/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- KILLED proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (full) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 30 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 8 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 507 ms] (12) BOUNDS(1, INF) (13) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (14) TRS for Loop Detection (15) RelTrsToTrsProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (16) CpxTRS (17) NonCtorToCtorProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (18) CpxRelTRS (19) RcToIrcProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (20) CpxRelTRS (21) RelTrsToWeightedTrsProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (22) CpxWeightedTrs (23) CpxWeightedTrsRenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (24) CpxWeightedTrs (25) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (26) CpxTypedWeightedTrs (27) CompletionProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (28) CpxTypedWeightedCompleteTrs (29) NarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (30) CpxTypedWeightedCompleteTrs (31) CpxTypedWeightedTrsToRntsProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (32) CpxRNTS (33) InliningProof [UPPER BOUND(ID), 320 ms] (34) CpxRNTS (35) SimplificationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (36) CpxRNTS (37) CompletionProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (38) CpxTypedWeightedCompleteTrs (39) CpxTypedWeightedTrsToRntsProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (40) CpxRNTS (41) CpxTrsToCdtProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (42) CdtProblem (43) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (44) CdtProblem (45) CdtGraphSplitRhsProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (46) CdtProblem (47) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms] (48) CdtProblem (49) CdtUsableRulesProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (50) CdtProblem (51) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (52) CdtProblem (53) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 5 ms] (54) CdtProblem (55) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 4 ms] (56) CdtProblem (57) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (58) CdtProblem (59) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (60) CdtProblem (61) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (62) CdtProblem (63) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (64) CdtProblem (65) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (66) CdtProblem (67) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (68) CdtProblem (69) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (70) CdtProblem (71) CdtGraphSplitRhsProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (72) CdtProblem (73) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (74) CdtProblem (75) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (76) CdtProblem (77) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (78) CdtProblem (79) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (80) CdtProblem (81) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (82) CdtProblem (83) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 1 ms] (84) CdtProblem (85) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (86) CdtProblem (87) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (88) CdtProblem (89) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (90) CdtProblem (91) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (92) CdtProblem (93) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (94) CdtProblem (95) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (96) CdtProblem (97) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (98) CdtProblem (99) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (100) CdtProblem (101) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (102) CdtProblem (103) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (104) CdtProblem (105) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (106) CdtProblem (107) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (108) CdtProblem (109) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (110) CdtProblem (111) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (112) CdtProblem (113) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (114) CdtProblem (115) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (116) CdtProblem (117) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (118) CdtProblem (119) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (120) CdtProblem (121) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (122) CdtProblem (123) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (124) CdtProblem (125) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (126) CdtProblem (127) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (128) CdtProblem (129) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (130) CdtProblem (131) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (132) CdtProblem (133) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (134) CdtProblem (135) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (136) CdtProblem (137) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (138) CdtProblem (139) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (140) CdtProblem (141) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (142) CdtProblem (143) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (144) CdtProblem (145) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (146) CdtProblem (147) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (148) CdtProblem (149) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (150) CdtProblem (151) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (152) CdtProblem (153) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (154) CdtProblem (155) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (156) CdtProblem (157) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (158) CdtProblem (159) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (160) CdtProblem (161) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (162) CdtProblem (163) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (164) CdtProblem (165) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (166) CdtProblem (167) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (168) CdtProblem (169) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (170) CdtProblem (171) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (172) CdtProblem (173) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (174) CdtProblem (175) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (176) CdtProblem (177) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (178) CdtProblem (179) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (180) CdtProblem (181) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (182) CdtProblem (183) CdtGraphSplitRhsProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (184) CdtProblem ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (full) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: log(s(x1)) -> s(log(half(s(x1)))) half(0(x1)) -> 0(s(s(half(x1)))) half(s(0(x1))) -> 0(x1) half(s(s(x1))) -> s(half(p(s(s(x1))))) half(half(s(s(s(s(x1)))))) -> s(s(half(half(x1)))) p(s(s(s(x1)))) -> s(p(s(s(x1)))) s(s(p(s(x1)))) -> s(s(x1)) 0(x1) -> x1 S is empty. Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: log(s(x1)) -> s(log(half(s(x1)))) half(0(x1)) -> 0(s(s(half(x1)))) half(s(0(x1))) -> 0(x1) half(s(s(x1))) -> s(half(p(s(s(x1))))) half(half(s(s(s(s(x1)))))) -> s(s(half(half(x1)))) p(s(s(s(x1)))) -> s(p(s(s(x1)))) s(s(p(s(x1)))) -> s(s(x1)) 0(x1) -> x1 The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: log(s(x1)) -> s(log(half(s(x1)))) half(0(x1)) -> 0(s(s(half(x1)))) half(s(0(x1))) -> 0(x1) half(s(s(x1))) -> s(half(p(s(s(x1))))) half(half(s(s(s(s(x1)))))) -> s(s(half(half(x1)))) p(s(s(s(x1)))) -> s(p(s(s(x1)))) s(s(p(s(x1)))) -> s(s(x1)) 0(x1) -> x1 The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: log(s(x1)) -> s(log(half(s(x1)))) half(0(x1)) -> 0(s(s(half(x1)))) half(s(0(x1))) -> 0(x1) half(s(s(x1))) -> s(half(p(s(s(x1))))) half(half(s(s(s(s(x1)))))) -> s(s(half(half(x1)))) p(s(s(s(x1)))) -> s(p(s(s(x1)))) s(s(p(s(x1)))) -> s(s(x1)) 0(x1) -> x1 The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: TRS: Rules: log(s(x1)) -> s(log(half(s(x1)))) half(0(x1)) -> 0(s(s(half(x1)))) half(s(0(x1))) -> 0(x1) half(s(s(x1))) -> s(half(p(s(s(x1))))) half(half(s(s(s(s(x1)))))) -> s(s(half(half(x1)))) p(s(s(s(x1)))) -> s(p(s(s(x1)))) s(s(p(s(x1)))) -> s(s(x1)) 0(x1) -> x1 encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) Types: log :: s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p -> s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p s :: s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p -> s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p half :: s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p -> s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p 0 :: s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p -> s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p p :: s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p -> s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p encArg :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p cons_log :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 cons_half :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 cons_p :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 cons_s :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 cons_0 :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 encode_log :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p encode_s :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p encode_half :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p encode_0 :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p encode_p :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p hole_s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p1_2 :: s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p hole_cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_02_2 :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 gen_cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_03_2 :: Nat -> cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: log, s, half, p, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: s < log half < log log < encArg s < half s < p s < encArg p < half half < encArg p < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: TRS: Rules: log(s(x1)) -> s(log(half(s(x1)))) half(0(x1)) -> 0(s(s(half(x1)))) half(s(0(x1))) -> 0(x1) half(s(s(x1))) -> s(half(p(s(s(x1))))) half(half(s(s(s(s(x1)))))) -> s(s(half(half(x1)))) p(s(s(s(x1)))) -> s(p(s(s(x1)))) s(s(p(s(x1)))) -> s(s(x1)) 0(x1) -> x1 encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) Types: log :: s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p -> s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p s :: s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p -> s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p half :: s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p -> s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p 0 :: s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p -> s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p p :: s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p -> s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p encArg :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p cons_log :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 cons_half :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 cons_p :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 cons_s :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 cons_0 :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 encode_log :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p encode_s :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p encode_half :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p encode_0 :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p encode_p :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p hole_s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p1_2 :: s:half:log:0:p:encArg:encode_log:encode_s:encode_half:encode_0:encode_p hole_cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_02_2 :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 gen_cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_03_2 :: Nat -> cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 Generator Equations: gen_cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_03_2(0) <=> hole_cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_02_2 gen_cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_03_2(+(x, 1)) <=> cons_log(gen_cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_03_2(x)) The following defined symbols remain to be analysed: s, log, half, p, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: s < log half < log log < encArg s < half s < p s < encArg p < half half < encArg p < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_03_2(+(1, n37_2))) -> *4_2, rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_03_2(+(1, 0))) Induction Step: encArg(gen_cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_03_2(+(1, +(n37_2, 1)))) ->_R^Omega(0) log(encArg(gen_cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_03_2(+(1, n37_2)))) ->_IH log(*4_2) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (12) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (13) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof (LOWER BOUND(ID)) Transformed a relative TRS into a decreasing-loop problem. ---------------------------------------- (14) Obligation: Analyzing the following TRS for decreasing loops: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: log(s(x1)) -> s(log(half(s(x1)))) half(0(x1)) -> 0(s(s(half(x1)))) half(s(0(x1))) -> 0(x1) half(s(s(x1))) -> s(half(p(s(s(x1))))) half(half(s(s(s(s(x1)))))) -> s(s(half(half(x1)))) p(s(s(s(x1)))) -> s(p(s(s(x1)))) s(s(p(s(x1)))) -> s(s(x1)) 0(x1) -> x1 The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (15) RelTrsToTrsProof (UPPER BOUND(ID)) transformed relative TRS to TRS ---------------------------------------- (16) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: log(s(x1)) -> s(log(half(s(x1)))) half(0(x1)) -> 0(s(s(half(x1)))) half(s(0(x1))) -> 0(x1) half(s(s(x1))) -> s(half(p(s(s(x1))))) half(half(s(s(s(s(x1)))))) -> s(s(half(half(x1)))) p(s(s(s(x1)))) -> s(p(s(s(x1)))) s(s(p(s(x1)))) -> s(s(x1)) 0(x1) -> x1 encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) S is empty. Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (17) NonCtorToCtorProof (UPPER BOUND(ID)) transformed non-ctor to ctor-system ---------------------------------------- (18) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: 0(x1) -> x1 p(c_s(c_s(c_s(x1)))) -> s(p(s(s(x1)))) half(c_s(c_s(x1))) -> s(half(p(s(s(x1))))) s(c_s(c_p(c_s(x1)))) -> s(s(x1)) half(c_0(x1)) -> 0(s(s(half(x1)))) half(c_s(c_0(x1))) -> 0(x1) log(c_s(x1)) -> s(log(half(s(x1)))) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x1)))))) -> s(s(half(half(x1)))) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) s(x0) -> c_s(x0) p(x0) -> c_p(x0) half(x0) -> c_half(x0) 0(x0) -> c_0(x0) Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (19) RcToIrcProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Converted rc-obligation to irc-obligation. As the TRS is a non-duplicating overlay system, we have rc = irc. ---------------------------------------- (20) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: 0(x1) -> x1 p(c_s(c_s(c_s(x1)))) -> s(p(s(s(x1)))) half(c_s(c_s(x1))) -> s(half(p(s(s(x1))))) s(c_s(c_p(c_s(x1)))) -> s(s(x1)) half(c_0(x1)) -> 0(s(s(half(x1)))) half(c_s(c_0(x1))) -> 0(x1) log(c_s(x1)) -> s(log(half(s(x1)))) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x1)))))) -> s(s(half(half(x1)))) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) s(x0) -> c_s(x0) p(x0) -> c_p(x0) half(x0) -> c_half(x0) 0(x0) -> c_0(x0) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (21) RelTrsToWeightedTrsProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Transformed relative TRS to weighted TRS ---------------------------------------- (22) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxWeightedTrs could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: 0(x1) -> x1 [1] p(c_s(c_s(c_s(x1)))) -> s(p(s(s(x1)))) [1] half(c_s(c_s(x1))) -> s(half(p(s(s(x1))))) [1] s(c_s(c_p(c_s(x1)))) -> s(s(x1)) [1] half(c_0(x1)) -> 0(s(s(half(x1)))) [1] half(c_s(c_0(x1))) -> 0(x1) [1] log(c_s(x1)) -> s(log(half(s(x1)))) [1] half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x1)))))) -> s(s(half(half(x1)))) [1] encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) [0] encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) [0] encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) [0] encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) [0] encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) [0] encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) [0] s(x0) -> c_s(x0) [0] p(x0) -> c_p(x0) [0] half(x0) -> c_half(x0) [0] 0(x0) -> c_0(x0) [0] Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (23) CpxWeightedTrsRenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed defined symbols to avoid conflicts with arithmetic symbols: 0 => 0' ---------------------------------------- (24) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxWeightedTrs could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: 0'(x1) -> x1 [1] p(c_s(c_s(c_s(x1)))) -> s(p(s(s(x1)))) [1] half(c_s(c_s(x1))) -> s(half(p(s(s(x1))))) [1] s(c_s(c_p(c_s(x1)))) -> s(s(x1)) [1] half(c_0(x1)) -> 0'(s(s(half(x1)))) [1] half(c_s(c_0(x1))) -> 0'(x1) [1] log(c_s(x1)) -> s(log(half(s(x1)))) [1] half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x1)))))) -> s(s(half(half(x1)))) [1] encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_0(x_1)) -> 0'(encArg(x_1)) [0] encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) [0] encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) [0] encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) [0] encode_0(x_1) -> 0'(encArg(x_1)) [0] encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) [0] s(x0) -> c_s(x0) [0] p(x0) -> c_p(x0) [0] half(x0) -> c_half(x0) [0] 0'(x0) -> c_0(x0) [0] Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (25) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (26) Obligation: Runtime Complexity Weighted TRS with Types. The TRS R consists of the following rules: 0'(x1) -> x1 [1] p(c_s(c_s(c_s(x1)))) -> s(p(s(s(x1)))) [1] half(c_s(c_s(x1))) -> s(half(p(s(s(x1))))) [1] s(c_s(c_p(c_s(x1)))) -> s(s(x1)) [1] half(c_0(x1)) -> 0'(s(s(half(x1)))) [1] half(c_s(c_0(x1))) -> 0'(x1) [1] log(c_s(x1)) -> s(log(half(s(x1)))) [1] half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x1)))))) -> s(s(half(half(x1)))) [1] encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_0(x_1)) -> 0'(encArg(x_1)) [0] encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) [0] encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) [0] encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) [0] encode_0(x_1) -> 0'(encArg(x_1)) [0] encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) [0] s(x0) -> c_s(x0) [0] p(x0) -> c_p(x0) [0] half(x0) -> c_half(x0) [0] 0'(x0) -> c_0(x0) [0] The TRS has the following type information: 0' :: c_s:c_p:c_0:c_half -> c_s:c_p:c_0:c_half p :: c_s:c_p:c_0:c_half -> c_s:c_p:c_0:c_half c_s :: c_s:c_p:c_0:c_half -> c_s:c_p:c_0:c_half s :: c_s:c_p:c_0:c_half -> c_s:c_p:c_0:c_half half :: c_s:c_p:c_0:c_half -> c_s:c_p:c_0:c_half c_p :: c_s:c_p:c_0:c_half -> c_s:c_p:c_0:c_half c_0 :: c_s:c_p:c_0:c_half -> c_s:c_p:c_0:c_half log :: c_s:c_p:c_0:c_half -> c_s:c_p:c_0:c_half c_half :: c_s:c_p:c_0:c_half -> c_s:c_p:c_0:c_half encArg :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> c_s:c_p:c_0:c_half cons_log :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 cons_half :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 cons_p :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 cons_s :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 cons_0 :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 encode_log :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> c_s:c_p:c_0:c_half encode_s :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> c_s:c_p:c_0:c_half encode_half :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> c_s:c_p:c_0:c_half encode_0 :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> c_s:c_p:c_0:c_half encode_p :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> c_s:c_p:c_0:c_half Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (27) CompletionProof (UPPER BOUND(ID)) The transformation into a RNTS is sound, since: (a) The obligation is a constructor system where every type has a constant constructor, (b) The following defined symbols do not have to be completely defined, as they can never occur inside other defined symbols: none (c) The following functions are completely defined: log_1 encArg_1 encode_log_1 encode_s_1 encode_half_1 encode_0_1 encode_p_1 s_1 p_1 half_1 0'_1 Due to the following rules being added: encArg(v0) -> const [0] encode_log(v0) -> const [0] encode_s(v0) -> const [0] encode_half(v0) -> const [0] encode_0(v0) -> const [0] encode_p(v0) -> const [0] s(v0) -> const [0] p(v0) -> const [0] half(v0) -> const [0] 0'(v0) -> const [0] log(v0) -> const [0] And the following fresh constants: const, const1 ---------------------------------------- (28) Obligation: Runtime Complexity Weighted TRS where critical functions are completely defined. The underlying TRS is: Runtime Complexity Weighted TRS with Types. The TRS R consists of the following rules: 0'(x1) -> x1 [1] p(c_s(c_s(c_s(x1)))) -> s(p(s(s(x1)))) [1] half(c_s(c_s(x1))) -> s(half(p(s(s(x1))))) [1] s(c_s(c_p(c_s(x1)))) -> s(s(x1)) [1] half(c_0(x1)) -> 0'(s(s(half(x1)))) [1] half(c_s(c_0(x1))) -> 0'(x1) [1] log(c_s(x1)) -> s(log(half(s(x1)))) [1] half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x1)))))) -> s(s(half(half(x1)))) [1] encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_0(x_1)) -> 0'(encArg(x_1)) [0] encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) [0] encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) [0] encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) [0] encode_0(x_1) -> 0'(encArg(x_1)) [0] encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) [0] s(x0) -> c_s(x0) [0] p(x0) -> c_p(x0) [0] half(x0) -> c_half(x0) [0] 0'(x0) -> c_0(x0) [0] encArg(v0) -> const [0] encode_log(v0) -> const [0] encode_s(v0) -> const [0] encode_half(v0) -> const [0] encode_0(v0) -> const [0] encode_p(v0) -> const [0] s(v0) -> const [0] p(v0) -> const [0] half(v0) -> const [0] 0'(v0) -> const [0] log(v0) -> const [0] The TRS has the following type information: 0' :: c_s:c_p:c_0:c_half:const -> c_s:c_p:c_0:c_half:const p :: c_s:c_p:c_0:c_half:const -> c_s:c_p:c_0:c_half:const c_s :: c_s:c_p:c_0:c_half:const -> c_s:c_p:c_0:c_half:const s :: c_s:c_p:c_0:c_half:const -> c_s:c_p:c_0:c_half:const half :: c_s:c_p:c_0:c_half:const -> c_s:c_p:c_0:c_half:const c_p :: c_s:c_p:c_0:c_half:const -> c_s:c_p:c_0:c_half:const c_0 :: c_s:c_p:c_0:c_half:const -> c_s:c_p:c_0:c_half:const log :: c_s:c_p:c_0:c_half:const -> c_s:c_p:c_0:c_half:const c_half :: c_s:c_p:c_0:c_half:const -> c_s:c_p:c_0:c_half:const encArg :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> c_s:c_p:c_0:c_half:const cons_log :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 cons_half :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 cons_p :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 cons_s :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 cons_0 :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 encode_log :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> c_s:c_p:c_0:c_half:const encode_s :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> c_s:c_p:c_0:c_half:const encode_half :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> c_s:c_p:c_0:c_half:const encode_0 :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> c_s:c_p:c_0:c_half:const encode_p :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> c_s:c_p:c_0:c_half:const const :: c_s:c_p:c_0:c_half:const const1 :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (29) NarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Narrowed the inner basic terms of all right-hand sides by a single narrowing step. ---------------------------------------- (30) Obligation: Runtime Complexity Weighted TRS where critical functions are completely defined. The underlying TRS is: Runtime Complexity Weighted TRS with Types. The TRS R consists of the following rules: 0'(x1) -> x1 [1] p(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x1'))))))) -> s(p(s(s(s(x1'))))) [2] p(c_s(c_s(c_s(x1)))) -> s(p(s(c_s(x1)))) [1] p(c_s(c_s(c_s(x1)))) -> s(p(s(const))) [1] half(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x1'')))))) -> s(half(p(s(s(s(x1'')))))) [2] half(c_s(c_s(x1))) -> s(half(p(s(c_s(x1))))) [1] half(c_s(c_s(x1))) -> s(half(p(s(const)))) [1] s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(x11))))))) -> s(s(s(x11))) [2] s(c_s(c_p(c_s(x1)))) -> s(c_s(x1)) [1] s(c_s(c_p(c_s(x1)))) -> s(const) [1] half(c_0(c_s(c_s(x12)))) -> 0'(s(s(s(half(p(s(s(x12)))))))) [2] half(c_0(c_0(x13))) -> 0'(s(s(0'(s(s(half(x13))))))) [2] half(c_0(c_s(c_0(x14)))) -> 0'(s(s(0'(x14)))) [2] half(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x15))))))) -> 0'(s(s(s(s(half(half(x15))))))) [2] half(c_0(x1)) -> 0'(s(s(c_half(x1)))) [1] half(c_0(x1)) -> 0'(s(s(const))) [1] half(c_s(c_0(x1))) -> 0'(x1) [1] log(c_s(c_s(c_p(c_s(x16))))) -> s(log(half(s(s(x16))))) [2] log(c_s(x1)) -> s(log(half(c_s(x1)))) [1] log(c_s(x1)) -> s(log(half(const))) [1] half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(x17)))))))) -> s(s(half(s(half(p(s(s(x17)))))))) [2] half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(x18))))))) -> s(s(half(0'(s(s(half(x18))))))) [2] half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(x19)))))))) -> s(s(half(0'(x19)))) [2] half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x110))))))))))) -> s(s(half(s(s(half(half(x110))))))) [2] half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x1)))))) -> s(s(half(c_half(x1)))) [1] half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x1)))))) -> s(s(half(const))) [1] encArg(cons_log(cons_log(x_1'))) -> log(log(encArg(x_1'))) [0] encArg(cons_log(cons_half(x_1''))) -> log(half(encArg(x_1''))) [0] encArg(cons_log(cons_p(x_11))) -> log(p(encArg(x_11))) [0] encArg(cons_log(cons_s(x_12))) -> log(s(encArg(x_12))) [0] encArg(cons_log(cons_0(x_13))) -> log(0'(encArg(x_13))) [0] encArg(cons_log(x_1)) -> log(const) [0] encArg(cons_half(cons_log(x_14))) -> half(log(encArg(x_14))) [0] encArg(cons_half(cons_half(x_15))) -> half(half(encArg(x_15))) [0] encArg(cons_half(cons_p(x_16))) -> half(p(encArg(x_16))) [0] encArg(cons_half(cons_s(x_17))) -> half(s(encArg(x_17))) [0] encArg(cons_half(cons_0(x_18))) -> half(0'(encArg(x_18))) [0] encArg(cons_half(x_1)) -> half(const) [0] encArg(cons_p(cons_log(x_19))) -> p(log(encArg(x_19))) [0] encArg(cons_p(cons_half(x_110))) -> p(half(encArg(x_110))) [0] encArg(cons_p(cons_p(x_111))) -> p(p(encArg(x_111))) [0] encArg(cons_p(cons_s(x_112))) -> p(s(encArg(x_112))) [0] encArg(cons_p(cons_0(x_113))) -> p(0'(encArg(x_113))) [0] encArg(cons_p(x_1)) -> p(const) [0] encArg(cons_s(cons_log(x_114))) -> s(log(encArg(x_114))) [0] encArg(cons_s(cons_half(x_115))) -> s(half(encArg(x_115))) [0] encArg(cons_s(cons_p(x_116))) -> s(p(encArg(x_116))) [0] encArg(cons_s(cons_s(x_117))) -> s(s(encArg(x_117))) [0] encArg(cons_s(cons_0(x_118))) -> s(0'(encArg(x_118))) [0] encArg(cons_s(x_1)) -> s(const) [0] encArg(cons_0(cons_log(x_119))) -> 0'(log(encArg(x_119))) [0] encArg(cons_0(cons_half(x_120))) -> 0'(half(encArg(x_120))) [0] encArg(cons_0(cons_p(x_121))) -> 0'(p(encArg(x_121))) [0] encArg(cons_0(cons_s(x_122))) -> 0'(s(encArg(x_122))) [0] encArg(cons_0(cons_0(x_123))) -> 0'(0'(encArg(x_123))) [0] encArg(cons_0(x_1)) -> 0'(const) [0] encode_log(cons_log(x_124)) -> log(log(encArg(x_124))) [0] encode_log(cons_half(x_125)) -> log(half(encArg(x_125))) [0] encode_log(cons_p(x_126)) -> log(p(encArg(x_126))) [0] encode_log(cons_s(x_127)) -> log(s(encArg(x_127))) [0] encode_log(cons_0(x_128)) -> log(0'(encArg(x_128))) [0] encode_log(x_1) -> log(const) [0] encode_s(cons_log(x_129)) -> s(log(encArg(x_129))) [0] encode_s(cons_half(x_130)) -> s(half(encArg(x_130))) [0] encode_s(cons_p(x_131)) -> s(p(encArg(x_131))) [0] encode_s(cons_s(x_132)) -> s(s(encArg(x_132))) [0] encode_s(cons_0(x_133)) -> s(0'(encArg(x_133))) [0] encode_s(x_1) -> s(const) [0] encode_half(cons_log(x_134)) -> half(log(encArg(x_134))) [0] encode_half(cons_half(x_135)) -> half(half(encArg(x_135))) [0] encode_half(cons_p(x_136)) -> half(p(encArg(x_136))) [0] encode_half(cons_s(x_137)) -> half(s(encArg(x_137))) [0] encode_half(cons_0(x_138)) -> half(0'(encArg(x_138))) [0] encode_half(x_1) -> half(const) [0] encode_0(cons_log(x_139)) -> 0'(log(encArg(x_139))) [0] encode_0(cons_half(x_140)) -> 