cons(x, xs)) -> cons(x, h(xs)) encArg(nil) -> nil encArg(0') -> 0' encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_max(x_1)) -> max(encArg(x_1)) encArg(cons_if1(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_del(x_1, x_2)) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sort(x_1)) -> sort(encArg(x_1)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_h(x_1)) -> h(encArg(x_1)) encode_max(x_1) -> max(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_0 -> 0' encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if1(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_del(x_1, x_2) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if2(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_sort(x_1) -> sort(encArg(x_1)) encode_h(x_1) -> h(encArg(x_1)) Types: max :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h nil :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h 0' :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h if1 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h ge :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h true :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h false :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h del :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h if2 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h eq :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h s :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h sort :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h h :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encArg :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons_max :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons_if1 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons_del :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons_if2 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons_eq :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons_sort :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons_ge :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons_h :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_max :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_nil :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_0 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_cons :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_if1 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_ge :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_true :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_false :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_del :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_if2 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_eq :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_s :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_sort :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_h :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h hole_nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h1_5 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h2_5 :: Nat -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h Generator Equations: gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h2_5(0) <=> nil gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h2_5(+(x, 1)) <=> cons(nil, gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h2_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: ge, max, if1, del, if2, eq, sort, h, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: max = if1 ge < max max < sort max < encArg if1 < encArg ge < encArg del = if2 eq < del del < sort del < encArg if2 < encArg eq < encArg h < sort sort < encArg h < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: h(gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h2_5(n82_5)) -> gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h2_5(n82_5), rt in Omega(1 + n82_5) Induction Base: h(gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h2_5(0)) ->_R^Omega(1) nil Induction Step: h(gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h2_5(+(n82_5, 1))) ->_R^Omega(1) cons(nil, h(gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h2_5(n82_5))) ->_IH cons(nil, gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h2_5(c83_5)) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: max(nil) -> 0' max(cons(x, nil)) -> x max(cons(x, cons(y, xs))) -> if1(ge(x, y), x, y, xs) if1(true, x, y, xs) -> max(cons(x, xs)) if1(false, x, y, xs) -> max(cons(y, xs)) del(x, nil) -> nil del(x, cons(y, xs)) -> if2(eq(x, y), x, y, xs) if2(true, x, y, xs) -> xs if2(false, x, y, xs) -> cons(y, del(x, xs)) eq(0', 0') -> true eq(0', s(y)) -> false eq(s(x), 0') -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) sort(nil) -> nil sort(cons(x, xs)) -> cons(max(cons(x, xs)), sort(h(del(max(cons(x, xs)), cons(x, xs))))) ge(0', 0') -> true ge(s(x), 0') -> true ge(0', s(x)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) h(nil) -> nil h(cons(x, xs)) -> cons(x, h(xs)) encArg(nil) -> nil encArg(0') -> 0' encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_max(x_1)) -> max(encArg(x_1)) encArg(cons_if1(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_del(x_1, x_2)) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sort(x_1)) -> sort(encArg(x_1)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_h(x_1)) -> h(encArg(x_1)) encode_max(x_1) -> max(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_0 -> 0' encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if1(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_del(x_1, x_2) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if2(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_sort(x_1) -> sort(encArg(x_1)) encode_h(x_1) -> h(encArg(x_1)) Types: max :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h nil :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h 0' :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h if1 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h ge :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h true :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h false :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h del :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h if2 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h eq :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h s :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h sort :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h h :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encArg :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons_max :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons_if1 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons_del :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons_if2 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons_eq :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons_sort :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons_ge :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons_h :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_max :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_nil :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_0 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_cons :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_if1 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_ge :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_true :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_false :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_del :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_if2 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_eq :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_s :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_sort :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_h :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h hole_nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h1_5 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h2_5 :: Nat -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h Generator Equations: gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h2_5(0) <=> nil gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h2_5(+(x, 1)) <=> cons(nil, gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h2_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: h, max, if1, del, if2, sort, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: max = if1 max < sort max < encArg if1 < encArg del = if2 del < sort del < encArg if2 < encArg h < sort sort < encArg h < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: max(nil) -> 0' max(cons(x, nil)) -> x max(cons(x, cons(y, xs))) -> if1(ge(x, y), x, y, xs) if1(true, x, y, xs) -> max(cons(x, xs)) if1(false, x, y, xs) -> max(cons(y, xs)) del(x, nil) -> nil del(x, cons(y, xs)) -> if2(eq(x, y), x, y, xs) if2(true, x, y, xs) -> xs if2(false, x, y, xs) -> cons(y, del(x, xs)) eq(0', 0') -> true eq(0', s(y)) -> false eq(s(x), 0') -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) sort(nil) -> nil sort(cons(x, xs)) -> cons(max(cons(x, xs)), sort(h(del(max(cons(x, xs)), cons(x, xs))))) ge(0', 0') -> true ge(s(x), 0') -> true ge(0', s(x)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) h(nil) -> nil h(cons(x, xs)) -> cons(x, h(xs)) encArg(nil) -> nil encArg(0') -> 0' encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_max(x_1)) -> max(encArg(x_1)) encArg(cons_if1(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_del(x_1, x_2)) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sort(x_1)) -> sort(encArg(x_1)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_h(x_1)) -> h(encArg(x_1)) encode_max(x_1) -> max(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_0 -> 0' encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if1(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_del(x_1, x_2) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if2(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_sort(x_1) -> sort(encArg(x_1)) encode_h(x_1) -> h(encArg(x_1)) Types: max :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h nil :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h 0' :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h if1 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h ge :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h true :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h false :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h del :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h if2 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h eq :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h s :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h sort :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h h :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encArg :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons_max :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons_if1 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons_del :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons_if2 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons_eq :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons_sort :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons_ge :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h cons_h :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_max :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_nil :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_0 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_cons :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_if1 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_ge :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_true :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_false :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_del :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_if2 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_eq :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_s :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_sort :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h encode_h :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h hole_nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h1_5 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h2_5 :: Nat -> nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h Lemmas: h(gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h2_5(n82_5)) -> gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h2_5(n82_5), rt in Omega(1 + n82_5) Generator Equations: gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h2_5(0) <=> nil gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h2_5(+(x, 1)) <=> cons(nil, gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h2_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: if2, max, if1, del, sort, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: max = if1 max < sort max < encArg if1 < encArg del = if2 del < sort del < encArg if2 < encArg sort < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h2_5(n3150_5)) -> gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h2_5(n3150_5), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h2_5(0)) ->_R^Omega(0) nil Induction Step: encArg(gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h2_5(+(n3150_5, 1))) ->_R^Omega(0) cons(encArg(nil), encArg(gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h2_5(n3150_5))) ->_R^Omega(0) cons(nil, encArg(gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h2_5(n3150_5))) ->_IH cons(nil, gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_max:cons_if1:cons_del:cons_if2:cons_eq:cons_sort:cons_ge:cons_h2_5(c3151_5)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (18) BOUNDS(1, INF)