WORST_CASE(Omega(n^1), ?)
proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 213 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(6) CpxRelTRS
(7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(8) typed CpxTrs
(9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(10) typed CpxTrs
(11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 238 ms]
(12) BEST
    (13) proven lower bound
        (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (15) BOUNDS(n^1, INF)
    (16) typed CpxTrs
        (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 905 ms]
        (18) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   last(nil) -> 0
   last(cons(x, nil)) -> x
   last(cons(x, cons(y, xs))) -> last(cons(y, xs))
   del(x, nil) -> nil
   del(x, cons(y, xs)) -> if(eq(x, y), x, y, xs)
   if(true, x, y, xs) -> xs
   if(false, x, y, xs) -> cons(y, del(x, xs))
   eq(0, 0) -> true
   eq(0, s(y)) -> false
   eq(s(x), 0) -> false
   eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
   reverse(nil) -> nil
   reverse(cons(x, xs)) -> cons(last(cons(x, xs)), reverse(del(last(cons(x, xs)), cons(x, xs))))

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(nil) -> nil
   encArg(0) -> 0
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_last(x_1)) -> last(encArg(x_1))
   encArg(cons_del(x_1, x_2)) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_reverse(x_1)) -> reverse(encArg(x_1))
   encode_last(x_1) -> last(encArg(x_1))
   encode_nil -> nil
   encode_0 -> 0
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_del(x_1, x_2) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_reverse(x_1) -> reverse(encArg(x_1))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   last(nil) -> 0
   last(cons(x, nil)) -> x
   last(cons(x, cons(y, xs))) -> last(cons(y, xs))
   del(x, nil) -> nil
   del(x, cons(y, xs)) -> if(eq(x, y), x, y, xs)
   if(true, x, y, xs) -> xs
   if(false, x, y, xs) -> cons(y, del(x, xs))
   eq(0, 0) -> true
   eq(0, s(y)) -> false
   eq(s(x), 0) -> false
   eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
   reverse(nil) -> nil
   reverse(cons(x, xs)) -> cons(last(cons(x, xs)), reverse(del(last(cons(x, xs)), cons(x, xs))))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(nil) -> nil
   encArg(0) -> 0
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_last(x_1)) -> last(encArg(x_1))
   encArg(cons_del(x_1, x_2)) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_reverse(x_1)) -> reverse(encArg(x_1))
   encode_last(x_1) -> last(encArg(x_1))
   encode_nil -> nil
   encode_0 -> 0
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_del(x_1, x_2) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_reverse(x_1) -> reverse(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   last(nil) -> 0
   last(cons(x, nil)) -> x
   last(cons(x, cons(y, xs))) -> last(cons(y, xs))
   del(x, nil) -> nil
   del(x, cons(y, xs)) -> if(eq(x, y), x, y, xs)
   if(true, x, y, xs) -> xs
   if(false, x, y, xs) -> cons(y, del(x, xs))
   eq(0, 0) -> true
   eq(0, s(y)) -> false
   eq(s(x), 0) -> false
   eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
   reverse(nil) -> nil
   reverse(cons(x, xs)) -> cons(last(cons(x, xs)), reverse(del(last(cons(x, xs)), cons(x, xs))))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(nil) -> nil
   encArg(0) -> 0
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_last(x_1)) -> last(encArg(x_1))
   encArg(cons_del(x_1, x_2)) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_reverse(x_1)) -> reverse(encArg(x_1))
   encode_last(x_1) -> last(encArg(x_1))
   encode_nil -> nil
   encode_0 -> 0
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_del(x_1, x_2) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_reverse(x_1) -> reverse(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   last(nil) -> 0'
   last(cons(x, nil)) -> x
   last(cons(x, cons(y, xs))) -> last(cons(y, xs))
   del(x, nil) -> nil
   del(x, cons(y, xs)) -> if(eq(x, y), x, y, xs)
   if(true, x, y, xs) -> xs
   if(false, x, y, xs) -> cons(y, del(x, xs))
   eq(0', 0') -> true
   eq(0', s(y)) -> false
   eq(s(x), 0') -> false
   eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
   reverse(nil) -> nil
   reverse(cons(x, xs)) -> cons(last(cons(x, xs)), reverse(del(last(cons(x, xs)), cons(x, xs))))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(nil) -> nil
   encArg(0') -> 0'
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(cons_last(x_1)) -> last(encArg(x_1))
   encArg(cons_del(x_1, x_2)) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_reverse(x_1)) -> reverse(encArg(x_1))
   encode_last(x_1) -> last(encArg(x_1))
   encode_nil -> nil
   encode_0 -> 0'
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_del(x_1, x_2) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_reverse(x_1) -> reverse(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(8)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
last(nil) -> 0'
last(cons(x, nil)) -> x
last(cons(x, cons(y, xs))) -> last(cons(y, xs))
del(x, nil) -> nil
del(x, cons(y, xs)) -> if(eq(x, y), x, y, xs)
if(true, x, y, xs) -> xs
if(false, x, y, xs) -> cons(y, del(x, xs))
eq(0', 0') -> true
eq(0', s(y)) -> false
eq(s(x), 0') -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
reverse(nil) -> nil
reverse(cons(x, xs)) -> cons(last(cons(x, xs)), reverse(del(last(cons(x, xs)), cons(x, xs))))
encArg(nil) -> nil
encArg(0') -> 0'
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_last(x_1)) -> last(encArg(x_1))
encArg(cons_del(x_1, x_2)) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_reverse(x_1)) -> reverse(encArg(x_1))
encode_last(x_1) -> last(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_0 -> 0'
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_del(x_1, x_2) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_reverse(x_1) -> reverse(encArg(x_1))