0'(half(encArg(x_140))) [0] encode_0(cons_p(x_141)) -> 0'(p(encArg(x_141))) [0] encode_0(cons_s(x_142)) -> 0'(s(encArg(x_142))) [0] encode_0(cons_0(x_143)) -> 0'(0'(encArg(x_143))) [0] encode_0(x_1) -> 0'(const) [0] encode_p(cons_log(x_144)) -> p(log(encArg(x_144))) [0] encode_p(cons_half(x_145)) -> p(half(encArg(x_145))) [0] encode_p(cons_p(x_146)) -> p(p(encArg(x_146))) [0] encode_p(cons_s(x_147)) -> p(s(encArg(x_147))) [0] encode_p(cons_0(x_148)) -> p(0'(encArg(x_148))) [0] encode_p(x_1) -> p(const) [0] s(x0) -> c_s(x0) [0] p(x0) -> c_p(x0) [0] half(x0) -> c_half(x0) [0] 0'(x0) -> c_0(x0) [0] encArg(v0) -> const [0] encode_log(v0) -> const [0] encode_s(v0) -> const [0] encode_half(v0) -> const [0] encode_0(v0) -> const [0] encode_p(v0) -> const [0] s(v0) -> const [0] p(v0) -> const [0] half(v0) -> const [0] 0'(v0) -> const [0] log(v0) -> const [0] The TRS has the following type information: 0' :: c_s:c_p:c_0:c_half:const -> c_s:c_p:c_0:c_half:const p :: c_s:c_p:c_0:c_half:const -> c_s:c_p:c_0:c_half:const c_s :: c_s:c_p:c_0:c_half:const -> c_s:c_p:c_0:c_half:const s :: c_s:c_p:c_0:c_half:const -> c_s:c_p:c_0:c_half:const half :: c_s:c_p:c_0:c_half:const -> c_s:c_p:c_0:c_half:const c_p :: c_s:c_p:c_0:c_half:const -> c_s:c_p:c_0:c_half:const c_0 :: c_s:c_p:c_0:c_half:const -> c_s:c_p:c_0:c_half:const log :: c_s:c_p:c_0:c_half:const -> c_s:c_p:c_0:c_half:const c_half :: c_s:c_p:c_0:c_half:const -> c_s:c_p:c_0:c_half:const encArg :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> c_s:c_p:c_0:c_half:const cons_log :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 cons_half :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 cons_p :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 cons_s :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 cons_0 :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 encode_log :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> c_s:c_p:c_0:c_half:const encode_s :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> c_s:c_p:c_0:c_half:const encode_half :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> c_s:c_p:c_0:c_half:const encode_0 :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> c_s:c_p:c_0:c_half:const encode_p :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> c_s:c_p:c_0:c_half:const const :: c_s:c_p:c_0:c_half:const const1 :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (31) CpxTypedWeightedTrsToRntsProof (UPPER BOUND(ID)) Transformed the TRS into an over-approximating RNTS by (improved) Size Abstraction. The constant constructors are abstracted as follows: const => 0 const1 => 0 ---------------------------------------- (32) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: 0'(z) -{ 1 }-> x1 :|: x1 >= 0, z = x1 0'(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 0'(z) -{ 0 }-> 1 + x0 :|: z = x0, x0 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> s(s(encArg(x_117))) :|: z = 1 + (1 + x_117), x_117 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> s(p(encArg(x_116))) :|: z = 1 + (1 + x_116), x_116 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> s(log(encArg(x_114))) :|: z = 1 + (1 + x_114), x_114 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> s(half(encArg(x_115))) :|: z = 1 + (1 + x_115), x_115 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> s(0'(encArg(x_118))) :|: z = 1 + (1 + x_118), x_118 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> s(0) :|: z = 1 + x_1, x_1 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> p(s(encArg(x_112))) :|: x_112 >= 0, z = 1 + (1 + x_112) encArg(z) -{ 0 }-> p(p(encArg(x_111))) :|: z = 1 + (1 + x_111), x_111 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> p(log(encArg(x_19))) :|: z = 1 + (1 + x_19), x_19 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> p(half(encArg(x_110))) :|: z = 1 + (1 + x_110), x_110 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> p(0'(encArg(x_113))) :|: x_113 >= 0, z = 1 + (1 + x_113) encArg(z) -{ 0 }-> p(0) :|: z = 1 + x_1, x_1 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> log(s(encArg(x_12))) :|: z = 1 + (1 + x_12), x_12 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> log(p(encArg(x_11))) :|: x_11 >= 0, z = 1 + (1 + x_11) encArg(z) -{ 0 }-> log(log(encArg(x_1'))) :|: z = 1 + (1 + x_1'), x_1' >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> log(half(encArg(x_1''))) :|: z = 1 + (1 + x_1''), x_1'' >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> log(0'(encArg(x_13))) :|: z = 1 + (1 + x_13), x_13 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> log(0) :|: z = 1 + x_1, x_1 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> half(s(encArg(x_17))) :|: x_17 >= 0, z = 1 + (1 + x_17) encArg(z) -{ 0 }-> half(p(encArg(x_16))) :|: x_16 >= 0, z = 1 + (1 + x_16) encArg(z) -{ 0 }-> half(log(encArg(x_14))) :|: x_14 >= 0, z = 1 + (1 + x_14) encArg(z) -{ 0 }-> half(half(encArg(x_15))) :|: x_15 >= 0, z = 1 + (1 + x_15) encArg(z) -{ 0 }-> half(0'(encArg(x_18))) :|: z = 1 + (1 + x_18), x_18 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> half(0) :|: z = 1 + x_1, x_1 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> 0'(s(encArg(x_122))) :|: x_122 >= 0, z = 1 + (1 + x_122) encArg(z) -{ 0 }-> 0'(p(encArg(x_121))) :|: z = 1 + (1 + x_121), x_121 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> 0'(log(encArg(x_119))) :|: z = 1 + (1 + x_119), x_119 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> 0'(half(encArg(x_120))) :|: x_120 >= 0, z = 1 + (1 + x_120) encArg(z) -{ 0 }-> 0'(0'(encArg(x_123))) :|: x_123 >= 0, z = 1 + (1 + x_123) encArg(z) -{ 0 }-> 0'(0) :|: z = 1 + x_1, x_1 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 encode_0(z) -{ 0 }-> 0'(s(encArg(x_142))) :|: z = 1 + x_142, x_142 >= 0 encode_0(z) -{ 0 }-> 0'(p(encArg(x_141))) :|: z = 1 + x_141, x_141 >= 0 encode_0(z) -{ 0 }-> 0'(log(encArg(x_139))) :|: z = 1 + x_139, x_139 >= 0 encode_0(z) -{ 0 }-> 0'(half(encArg(x_140))) :|: z = 1 + x_140, x_140 >= 0 encode_0(z) -{ 0 }-> 0'(0'(encArg(x_143))) :|: x_143 >= 0, z = 1 + x_143 encode_0(z) -{ 0 }-> 0'(0) :|: x_1 >= 0, z = x_1 encode_0(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 encode_half(z) -{ 0 }-> half(s(encArg(x_137))) :|: z = 1 + x_137, x_137 >= 0 encode_half(z) -{ 0 }-> half(p(encArg(x_136))) :|: x_136 >= 0, z = 1 + x_136 encode_half(z) -{ 0 }-> half(log(encArg(x_134))) :|: x_134 >= 0, z = 1 + x_134 encode_half(z) -{ 0 }-> half(half(encArg(x_135))) :|: z = 1 + x_135, x_135 >= 0 encode_half(z) -{ 0 }-> half(0'(encArg(x_138))) :|: x_138 >= 0, z = 1 + x_138 encode_half(z) -{ 0 }-> half(0) :|: x_1 >= 0, z = x_1 encode_half(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 encode_log(z) -{ 0 }-> log(s(encArg(x_127))) :|: x_127 >= 0, z = 1 + x_127 encode_log(z) -{ 0 }-> log(p(encArg(x_126))) :|: z = 1 + x_126, x_126 >= 0 encode_log(z) -{ 0 }-> log(log(encArg(x_124))) :|: x_124 >= 0, z = 1 + x_124 encode_log(z) -{ 0 }-> log(half(encArg(x_125))) :|: z = 1 + x_125, x_125 >= 0 encode_log(z) -{ 0 }-> log(0'(encArg(x_128))) :|: x_128 >= 0, z = 1 + x_128 encode_log(z) -{ 0 }-> log(0) :|: x_1 >= 0, z = x_1 encode_log(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 encode_p(z) -{ 0 }-> p(s(encArg(x_147))) :|: z = 1 + x_147, x_147 >= 0 encode_p(z) -{ 0 }-> p(p(encArg(x_146))) :|: x_146 >= 0, z = 1 + x_146 encode_p(z) -{ 0 }-> p(log(encArg(x_144))) :|: x_144 >= 0, z = 1 + x_144 encode_p(z) -{ 0 }-> p(half(encArg(x_145))) :|: x_145 >= 0, z = 1 + x_145 encode_p(z) -{ 0 }-> p(0'(encArg(x_148))) :|: z = 1 + x_148, x_148 >= 0 encode_p(z) -{ 0 }-> p(0) :|: x_1 >= 0, z = x_1 encode_p(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 encode_s(z) -{ 0 }-> s(s(encArg(x_132))) :|: z = 1 + x_132, x_132 >= 0 encode_s(z) -{ 0 }-> s(p(encArg(x_131))) :|: z = 1 + x_131, x_131 >= 0 encode_s(z) -{ 0 }-> s(log(encArg(x_129))) :|: z = 1 + x_129, x_129 >= 0 encode_s(z) -{ 0 }-> s(half(encArg(x_130))) :|: x_130 >= 0, z = 1 + x_130 encode_s(z) -{ 0 }-> s(0'(encArg(x_133))) :|: z = 1 + x_133, x_133 >= 0 encode_s(z) -{ 0 }-> s(0) :|: x_1 >= 0, z = x_1 encode_s(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 half(z) -{ 2 }-> s(s(half(s(s(half(half(x110))))))) :|: z = 1 + (1 + (1 + (1 + (1 + (1 + (1 + (1 + (1 + (1 + x110))))))))), x110 >= 0 half(z) -{ 2 }-> s(s(half(s(half(p(s(s(x17)))))))) :|: z = 1 + (1 + (1 + (1 + (1 + (1 + (1 + x17)))))), x17 >= 0 half(z) -{ 2 }-> s(s(half(0'(x19)))) :|: z = 1 + (1 + (1 + (1 + (1 + (1 + (1 + x19)))))), x19 >= 0 half(z) -{ 2 }-> s(s(half(0'(s(s(half(x18))))))) :|: z = 1 + (1 + (1 + (1 + (1 + (1 + x18))))), x18 >= 0 half(z) -{ 1 }-> s(s(half(0))) :|: x1 >= 0, z = 1 + (1 + (1 + (1 + (1 + x1)))) half(z) -{ 1 }-> s(s(half(1 + x1))) :|: x1 >= 0, z = 1 + (1 + (1 + (1 + (1 + x1)))) half(z) -{ 2 }-> s(half(p(s(s(s(x1'')))))) :|: x1'' >= 0, z = 1 + (1 + (1 + (1 + (1 + x1'')))) half(z) -{ 1 }-> s(half(p(s(0)))) :|: z = 1 + (1 + x1), x1 >= 0 half(z) -{ 1 }-> s(half(p(s(1 + x1)))) :|: z = 1 + (1 + x1), x1 >= 0 half(z) -{ 1 }-> 0'(x1) :|: z = 1 + (1 + x1), x1 >= 0 half(z) -{ 2 }-> 0'(s(s(s(s(half(half(x15))))))) :|: z = 1 + (1 + (1 + (1 + (1 + (1 + x15))))), x15 >= 0 half(z) -{ 2 }-> 0'(s(s(s(half(p(s(s(x12)))))))) :|: x12 >= 0, z = 1 + (1 + (1 + x12)) half(z) -{ 2 }-> 0'(s(s(0'(x14)))) :|: z = 1 + (1 + (1 + x14)), x14 >= 0 half(z) -{ 2 }-> 0'(s(s(0'(s(s(half(x13))))))) :|: z = 1 + (1 + x13), x13 >= 0 half(z) -{ 1 }-> 0'(s(s(0))) :|: x1 >= 0, z = 1 + x1 half(z) -{ 1 }-> 0'(s(s(1 + x1))) :|: x1 >= 0, z = 1 + x1 half(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 half(z) -{ 0 }-> 1 + x0 :|: z = x0, x0 >= 0 log(z) -{ 2 }-> s(log(half(s(s(x16))))) :|: z = 1 + (1 + (1 + (1 + x16))), x16 >= 0 log(z) -{ 1 }-> s(log(half(0))) :|: x1 >= 0, z = 1 + x1 log(z) -{ 1 }-> s(log(half(1 + x1))) :|: x1 >= 0, z = 1 + x1 log(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 p(z) -{ 2 }-> s(p(s(s(s(x1'))))) :|: z = 1 + (1 + (1 + (1 + (1 + (1 + x1'))))), x1' >= 0 p(z) -{ 1 }-> s(p(s(0))) :|: x1 >= 0, z = 1 + (1 + (1 + x1)) p(z) -{ 1 }-> s(p(s(1 + x1))) :|: x1 >= 0, z = 1 + (1 + (1 + x1)) p(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 p(z) -{ 0 }-> 1 + x0 :|: z = x0, x0 >= 0 s(z) -{ 2 }-> s(s(s(x11))) :|: x11 >= 0, z = 1 + (1 + (1 + (1 + (1 + (1 + x11))))) s(z) -{ 1 }-> s(0) :|: x1 >= 0, z = 1 + (1 + (1 + x1)) s(z) -{ 1 }-> s(1 + x1) :|: x1 >= 0, z = 1 + (1 + (1 + x1)) s(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 s(z) -{ 0 }-> 1 + x0 :|: z = x0, x0 >= 0 ---------------------------------------- (33) InliningProof (UPPER BOUND(ID)) Inlined the following terminating rules on right-hand sides where appropriate: 0'(z) -{ 0 }-> 1 + x0 :|: z = x0, x0 >= 0 0'(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 0'(z) -{ 1 }-> x1 :|: x1 >= 0, z = x1 ---------------------------------------- (34) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: 0'(z) -{ 1 }-> x1 :|: x1 >= 0, z = x1 0'(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 0'(z) -{ 0 }-> 1 + x0 :|: z = x0, x0 >= 0 encArg(z) -{ 1 }-> x1 :|: z = 1 + x_1, x_1 >= 0, x1 >= 0, 0 = x1 encArg(z) -{ 0 }-> s(s(encArg(x_117))) :|: z = 1 + (1 + x_117), x_117 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> s(p(encArg(x_116))) :|: z = 1 + (1 + x_116), x_116 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> s(log(encArg(x_114))) :|: z = 1 + (1 + x_114), x_114 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> s(half(encArg(x_115))) :|: z = 1 + (1 + x_115), x_115 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> s(0'(encArg(x_118))) :|: z = 1 + (1 + x_118), x_118 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> s(0) :|: z = 1 + x_1, x_1 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> p(s(encArg(x_112))) :|: x_112 >= 0, z = 1 + (1 + x_112) encArg(z) -{ 0 }-> p(p(encArg(x_111))) :|: z = 1 + (1 + x_111), x_111 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> p(log(encArg(x_19))) :|: z = 1 + (1 + x_19), x_19 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> p(half(encArg(x_110))) :|: z = 1 + (1 + x_110), x_110 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> p(0'(encArg(x_113))) :|: x_113 >= 0, z = 1 + (1 + x_113) encArg(z) -{ 0 }-> p(0) :|: z = 1 + x_1, x_1 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> log(s(encArg(x_12))) :|: z = 1 + (1 + x_12), x_12 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> log(p(encArg(x_11))) :|: x_11 >= 0, z = 1 + (1 + x_11) encArg(z) -{ 0 }-> log(log(encArg(x_1'))) :|: z = 1 + (1 + x_1'), x_1' >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> log(half(encArg(x_1''))) :|: z = 1 + (1 + x_1''), x_1'' >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> log(0'(encArg(x_13))) :|: z = 1 + (1 + x_13), x_13 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> log(0) :|: z = 1 + x_1, x_1 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> half(s(encArg(x_17))) :|: x_17 >= 0, z = 1 + (1 + x_17) encArg(z) -{ 0 }-> half(p(encArg(x_16))) :|: x_16 >= 0, z = 1 + (1 + x_16) encArg(z) -{ 0 }-> half(log(encArg(x_14))) :|: x_14 >= 0, z = 1 + (1 + x_14) encArg(z) -{ 0 }-> half(half(encArg(x_15))) :|: x_15 >= 0, z = 1 + (1 + x_15) encArg(z) -{ 0 }-> half(0'(encArg(x_18))) :|: z = 1 + (1 + x_18), x_18 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> half(0) :|: z = 1 + x_1, x_1 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> 0'(s(encArg(x_122))) :|: x_122 >= 0, z = 1 + (1 + x_122) encArg(z) -{ 0 }-> 0'(p(encArg(x_121))) :|: z = 1 + (1 + x_121), x_121 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> 0'(log(encArg(x_119))) :|: z = 1 + (1 + x_119), x_119 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> 0'(half(encArg(x_120))) :|: x_120 >= 0, z = 1 + (1 + x_120) encArg(z) -{ 0 }-> 0'(0'(encArg(x_123))) :|: x_123 >= 0, z = 1 + (1 + x_123) encArg(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 encArg(z) -{ 0 }-> 0 :|: z = 1 + x_1, x_1 >= 0, v0 >= 0, 0 = v0 encArg(z) -{ 0 }-> 1 + x0 :|: z = 1 + x_1, x_1 >= 0, 0 = x0, x0 >= 0 encode_0(z) -{ 1 }-> x1 :|: x_1 >= 0, z = x_1, x1 >= 0, 0 = x1 encode_0(z) -{ 0 }-> 0'(s(encArg(x_142))) :|: z = 1 + x_142, x_142 >= 0 encode_0(z) -{ 0 }-> 0'(p(encArg(x_141))) :|: z = 1 + x_141, x_141 >= 0 encode_0(z) -{ 0 }-> 0'(log(encArg(x_139))) :|: z = 1 + x_139, x_139 >= 0 encode_0(z) -{ 0 }-> 0'(half(encArg(x_140))) :|: z = 1 + x_140, x_140 >= 0 encode_0(z) -{ 0 }-> 0'(0'(encArg(x_143))) :|: x_143 >= 0, z = 1 + x_143 encode_0(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 encode_0(z) -{ 0 }-> 0 :|: x_1 >= 0, z = x_1, v0 >= 0, 0 = v0 encode_0(z) -{ 0 }-> 1 + x0 :|: x_1 >= 0, z = x_1, 0 = x0, x0 >= 0 encode_half(z) -{ 0 }-> half(s(encArg(x_137))) :|: z = 1 + x_137, x_137 >= 0 encode_half(z) -{ 0 }-> half(p(encArg(x_136))) :|: x_136 >= 0, z = 1 + x_136 encode_half(z) -{ 0 }-> half(log(encArg(x_134))) :|: x_134 >= 0, z = 1 + x_134 encode_half(z) -{ 0 }-> half(half(encArg(x_135))) :|: z = 1 + x_135, x_135 >= 0 encode_half(z) -{ 0 }-> half(0'(encArg(x_138))) :|: x_138 >= 0, z = 1 + x_138 encode_half(z) -{ 0 }-> half(0) :|: x_1 >= 0, z = x_1 encode_half(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 encode_log(z) -{ 0 }-> log(s(encArg(x_127))) :|: x_127 >= 0, z = 1 + x_127 encode_log(z) -{ 0 }-> log(p(encArg(x_126))) :|: z = 1 + x_126, x_126 >= 0 encode_log(z) -{ 0 }-> log(log(encArg(x_124))) :|: x_124 >= 0, z = 1 + x_124 encode_log(z) -{ 0 }-> log(half(encArg(x_125))) :|: z = 1 + x_125, x_125 >= 0 encode_log(z) -{ 0 }-> log(0'(encArg(x_128))) :|: x_128 >= 0, z = 1 + x_128 encode_log(z) -{ 0 }-> log(0) :|: x_1 >= 0, z = x_1 encode_log(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 encode_p(z) -{ 0 }-> p(s(encArg(x_147))) :|: z = 1 + x_147, x_147 >= 0 encode_p(z) -{ 0 }-> p(p(encArg(x_146))) :|: x_146 >= 0, z = 1 + x_146 encode_p(z) -{ 0 }-> p(log(encArg(x_144))) :|: x_144 >= 0, z = 1 + x_144 encode_p(z) -{ 0 }-> p(half(encArg(x_145))) :|: x_145 >= 0, z = 1 + x_145 encode_p(z) -{ 0 }-> p(0'(encArg(x_148))) :|: z = 1 + x_148, x_148 >= 0 encode_p(z) -{ 0 }-> p(0) :|: x_1 >= 0, z = x_1 encode_p(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 encode_s(z) -{ 0 }-> s(s(encArg(x_132))) :|: z = 1 + x_132, x_132 >= 0 encode_s(z) -{ 0 }-> s(p(encArg(x_131))) :|: z = 1 + x_131, x_131 >= 0 encode_s(z) -{ 0 }-> s(log(encArg(x_129))) :|: z = 1 + x_129, x_129 >= 0 encode_s(z) -{ 0 }-> s(half(encArg(x_130))) :|: x_130 >= 0, z = 1 + x_130 encode_s(z) -{ 0 }-> s(0'(encArg(x_133))) :|: z = 1 + x_133, x_133 >= 0 encode_s(z) -{ 0 }-> s(0) :|: x_1 >= 0, z = x_1 encode_s(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 half(z) -{ 2 }-> x1' :|: z = 1 + (1 + x1), x1 >= 0, x1' >= 0, x1 = x1' half(z) -{ 3 }-> s(s(half(x1))) :|: z = 1 + (1 + (1 + (1 + (1 + (1 + (1 + x19)))))), x19 >= 0, x1 >= 0, x19 = x1 half(z) -{ 2 }-> s(s(half(s(s(half(half(x110))))))) :|: z = 1 + (1 + (1 + (1 + (1 + (1 + (1 + (1 + (1 + (1 + x110))))))))), x110 >= 0 half(z) -{ 2 }-> s(s(half(s(half(p(s(s(x17)))))))) :|: z = 1 + (1 + (1 + (1 + (1 + (1 + (1 + x17)))))), x17 >= 0 half(z) -{ 2 }-> s(s(half(0'(s(s(half(x18))))))) :|: z = 1 + (1 + (1 + (1 + (1 + (1 + x18))))), x18 >= 0 half(z) -{ 1 }-> s(s(half(0))) :|: x1 >= 0, z = 1 + (1 + (1 + (1 + (1 + x1)))) half(z) -{ 2 }-> s(s(half(0))) :|: z = 1 + (1 + (1 + (1 + (1 + (1 + (1 + x19)))))), x19 >= 0, v0 >= 0, x19 = v0 half(z) -{ 2 }-> s(s(half(1 + x0))) :|: z = 1 + (1 + (1 + (1 + (1 + (1 + (1 + x19)))))), x19 >= 0, x19 = x0, x0 >= 0 half(z) -{ 1 }-> s(s(half(1 + x1))) :|: x1 >= 0, z = 1 + (1 + (1 + (1 + (1 + x1)))) half(z) -{ 2 }-> s(half(p(s(s(s(x1'')))))) :|: x1'' >= 0, z = 1 + (1 + (1 + (1 + (1 + x1'')))) half(z) -{ 1 }-> s(half(p(s(0)))) :|: z = 1 + (1 + x1), x1 >= 0 half(z) -{ 1 }-> s(half(p(s(1 + x1)))) :|: z = 1 + (1 + x1), x1 >= 0 half(z) -{ 3 }-> 0'(s(s(x1))) :|: z = 1 + (1 + (1 + x14)), x14 >= 0, x1 >= 0, x14 = x1 half(z) -{ 2 }-> 0'(s(s(s(s(half(half(x15))))))) :|: z = 1 + (1 + (1 + (1 + (1 + (1 + x15))))), x15 >= 0 half(z) -{ 2 }-> 0'(s(s(s(half(p(s(s(x12)))))))) :|: x12 >= 0, z = 1 + (1 + (1 + x12)) half(z) -{ 2 }-> 0'(s(s(0'(s(s(half(x13))))))) :|: z = 1 + (1 + x13), x13 >= 0 half(z) -{ 2 }-> 0'(s(s(0))) :|: z = 1 + (1 + (1 + x14)), x14 >= 0, v0 >= 0, x14 = v0 half(z) -{ 1 }-> 0'(s(s(0))) :|: x1 >= 0, z = 1 + x1 half(z) -{ 2 }-> 0'(s(s(1 + x0))) :|: z = 1 + (1 + (1 + x14)), x14 >= 0, x14 = x0, x0 >= 0 half(z) -{ 1 }-> 0'(s(s(1 + x1))) :|: x1 >= 0, z = 1 + x1 half(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 half(z) -{ 1 }-> 0 :|: z = 1 + (1 + x1), x1 >= 0, v0 >= 0, x1 = v0 half(z) -{ 0 }-> 1 + x0 :|: z = x0, x0 >= 0 half(z) -{ 1 }-> 1 + x0 :|: z = 1 + (1 + x1), x1 >= 0, x1 = x0, x0 >= 0 log(z) -{ 2 }-> s(log(half(s(s(x16))))) :|: z = 1 + (1 + (1 + (1 + x16))), x16 >= 0 log(z) -{ 1 }-> s(log(half(0))) :|: x1 >= 0, z = 1 + x1 log(z) -{ 1 }-> s(log(half(1 + x1))) :|: x1 >= 0, z = 1 + x1 log(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 p(z) -{ 2 }-> s(p(s(s(s(x1'))))) :|: z = 1 + (1 + (1 + (1 + (1 + (1 + x1'))))), x1' >= 0 p(z) -{ 1 }-> s(p(s(0))) :|: x1 >= 0, z = 1 + (1 + (1 + x1)) p(z) -{ 1 }-> s(p(s(1 + x1))) :|: x1 >= 0, z = 1 + (1 + (1 + x1)) p(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 p(z) -{ 0 }-> 1 + x0 :|: z = x0, x0 >= 0 s(z) -{ 2 }-> s(s(s(x11))) :|: x11 >= 0, z = 1 + (1 + (1 + (1 + (1 + (1 + x11))))) s(z) -{ 1 }-> s(0) :|: x1 >= 0, z = 1 + (1 + (1 + x1)) s(z) -{ 1 }-> s(1 + x1) :|: x1 >= 0, z = 1 + (1 + (1 + x1)) s(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 s(z) -{ 0 }-> 1 + x0 :|: z = x0, x0 >= 0 ---------------------------------------- (35) SimplificationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Simplified the RNTS by moving equalities from the constraints into the right-hand sides. ---------------------------------------- (36) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: 0'(z) -{ 1 }-> z :|: z >= 0 0'(z) -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0 0'(z) -{ 0 }-> 1 + z :|: z >= 0 encArg(z) -{ 1 }-> x1 :|: z - 1 >= 0, x1 >= 0, 0 = x1 encArg(z) -{ 0 }-> s(s(encArg(z - 2))) :|: z - 2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> s(p(encArg(z - 2))) :|: z - 2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> s(log(encArg(z - 2))) :|: z - 2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> s(half(encArg(z - 2))) :|: z - 2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> s(0'(encArg(z - 2))) :|: z - 2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> s(0) :|: z - 1 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> p(s(encArg(z - 2))) :|: z - 2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> p(p(encArg(z - 2))) :|: z - 2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> p(log(encArg(z - 2))) :|: z - 2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> p(half(encArg(z - 2))) :|: z - 2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> p(0'(encArg(z - 2))) :|: z - 2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> p(0) :|: z - 1 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> log(s(encArg(z - 2))) :|: z - 2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> log(p(encArg(z - 2))) :|: z - 2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> log(log(encArg(z - 2))) :|: z - 2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> log(half(encArg(z - 2))) :|: z - 2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> log(0'(encArg(z - 2))) :|: z - 2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> log(0) :|: z - 1 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> half(s(encArg(z - 2))) :|: z - 2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> half(p(encArg(z - 2))) :|: z - 2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> half(log(encArg(z - 2))) :|: z - 2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> half(half(encArg(z - 2))) :|: z - 2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> half(0'(encArg(z - 2))) :|: z - 2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> half(0) :|: z - 1 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> 0'(s(encArg(z - 2))) :|: z - 2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> 0'(p(encArg(z - 2))) :|: z - 2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> 0'(log(encArg(z - 2))) :|: z - 2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> 0'(half(encArg(z - 2))) :|: z - 2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> 0'(0'(encArg(z - 2))) :|: z - 2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> 0 :|: z - 1 >= 0, v0 >= 0, 0 = v0 encArg(z) -{ 0 }-> 1 + x0 :|: z - 1 >= 0, 0 = x0, x0 >= 0 encode_0(z) -{ 1 }-> x1 :|: z >= 0, x1 >= 0, 0 = x1 encode_0(z) -{ 0 }-> 0'(s(encArg(z - 1))) :|: z - 1 >= 0 encode_0(z) -{ 0 }-> 0'(p(encArg(z - 1))) :|: z - 1 >= 0 encode_0(z) -{ 0 }-> 0'(log(encArg(z - 1))) :|: z - 1 >= 0 encode_0(z) -{ 0 }-> 0'(half(encArg(z - 1))) :|: z - 1 >= 0 encode_0(z) -{ 0 }-> 0'(0'(encArg(z - 1))) :|: z - 1 >= 0 encode_0(z) -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0 encode_0(z) -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0, v0 >= 0, 0 = v0 encode_0(z) -{ 0 }-> 1 + x0 :|: z >= 0, 0 = x0, x0 >= 0 encode_half(z) -{ 0 }-> half(s(encArg(z - 1))) :|: z - 1 >= 0 encode_half(z) -{ 0 }-> half(p(encArg(z - 1))) :|: z - 1 >= 0 encode_half(z) -{ 0 }-> half(log(encArg(z - 1))) :|: z - 1 >= 0 encode_half(z) -{ 0 }-> half(half(encArg(z - 1))) :|: z - 1 >= 0 encode_half(z) -{ 0 }-> half(0'(encArg(z - 1))) :|: z - 1 >= 0 encode_half(z) -{ 0 }-> half(0) :|: z >= 0 encode_half(z) -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0 encode_log(z) -{ 0 }-> log(s(encArg(z - 1))) :|: z - 1 >= 0 encode_log(z) -{ 0 }-> log(p(encArg(z - 1))) :|: z - 1 >= 0 encode_log(z) -{ 0 }-> log(log(encArg(z - 1))) :|: z - 1 >= 0 encode_log(z) -{ 0 }-> log(half(encArg(z - 1))) :|: z - 1 >= 0 encode_log(z) -{ 0 }-> log(0'(encArg(z - 1))) :|: z - 1 >= 0 encode_log(z) -{ 0 }-> log(0) :|: z >= 0 encode_log(z) -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0 encode_p(z) -{ 0 }-> p(s(encArg(z - 1))) :|: z - 1 >= 0 encode_p(z) -{ 0 }-> p(p(encArg(z - 1))) :|: z - 1 >= 0 encode_p(z) -{ 0 }-> p(log(encArg(z - 1))) :|: z - 1 >= 0 encode_p(z) -{ 0 }-> p(half(encArg(z - 1))) :|: z - 1 >= 0 encode_p(z) -{ 0 }-> p(0'(encArg(z - 1))) :|: z - 1 >= 0 encode_p(z) -{ 0 }-> p(0) :|: z >= 0 encode_p(z) -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0 encode_s(z) -{ 0 }-> s(s(encArg(z - 1))) :|: z - 1 >= 0 encode_s(z) -{ 0 }-> s(p(encArg(z - 1))) :|: z - 1 >= 0 encode_s(z) -{ 0 }-> s(log(encArg(z - 1))) :|: z - 1 >= 0 encode_s(z) -{ 0 }-> s(half(encArg(z - 1))) :|: z - 1 >= 0 encode_s(z) -{ 0 }-> s(0'(encArg(z - 1))) :|: z - 1 >= 0 encode_s(z) -{ 0 }-> s(0) :|: z >= 0 encode_s(z) -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0 half(z) -{ 2 }-> x1' :|: z - 2 >= 0, x1' >= 0, z - 2 = x1' half(z) -{ 3 }-> s(s(half(x1))) :|: z - 7 >= 0, x1 >= 0, z - 7 = x1 half(z) -{ 2 }-> s(s(half(s(s(half(half(z - 10))))))) :|: z - 10 >= 0 half(z) -{ 2 }-> s(s(half(s(half(p(s(s(z - 7)))))))) :|: z - 7 >= 0 half(z) -{ 2 }-> s(s(half(0'(s(s(half(z - 6))))))) :|: z - 6 >= 0 half(z) -{ 1 }-> s(s(half(0))) :|: z - 5 >= 0 half(z) -{ 2 }-> s(s(half(0))) :|: z - 7 >= 0, v0 >= 0, z - 7 = v0 half(z) -{ 2 }-> s(s(half(1 + x0))) :|: z - 7 >= 0, z - 7 = x0, x0 >= 0 half(z) -{ 1 }-> s(s(half(1 + (z - 5)))) :|: z - 5 >= 0 half(z) -{ 2 }-> s(half(p(s(s(s(z - 5)))))) :|: z - 5 >= 0 half(z) -{ 1 }-> s(half(p(s(0)))) :|: z - 2 >= 0 half(z) -{ 1 }-> s(half(p(s(1 + (z - 2))))) :|: z - 2 >= 0 half(z) -{ 3 }-> 0'(s(s(x1))) :|: z - 3 >= 0, x1 >= 0, z - 3 = x1 half(z) -{ 2 }-> 0'(s(s(s(s(half(half(z - 6))))))) :|: z - 6 >= 0 half(z) -{ 2 }-> 0'(s(s(s(half(p(s(s(z - 3)))))))) :|: z - 3 >= 0 half(z) -{ 2 }-> 0'(s(s(0'(s(s(half(z - 2))))))) :|: z - 2 >= 0 half(z) -{ 2 }-> 0'(s(s(0))) :|: z - 3 >= 0, v0 >= 0, z - 3 = v0 half(z) -{ 1 }-> 0'(s(s(0))) :|: z - 1 >= 0 half(z) -{ 2 }-> 0'(s(s(1 + x0))) :|: z - 3 >= 0, z - 3 = x0, x0 >= 0 half(z) -{ 1 }-> 0'(s(s(1 + (z - 1)))) :|: z - 1 >= 0 half(z) -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0 half(z) -{ 1 }-> 0 :|: z - 2 >= 0, v0 >= 0, z - 2 = v0 half(z) -{ 1 }-> 1 + x0 :|: z - 2 >= 0, z - 2 = x0, x0 >= 0 half(z) -{ 0 }-> 1 + z :|: z >= 0 log(z) -{ 2 }-> s(log(half(s(s(z - 4))))) :|: z - 4 >= 0 log(z) -{ 1 }-> s(log(half(0))) :|: z - 1 >= 0 log(z) -{ 1 }-> s(log(half(1 + (z - 1)))) :|: z - 1 >= 0 log(z) -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0 p(z) -{ 2 }-> s(p(s(s(s(z - 6))))) :|: z - 6 >= 0 p(z) -{ 1 }-> s(p(s(0))) :|: z - 3 >= 0 p(z) -{ 1 }-> s(p(s(1 + (z - 3)))) :|: z - 3 >= 0 p(z) -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0 p(z) -{ 0 }-> 1 + z :|: z >= 0 s(z) -{ 2 }-> s(s(s(z - 6))) :|: z - 6 >= 0 s(z) -{ 1 }-> s(0) :|: z - 3 >= 0 s(z) -{ 1 }-> s(1 + (z - 3)) :|: z - 3 >= 0 s(z) -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0 s(z) -{ 0 }-> 1 + z :|: z >= 0 ---------------------------------------- (37) CompletionProof (UPPER BOUND(ID)) The TRS is a completely defined constructor system, as every type has a constant constructor and the following rules were added: encArg(v0) -> null_encArg [0] encode_log(v0) -> null_encode_log [0] encode_s(v0) -> null_encode_s [0] encode_half(v0) -> null_encode_half [0] encode_0(v0) -> null_encode_0 [0] encode_p(v0) -> null_encode_p [0] s(v0) -> null_s [0] p(v0) -> null_p [0] half(v0) -> null_half [0] 0'(v0) -> null_0' [0] log(v0) -> null_log [0] And the following fresh constants: null_encArg, null_encode_log, null_encode_s, null_encode_half, null_encode_0, null_encode_p, null_s, null_p, null_half, null_0', null_log, const ---------------------------------------- (38) Obligation: Runtime Complexity Weighted TRS where all functions are completely defined. The underlying TRS is: Runtime Complexity Weighted TRS with Types. The TRS R consists of the following rules: 0'(x1) -> x1 [1] p(c_s(c_s(c_s(x1)))) -> s(p(s(s(x1)))) [1] half(c_s(c_s(x1))) -> s(half(p(s(s(x1))))) [1] s(c_s(c_p(c_s(x1)))) -> s(s(x1)) [1] half(c_0(x1)) -> 0'(s(s(half(x1)))) [1] half(c_s(c_0(x1))) -> 0'(x1) [1] log(c_s(x1)) -> s(log(half(s(x1)))) [1] half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x1)))))) -> s(s(half(half(x1)))) [1] encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) [0] encArg(cons_0(x_1)) -> 0'(encArg(x_1)) [0] encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) [0] encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) [0] encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) [0] encode_0(x_1) -> 0'(encArg(x_1)) [0] encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) [0] s(x0) -> c_s(x0) [0] p(x0) -> c_p(x0) [0] half(x0) -> c_half(x0) [0] 0'(x0) -> c_0(x0) [0] encArg(v0) -> null_encArg [0] encode_log(v0) -> null_encode_log [0] encode_s(v0) -> null_encode_s [0] encode_half(v0) -> null_encode_half [0] encode_0(v0) -> null_encode_0 [0] encode_p(v0) -> null_encode_p [0] s(v0) -> null_s [0] p(v0) -> null_p [0] half(v0) -> null_half [0] 0'(v0) -> null_0' [0] log(v0) -> null_log [0] The TRS has the following type information: 0' :: c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log -> c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log p :: c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log -> c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log c_s :: c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log -> c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log s :: c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log -> c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log half :: c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log -> c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log c_p :: c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log -> c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log c_0 :: c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log -> c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log log :: c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log -> c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log c_half :: c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log -> c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log encArg :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log cons_log :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 cons_half :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 cons_p :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 cons_s :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 cons_0 :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 encode_log :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log encode_s :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log encode_half :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log encode_0 :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log encode_p :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 -> c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log null_encArg :: c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log null_encode_log :: c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log null_encode_s :: c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log null_encode_half :: c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log null_encode_0 :: c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log null_encode_p :: c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log null_s :: c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log null_p :: c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log null_half :: c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log null_0' :: c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log null_log :: c_s:c_p:c_0:c_half:null_encArg:null_encode_log:null_encode_s:null_encode_half:null_encode_0:null_encode_p:null_s:null_p:null_half:null_0':null_log const :: cons_log:cons_half:cons_p:cons_s:cons_0 Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (39) CpxTypedWeightedTrsToRntsProof (UPPER BOUND(ID)) Transformed the TRS into an over-approximating RNTS by (improved) Size Abstraction. The constant constructors are abstracted as follows: null_encArg => 0 null_encode_log => 0 null_encode_s => 0 null_encode_half => 0 null_encode_0 => 0 null_encode_p => 0 null_s => 0 null_p => 0 null_half => 0 null_0' => 0 null_log => 0 const => 0 ---------------------------------------- (40) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: 0'(z) -{ 1 }-> x1 :|: x1 >= 0, z = x1 0'(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 0'(z) -{ 0 }-> 1 + x0 :|: z = x0, x0 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> s(encArg(x_1)) :|: z = 1 + x_1, x_1 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> p(encArg(x_1)) :|: z = 1 + x_1, x_1 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> log(encArg(x_1)) :|: z = 1 + x_1, x_1 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> half(encArg(x_1)) :|: z = 1 + x_1, x_1 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> 0'(encArg(x_1)) :|: z = 1 + x_1, x_1 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 encode_0(z) -{ 0 }-> 0'(encArg(x_1)) :|: x_1 >= 0, z = x_1 encode_0(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 encode_half(z) -{ 0 }-> half(encArg(x_1)) :|: x_1 >= 0, z = x_1 encode_half(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 encode_log(z) -{ 0 }-> log(encArg(x_1)) :|: x_1 >= 0, z = x_1 encode_log(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 encode_p(z) -{ 0 }-> p(encArg(x_1)) :|: x_1 >= 0, z = x_1 encode_p(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 encode_s(z) -{ 0 }-> s(encArg(x_1)) :|: x_1 >= 0, z = x_1 encode_s(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 half(z) -{ 1 }-> s(s(half(half(x1)))) :|: x1 >= 0, z = 1 + (1 + (1 + (1 + (1 + x1)))) half(z) -{ 1 }-> s(half(p(s(s(x1))))) :|: z = 1 + (1 + x1), x1 >= 0 half(z) -{ 1 }-> 0'(x1) :|: z = 1 + (1 + x1), x1 >= 0 half(z) -{ 1 }-> 0'(s(s(half(x1)))) :|: x1 >= 0, z = 1 + x1 half(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 half(z) -{ 0 }-> 1 + x0 :|: z = x0, x0 >= 0 log(z) -{ 1 }-> s(log(half(s(x1)))) :|: x1 >= 0, z = 1 + x1 log(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 p(z) -{ 1 }-> s(p(s(s(x1)))) :|: x1 >= 0, z = 1 + (1 + (1 + x1)) p(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 p(z) -{ 0 }-> 1 + x0 :|: z = x0, x0 >= 0 s(z) -{ 1 }-> s(s(x1)) :|: x1 >= 0, z = 1 + (1 + (1 + x1)) s(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 s(z) -{ 0 }-> 1 + x0 :|: z = x0, x0 >= 0 Only complete derivations are relevant for the runtime complexity. ---------------------------------------- (41) CpxTrsToCdtProof (UPPER BOUND(ID)) Converted Cpx (relative) TRS to CDT ---------------------------------------- (42) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) encode_log(z0) -> log(encArg(z0)) encode_s(z0) -> s(encArg(z0)) encode_half(z0) -> half(encArg(z0)) encode_0(z0) -> 0(encArg(z0)) encode_p(z0) -> p(encArg(z0)) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) Tuples: ENCARG(cons_log(z0)) -> c(LOG(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_half(z0)) -> c1(HALF(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_p(z0)) -> c2(P(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_s(z0)) -> c3(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_LOG(z0) -> c5(LOG(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_S(z0) -> c6(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_HALF(z0) -> c7(HALF(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_0(z0) -> c8(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_P(z0) -> c9(P(encArg(z0)), ENCARG(z0)) S(z0) -> c10 S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(s(z0)), S(z0)) P(z0) -> c12 P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(z0) -> c14 HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) 0'(z0) -> c19 0'(z0) -> c20 LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) S tuples: S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) 0'(z0) -> c20 LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: 0_1, p_1, half_1, s_1, log_1, encArg_1, encode_log_1, encode_s_1, encode_half_1, encode_0_1, encode_p_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_0_1, ENCODE_P_1, S_1, P_1, HALF_1, 0'_1, LOG_1 Compound Symbols: c_2, c1_2, c2_2, c3_2, c4_2, c5_2, c6_2, c7_2, c8_2, c9_2, c10, c11_2, c12, c13_4, c14, c15_5, c16_4, c17_1, c18_4, c19, c20, c21_4 ---------------------------------------- (43) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 4 trailing nodes: HALF(z0) -> c14 0'(z0) -> c19 P(z0) -> c12 S(z0) -> c10 ---------------------------------------- (44) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) encode_log(z0) -> log(encArg(z0)) encode_s(z0) -> s(encArg(z0)) encode_half(z0) -> half(encArg(z0)) encode_0(z0) -> 0(encArg(z0)) encode_p(z0) -> p(encArg(z0)) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) Tuples: ENCARG(cons_log(z0)) -> c(LOG(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_half(z0)) -> c1(HALF(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_p(z0)) -> c2(P(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_s(z0)) -> c3(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_LOG(z0) -> c5(LOG(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_S(z0) -> c6(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_HALF(z0) -> c7(HALF(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_0(z0) -> c8(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCODE_P(z0) -> c9(P(encArg(z0)), ENCARG(z0)) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) 0'(z0) -> c20 LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) S tuples: S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) 0'(z0) -> c20 LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: 0_1, p_1, half_1, s_1, log_1, encArg_1, encode_log_1, encode_s_1, encode_half_1, encode_0_1, encode_p_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_0_1, ENCODE_P_1, S_1, P_1, HALF_1, 0'_1, LOG_1 Compound Symbols: c_2, c1_2, c2_2, c3_2, c4_2, c5_2, c6_2, c7_2, c8_2, c9_2, c11_2, c13_4, c15_5, c16_4, c17_1, c18_4, c20, c21_4 ---------------------------------------- (45) CdtGraphSplitRhsProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Split RHS of tuples not part of any SCC ---------------------------------------- (46) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) encode_log(z0) -> log(encArg(z0)) encode_s(z0) -> s(encArg(z0)) encode_half(z0) -> half(encArg(z0)) encode_0(z0) -> 0(encArg(z0)) encode_p(z0) -> p(encArg(z0)) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) Tuples: ENCARG(cons_log(z0)) -> c(LOG(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_half(z0)) -> c1(HALF(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_p(z0)) -> c2(P(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_s(z0)) -> c3(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) 0'(z0) -> c20 LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) ENCODE_LOG(z0) -> c10(LOG(encArg(z0))) ENCODE_LOG(z0) -> c10(ENCARG(z0)) ENCODE_S(z0) -> c10(S(encArg(z0))) ENCODE_S(z0) -> c10(ENCARG(z0)) ENCODE_HALF(z0) -> c10(HALF(encArg(z0))) ENCODE_HALF(z0) -> c10(ENCARG(z0)) ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCODE_0(z0) -> c10(ENCARG(z0)) ENCODE_P(z0) -> c10(P(encArg(z0))) ENCODE_P(z0) -> c10(ENCARG(z0)) S tuples: S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) 0'(z0) -> c20 LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: 0_1, p_1, half_1, s_1, log_1, encArg_1, encode_log_1, encode_s_1, encode_half_1, encode_0_1, encode_p_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, S_1, P_1, HALF_1, 0'_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_0_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c_2, c1_2, c2_2, c3_2, c4_2, c11_2, c13_4, c15_5, c16_4, c17_1, c18_4, c20, c21_4, c10_1 ---------------------------------------- (47) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication) Removed 5 leading nodes: ENCODE_LOG(z0) -> c10(ENCARG(z0)) ENCODE_S(z0) -> c10(ENCARG(z0)) ENCODE_HALF(z0) -> c10(ENCARG(z0)) ENCODE_0(z0) -> c10(ENCARG(z0)) ENCODE_P(z0) -> c10(ENCARG(z0)) ---------------------------------------- (48) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) encode_log(z0) -> log(encArg(z0)) encode_s(z0) -> s(encArg(z0)) encode_half(z0) -> half(encArg(z0)) encode_0(z0) -> 0(encArg(z0)) encode_p(z0) -> p(encArg(z0)) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) Tuples: ENCARG(cons_log(z0)) -> c(LOG(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_half(z0)) -> c1(HALF(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_p(z0)) -> c2(P(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_s(z0)) -> c3(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) 0'(z0) -> c20 LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) ENCODE_LOG(z0) -> c10(LOG(encArg(z0))) ENCODE_S(z0) -> c10(S(encArg(z0))) ENCODE_HALF(z0) -> c10(HALF(encArg(z0))) ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCODE_P(z0) -> c10(P(encArg(z0))) S tuples: S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) 0'(z0) -> c20 LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: 0_1, p_1, half_1, s_1, log_1, encArg_1, encode_log_1, encode_s_1, encode_half_1, encode_0_1, encode_p_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, S_1, P_1, HALF_1, 0'_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_0_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c_2, c1_2, c2_2, c3_2, c4_2, c11_2, c13_4, c15_5, c16_4, c17_1, c18_4, c20, c21_4, c10_1 ---------------------------------------- (49) CdtUsableRulesProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules are not usable and were removed: encode_log(z0) -> log(encArg(z0)) encode_s(z0) -> s(encArg(z0)) encode_half(z0) -> half(encArg(z0)) encode_0(z0) -> 0(encArg(z0)) encode_p(z0) -> p(encArg(z0)) ---------------------------------------- (50) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_log(z0)) -> c(LOG(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_half(z0)) -> c1(HALF(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_p(z0)) -> c2(P(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_s(z0)) -> c3(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) 0'(z0) -> c20 LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) ENCODE_LOG(z0) -> c10(LOG(encArg(z0))) ENCODE_S(z0) -> c10(S(encArg(z0))) ENCODE_HALF(z0) -> c10(HALF(encArg(z0))) ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCODE_P(z0) -> c10(P(encArg(z0))) S tuples: S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) 0'(z0) -> c20 LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, S_1, P_1, HALF_1, 0'_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_0_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c_2, c1_2, c2_2, c3_2, c4_2, c11_2, c13_4, c15_5, c16_4, c17_1, c18_4, c20, c21_4, c10_1 ---------------------------------------- (51) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_log(z0)) -> c(LOG(encArg(z0)), ENCARG(z0)) by ENCARG(cons_log(cons_log(z0))) -> c(LOG(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_log(cons_half(z0))) -> c(LOG(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_log(cons_p(z0))) -> c(LOG(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_log(cons_s(z0))) -> c(LOG(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_log(cons_0(z0))) -> c(LOG(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ---------------------------------------- (52) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_half(z0)) -> c1(HALF(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_p(z0)) -> c2(P(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_s(z0)) -> c3(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) 0'(z0) -> c20 LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) ENCODE_LOG(z0) -> c10(LOG(encArg(z0))) ENCODE_S(z0) -> c10(S(encArg(z0))) ENCODE_HALF(z0) -> c10(HALF(encArg(z0))) ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCODE_P(z0) -> c10(P(encArg(z0))) ENCARG(cons_log(cons_log(z0))) -> c(LOG(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_log(cons_half(z0))) -> c(LOG(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_log(cons_p(z0))) -> c(LOG(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_log(cons_s(z0))) -> c(LOG(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_log(cons_0(z0))) -> c(LOG(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S tuples: S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) 0'(z0) -> c20 LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, S_1, P_1, HALF_1, 0'_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_0_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c1_2, c2_2, c3_2, c4_2, c11_2, c13_4, c15_5, c16_4, c17_1, c18_4, c20, c21_4, c10_1, c_2 ---------------------------------------- (53) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_half(z0)) -> c1(HALF(encArg(z0)), ENCARG(z0)) by ENCARG(cons_half(cons_log(z0))) -> c1(HALF(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_half(cons_half(z0))) -> c1(HALF(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_half(cons_p(z0))) -> c1(HALF(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_half(cons_s(z0))) -> c1(HALF(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_half(cons_0(z0))) -> c1(HALF(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ---------------------------------------- (54) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_p(z0)) -> c2(P(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_s(z0)) -> c3(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) 0'(z0) -> c20 LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) ENCODE_LOG(z0) -> c10(LOG(encArg(z0))) ENCODE_S(z0) -> c10(S(encArg(z0))) ENCODE_HALF(z0) -> c10(HALF(encArg(z0))) ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCODE_P(z0) -> c10(P(encArg(z0))) ENCARG(cons_log(cons_log(z0))) -> c(LOG(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_log(cons_half(z0))) -> c(LOG(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_log(cons_p(z0))) -> c(LOG(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_log(cons_s(z0))) -> c(LOG(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_log(cons_0(z0))) -> c(LOG(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_half(cons_log(z0))) -> c1(HALF(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_half(cons_half(z0))) -> c1(HALF(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_half(cons_p(z0))) -> c1(HALF(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_half(cons_s(z0))) -> c1(HALF(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_half(cons_0(z0))) -> c1(HALF(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S tuples: S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) 0'(z0) -> c20 LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, S_1, P_1, HALF_1, 0'_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_0_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c2_2, c3_2, c4_2, c11_2, c13_4, c15_5, c16_4, c17_1, c18_4, c20, c21_4, c10_1, c_2, c1_2 ---------------------------------------- (55) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_p(z0)) -> c2(P(encArg(z0)), ENCARG(z0)) by ENCARG(cons_p(cons_log(z0))) -> c2(P(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_p(cons_half(z0))) -> c2(P(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_p(cons_p(z0))) -> c2(P(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_p(cons_s(z0))) -> c2(P(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_p(cons_0(z0))) -> c2(P(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ---------------------------------------- (56) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_s(z0)) -> c3(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) 0'(z0) -> c20 LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) ENCODE_LOG(z0) -> c10(LOG(encArg(z0))) ENCODE_S(z0) -> c10(S(encArg(z0))) ENCODE_HALF(z0) -> c10(HALF(encArg(z0))) ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCODE_P(z0) -> c10(P(encArg(z0))) ENCARG(cons_log(cons_log(z0))) -> c(LOG(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_log(cons_half(z0))) -> c(LOG(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_log(cons_p(z0))) -> c(LOG(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_log(cons_s(z0))) -> c(LOG(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_log(cons_0(z0))) -> c(LOG(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_half(cons_log(z0))) -> c1(HALF(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_half(cons_half(z0))) -> c1(HALF(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_half(cons_p(z0))) -> c1(HALF(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_half(cons_s(z0))) -> c1(HALF(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_half(cons_0(z0))) -> c1(HALF(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_p(cons_log(z0))) -> c2(P(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_p(cons_half(z0))) -> c2(P(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_p(cons_p(z0))) -> c2(P(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_p(cons_s(z0))) -> c2(P(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_p(cons_0(z0))) -> c2(P(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S tuples: S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) 0'(z0) -> c20 LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, S_1, P_1, HALF_1, 0'_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_0_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c3_2, c4_2, c11_2, c13_4, c15_5, c16_4, c17_1, c18_4, c20, c21_4, c10_1, c_2, c1_2, c2_2 ---------------------------------------- (57) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_s(z0)) -> c3(S(encArg(z0)), ENCARG(z0)) by ENCARG(cons_s(cons_log(z0))) -> c3(S(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_s(cons_half(z0))) -> c3(S(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_s(cons_p(z0))) -> c3(S(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ---------------------------------------- (58) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) 0'(z0) -> c20 LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) ENCODE_LOG(z0) -> c10(LOG(encArg(z0))) ENCODE_S(z0) -> c10(S(encArg(z0))) ENCODE_HALF(z0) -> c10(HALF(encArg(z0))) ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCODE_P(z0) -> c10(P(encArg(z0))) ENCARG(cons_log(cons_log(z0))) -> c(LOG(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_log(cons_half(z0))) -> c(LOG(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_log(cons_p(z0))) -> c(LOG(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_log(cons_s(z0))) -> c(LOG(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_log(cons_0(z0))) -> c(LOG(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_half(cons_log(z0))) -> c1(HALF(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_half(cons_half(z0))) -> c1(HALF(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_half(cons_p(z0))) -> c1(HALF(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_half(cons_s(z0))) -> c1(HALF(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_half(cons_0(z0))) -> c1(HALF(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_p(cons_log(z0))) -> c2(P(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_p(cons_half(z0))) -> c2(P(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_p(cons_p(z0))) -> c2(P(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_p(cons_s(z0))) -> c2(P(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_p(cons_0(z0))) -> c2(P(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_s(cons_log(z0))) -> c3(S(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_s(cons_half(z0))) -> c3(S(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_s(cons_p(z0))) -> c3(S(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S tuples: S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) 0'(z0) -> c20 LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, S_1, P_1, HALF_1, 0'_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_0_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c11_2, c13_4, c15_5, c16_4, c17_1, c18_4, c20, c21_4, c10_1, c_2, c1_2, c2_2, c3_2 ---------------------------------------- (59) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(s(z0)), S(z0)) by S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) ---------------------------------------- (60) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) 0'(z0) -> c20 LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) ENCODE_LOG(z0) -> c10(LOG(encArg(z0))) ENCODE_S(z0) -> c10(S(encArg(z0))) ENCODE_HALF(z0) -> c10(HALF(encArg(z0))) ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCODE_P(z0) -> c10(P(encArg(z0))) ENCARG(cons_log(cons_log(z0))) -> c(LOG(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_log(cons_half(z0))) -> c(LOG(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_log(cons_p(z0))) -> c(LOG(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_log(cons_s(z0))) -> c(LOG(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_log(cons_0(z0))) -> c(LOG(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_half(cons_log(z0))) -> c1(HALF(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_half(cons_half(z0))) -> c1(HALF(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_half(cons_p(z0))) -> c1(HALF(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_half(cons_s(z0))) -> c1(HALF(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_half(cons_0(z0))) -> c1(HALF(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_p(cons_log(z0))) -> c2(P(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_p(cons_half(z0))) -> c2(P(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_p(cons_p(z0))) -> c2(P(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_p(cons_s(z0))) -> c2(P(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_p(cons_0(z0))) -> c2(P(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_s(cons_log(z0))) -> c3(S(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_s(cons_half(z0))) -> c3(S(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_s(cons_p(z0))) -> c3(S(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) S tuples: P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) 0'(z0) -> c20 LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, P_1, HALF_1, 0'_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_0_1, ENCODE_P_1, S_1 Compound Symbols: c4_2, c13_4, c15_5, c16_4, c17_1, c18_4, c20, c21_4, c10_1, c_2, c1_2, c2_2, c3_2, c11_2 ---------------------------------------- (61) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) by P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(c_p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) ---------------------------------------- (62) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) 0'(z0) -> c20 LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) ENCODE_LOG(z0) -> c10(LOG(encArg(z0))) ENCODE_S(z0) -> c10(S(encArg(z0))) ENCODE_HALF(z0) -> c10(HALF(encArg(z0))) ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCODE_P(z0) -> c10(P(encArg(z0))) ENCARG(cons_log(cons_log(z0))) -> c(LOG(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_log(cons_half(z0))) -> c(LOG(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_log(cons_p(z0))) -> 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S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) 0'(z0) -> c20 LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(c_p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_0_1, ENCODE_P_1, S_1, P_1 Compound Symbols: c4_2, c15_5, c16_4, c17_1, c18_4, c20, c21_4, c10_1, c_2, c1_2, c2_2, c3_2, c11_2, c13_4 ---------------------------------------- (63) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing tuple parts ---------------------------------------- (64) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) 0'(z0) -> c20 LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) ENCODE_LOG(z0) -> c10(LOG(encArg(z0))) ENCODE_S(z0) -> c10(S(encArg(z0))) ENCODE_HALF(z0) -> c10(HALF(encArg(z0))) ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCODE_P(z0) -> c10(P(encArg(z0))) ENCARG(cons_log(cons_log(z0))) -> c(LOG(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_log(cons_half(z0))) -> c(LOG(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_log(cons_p(z0))) -> c(LOG(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_log(cons_s(z0))) -> c(LOG(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_log(cons_0(z0))) -> c(LOG(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_half(cons_log(z0))) -> c1(HALF(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) 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c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_0_1, ENCODE_P_1, S_1, P_1 Compound Symbols: c4_2, c15_5, c16_4, c17_1, c18_4, c20, c21_4, c10_1, c_2, c1_2, c2_2, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3 ---------------------------------------- (65) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) by HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(c_half(p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) ---------------------------------------- (66) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) 0'(z0) -> c20 LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) ENCODE_LOG(z0) -> c10(LOG(encArg(z0))) ENCODE_S(z0) -> c10(S(encArg(z0))) ENCODE_HALF(z0) -> c10(HALF(encArg(z0))) ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCODE_P(z0) -> c10(P(encArg(z0))) ENCARG(cons_log(cons_log(z0))) -> c(LOG(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_log(cons_half(z0))) -> c(LOG(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_log(cons_p(z0))) -> c(LOG(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_log(cons_s(z0))) -> c(LOG(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_log(cons_0(z0))) -> c(LOG(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_half(cons_log(z0))) -> c1(HALF(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_half(cons_half(z0))) -> c1(HALF(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_half(cons_p(z0))) -> c1(HALF(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_half(cons_s(z0))) -> c1(HALF(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_half(cons_0(z0))) -> c1(HALF(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_p(cons_log(z0))) -> c2(P(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_p(cons_half(z0))) -> c2(P(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_p(cons_p(z0))) -> c2(P(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_p(cons_s(z0))) -> c2(P(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_p(cons_0(z0))) -> c2(P(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_s(cons_log(z0))) -> c3(S(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_s(cons_half(z0))) -> c3(S(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_s(cons_p(z0))) -> c3(S(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(c_half(p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) S