Types:
last :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
nil :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
0' :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
cons :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
del :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
if :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
eq :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
true :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
false :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
s :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
reverse :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encArg :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
cons_last :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
cons_del :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
cons_if :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
cons_eq :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
cons_reverse :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_last :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_nil :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_0 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_cons :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_del :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_if :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_eq :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_true :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_false :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_s :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_reverse :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
hole_nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse1_5 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse2_5 :: Nat -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse

----------------------------------------

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
last, del, if, eq, reverse, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
last < reverse
last < encArg
del = if
eq < del
del < reverse
del < encArg
if < encArg
eq < encArg
reverse < encArg

----------------------------------------

(10)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
last(nil) -> 0'
last(cons(x, nil)) -> x
last(cons(x, cons(y, xs))) -> last(cons(y, xs))
del(x, nil) -> nil
del(x, cons(y, xs)) -> if(eq(x, y), x, y, xs)
if(true, x, y, xs) -> xs
if(false, x, y, xs) -> cons(y, del(x, xs))
eq(0', 0') -> true
eq(0', s(y)) -> false
eq(s(x), 0') -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
reverse(nil) -> nil
reverse(cons(x, xs)) -> cons(last(cons(x, xs)), reverse(del(last(cons(x, xs)), cons(x, xs))))
encArg(nil) -> nil
encArg(0') -> 0'
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_last(x_1)) -> last(encArg(x_1))
encArg(cons_del(x_1, x_2)) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_reverse(x_1)) -> reverse(encArg(x_1))
encode_last(x_1) -> last(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_0 -> 0'
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_del(x_1, x_2) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_reverse(x_1) -> reverse(encArg(x_1))

Types:
last :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
nil :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
0' :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
cons :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
del :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
if :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
eq :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
true :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
false :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
s :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
reverse :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encArg :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
cons_last :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
cons_del :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
cons_if :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
cons_eq :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
cons_reverse :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_last :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_nil :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_0 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_cons :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_del :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_if :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_eq :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_true :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_false :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_s :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_reverse :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
hole_nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse1_5 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse2_5 :: Nat -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse


Generator Equations:
gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse2_5(0) <=> nil
gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse2_5(+(x, 1)) <=> cons(nil, gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
last, del, if, eq, reverse, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
last < reverse
last < encArg
del = if
eq < del
del < reverse
del < encArg
if < encArg
eq < encArg
reverse < encArg

----------------------------------------

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
last(gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse2_5(+(1, n4_5))) -> gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse2_5(0), rt in Omega(1 + n4_5)

Induction Base:
last(gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse2_5(+(1, 0))) ->_R^Omega(1)
nil