tuples: HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) 0'(z0) -> c20 LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(c_half(p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_0_1, ENCODE_P_1, S_1, P_1 Compound Symbols: c4_2, c16_4, c17_1, c18_4, c20, c21_4, c10_1, c_2, c1_2, c2_2, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5 ---------------------------------------- (67) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing tuple parts ---------------------------------------- (68) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) 0'(z0) -> c20 LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) ENCODE_LOG(z0) -> c10(LOG(encArg(z0))) ENCODE_S(z0) -> c10(S(encArg(z0))) ENCODE_HALF(z0) -> c10(HALF(encArg(z0))) ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCODE_P(z0) -> c10(P(encArg(z0))) ENCARG(cons_log(cons_log(z0))) -> c(LOG(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_log(cons_half(z0))) -> c(LOG(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_log(cons_p(z0))) -> c(LOG(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_log(cons_s(z0))) -> c(LOG(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_log(cons_0(z0))) -> c(LOG(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_half(cons_log(z0))) -> c1(HALF(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_half(cons_half(z0))) -> c1(HALF(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_half(cons_p(z0))) -> c1(HALF(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_half(cons_s(z0))) -> c1(HALF(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_half(cons_0(z0))) -> c1(HALF(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_p(cons_log(z0))) -> c2(P(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_p(cons_half(z0))) -> c2(P(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_p(cons_p(z0))) -> c2(P(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_p(cons_s(z0))) -> c2(P(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_p(cons_0(z0))) -> c2(P(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_s(cons_log(z0))) -> c3(S(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_s(cons_half(z0))) -> c3(S(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_s(cons_p(z0))) -> c3(S(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) S tuples: HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) 0'(z0) -> c20 LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_0_1, ENCODE_P_1, S_1, P_1 Compound Symbols: c4_2, c16_4, c17_1, c18_4, c20, c21_4, c10_1, c_2, c1_2, c2_2, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4 ---------------------------------------- (69) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) by HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c16(0'(s(s(0(z0)))), S(s(half(c_s(c_0(z0))))), S(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) ---------------------------------------- (70) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) 0'(z0) -> c20 LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) ENCODE_LOG(z0) -> c10(LOG(encArg(z0))) ENCODE_S(z0) -> c10(S(encArg(z0))) ENCODE_HALF(z0) -> c10(HALF(encArg(z0))) ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCODE_P(z0) -> c10(P(encArg(z0))) ENCARG(cons_log(cons_log(z0))) -> c(LOG(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_log(cons_half(z0))) -> c(LOG(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_log(cons_p(z0))) -> c(LOG(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_log(cons_s(z0))) -> c(LOG(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_log(cons_0(z0))) -> c(LOG(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_half(cons_log(z0))) -> c1(HALF(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_half(cons_half(z0))) -> c1(HALF(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_half(cons_p(z0))) -> c1(HALF(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_half(cons_s(z0))) -> c1(HALF(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_half(cons_0(z0))) -> c1(HALF(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_p(cons_log(z0))) -> c2(P(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_p(cons_half(z0))) -> c2(P(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_p(cons_p(z0))) -> c2(P(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_p(cons_s(z0))) -> c2(P(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_p(cons_0(z0))) -> c2(P(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_s(cons_log(z0))) -> c3(S(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_s(cons_half(z0))) -> c3(S(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_s(cons_p(z0))) -> c3(S(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c16(0'(s(s(0(z0)))), S(s(half(c_s(c_0(z0))))), S(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) S tuples: HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) 0'(z0) -> c20 LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c16(0'(s(s(0(z0)))), S(s(half(c_s(c_0(z0))))), S(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_0_1, ENCODE_P_1, S_1, P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c18_4, c20, c21_4, c10_1, c_2, c1_2, c2_2, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4 ---------------------------------------- (71) CdtGraphSplitRhsProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Split RHS of tuples not part of any SCC ---------------------------------------- (72) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) 0'(z0) -> c20 LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) ENCODE_LOG(z0) -> c10(LOG(encArg(z0))) ENCODE_S(z0) -> c10(S(encArg(z0))) ENCODE_HALF(z0) -> c10(HALF(encArg(z0))) ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCODE_P(z0) -> c10(P(encArg(z0))) ENCARG(cons_log(cons_log(z0))) -> c(LOG(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_log(cons_half(z0))) -> c(LOG(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_log(cons_p(z0))) -> c(LOG(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_log(cons_s(z0))) -> c(LOG(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_log(cons_0(z0))) -> c(LOG(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_half(cons_log(z0))) -> c1(HALF(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_half(cons_half(z0))) -> c1(HALF(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_half(cons_p(z0))) -> c1(HALF(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_half(cons_s(z0))) -> c1(HALF(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_half(cons_0(z0))) -> c1(HALF(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_p(cons_log(z0))) -> c2(P(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_p(cons_half(z0))) -> c2(P(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_p(cons_p(z0))) -> c2(P(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_p(cons_s(z0))) -> c2(P(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_p(cons_0(z0))) -> c2(P(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_s(cons_log(z0))) -> c3(S(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_s(cons_half(z0))) -> c3(S(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_s(cons_p(z0))) -> c3(S(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) S tuples: HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) 0'(z0) -> c20 LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_0_1, ENCODE_P_1, S_1, P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c18_4, c20, c21_4, c10_1, c_2, c1_2, c2_2, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1 ---------------------------------------- (73) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) by HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) ---------------------------------------- (74) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) ENCODE_LOG(z0) -> c10(LOG(encArg(z0))) ENCODE_S(z0) -> c10(S(encArg(z0))) ENCODE_HALF(z0) -> c10(HALF(encArg(z0))) ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCODE_P(z0) -> c10(P(encArg(z0))) ENCARG(cons_log(cons_log(z0))) -> c(LOG(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_log(cons_half(z0))) -> c(LOG(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_log(cons_p(z0))) -> c(LOG(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_log(cons_s(z0))) -> c(LOG(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_log(cons_0(z0))) -> c(LOG(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_half(cons_log(z0))) -> c1(HALF(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_half(cons_half(z0))) -> c1(HALF(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_half(cons_p(z0))) -> c1(HALF(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_half(cons_s(z0))) -> c1(HALF(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_half(cons_0(z0))) -> c1(HALF(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_p(cons_log(z0))) -> c2(P(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_p(cons_half(z0))) -> c2(P(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_p(cons_p(z0))) -> c2(P(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_p(cons_s(z0))) -> c2(P(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_p(cons_0(z0))) -> c2(P(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_s(cons_log(z0))) -> c3(S(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_s(cons_half(z0))) -> c3(S(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_s(cons_p(z0))) -> c3(S(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) S tuples: HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_0_1, ENCODE_P_1, S_1, P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c21_4, c10_1, c_2, c1_2, c2_2, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4 ---------------------------------------- (75) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) by LOG(c_s(x0)) -> c21(S(log(c_half(s(x0)))), LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) ---------------------------------------- (76) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_LOG(z0) -> c10(LOG(encArg(z0))) ENCODE_S(z0) -> c10(S(encArg(z0))) ENCODE_HALF(z0) -> c10(HALF(encArg(z0))) ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCODE_P(z0) -> c10(P(encArg(z0))) ENCARG(cons_log(cons_log(z0))) -> c(LOG(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_log(cons_half(z0))) -> c(LOG(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_log(cons_p(z0))) -> c(LOG(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_log(cons_s(z0))) -> c(LOG(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_log(cons_0(z0))) -> c(LOG(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_half(cons_log(z0))) -> c1(HALF(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_half(cons_half(z0))) -> c1(HALF(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_half(cons_p(z0))) -> c1(HALF(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_half(cons_s(z0))) -> c1(HALF(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_half(cons_0(z0))) -> c1(HALF(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_p(cons_log(z0))) -> c2(P(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_p(cons_half(z0))) -> c2(P(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_p(cons_p(z0))) -> c2(P(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_p(cons_s(z0))) -> c2(P(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_p(cons_0(z0))) -> c2(P(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_s(cons_log(z0))) -> c3(S(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_s(cons_half(z0))) -> c3(S(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_s(cons_p(z0))) -> c3(S(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(S(log(c_half(s(x0)))), LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) S tuples: HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(S(log(c_half(s(x0)))), LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_0_1, ENCODE_P_1, S_1, P_1, LOG_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c_2, c1_2, c2_2, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4 ---------------------------------------- (77) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing tuple parts ---------------------------------------- (78) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_LOG(z0) -> c10(LOG(encArg(z0))) ENCODE_S(z0) -> c10(S(encArg(z0))) ENCODE_HALF(z0) -> c10(HALF(encArg(z0))) ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCODE_P(z0) -> c10(P(encArg(z0))) ENCARG(cons_log(cons_log(z0))) -> c(LOG(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_log(cons_half(z0))) -> c(LOG(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_log(cons_p(z0))) -> c(LOG(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_log(cons_s(z0))) -> c(LOG(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_log(cons_0(z0))) -> c(LOG(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_half(cons_log(z0))) -> c1(HALF(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_half(cons_half(z0))) -> c1(HALF(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_half(cons_p(z0))) -> c1(HALF(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_half(cons_s(z0))) -> c1(HALF(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_half(cons_0(z0))) -> c1(HALF(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_p(cons_log(z0))) -> c2(P(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_p(cons_half(z0))) -> c2(P(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_p(cons_p(z0))) -> c2(P(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_p(cons_s(z0))) -> c2(P(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_p(cons_0(z0))) -> c2(P(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_s(cons_log(z0))) -> c3(S(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_s(cons_half(z0))) -> c3(S(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_s(cons_p(z0))) -> c3(S(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) S tuples: HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_0_1, ENCODE_P_1, S_1, P_1, LOG_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c_2, c1_2, c2_2, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3 ---------------------------------------- (79) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_LOG(z0) -> c10(LOG(encArg(z0))) by ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ---------------------------------------- (80) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_S(z0) -> c10(S(encArg(z0))) ENCODE_HALF(z0) -> c10(HALF(encArg(z0))) ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCODE_P(z0) -> c10(P(encArg(z0))) ENCARG(cons_log(cons_log(z0))) -> c(LOG(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_log(cons_half(z0))) -> c(LOG(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_log(cons_p(z0))) -> c(LOG(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_log(cons_s(z0))) -> c(LOG(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_log(cons_0(z0))) -> c(LOG(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_half(cons_log(z0))) -> c1(HALF(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_half(cons_half(z0))) -> c1(HALF(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_half(cons_p(z0))) -> c1(HALF(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_half(cons_s(z0))) -> c1(HALF(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_half(cons_0(z0))) -> c1(HALF(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_p(cons_log(z0))) -> c2(P(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_p(cons_half(z0))) -> c2(P(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_p(cons_p(z0))) -> c2(P(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_p(cons_s(z0))) -> c2(P(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_p(cons_0(z0))) -> c2(P(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_s(cons_log(z0))) -> c3(S(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_s(cons_half(z0))) -> c3(S(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_s(cons_p(z0))) -> c3(S(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) S tuples: HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_0_1, ENCODE_P_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c_2, c1_2, c2_2, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3 ---------------------------------------- (81) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_S(z0) -> c10(S(encArg(z0))) by ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ---------------------------------------- (82) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_HALF(z0) -> c10(HALF(encArg(z0))) ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCODE_P(z0) -> c10(P(encArg(z0))) ENCARG(cons_log(cons_log(z0))) -> c(LOG(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_log(cons_half(z0))) -> c(LOG(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_log(cons_p(z0))) -> c(LOG(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_log(cons_s(z0))) -> c(LOG(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_log(cons_0(z0))) -> c(LOG(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_half(cons_log(z0))) -> c1(HALF(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_half(cons_half(z0))) -> c1(HALF(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_half(cons_p(z0))) -> c1(HALF(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_half(cons_s(z0))) -> c1(HALF(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_half(cons_0(z0))) -> c1(HALF(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_p(cons_log(z0))) -> c2(P(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_p(cons_half(z0))) -> c2(P(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_p(cons_p(z0))) -> c2(P(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_p(cons_s(z0))) -> c2(P(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_p(cons_0(z0))) -> c2(P(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_s(cons_log(z0))) -> c3(S(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_s(cons_half(z0))) -> c3(S(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_s(cons_p(z0))) -> c3(S(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) S tuples: HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_0_1, ENCODE_P_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c_2, c1_2, c2_2, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3 ---------------------------------------- (83) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_HALF(z0) -> c10(HALF(encArg(z0))) by ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ---------------------------------------- (84) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCODE_P(z0) -> c10(P(encArg(z0))) ENCARG(cons_log(cons_log(z0))) -> c(LOG(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_log(cons_half(z0))) -> c(LOG(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_log(cons_p(z0))) -> c(LOG(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_log(cons_s(z0))) -> c(LOG(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_log(cons_0(z0))) -> c(LOG(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_half(cons_log(z0))) -> c1(HALF(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_half(cons_half(z0))) -> c1(HALF(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_half(cons_p(z0))) -> c1(HALF(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_half(cons_s(z0))) -> c1(HALF(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_half(cons_0(z0))) -> c1(HALF(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_p(cons_log(z0))) -> c2(P(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_p(cons_half(z0))) -> c2(P(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_p(cons_p(z0))) -> c2(P(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_p(cons_s(z0))) -> c2(P(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_p(cons_0(z0))) -> c2(P(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_s(cons_log(z0))) -> c3(S(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_s(cons_half(z0))) -> c3(S(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_s(cons_p(z0))) -> c3(S(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) S tuples: HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, ENCODE_P_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c_2, c1_2, c2_2, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3 ---------------------------------------- (85) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_P(z0) -> c10(P(encArg(z0))) by ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_s(z0)) -> c10(P(s(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_0(z0)) -> c10(P(0(encArg(z0)))) ---------------------------------------- (86) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCARG(cons_log(cons_log(z0))) -> c(LOG(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_log(cons_half(z0))) -> c(LOG(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_log(cons_p(z0))) -> c(LOG(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_log(cons_s(z0))) -> c(LOG(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_log(cons_0(z0))) -> c(LOG(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_half(cons_log(z0))) -> c1(HALF(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_half(cons_half(z0))) -> c1(HALF(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_half(cons_p(z0))) -> c1(HALF(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_half(cons_s(z0))) -> c1(HALF(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_half(cons_0(z0))) -> c1(HALF(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_p(cons_log(z0))) -> c2(P(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_p(cons_half(z0))) -> c2(P(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_p(cons_p(z0))) -> c2(P(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_p(cons_s(z0))) -> c2(P(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_p(cons_0(z0))) -> c2(P(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_s(cons_log(z0))) -> c3(S(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_s(cons_half(z0))) -> c3(S(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_s(cons_p(z0))) -> c3(S(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_s(z0)) -> c10(P(s(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_0(z0)) -> c10(P(0(encArg(z0)))) S tuples: HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c_2, c1_2, c2_2, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3 ---------------------------------------- (87) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_log(cons_log(z0))) -> c(LOG(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) by ENCARG(cons_log(cons_log(cons_log(z0)))) -> c(LOG(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_half(z0)))) -> c(LOG(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_p(z0)))) -> c(LOG(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_s(z0)))) -> c(LOG(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_0(z0)))) -> c(LOG(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ---------------------------------------- (88) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCARG(cons_log(cons_half(z0))) -> c(LOG(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_log(cons_p(z0))) -> c(LOG(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_log(cons_s(z0))) -> c(LOG(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_log(cons_0(z0))) -> c(LOG(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_half(cons_log(z0))) -> c1(HALF(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_half(cons_half(z0))) -> c1(HALF(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_half(cons_p(z0))) -> c1(HALF(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_half(cons_s(z0))) -> c1(HALF(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_half(cons_0(z0))) -> c1(HALF(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_p(cons_log(z0))) -> c2(P(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_p(cons_half(z0))) -> c2(P(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_p(cons_p(z0))) -> c2(P(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_p(cons_s(z0))) -> c2(P(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_p(cons_0(z0))) -> c2(P(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_s(cons_log(z0))) -> c3(S(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_s(cons_half(z0))) -> c3(S(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_s(cons_p(z0))) -> c3(S(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_s(z0)) -> c10(P(s(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_0(z0)) -> c10(P(0(encArg(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_log(z0)))) -> c(LOG(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_half(z0)))) -> c(LOG(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_p(z0)))) -> c(LOG(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_s(z0)))) -> c(LOG(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_0(z0)))) -> c(LOG(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) S tuples: HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c_2, c1_2, c2_2, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3 ---------------------------------------- (89) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_log(cons_half(z0))) -> c(LOG(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) by ENCARG(cons_log(cons_half(x0))) -> c(LOG(c_half(encArg(x0))), ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_log(z0)))) -> c(LOG(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_half(z0)))) -> c(LOG(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_p(z0)))) -> c(LOG(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_s(z0)))) -> c(LOG(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_0(z0)))) -> c(LOG(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) ---------------------------------------- (90) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCARG(cons_log(cons_p(z0))) -> c(LOG(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_log(cons_s(z0))) -> c(LOG(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_log(cons_0(z0))) -> c(LOG(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_half(cons_log(z0))) -> c1(HALF(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_half(cons_half(z0))) -> c1(HALF(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_half(cons_p(z0))) -> c1(HALF(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_half(cons_s(z0))) -> c1(HALF(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_half(cons_0(z0))) -> c1(HALF(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_p(cons_log(z0))) -> c2(P(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_p(cons_half(z0))) -> c2(P(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_p(cons_p(z0))) -> c2(P(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_p(cons_s(z0))) -> c2(P(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_p(cons_0(z0))) -> c2(P(0(encArg(z0))), 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HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c_2, c1_2, c2_2, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3 ---------------------------------------- (91) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing tuple parts ---------------------------------------- (92) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCARG(cons_log(cons_p(z0))) -> c(LOG(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_log(cons_s(z0))) -> c(LOG(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_log(cons_0(z0))) -> c(LOG(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_half(cons_log(z0))) -> c1(HALF(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_half(cons_half(z0))) -> c1(HALF(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_half(cons_p(z0))) -> c1(HALF(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_half(cons_s(z0))) -> c1(HALF(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_half(cons_0(z0))) -> c1(HALF(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_p(cons_log(z0))) -> c2(P(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_p(cons_half(z0))) -> c2(P(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_p(cons_p(z0))) -> c2(P(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_p(cons_s(z0))) -> c2(P(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_p(cons_0(z0))) -> c2(P(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_s(cons_log(z0))) -> c3(S(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_s(cons_half(z0))) -> c3(S(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_s(cons_p(z0))) -> c3(S(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), 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HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_s(z0)) -> c10(P(s(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_0(z0)) -> c10(P(0(encArg(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_log(z0)))) -> c(LOG(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_half(z0)))) -> c(LOG(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_p(z0)))) -> c(LOG(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_s(z0)))) -> c(LOG(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_0(z0)))) -> c(LOG(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_log(z0)))) -> c(LOG(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_half(z0)))) -> c(LOG(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_p(z0)))) -> c(LOG(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_s(z0)))) -> c(LOG(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_0(z0)))) -> c(LOG(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(x0))) -> c(ENCARG(cons_half(x0))) S tuples: HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) 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HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c_2, c1_2, c2_2, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_1 ---------------------------------------- (93) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_log(cons_p(z0))) -> c(LOG(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) by ENCARG(cons_log(cons_p(x0))) -> c(LOG(c_p(encArg(x0))), ENCARG(cons_p(x0))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_log(z0)))) -> c(LOG(p(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_half(z0)))) -> c(LOG(p(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_p(z0)))) -> c(LOG(p(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_s(z0)))) -> c(LOG(p(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_0(z0)))) -> c(LOG(p(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_0(z0)))) ---------------------------------------- (94) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCARG(cons_log(cons_s(z0))) -> c(LOG(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_log(cons_0(z0))) -> c(LOG(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_half(cons_log(z0))) -> c1(HALF(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_half(cons_half(z0))) -> c1(HALF(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_half(cons_p(z0))) -> c1(HALF(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_half(cons_s(z0))) -> c1(HALF(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_half(cons_0(z0))) -> c1(HALF(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_p(cons_log(z0))) -> c2(P(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_p(cons_half(z0))) -> c2(P(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_p(cons_p(z0))) -> c2(P(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_p(cons_s(z0))) -> c2(P(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_p(cons_0(z0))) -> c2(P(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_s(cons_log(z0))) -> c3(S(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_s(cons_half(z0))) -> c3(S(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_s(cons_p(z0))) -> c3(S(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> 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Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c_2, c1_2, c2_2, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_1 ---------------------------------------- (95) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing tuple parts ---------------------------------------- (96) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCARG(cons_log(cons_s(z0))) -> c(LOG(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_log(cons_0(z0))) -> c(LOG(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_half(cons_log(z0))) -> c1(HALF(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_half(cons_half(z0))) -> c1(HALF(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_half(cons_p(z0))) -> c1(HALF(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_half(cons_s(z0))) -> c1(HALF(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_half(cons_0(z0))) -> c1(HALF(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_p(cons_log(z0))) -> c2(P(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_p(cons_half(z0))) -> c2(P(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_p(cons_p(z0))) -> c2(P(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_p(cons_s(z0))) -> c2(P(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_p(cons_0(z0))) -> c2(P(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_s(cons_log(z0))) -> c3(S(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_s(cons_half(z0))) -> c3(S(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_s(cons_p(z0))) -> c3(S(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_s(z0)) -> c10(P(s(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_0(z0)) -> c10(P(0(encArg(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_log(z0)))) -> c(LOG(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_half(z0)))) -> c(LOG(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_p(z0)))) -> c(LOG(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_s(z0)))) -> c(LOG(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_0(z0)))) -> c(LOG(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_log(z0)))) -> c(LOG(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_half(z0)))) -> c(LOG(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_p(z0)))) -> c(LOG(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_s(z0)))) -> c(LOG(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_0(z0)))) -> c(LOG(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(x0))) -> c(ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_log(z0)))) -> c(LOG(p(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_half(z0)))) -> c(LOG(p(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_p(z0)))) -> c(LOG(p(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_s(z0)))) -> c(LOG(p(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_0(z0)))) -> c(LOG(p(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(x0))) -> c(ENCARG(cons_p(x0))) S tuples: HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c_2, c1_2, c2_2, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_1 ---------------------------------------- (97) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_log(cons_s(z0))) -> c(LOG(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) by ENCARG(cons_log(cons_s(x0))) -> c(LOG(c_s(encArg(x0))), ENCARG(cons_s(x0))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_log(z0)))) -> c(LOG(s(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_half(z0)))) -> c(LOG(s(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_p(z0)))) -> c(LOG(s(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_s(z0)))) -> c(LOG(s(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_0(z0)))) -> c(LOG(s(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_0(z0)))) ---------------------------------------- (98) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCARG(cons_log(cons_0(z0))) -> c(LOG(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_half(cons_log(z0))) -> c1(HALF(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_half(cons_half(z0))) -> c1(HALF(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_half(cons_p(z0))) -> c1(HALF(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_half(cons_s(z0))) -> c1(HALF(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_half(cons_0(z0))) -> c1(HALF(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_p(cons_log(z0))) -> c2(P(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_p(cons_half(z0))) -> c2(P(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_p(cons_p(z0))) -> c2(P(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_p(cons_s(z0))) -> c2(P(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_p(cons_0(z0))) -> c2(P(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_s(cons_log(z0))) -> c3(S(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_s(cons_half(z0))) -> c3(S(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_s(cons_p(z0))) -> c3(S(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_s(z0)) -> c10(P(s(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_0(z0)) -> c10(P(0(encArg(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_log(z0)))) -> c(LOG(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_half(z0)))) -> c(LOG(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_p(z0)))) -> c(LOG(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_s(z0)))) -> c(LOG(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_0(z0)))) -> c(LOG(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_log(z0)))) -> c(LOG(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_half(z0)))) -> c(LOG(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_p(z0)))) -> c(LOG(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_s(z0)))) -> c(LOG(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_0(z0)))) -> c(LOG(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(x0))) -> c(ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_log(z0)))) -> c(LOG(p(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_half(z0)))) -> c(LOG(p(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_p(z0)))) -> c(LOG(p(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_s(z0)))) -> c(LOG(p(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_0(z0)))) -> c(LOG(p(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(x0))) -> c(ENCARG(cons_p(x0))) ENCARG(cons_log(cons_s(x0))) -> c(LOG(c_s(encArg(x0))), ENCARG(cons_s(x0))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_log(z0)))) -> c(LOG(s(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_half(z0)))) -> c(LOG(s(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_p(z0)))) -> c(LOG(s(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_s(z0)))) -> c(LOG(s(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_0(z0)))) -> c(LOG(s(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_0(z0)))) S tuples: HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c_2, c1_2, c2_2, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_1 ---------------------------------------- (99) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_log(cons_0(z0))) -> c(LOG(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) by ENCARG(cons_log(cons_0(x0))) -> c(LOG(c_0(encArg(x0))), ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_log(cons_0(x0))) -> c(LOG(encArg(x0)), ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_log(z0)))) -> c(LOG(0(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_half(z0)))) -> c(LOG(0(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_p(z0)))) -> c(LOG(0(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_s(z0)))) -> c(LOG(0(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_0(z0)))) -> c(LOG(0(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(x0))) -> c(ENCARG(cons_0(x0))) ---------------------------------------- (100) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCARG(cons_half(cons_log(z0))) -> c1(HALF(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_half(cons_half(z0))) -> c1(HALF(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_half(cons_p(z0))) -> c1(HALF(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_half(cons_s(z0))) -> c1(HALF(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_half(cons_0(z0))) -> c1(HALF(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_p(cons_log(z0))) -> c2(P(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_p(cons_half(z0))) -> c2(P(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_p(cons_p(z0))) -> c2(P(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_p(cons_s(z0))) -> c2(P(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_p(cons_0(z0))) -> c2(P(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_s(cons_log(z0))) -> c3(S(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_s(cons_half(z0))) -> c3(S(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_s(cons_p(z0))) -> c3(S(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_s(z0)) -> c10(P(s(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_0(z0)) -> c10(P(0(encArg(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_log(z0)))) -> c(LOG(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_half(z0)))) -> c(LOG(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_p(z0)))) -> c(LOG(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_s(z0)))) -> c(LOG(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_0(z0)))) -> c(LOG(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_log(z0)))) -> c(LOG(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_half(z0)))) -> c(LOG(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_p(z0)))) -> c(LOG(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_s(z0)))) -> c(LOG(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_0(z0)))) -> c(LOG(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(x0))) -> c(ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_log(z0)))) -> c(LOG(p(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_half(z0)))) -> c(LOG(p(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_p(z0)))) -> c(LOG(p(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_s(z0)))) -> c(LOG(p(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_0(z0)))) -> c(LOG(p(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(x0))) -> c(ENCARG(cons_p(x0))) ENCARG(cons_log(cons_s(x0))) -> c(LOG(c_s(encArg(x0))), ENCARG(cons_s(x0))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_log(z0)))) -> c(LOG(s(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_half(z0)))) -> c(LOG(s(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_p(z0)))) -> c(LOG(s(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_s(z0)))) -> c(LOG(s(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_0(z0)))) -> c(LOG(s(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(x0))) -> c(LOG(c_0(encArg(x0))), ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_log(cons_0(x0))) -> c(LOG(encArg(x0)), ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_log(z0)))) -> c(LOG(0(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_half(z0)))) -> c(LOG(0(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_p(z0)))) -> c(LOG(0(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_s(z0)))) -> c(LOG(0(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_0(z0)))) -> c(LOG(0(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(x0))) -> c(ENCARG(cons_0(x0))) S tuples: HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), 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S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c1_2, c2_2, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1 ---------------------------------------- (101) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing tuple parts ---------------------------------------- (102) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCARG(cons_half(cons_log(z0))) -> c1(HALF(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_half(cons_half(z0))) -> c1(HALF(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_half(cons_p(z0))) -> c1(HALF(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_half(cons_s(z0))) -> c1(HALF(s(encArg(z0))), 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S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) 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ENCARG(cons_s(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_p(z0)))) -> c(LOG(s(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_s(z0)))) -> c(LOG(s(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_0(z0)))) -> c(LOG(s(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(x0))) -> c(LOG(encArg(x0)), ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_log(z0)))) -> c(LOG(0(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_half(z0)))) -> c(LOG(0(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_p(z0)))) -> c(LOG(0(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_s(z0)))) -> c(LOG(0(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_0(z0)))) -> c(LOG(0(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(x0))) -> c(ENCARG(cons_0(x0))) S tuples: HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c1_2, c2_2, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1 ---------------------------------------- (103) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_half(cons_log(z0))) -> c1(HALF(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) by ENCARG(cons_half(cons_log(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ---------------------------------------- (104) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCARG(cons_half(cons_half(z0))) -> c1(HALF(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_half(cons_p(z0))) -> c1(HALF(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_half(cons_s(z0))) -> c1(HALF(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_half(cons_0(z0))) -> c1(HALF(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_p(cons_log(z0))) -> c2(P(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_p(cons_half(z0))) -> c2(P(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_p(cons_p(z0))) -> c2(P(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_p(cons_s(z0))) -> c2(P(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_p(cons_0(z0))) -> c2(P(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_s(cons_log(z0))) -> c3(S(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_s(cons_half(z0))) -> c3(S(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_s(cons_p(z0))) -> c3(S(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_s(z0)) -> c10(P(s(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_0(z0)) -> c10(P(0(encArg(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_log(z0)))) -> c(LOG(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_half(z0)))) -> c(LOG(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_p(z0)))) -> c(LOG(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_s(z0)))) -> c(LOG(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_0(z0)))) -> c(LOG(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_log(z0)))) -> c(LOG(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_half(z0)))) -> c(LOG(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_p(z0)))) -> c(LOG(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_s(z0)))) -> c(LOG(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_0(z0)))) -> c(LOG(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(x0))) -> c(ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_log(z0)))) -> c(LOG(p(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_half(z0)))) -> c(LOG(p(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_p(z0)))) -> c(LOG(p(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_s(z0)))) -> c(LOG(p(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_0(z0)))) -> c(LOG(p(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(x0))) -> c(ENCARG(cons_p(x0))) ENCARG(cons_log(cons_s(x0))) -> c(LOG(c_s(encArg(x0))), ENCARG(cons_s(x0))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_log(z0)))) -> c(LOG(s(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_half(z0)))) -> c(LOG(s(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_p(z0)))) -> c(LOG(s(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_s(z0)))) -> c(LOG(s(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_0(z0)))) -> c(LOG(s(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(x0))) -> c(LOG(encArg(x0)), ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_log(z0)))) -> c(LOG(0(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_half(z0)))) -> c(LOG(0(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_p(z0)))) -> c(LOG(0(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_s(z0)))) -> c(LOG(0(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_0(z0)))) -> c(LOG(0(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(x0))) -> c(ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) S tuples: HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c1_2, c2_2, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1 ---------------------------------------- (105) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_half(cons_half(z0))) -> c1(HALF(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) by ENCARG(cons_half(cons_half(x0))) -> c1(HALF(c_half(encArg(x0))), ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) ---------------------------------------- (106) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCARG(cons_half(cons_p(z0))) -> c1(HALF(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_half(cons_s(z0))) -> c1(HALF(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_half(cons_0(z0))) -> c1(HALF(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_p(cons_log(z0))) -> c2(P(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_p(cons_half(z0))) -> c2(P(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_p(cons_p(z0))) -> c2(P(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_p(cons_s(z0))) -> c2(P(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_p(cons_0(z0))) -> c2(P(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_s(cons_log(z0))) -> c3(S(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_s(cons_half(z0))) -> c3(S(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_s(cons_p(z0))) -> c3(S(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_s(z0)) -> c10(P(s(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_0(z0)) -> c10(P(0(encArg(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_log(z0)))) -> c(LOG(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_half(z0)))) -> c(LOG(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_p(z0)))) -> c(LOG(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_s(z0)))) -> c(LOG(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_0(z0)))) -> c(LOG(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_log(z0)))) -> c(LOG(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_half(z0)))) -> c(LOG(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_p(z0)))) -> c(LOG(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_s(z0)))) -> c(LOG(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_0(z0)))) -> c(LOG(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(x0))) -> c(ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_log(z0)))) -> c(LOG(p(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_half(z0)))) -> c(LOG(p(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_p(z0)))) -> c(LOG(p(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_s(z0)))) -> c(LOG(p(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_0(z0)))) -> c(LOG(p(0(encArg(z0)))), 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ENCARG(cons_0(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_s(z0)))) -> c(LOG(0(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_0(z0)))) -> c(LOG(0(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(x0))) -> c(ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(x0))) -> c1(HALF(c_half(encArg(x0))), ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) S tuples: HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> 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c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c1_2, c2_2, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1 ---------------------------------------- (107) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_half(cons_p(z0))) -> c1(HALF(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) by ENCARG(cons_half(cons_p(x0))) -> c1(HALF(c_p(encArg(x0))), ENCARG(cons_p(x0))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(p(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(p(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(p(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(p(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(p(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_0(z0)))) ---------------------------------------- (108) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCARG(cons_half(cons_s(z0))) -> c1(HALF(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_half(cons_0(z0))) -> c1(HALF(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_p(cons_log(z0))) -> c2(P(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_p(cons_half(z0))) -> c2(P(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_p(cons_p(z0))) -> c2(P(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_p(cons_s(z0))) -> c2(P(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_p(cons_0(z0))) -> c2(P(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_s(cons_log(z0))) -> c3(S(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_s(cons_half(z0))) -> c3(S(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_s(cons_p(z0))) -> c3(S(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) 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c10_1, c1_2, c2_2, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1 ---------------------------------------- (109) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing tuple parts ---------------------------------------- (110) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCARG(cons_half(cons_s(z0))) -> c1(HALF(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_half(cons_0(z0))) -> c1(HALF(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_p(cons_log(z0))) -> c2(P(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_p(cons_half(z0))) -> c2(P(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_p(cons_p(z0))) -> c2(P(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_p(cons_s(z0))) -> c2(P(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_p(cons_0(z0))) -> c2(P(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_s(cons_log(z0))) -> c3(S(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_s(cons_half(z0))) -> c3(S(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_s(cons_p(z0))) -> c3(S(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_s(z0)) -> c10(P(s(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_0(z0)) -> c10(P(0(encArg(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_log(z0)))) -> c(LOG(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_half(z0)))) -> c(LOG(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_p(z0)))) -> c(LOG(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_s(z0)))) -> c(LOG(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_0(z0)))) -> c(LOG(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_log(z0)))) -> c(LOG(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_half(z0)))) -> c(LOG(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_p(z0)))) -> 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ENCARG(cons_log(cons_0(x0))) -> c(ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(x0))) -> c1(HALF(c_half(encArg(x0))), ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(p(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(p(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(p(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(p(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(p(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(x0))) -> c1(ENCARG(cons_p(x0))) S tuples: HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), 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S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c1_2, c2_2, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1, c1_1 ---------------------------------------- (111) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_half(cons_s(z0))) -> c1(HALF(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) by ENCARG(cons_half(cons_s(x0))) -> c1(HALF(c_s(encArg(x0))), ENCARG(cons_s(x0))) ENCARG(cons_half(cons_s(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(s(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_s(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(s(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_s(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(s(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_s(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(s(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_s(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(s(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_0(z0)))) ---------------------------------------- (112) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCARG(cons_half(cons_0(z0))) -> c1(HALF(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_p(cons_log(z0))) -> c2(P(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_p(cons_half(z0))) -> c2(P(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_p(cons_p(z0))) -> c2(P(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_p(cons_s(z0))) -> c2(P(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_p(cons_0(z0))) -> c2(P(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_s(cons_log(z0))) -> c3(S(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_s(cons_half(z0))) -> c3(S(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_s(cons_p(z0))) -> c3(S(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_s(z0)) -> 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ENCARG(cons_half(cons_log(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(x0))) -> c1(HALF(c_half(encArg(x0))), ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(p(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(p(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(p(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(p(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(p(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(x0))) -> c1(ENCARG(cons_p(x0))) ENCARG(cons_half(cons_s(x0))) -> c1(HALF(c_s(encArg(x0))), ENCARG(cons_s(x0))) ENCARG(cons_half(cons_s(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(s(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_s(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(s(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_s(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(s(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_s(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(s(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_s(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(s(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_0(z0)))) S