Induction Step:
last(gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse2_5(+(1, +(n4_5, 1)))) ->_R^Omega(1)
last(cons(nil, gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse2_5(n4_5))) ->_IH
gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse2_5(0)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(12)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(13)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
last(nil) -> 0'
last(cons(x, nil)) -> x
last(cons(x, cons(y, xs))) -> last(cons(y, xs))
del(x, nil) -> nil
del(x, cons(y, xs)) -> if(eq(x, y), x, y, xs)
if(true, x, y, xs) -> xs
if(false, x, y, xs) -> cons(y, del(x, xs))
eq(0', 0') -> true
eq(0', s(y)) -> false
eq(s(x), 0') -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
reverse(nil) -> nil
reverse(cons(x, xs)) -> cons(last(cons(x, xs)), reverse(del(last(cons(x, xs)), cons(x, xs))))
encArg(nil) -> nil
encArg(0') -> 0'
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_last(x_1)) -> last(encArg(x_1))
encArg(cons_del(x_1, x_2)) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_reverse(x_1)) -> reverse(encArg(x_1))
encode_last(x_1) -> last(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_0 -> 0'
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_del(x_1, x_2) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_reverse(x_1) -> reverse(encArg(x_1))

Types:
last :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
nil :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
0' :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
cons :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
del :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
if :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
eq :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
true :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
false :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
s :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
reverse :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encArg :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
cons_last :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
cons_del :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
cons_if :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
cons_eq :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
cons_reverse :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_last :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_nil :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_0 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_cons :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_del :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_if :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_eq :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_true :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_false :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_s :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_reverse :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
hole_nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse1_5 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse2_5 :: Nat -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse


Generator Equations:
gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse2_5(0) <=> nil
gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse2_5(+(x, 1)) <=> cons(nil, gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
last, del, if, eq, reverse, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
last < reverse
last < encArg
del = if
eq < del
del < reverse
del < encArg
if < encArg
eq < encArg
reverse < encArg

----------------------------------------

(14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(15)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
last(nil) -> 0'
last(cons(x, nil)) -> x
last(cons(x, cons(y, xs))) -> last(cons(y, xs))
del(x, nil) -> nil
del(x, cons(y, xs)) -> if(eq(x, y), x, y, xs)
if(true, x, y, xs) -> xs
if(false, x, y, xs) -> cons(y, del(x, xs))
eq(0', 0') -> true
eq(0', s(y)) -> false
eq(s(x), 0') -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
reverse(nil) -> nil
reverse(cons(x, xs)) -> cons(last(cons(x, xs)), reverse(del(last(cons(x, xs)), cons(x, xs))))
encArg(nil) -> nil
encArg(0') -> 0'
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(cons_last(x_1)) -> last(encArg(x_1))
encArg(cons_del(x_1, x_2)) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_reverse(x_1)) -> reverse(encArg(x_1))
encode_last(x_1) -> last(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_0 -> 0'
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_del(x_1, x_2) -> del(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_reverse(x_1) -> reverse(encArg(x_1))

Types:
last :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
nil :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
0' :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
cons :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
del :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
if :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
eq :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
true :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
false :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
s :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
reverse :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encArg :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
cons_last :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
cons_del :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
cons_if :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
cons_eq :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
cons_reverse :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_last :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_nil :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_0 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_cons :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_del :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_if :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_eq :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_true :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_false :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_s :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
encode_reverse :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
hole_nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse1_5 :: nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse
gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse2_5 :: Nat -> nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse


Lemmas:
last(gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse2_5(+(1, n4_5))) -> gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse2_5(0), rt in Omega(1 + n4_5)


Generator Equations:
gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse2_5(0) <=> nil
gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse2_5(+(x, 1)) <=> cons(nil, gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
eq, del, if, reverse, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
del = if
eq < del
del < reverse
del < encArg
if < encArg
eq < encArg
reverse < encArg

----------------------------------------

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse2_5(n1062_5)) -> gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse2_5(n1062_5), rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse2_5(0)) ->_R^Omega(0)
nil

Induction Step:
encArg(gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse2_5(+(n1062_5, 1))) ->_R^Omega(0)
cons(encArg(nil), encArg(gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse2_5(n1062_5))) ->_R^Omega(0)
cons(nil, encArg(gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse2_5(n1062_5))) ->_IH
cons(nil, gen_nil:0':cons:true:false:s:cons_last:cons_del:cons_if:cons_eq:cons_reverse2_5(c1063_5))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(18)
BOUNDS(1, INF)