tuples: HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c1_2, c2_2, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1, c1_1 ---------------------------------------- (113) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_half(cons_0(z0))) -> c1(HALF(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) by ENCARG(cons_half(cons_0(x0))) -> c1(HALF(c_0(encArg(x0))), ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_half(cons_0(x0))) -> c1(HALF(encArg(x0)), ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_half(cons_0(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(0(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_0(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(0(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_0(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(0(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_0(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(0(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_0(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(0(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_0(x0))) -> c1(ENCARG(cons_0(x0))) ---------------------------------------- (114) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCARG(cons_p(cons_log(z0))) -> c2(P(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_p(cons_half(z0))) -> c2(P(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_p(cons_p(z0))) -> c2(P(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_p(cons_s(z0))) -> c2(P(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_p(cons_0(z0))) -> c2(P(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_s(cons_log(z0))) -> c3(S(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_s(cons_half(z0))) -> c3(S(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_s(cons_p(z0))) -> c3(S(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_s(z0)) -> c10(P(s(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_0(z0)) -> c10(P(0(encArg(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_log(z0)))) -> c(LOG(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_half(z0)))) -> c(LOG(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_p(z0)))) -> c(LOG(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_s(z0)))) -> c(LOG(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_0(z0)))) -> c(LOG(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_log(z0)))) -> c(LOG(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_half(z0)))) -> c(LOG(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_p(z0)))) -> c(LOG(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_s(z0)))) -> c(LOG(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_0(z0)))) -> c(LOG(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(x0))) -> c(ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_log(z0)))) -> c(LOG(p(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_half(z0)))) -> c(LOG(p(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_p(z0)))) -> c(LOG(p(p(encArg(z0)))), 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c10_1, c2_2, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1, c1_2, c1_1 ---------------------------------------- (115) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_p(cons_log(z0))) -> c2(P(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) by ENCARG(cons_p(cons_log(cons_log(z0)))) -> c2(P(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_log(cons_half(z0)))) -> c2(P(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_log(cons_p(z0)))) -> c2(P(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_log(cons_s(z0)))) -> c2(P(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_log(cons_0(z0)))) -> c2(P(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ---------------------------------------- (116) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCARG(cons_p(cons_half(z0))) -> c2(P(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_p(cons_p(z0))) -> c2(P(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_p(cons_s(z0))) -> c2(P(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_p(cons_0(z0))) -> c2(P(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_s(cons_log(z0))) -> c3(S(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_s(cons_half(z0))) -> 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LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c2_2, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1, c1_2, c1_1 ---------------------------------------- (117) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_p(cons_half(z0))) -> c2(P(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) by ENCARG(cons_p(cons_half(x0))) -> c2(P(c_half(encArg(x0))), ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_p(cons_half(cons_log(z0)))) -> c2(P(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_half(cons_half(z0)))) -> c2(P(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_half(cons_p(z0)))) -> c2(P(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_half(cons_s(z0)))) -> c2(P(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_half(cons_0(z0)))) -> c2(P(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) ---------------------------------------- (118) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCARG(cons_p(cons_p(z0))) -> c2(P(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_p(cons_s(z0))) -> c2(P(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_p(cons_0(z0))) -> c2(P(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_s(cons_log(z0))) -> c3(S(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_s(cons_half(z0))) -> c3(S(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_s(cons_p(z0))) -> c3(S(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), 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S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_s(z0)) -> c10(P(s(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_0(z0)) -> 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c2(P(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_log(cons_p(z0)))) -> c2(P(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_log(cons_s(z0)))) -> c2(P(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_log(cons_0(z0)))) -> c2(P(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_half(x0))) -> c2(P(c_half(encArg(x0))), ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_p(cons_half(cons_log(z0)))) -> c2(P(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_half(cons_half(z0)))) -> c2(P(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_half(cons_p(z0)))) -> c2(P(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_half(cons_s(z0)))) -> c2(P(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_half(cons_0(z0)))) -> c2(P(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) S tuples: HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 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LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c2_2, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1, c1_2, c1_1 ---------------------------------------- (119) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing tuple parts ---------------------------------------- (120) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 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c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), 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c(ENCARG(cons_p(x0))) ENCARG(cons_log(cons_s(x0))) -> c(LOG(c_s(encArg(x0))), ENCARG(cons_s(x0))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_log(z0)))) -> c(LOG(s(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_half(z0)))) -> c(LOG(s(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_p(z0)))) -> c(LOG(s(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_s(z0)))) -> c(LOG(s(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_0(z0)))) -> c(LOG(s(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(x0))) -> c(LOG(encArg(x0)), ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_log(z0)))) -> c(LOG(0(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_half(z0)))) -> c(LOG(0(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_p(z0)))) -> c(LOG(0(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_s(z0)))) -> 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HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c2_2, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1, c1_2, c1_1, c2_1 ---------------------------------------- (121) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_p(cons_p(z0))) -> c2(P(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) by ENCARG(cons_p(cons_p(x0))) -> c2(P(c_p(encArg(x0))), ENCARG(cons_p(x0))) ENCARG(cons_p(cons_p(cons_log(z0)))) -> c2(P(p(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_p(cons_half(z0)))) -> c2(P(p(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_p(cons_p(z0)))) -> c2(P(p(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_p(cons_s(z0)))) -> c2(P(p(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_p(cons_0(z0)))) -> c2(P(p(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_0(z0)))) ---------------------------------------- (122) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCARG(cons_p(cons_s(z0))) -> c2(P(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_p(cons_0(z0))) -> c2(P(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_s(cons_log(z0))) -> c3(S(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_s(cons_half(z0))) -> c3(S(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_s(cons_p(z0))) -> c3(S(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_s(z0)) -> c10(P(s(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_0(z0)) -> c10(P(0(encArg(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_log(z0)))) -> c(LOG(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_half(z0)))) -> c(LOG(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_p(z0)))) -> c(LOG(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_s(z0)))) -> c(LOG(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_0(z0)))) -> c(LOG(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_log(z0)))) -> c(LOG(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_half(z0)))) -> c(LOG(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_p(z0)))) -> c(LOG(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_s(z0)))) -> c(LOG(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_0(z0)))) -> c(LOG(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(x0))) -> c(ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_log(z0)))) -> c(LOG(p(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_half(z0)))) -> c(LOG(p(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_p(z0)))) -> c(LOG(p(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_s(z0)))) -> c(LOG(p(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_0(z0)))) -> c(LOG(p(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(x0))) -> c(ENCARG(cons_p(x0))) ENCARG(cons_log(cons_s(x0))) -> c(LOG(c_s(encArg(x0))), ENCARG(cons_s(x0))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_log(z0)))) -> c(LOG(s(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_half(z0)))) -> c(LOG(s(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_p(z0)))) -> c(LOG(s(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_s(z0)))) -> c(LOG(s(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_0(z0)))) -> c(LOG(s(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(x0))) -> c(LOG(encArg(x0)), ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_log(z0)))) -> c(LOG(0(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_half(z0)))) -> c(LOG(0(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_p(z0)))) -> c(LOG(0(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_s(z0)))) -> c(LOG(0(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_0(z0)))) -> c(LOG(0(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(x0))) -> c(ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(x0))) -> c1(HALF(c_half(encArg(x0))), ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(p(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(p(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(p(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(p(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(p(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(x0))) -> c1(ENCARG(cons_p(x0))) ENCARG(cons_half(cons_s(x0))) -> c1(HALF(c_s(encArg(x0))), ENCARG(cons_s(x0))) ENCARG(cons_half(cons_s(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(s(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_s(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(s(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_s(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(s(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_s(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(s(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_s(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(s(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_0(x0))) -> c1(HALF(c_0(encArg(x0))), ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_half(cons_0(x0))) -> c1(HALF(encArg(x0)), ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_half(cons_0(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(0(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_0(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(0(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_0(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(0(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_0(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(0(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_0(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(0(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_0(x0))) -> c1(ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_p(cons_log(cons_log(z0)))) -> c2(P(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_log(cons_half(z0)))) -> c2(P(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_log(cons_p(z0)))) -> c2(P(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_log(cons_s(z0)))) -> c2(P(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_log(cons_0(z0)))) -> c2(P(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_half(cons_log(z0)))) -> c2(P(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_half(cons_half(z0)))) -> c2(P(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_half(cons_p(z0)))) -> c2(P(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_half(cons_s(z0)))) -> c2(P(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_half(cons_0(z0)))) -> c2(P(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_half(x0))) -> c2(ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_p(cons_p(x0))) -> c2(P(c_p(encArg(x0))), ENCARG(cons_p(x0))) ENCARG(cons_p(cons_p(cons_log(z0)))) -> c2(P(p(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_p(cons_half(z0)))) -> c2(P(p(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_p(cons_p(z0)))) -> c2(P(p(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_p(cons_s(z0)))) -> c2(P(p(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_p(cons_0(z0)))) -> c2(P(p(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_0(z0)))) S tuples: HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c2_2, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1, c1_2, c1_1, c2_1 ---------------------------------------- (123) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing tuple parts ---------------------------------------- (124) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCARG(cons_p(cons_s(z0))) -> c2(P(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_p(cons_0(z0))) -> c2(P(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_s(cons_log(z0))) -> c3(S(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_s(cons_half(z0))) -> c3(S(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_s(cons_p(z0))) -> c3(S(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_s(z0)) -> c10(P(s(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_0(z0)) -> c10(P(0(encArg(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_log(z0)))) -> c(LOG(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_half(z0)))) -> c(LOG(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_p(z0)))) -> c(LOG(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_s(z0)))) -> c(LOG(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_0(z0)))) -> c(LOG(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_log(z0)))) -> c(LOG(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_half(z0)))) -> c(LOG(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_p(z0)))) -> 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c(LOG(s(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_half(z0)))) -> c(LOG(s(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_p(z0)))) -> c(LOG(s(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_s(z0)))) -> c(LOG(s(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_0(z0)))) -> c(LOG(s(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(x0))) -> c(LOG(encArg(x0)), ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_log(z0)))) -> c(LOG(0(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_half(z0)))) -> c(LOG(0(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_p(z0)))) -> c(LOG(0(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_s(z0)))) -> c(LOG(0(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_0(z0)))) -> c(LOG(0(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_0(z0)))) 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Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c2_2, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1, c1_2, c1_1, c2_1 ---------------------------------------- (125) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_p(cons_s(z0))) -> c2(P(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) by ENCARG(cons_p(cons_s(x0))) -> c2(P(c_s(encArg(x0))), ENCARG(cons_s(x0))) ENCARG(cons_p(cons_s(cons_log(z0)))) -> c2(P(s(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_s(cons_half(z0)))) -> c2(P(s(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_s(cons_p(z0)))) -> c2(P(s(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_s(cons_s(z0)))) -> c2(P(s(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_s(cons_0(z0)))) -> c2(P(s(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_0(z0)))) ---------------------------------------- (126) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCARG(cons_p(cons_0(z0))) -> c2(P(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) ENCARG(cons_s(cons_log(z0))) -> c3(S(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) 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S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c2_2, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1, c1_2, c1_1, c2_1 ---------------------------------------- (127) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_p(cons_0(z0))) -> c2(P(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) by ENCARG(cons_p(cons_0(x0))) -> c2(P(c_0(encArg(x0))), ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_p(cons_0(x0))) -> c2(P(encArg(x0)), ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_p(cons_0(cons_log(z0)))) -> c2(P(0(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_0(cons_half(z0)))) -> c2(P(0(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_0(cons_p(z0)))) -> c2(P(0(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_0(cons_s(z0)))) -> c2(P(0(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_0(cons_0(z0)))) -> c2(P(0(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_0(x0))) -> c2(ENCARG(cons_0(x0))) ---------------------------------------- (128) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCARG(cons_s(cons_log(z0))) -> c3(S(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_s(cons_half(z0))) -> c3(S(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_s(cons_p(z0))) -> c3(S(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_s(z0)) -> c10(P(s(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_0(z0)) -> c10(P(0(encArg(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_log(z0)))) -> c(LOG(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_half(z0)))) -> c(LOG(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_p(z0)))) -> c(LOG(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_s(z0)))) -> c(LOG(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_0(z0)))) -> c(LOG(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_log(z0)))) -> c(LOG(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_half(z0)))) -> c(LOG(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_p(z0)))) -> c(LOG(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_s(z0)))) -> c(LOG(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_0(z0)))) -> c(LOG(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(x0))) -> c(ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_log(z0)))) -> c(LOG(p(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_half(z0)))) -> c(LOG(p(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_p(z0)))) -> c(LOG(p(p(encArg(z0)))), 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ENCARG(cons_log(cons_0(cons_half(z0)))) -> c(LOG(0(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_p(z0)))) -> c(LOG(0(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_s(z0)))) -> c(LOG(0(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_0(z0)))) -> c(LOG(0(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(x0))) -> c(ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(x0))) -> 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CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing tuple parts ---------------------------------------- (130) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCARG(cons_s(cons_log(z0))) -> c3(S(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) ENCARG(cons_s(cons_half(z0))) -> 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HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1, c1_2, c1_1, c2_2, c2_1 ---------------------------------------- (131) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_s(cons_log(z0))) -> c3(S(log(encArg(z0))), ENCARG(cons_log(z0))) by ENCARG(cons_s(cons_log(cons_log(z0)))) -> c3(S(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_log(cons_half(z0)))) -> c3(S(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_log(cons_p(z0)))) -> c3(S(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_log(cons_s(z0)))) -> c3(S(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_log(cons_0(z0)))) -> c3(S(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ---------------------------------------- (132) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCARG(cons_s(cons_half(z0))) -> c3(S(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) ENCARG(cons_s(cons_p(z0))) -> c3(S(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_s(z0)) -> c10(P(s(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_0(z0)) -> c10(P(0(encArg(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_log(z0)))) -> c(LOG(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_half(z0)))) -> c(LOG(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_p(z0)))) -> c(LOG(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_s(z0)))) -> c(LOG(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_0(z0)))) -> c(LOG(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_log(z0)))) -> c(LOG(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_half(z0)))) -> c(LOG(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_p(z0)))) -> c(LOG(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_s(z0)))) -> c(LOG(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_0(z0)))) -> c(LOG(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(x0))) -> c(ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_log(z0)))) -> c(LOG(p(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_half(z0)))) -> c(LOG(p(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_p(z0)))) -> c(LOG(p(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_s(z0)))) -> c(LOG(p(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_0(z0)))) -> c(LOG(p(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(x0))) -> c(ENCARG(cons_p(x0))) ENCARG(cons_log(cons_s(x0))) -> c(LOG(c_s(encArg(x0))), ENCARG(cons_s(x0))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_log(z0)))) -> c(LOG(s(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_half(z0)))) -> c(LOG(s(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_p(z0)))) -> c(LOG(s(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_s(z0)))) -> c(LOG(s(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_0(z0)))) -> c(LOG(s(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(x0))) -> c(LOG(encArg(x0)), ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_log(z0)))) -> c(LOG(0(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_half(z0)))) -> c(LOG(0(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_p(z0)))) -> c(LOG(0(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_s(z0)))) -> c(LOG(0(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_0(z0)))) -> c(LOG(0(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(x0))) -> c(ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_half(z0)))) -> 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S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1, c1_2, c1_1, c2_2, c2_1 ---------------------------------------- (133) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_s(cons_half(z0))) -> c3(S(half(encArg(z0))), ENCARG(cons_half(z0))) by ENCARG(cons_s(cons_half(x0))) -> c3(S(c_half(encArg(x0))), ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_s(cons_half(cons_log(z0)))) -> c3(S(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_half(cons_half(z0)))) -> c3(S(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_half(cons_p(z0)))) -> c3(S(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_half(cons_s(z0)))) -> c3(S(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_half(cons_0(z0)))) -> c3(S(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) ---------------------------------------- (134) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCARG(cons_s(cons_p(z0))) -> c3(S(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) 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HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_s(z0)) -> c10(P(s(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_0(z0)) -> c10(P(0(encArg(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_log(z0)))) -> c(LOG(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_half(z0)))) -> 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c3(S(c_half(encArg(x0))), ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_s(cons_half(cons_log(z0)))) -> c3(S(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_half(cons_half(z0)))) -> c3(S(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_half(cons_p(z0)))) -> c3(S(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_half(cons_s(z0)))) -> c3(S(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_half(cons_0(z0)))) -> c3(S(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) S tuples: HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1, c1_2, c1_1, c2_2, c2_1 ---------------------------------------- (135) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing tuple parts ---------------------------------------- (136) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCARG(cons_s(cons_p(z0))) -> c3(S(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_s(z0)) -> c10(P(s(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_0(z0)) -> c10(P(0(encArg(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_log(z0)))) -> c(LOG(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_half(z0)))) -> c(LOG(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_p(z0)))) -> c(LOG(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) 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c_2, c_1, c1_2, c1_1, c2_2, c2_1, c3_1 ---------------------------------------- (137) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_s(cons_p(z0))) -> c3(S(p(encArg(z0))), ENCARG(cons_p(z0))) by ENCARG(cons_s(cons_p(x0))) -> c3(S(c_p(encArg(x0))), ENCARG(cons_p(x0))) ENCARG(cons_s(cons_p(cons_log(z0)))) -> c3(S(p(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_p(cons_half(z0)))) -> c3(S(p(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_p(cons_p(z0)))) -> c3(S(p(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_p(cons_s(z0)))) -> c3(S(p(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_p(cons_0(z0)))) -> c3(S(p(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_0(z0)))) ---------------------------------------- (138) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_s(z0)) -> c10(P(s(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_0(z0)) -> c10(P(0(encArg(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_log(z0)))) -> c(LOG(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_half(z0)))) -> c(LOG(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_p(z0)))) -> c(LOG(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_s(z0)))) -> c(LOG(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_0(z0)))) -> c(LOG(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_log(z0)))) -> c(LOG(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_half(z0)))) -> c(LOG(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_p(z0)))) -> c(LOG(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_s(z0)))) -> c(LOG(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_0(z0)))) -> c(LOG(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(x0))) -> c(ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_log(z0)))) -> c(LOG(p(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_half(z0)))) -> c(LOG(p(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_p(z0)))) -> c(LOG(p(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_s(z0)))) -> c(LOG(p(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_0(z0)))) -> c(LOG(p(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(x0))) -> c(ENCARG(cons_p(x0))) ENCARG(cons_log(cons_s(x0))) -> c(LOG(c_s(encArg(x0))), ENCARG(cons_s(x0))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_log(z0)))) -> c(LOG(s(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_half(z0)))) -> c(LOG(s(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_p(z0)))) -> c(LOG(s(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_s(z0)))) -> c(LOG(s(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_0(z0)))) -> c(LOG(s(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(x0))) -> c(LOG(encArg(x0)), ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_log(z0)))) -> c(LOG(0(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_half(z0)))) -> c(LOG(0(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_p(z0)))) -> c(LOG(0(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_s(z0)))) -> c(LOG(0(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_0(z0)))) -> c(LOG(0(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(x0))) -> c(ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(x0))) -> c1(HALF(c_half(encArg(x0))), ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(p(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(p(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(p(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(p(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(p(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(x0))) -> c1(ENCARG(cons_p(x0))) ENCARG(cons_half(cons_s(x0))) -> c1(HALF(c_s(encArg(x0))), ENCARG(cons_s(x0))) ENCARG(cons_half(cons_s(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(s(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_s(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(s(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_s(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(s(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_s(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(s(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_s(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(s(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_0(x0))) -> c1(HALF(c_0(encArg(x0))), ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_half(cons_0(x0))) -> c1(HALF(encArg(x0)), ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_half(cons_0(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(0(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_0(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(0(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_0(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(0(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_0(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(0(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_0(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(0(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_0(x0))) -> c1(ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_p(cons_log(cons_log(z0)))) -> c2(P(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_log(cons_half(z0)))) -> 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ENCARG(cons_p(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_p(cons_half(z0)))) -> c2(P(p(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_p(cons_p(z0)))) -> c2(P(p(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_p(cons_s(z0)))) -> c2(P(p(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_p(cons_0(z0)))) -> c2(P(p(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_p(x0))) -> c2(ENCARG(cons_p(x0))) ENCARG(cons_p(cons_s(x0))) -> c2(P(c_s(encArg(x0))), ENCARG(cons_s(x0))) ENCARG(cons_p(cons_s(cons_log(z0)))) -> c2(P(s(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_s(cons_half(z0)))) -> c2(P(s(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_s(cons_p(z0)))) -> c2(P(s(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_s(cons_s(z0)))) -> c2(P(s(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_s(cons_0(z0)))) -> c2(P(s(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_0(x0))) -> c2(P(encArg(x0)), ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_p(cons_0(cons_log(z0)))) -> c2(P(0(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_0(cons_half(z0)))) -> c2(P(0(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_0(cons_p(z0)))) -> c2(P(0(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_0(cons_s(z0)))) -> c2(P(0(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_0(cons_0(z0)))) -> c2(P(0(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_0(x0))) -> c2(ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_s(cons_log(cons_log(z0)))) -> c3(S(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_log(cons_half(z0)))) -> c3(S(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_log(cons_p(z0)))) -> c3(S(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_log(cons_s(z0)))) -> c3(S(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_log(cons_0(z0)))) -> c3(S(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_half(cons_log(z0)))) -> c3(S(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_half(cons_half(z0)))) -> c3(S(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_half(cons_p(z0)))) -> c3(S(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_half(cons_s(z0)))) -> c3(S(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_half(cons_0(z0)))) -> c3(S(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_half(x0))) -> c3(ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_s(cons_p(x0))) -> c3(S(c_p(encArg(x0))), ENCARG(cons_p(x0))) ENCARG(cons_s(cons_p(cons_log(z0)))) -> c3(S(p(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_p(cons_half(z0)))) -> c3(S(p(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_p(cons_p(z0)))) -> c3(S(p(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_p(cons_s(z0)))) -> c3(S(p(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_p(cons_0(z0)))) -> c3(S(p(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_0(z0)))) S tuples: HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), 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HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1, c1_2, c1_1, c2_2, c2_1, c3_1 ---------------------------------------- (139) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing tuple parts ---------------------------------------- (140) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> 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HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1, c1_2, c1_1, c2_2, c2_1, c3_1 ---------------------------------------- (141) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_s(cons_s(z0))) -> c3(S(s(encArg(z0))), ENCARG(cons_s(z0))) by ENCARG(cons_s(cons_s(x0))) -> c3(S(c_s(encArg(x0))), ENCARG(cons_s(x0))) ENCARG(cons_s(cons_s(cons_log(z0)))) -> c3(S(s(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_s(cons_half(z0)))) -> c3(S(s(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_s(cons_p(z0)))) -> c3(S(s(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_s(cons_s(z0)))) -> c3(S(s(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_s(cons_0(z0)))) -> c3(S(s(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_0(z0)))) ---------------------------------------- (142) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_s(z0)) -> c10(P(s(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_0(z0)) -> c10(P(0(encArg(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_log(z0)))) -> c(LOG(log(log(encArg(z0)))), 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ENCARG(cons_p(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_p(cons_p(z0)))) -> c2(P(p(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_p(cons_s(z0)))) -> c2(P(p(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_p(cons_0(z0)))) -> c2(P(p(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_p(x0))) -> c2(ENCARG(cons_p(x0))) ENCARG(cons_p(cons_s(x0))) -> c2(P(c_s(encArg(x0))), ENCARG(cons_s(x0))) ENCARG(cons_p(cons_s(cons_log(z0)))) -> c2(P(s(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_s(cons_half(z0)))) -> c2(P(s(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_s(cons_p(z0)))) -> c2(P(s(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_s(cons_s(z0)))) -> c2(P(s(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_s(cons_0(z0)))) -> c2(P(s(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_0(x0))) -> c2(P(encArg(x0)), ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_p(cons_0(cons_log(z0)))) -> 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P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) 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Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c3_2, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1, c1_2, c1_1, c2_2, c2_1, c3_1 ---------------------------------------- (143) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_s(cons_0(z0))) -> c3(S(0(encArg(z0))), ENCARG(cons_0(z0))) by ENCARG(cons_s(cons_0(x0))) -> c3(S(c_0(encArg(x0))), ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_s(cons_0(x0))) -> c3(S(encArg(x0)), ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_s(cons_0(cons_log(z0)))) -> c3(S(0(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_0(cons_half(z0)))) -> c3(S(0(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_0(cons_p(z0)))) -> c3(S(0(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_0(cons_s(z0)))) -> c3(S(0(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_0(cons_0(z0)))) -> c3(S(0(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_s(cons_0(x0))) -> c3(ENCARG(cons_0(x0))) ---------------------------------------- (144) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), 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P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1, c1_2, c1_1, c2_2, c2_1, c3_2, c3_1 ---------------------------------------- (145) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing tuple parts ---------------------------------------- (146) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_s(z0)) -> c10(P(s(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_0(z0)) -> c10(P(0(encArg(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_log(z0)))) -> c(LOG(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_half(z0)))) -> c(LOG(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_p(z0)))) -> c(LOG(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_s(z0)))) -> c(LOG(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_0(z0)))) -> c(LOG(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_log(z0)))) -> c(LOG(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_half(z0)))) -> c(LOG(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_p(z0)))) -> c(LOG(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_s(z0)))) -> c(LOG(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_0(z0)))) -> c(LOG(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(x0))) -> c(ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_log(z0)))) -> c(LOG(p(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_half(z0)))) -> c(LOG(p(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_p(z0)))) -> c(LOG(p(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_p(z0)))) 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ENCARG(cons_log(cons_0(cons_half(z0)))) -> c(LOG(0(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_p(z0)))) -> c(LOG(0(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_s(z0)))) -> c(LOG(0(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_0(z0)))) -> c(LOG(0(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(x0))) -> c(ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(x0))) -> 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c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1, c1_2, c1_1, c2_2, c2_1, c3_2, c3_1 ---------------------------------------- (147) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) by S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(x0))))))) -> c11(S(c_s(s(x0))), S(c_s(c_p(c_s(x0))))) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(c_s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))))) -> c11(S(s(s(s(z0)))), S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))) ---------------------------------------- (148) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) 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S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(x0))))))) -> c11(S(c_s(s(x0))), S(c_s(c_p(c_s(x0))))) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(c_s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))))) -> c11(S(s(s(s(z0)))), S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1, c1_2, c1_1, c2_2, c2_1, c3_2, c3_1 ---------------------------------------- (149) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) by P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(c_p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(c_s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(c_s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0)))) ---------------------------------------- (150) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), 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S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) 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P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0)))) S tuples: HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> 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ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1, c1_2, c1_1, c2_2, c2_1, c3_2, c3_1, c13_1 ---------------------------------------- (151) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing tuple parts ---------------------------------------- (152) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) 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-> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(x0))))))) -> c11(S(c_s(s(x0))), S(c_s(c_p(c_s(x0))))) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(c_s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))))) -> c11(S(s(s(s(z0)))), S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(c_s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(c_s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0)))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1, c1_2, c1_1, c2_2, c2_1, c3_2, c3_1, c13_1 ---------------------------------------- (153) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) by P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(c_p(s(c_s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(p(c_s(c_s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c13(S(p(s(s(z0)))), P(s(s(c_p(c_s(z0))))), S(s(c_p(c_s(z0)))), S(c_p(c_s(z0)))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) ---------------------------------------- (154) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_s(z0)) -> c10(P(s(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_0(z0)) -> c10(P(0(encArg(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_log(z0)))) -> c(LOG(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_half(z0)))) -> c(LOG(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_p(z0)))) -> c(LOG(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_s(z0)))) -> c(LOG(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_0(z0)))) -> c(LOG(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) 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HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(x0))))))) -> c11(S(c_s(s(x0))), S(c_s(c_p(c_s(x0))))) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(c_s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))))) -> c11(S(s(s(s(z0)))), S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(c_s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(c_s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0)))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(S(c_p(s(c_s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c13(S(p(s(s(z0)))), P(s(s(c_p(c_s(z0))))), S(s(c_p(c_s(z0)))), S(c_p(c_s(z0)))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1, c1_2, c1_1, c2_2, c2_1, c3_2, c3_1, c13_1 ---------------------------------------- (155) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing tuple parts ---------------------------------------- (156) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_s(z0)) -> c10(P(s(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_0(z0)) -> c10(P(0(encArg(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_log(z0)))) -> c(LOG(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_half(z0)))) -> c(LOG(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_p(z0)))) -> c(LOG(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_s(z0)))) -> c(LOG(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_0(z0)))) -> c(LOG(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_log(z0)))) -> c(LOG(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_half(z0)))) -> c(LOG(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_p(z0)))) -> c(LOG(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_s(z0)))) -> c(LOG(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_0(z0)))) -> c(LOG(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(x0))) -> c(ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_log(z0)))) -> c(LOG(p(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_log(z0)))) 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S(c_s(c_p(c_s(z0))))) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))))) -> c11(S(s(s(s(z0)))), S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(c_s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(c_s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0)))) P(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c13(S(p(s(s(z0)))), P(s(s(c_p(c_s(z0))))), S(s(c_p(c_s(z0))))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c11_2, c13_4, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1, c1_2, c1_1, c2_2, c2_1, c3_2, c3_1, c13_1 ---------------------------------------- (157) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) by P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0))))))) -> c13(S(c_p(s(s(s(x0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0))))), S(c_s(c_p(c_s(x0))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0))))))) -> c13(S(p(c_s(s(s(x0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0))))), S(c_s(c_p(c_s(x0))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0))))))) -> c13(S(p(s(c_s(s(x0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0))))), S(c_s(c_p(c_s(x0))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(c_s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))))) -> c13(S(p(s(s(s(s(z0)))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))))), S(s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))), S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0))))))) -> c13(P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))) ---------------------------------------- (158) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_s(z0)) -> c10(P(s(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_0(z0)) -> c10(P(0(encArg(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_log(z0)))) -> c(LOG(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_half(z0)))) -> c(LOG(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_p(z0)))) -> c(LOG(log(p(encArg(z0)))), 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ENCARG(cons_p(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_p(z0)))) -> c(LOG(p(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_s(z0)))) -> c(LOG(p(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_0(z0)))) -> c(LOG(p(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(x0))) -> c(ENCARG(cons_p(x0))) ENCARG(cons_log(cons_s(x0))) -> c(LOG(c_s(encArg(x0))), ENCARG(cons_s(x0))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_log(z0)))) -> c(LOG(s(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_half(z0)))) -> c(LOG(s(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_p(z0)))) -> c(LOG(s(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_s(z0)))) -> c(LOG(s(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_0(z0)))) -> c(LOG(s(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(x0))) -> c(LOG(encArg(x0)), ENCARG(cons_0(x0))) 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c1_1, c2_2, c2_1, c3_2, c3_1, c13_4, c13_1, c13_2 ---------------------------------------- (159) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing tuple parts ---------------------------------------- (160) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_s(z0)) -> c10(P(s(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_0(z0)) -> c10(P(0(encArg(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_log(z0)))) -> c(LOG(log(log(encArg(z0)))), 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P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(c_s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))))) -> c13(S(p(s(s(s(s(z0)))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))))), S(s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))), S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0))))))) -> c13(P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0))))))) -> c13(P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0))))), S(c_s(c_p(c_s(x0))))) S tuples: HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), 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S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0)))) P(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c13(S(p(s(s(z0)))), P(s(s(c_p(c_s(z0))))), S(s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0))))))) -> c13(S(p(s(c_s(s(x0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0))))), S(c_s(c_p(c_s(x0))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(c_s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))))) -> c13(S(p(s(s(s(s(z0)))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))))), S(s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))), S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0))))))) -> c13(P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0))))))) -> c13(P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0))))), S(c_s(c_p(c_s(x0))))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c11_2, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1, c1_2, c1_1, c2_2, c2_1, c3_2, c3_1, c13_4, c13_1, c13_2 ---------------------------------------- (161) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) by P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(c_s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(P(s(c_s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(P(s(s(s(z0)))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) ---------------------------------------- (162) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) 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P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(c_s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))))) -> c13(S(p(s(s(s(s(z0)))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))))), S(s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))), S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0))))))) -> c13(P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0))))))) -> c13(P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0))))), S(c_s(c_p(c_s(x0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(c_s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(P(s(c_s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(P(s(s(s(z0)))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c11_2, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1, c1_2, c1_1, c2_2, c2_1, c3_2, c3_1, c13_4, c13_1, c13_2 ---------------------------------------- (163) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) by HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(c_half(c_p(s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(c_p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(c_p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) ---------------------------------------- (164) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) 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c21_4, c21_3, c_2, c_1, c1_2, c1_1, c2_2, c2_1, c3_2, c3_1, c13_4, c13_1, c13_2 ---------------------------------------- (165) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing tuple parts ---------------------------------------- (166) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_s(z0)) -> c10(P(s(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_0(z0)) -> c10(P(0(encArg(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_log(z0)))) -> c(LOG(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_half(z0)))) -> c(LOG(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_p(z0)))) -> c(LOG(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_s(z0)))) -> c(LOG(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_0(z0)))) -> c(LOG(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_log(z0)))) -> c(LOG(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_half(z0)))) -> c(LOG(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_p(z0)))) -> c(LOG(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_s(z0)))) -> c(LOG(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_0(z0)))) -> c(LOG(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(x0))) -> c(ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_log(z0)))) -> 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ENCARG(cons_half(cons_log(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(x0))) -> c1(HALF(c_half(encArg(x0))), ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(p(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_half(z0)))) -> 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S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(x0))))))) -> c11(S(c_s(s(x0))), S(c_s(c_p(c_s(x0))))) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(c_s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))))) -> c11(S(s(s(s(z0)))), S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(c_s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(c_s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0)))) P(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c13(S(p(s(s(z0)))), P(s(s(c_p(c_s(z0))))), S(s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0))))))) -> c13(S(p(s(c_s(s(x0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0))))), S(c_s(c_p(c_s(x0))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(c_s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))))) -> c13(S(p(s(s(s(s(z0)))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))))), S(s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))), S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0))))))) -> c13(P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0))))))) -> c13(P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0))))), S(c_s(c_p(c_s(x0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(c_s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(P(s(c_s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(P(s(s(s(z0)))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(c_p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(c_p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c11_2, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1, c1_2, c1_1, c2_2, c2_1, c3_2, c3_1, c13_4, c13_1, c13_2 ---------------------------------------- (167) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) by HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(c_half(p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(c_s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(c_s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0)))) ---------------------------------------- (168) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_s(z0)) -> c10(P(s(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_0(z0)) -> c10(P(0(encArg(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_log(z0)))) -> c(LOG(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_half(z0)))) -> c(LOG(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_p(z0)))) -> c(LOG(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_s(z0)))) -> c(LOG(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_0(z0)))) -> c(LOG(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_log(z0)))) -> c(LOG(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_half(z0)))) -> c(LOG(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_p(z0)))) -> c(LOG(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_s(z0)))) -> c(LOG(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_0(z0)))) -> c(LOG(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(x0))) -> c(ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_log(z0)))) -> c(LOG(p(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_half(z0)))) -> c(LOG(p(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_p(z0)))) -> c(LOG(p(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_s(z0)))) -> c(LOG(p(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_0(z0)))) -> c(LOG(p(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(x0))) -> c(ENCARG(cons_p(x0))) ENCARG(cons_log(cons_s(x0))) -> c(LOG(c_s(encArg(x0))), ENCARG(cons_s(x0))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_log(z0)))) -> c(LOG(s(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_half(z0)))) -> c(LOG(s(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_p(z0)))) -> c(LOG(s(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_s(z0)))) -> c(LOG(s(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_0(z0)))) -> c(LOG(s(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(x0))) -> c(LOG(encArg(x0)), ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_log(z0)))) -> c(LOG(0(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_half(z0)))) -> c(LOG(0(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_p(z0)))) -> c(LOG(0(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_s(z0)))) -> c(LOG(0(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_0(z0)))) -> c(LOG(0(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(x0))) -> c(ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(x0))) -> c1(HALF(c_half(encArg(x0))), ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(p(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(p(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(p(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(p(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(p(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(x0))) -> c1(ENCARG(cons_p(x0))) ENCARG(cons_half(cons_s(x0))) -> c1(HALF(c_s(encArg(x0))), ENCARG(cons_s(x0))) ENCARG(cons_half(cons_s(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(s(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_s(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(s(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_s(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(s(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_s(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(s(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_s(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(s(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_0(x0))) -> c1(HALF(c_0(encArg(x0))), ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_half(cons_0(x0))) -> c1(HALF(encArg(x0)), ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_half(cons_0(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(0(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_0(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(0(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_0(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(0(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_0(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(0(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_0(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(0(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_0(x0))) -> c1(ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_p(cons_log(cons_log(z0)))) -> c2(P(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_log(cons_half(z0)))) -> c2(P(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_log(cons_p(z0)))) -> c2(P(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_log(cons_s(z0)))) -> c2(P(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_log(cons_0(z0)))) -> c2(P(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_half(cons_log(z0)))) -> c2(P(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_half(cons_half(z0)))) -> c2(P(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_half(cons_p(z0)))) -> c2(P(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_half(cons_s(z0)))) -> c2(P(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_half(cons_0(z0)))) -> c2(P(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_half(x0))) -> c2(ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_p(cons_p(cons_log(z0)))) -> c2(P(p(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_p(cons_half(z0)))) -> c2(P(p(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_p(cons_p(z0)))) -> c2(P(p(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_p(cons_s(z0)))) -> c2(P(p(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_p(cons_p(cons_0(z0)))) -> c2(P(p(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_0(z0)))) 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Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) 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S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> 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tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c11_2, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1, c1_2, c1_1, c2_2, c2_1, c3_2, c3_1, c13_4, c13_1, c13_2, c15_2 ---------------------------------------- (171) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) by HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(c_half(p(s(c_s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(s(c_s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(p(c_s(c_s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c15(S(half(p(s(s(z0))))), HALF(p(s(s(c_p(c_s(z0)))))), P(s(s(c_p(c_s(z0))))), S(s(c_p(c_s(z0)))), S(c_p(c_s(z0)))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) ---------------------------------------- (172) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_s(z0)) -> c10(P(s(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_0(z0)) -> c10(P(0(encArg(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_log(z0)))) -> c(LOG(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_half(z0)))) -> c(LOG(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_p(z0)))) -> c(LOG(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_s(z0)))) -> c(LOG(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_0(z0)))) -> c(LOG(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_log(z0)))) -> c(LOG(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_half(z0)))) -> c(LOG(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_p(z0)))) -> c(LOG(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_s(z0)))) -> c(LOG(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_0(z0)))) -> c(LOG(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(x0))) -> c(ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_log(z0)))) -> c(LOG(p(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_half(z0)))) -> c(LOG(p(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_p(z0)))) -> c(LOG(p(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_s(z0)))) -> c(LOG(p(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_0(z0)))) -> c(LOG(p(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(x0))) -> c(ENCARG(cons_p(x0))) ENCARG(cons_log(cons_s(x0))) -> c(LOG(c_s(encArg(x0))), ENCARG(cons_s(x0))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_log(z0)))) -> c(LOG(s(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_half(z0)))) -> c(LOG(s(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_p(z0)))) -> c(LOG(s(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_s(z0)))) -> c(LOG(s(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_0(z0)))) -> c(LOG(s(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(x0))) -> c(LOG(encArg(x0)), ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_log(z0)))) -> c(LOG(0(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_half(z0)))) -> c(LOG(0(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_p(z0)))) -> c(LOG(0(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_s(z0)))) -> c(LOG(0(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_0(z0)))) -> c(LOG(0(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(x0))) -> c(ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(x0))) -> c1(HALF(c_half(encArg(x0))), ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(p(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(p(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(p(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(p(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_p(cons_0(z0)))) -> 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c13(S(p(s(s(s(s(z0)))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))))), S(s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))), S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0))))))) -> c13(P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0))))))) -> c13(P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0))))), S(c_s(c_p(c_s(x0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(c_s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(P(s(c_s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(P(s(s(s(z0)))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(c_p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(c_p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(c_s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(c_s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0)))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(c_half(p(s(c_s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c15(S(half(p(s(s(z0))))), HALF(p(s(s(c_p(c_s(z0)))))), P(s(s(c_p(c_s(z0))))), S(s(c_p(c_s(z0)))), S(c_p(c_s(z0)))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c11_2, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1, c1_2, c1_1, c2_2, c2_1, c3_2, c3_1, c13_4, c13_1, c13_2, c15_2 ---------------------------------------- (173) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing tuple parts ---------------------------------------- (174) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_s(z0)) -> c10(P(s(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_0(z0)) -> c10(P(0(encArg(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_log(z0)))) -> c(LOG(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_half(z0)))) -> c(LOG(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_p(z0)))) -> c(LOG(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_s(z0)))) -> c(LOG(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_0(z0)))) -> c(LOG(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_log(z0)))) -> c(LOG(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_half(z0)))) -> c(LOG(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_p(z0)))) -> c(LOG(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_s(z0)))) -> c(LOG(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_0(z0)))) -> c(LOG(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(x0))) -> c(ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_log(z0)))) -> c(LOG(p(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_half(z0)))) -> c(LOG(p(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_p(z0)))) -> c(LOG(p(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_s(z0)))) -> c(LOG(p(s(encArg(z0)))), 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S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(c_s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))))) -> c11(S(s(s(s(z0)))), S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(c_s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(c_s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0)))) P(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c13(S(p(s(s(z0)))), P(s(s(c_p(c_s(z0))))), S(s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0))))))) -> c13(S(p(s(c_s(s(x0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0))))), S(c_s(c_p(c_s(x0))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(c_s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))))) -> c13(S(p(s(s(s(s(z0)))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))))), S(s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))), S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0))))))) -> c13(P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0))))))) -> c13(P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0))))), S(c_s(c_p(c_s(x0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(c_s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(P(s(c_s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(P(s(s(s(z0)))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(c_p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(c_p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(c_s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(c_s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0)))) HALF(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c15(S(half(p(s(s(z0))))), HALF(p(s(s(c_p(c_s(z0)))))), P(s(s(c_p(c_s(z0))))), S(s(c_p(c_s(z0))))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c11_2, c13_3, c15_5, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1, c1_2, c1_1, c2_2, c2_1, c3_2, c3_1, c13_4, c13_1, c13_2, c15_2 ---------------------------------------- (175) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) by HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0)))))) -> c15(S(c_half(p(s(s(s(x0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(x0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0))))), S(c_s(c_p(c_s(x0))))) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0)))))) -> c15(S(half(c_p(s(s(s(x0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(x0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0))))), S(c_s(c_p(c_s(x0))))) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0)))))) -> c15(S(half(p(c_s(s(s(x0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(x0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0))))), S(c_s(c_p(c_s(x0))))) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0)))))) -> c15(S(half(p(s(c_s(s(x0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(x0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0))))), S(c_s(c_p(c_s(x0))))) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(c_s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(s(z0))))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))))), S(s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))), S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0)))))) -> c15(HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(x0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))) ---------------------------------------- (176) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_s(z0)) -> c10(P(s(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_0(z0)) -> c10(P(0(encArg(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_log(z0)))) -> c(LOG(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_half(z0)))) -> c(LOG(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_p(z0)))) -> c(LOG(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_s(z0)))) -> c(LOG(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_0(z0)))) -> 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P(s(s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))))), S(s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))), S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0)))))) -> c15(HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(x0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))) S tuples: HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), 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HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(x0))))))) -> c11(S(c_s(s(x0))), S(c_s(c_p(c_s(x0))))) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(c_s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))))) -> c11(S(s(s(s(z0)))), S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(c_s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), 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P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(c_s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(P(s(c_s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(P(s(s(s(z0)))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(c_p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(c_p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(c_s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(c_s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0)))) HALF(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c15(S(half(p(s(s(z0))))), 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Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c11_2, c13_3, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1, c1_2, c1_1, c2_2, c2_1, c3_2, c3_1, c13_4, c13_1, c13_2, c15_5, c15_2, c15_3 ---------------------------------------- (177) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing tuple parts ---------------------------------------- (178) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), 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HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))))), S(s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))), S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0)))))) -> c15(HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(x0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0)))))) -> c15(HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(x0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0))))), S(c_s(c_p(c_s(x0))))) S tuples: HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(x0))))))) -> c11(S(c_s(s(x0))), S(c_s(c_p(c_s(x0))))) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(c_s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))))) -> c11(S(s(s(s(z0)))), S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(c_s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(c_s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0)))) P(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c13(S(p(s(s(z0)))), P(s(s(c_p(c_s(z0))))), S(s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0))))))) -> c13(S(p(s(c_s(s(x0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0))))), S(c_s(c_p(c_s(x0))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(c_s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))))) -> c13(S(p(s(s(s(s(z0)))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))))), S(s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))), S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0))))))) -> c13(P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0))))))) -> c13(P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0))))), S(c_s(c_p(c_s(x0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(c_s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(P(s(c_s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(P(s(s(s(z0)))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(c_p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(c_p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(c_s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(c_s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0)))) HALF(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c15(S(half(p(s(s(z0))))), HALF(p(s(s(c_p(c_s(z0)))))), P(s(s(c_p(c_s(z0))))), S(s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0)))))) -> c15(S(half(p(s(c_s(s(x0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(x0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0))))), S(c_s(c_p(c_s(x0))))) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(c_s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(s(z0))))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))))), S(s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))), S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0)))))) -> c15(HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(x0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0)))))) -> c15(HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(x0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0))))), S(c_s(c_p(c_s(x0))))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c11_2, c13_3, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1, c1_2, c1_1, c2_2, c2_1, c3_2, c3_1, c13_4, c13_1, c13_2, c15_5, c15_2, c15_3 ---------------------------------------- (179) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) by HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(c_p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(HALF(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(HALF(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) ---------------------------------------- (180) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_s(z0)) -> c10(P(s(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_0(z0)) -> c10(P(0(encArg(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_log(z0)))) -> c(LOG(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_half(z0)))) -> c(LOG(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_p(z0)))) -> c(LOG(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_s(z0)))) -> c(LOG(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_0(z0)))) -> c(LOG(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_log(z0)))) -> c(LOG(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_half(z0)))) -> c(LOG(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_p(z0)))) -> c(LOG(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_s(z0)))) -> c(LOG(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_0(z0)))) -> c(LOG(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(x0))) -> c(ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_log(z0)))) -> c(LOG(p(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_half(z0)))) -> c(LOG(p(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_p(z0)))) -> c(LOG(p(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_s(z0)))) -> c(LOG(p(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_0(z0)))) -> c(LOG(p(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(x0))) -> c(ENCARG(cons_p(x0))) ENCARG(cons_log(cons_s(x0))) -> c(LOG(c_s(encArg(x0))), ENCARG(cons_s(x0))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_log(z0)))) -> c(LOG(s(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_half(z0)))) -> c(LOG(s(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_p(z0)))) -> c(LOG(s(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_s(z0)))) -> c(LOG(s(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_s(cons_0(z0)))) -> c(LOG(s(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_s(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(x0))) -> c(LOG(encArg(x0)), ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_log(z0)))) -> c(LOG(0(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_half(z0)))) -> c(LOG(0(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_p(z0)))) -> c(LOG(0(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_s(z0)))) -> c(LOG(0(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(cons_0(z0)))) -> c(LOG(0(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_0(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_0(x0))) -> c(ENCARG(cons_0(x0))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_half(z0)))) -> c1(HALF(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_p(z0)))) -> c1(HALF(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_s(z0)))) -> c1(HALF(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_log(cons_0(z0)))) -> c1(HALF(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(x0))) -> c1(HALF(c_half(encArg(x0))), ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_log(z0)))) -> c1(HALF(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_half(cons_half(cons_half(z0)))) -> 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HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0)))))) -> c15(HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(x0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0))))), S(c_s(c_p(c_s(x0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(c_p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(HALF(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(HALF(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c11_2, c13_3, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1, c1_2, c1_1, c2_2, c2_1, c3_2, c3_1, c13_4, c13_1, c13_2, c15_5, c15_2, c15_3 ---------------------------------------- (181) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing tuple parts ---------------------------------------- (182) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), 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LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) ENCODE_LOG(cons_log(z0)) -> c10(LOG(log(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_half(z0)) -> c10(LOG(half(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_p(z0)) -> c10(LOG(p(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_s(z0)) -> c10(LOG(s(encArg(z0)))) ENCODE_LOG(cons_0(z0)) -> c10(LOG(0(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_log(z0)) -> c10(S(log(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_half(z0)) -> c10(S(half(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_p(z0)) -> c10(S(p(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_s(z0)) -> c10(S(s(encArg(z0)))) ENCODE_S(cons_0(z0)) -> c10(S(0(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_log(z0)) -> c10(HALF(log(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_half(z0)) -> c10(HALF(half(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_p(z0)) -> c10(HALF(p(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_s(z0)) -> c10(HALF(s(encArg(z0)))) ENCODE_HALF(cons_0(z0)) -> c10(HALF(0(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_log(z0)) -> c10(P(log(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_half(z0)) -> c10(P(half(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_p(z0)) -> c10(P(p(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_s(z0)) -> c10(P(s(encArg(z0)))) ENCODE_P(cons_0(z0)) -> c10(P(0(encArg(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_log(z0)))) -> c(LOG(log(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_half(z0)))) -> c(LOG(log(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_p(z0)))) -> c(LOG(log(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_s(z0)))) -> c(LOG(log(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_log(cons_0(z0)))) -> c(LOG(log(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_log(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_log(z0)))) -> c(LOG(half(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_half(z0)))) -> c(LOG(half(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_p(z0)))) -> c(LOG(half(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_s(z0)))) -> c(LOG(half(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(cons_0(z0)))) -> c(LOG(half(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_half(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_half(x0))) -> c(ENCARG(cons_half(x0))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_log(z0)))) -> c(LOG(p(log(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_log(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_half(z0)))) -> c(LOG(p(half(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_half(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_p(z0)))) -> c(LOG(p(p(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_p(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_s(z0)))) -> c(LOG(p(s(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_s(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(cons_0(z0)))) -> c(LOG(p(0(encArg(z0)))), ENCARG(cons_p(cons_0(z0)))) ENCARG(cons_log(cons_p(x0))) -> c(ENCARG(cons_p(x0))) ENCARG(cons_log(cons_s(x0))) -> c(LOG(c_s(encArg(x0))), ENCARG(cons_s(x0))) 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S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))) -> c18(S(s(half(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(half(half(c_s(c_s(z0))))), HALF(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0))))))) -> c18(S(s(half(0(s(s(half(z0))))))), S(half(half(c_0(z0)))), HALF(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_s(c_0(z0)))))))) -> c18(S(s(half(0(z0)))), S(half(half(c_s(c_0(z0))))), HALF(half(c_s(c_0(z0)))), HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))))))) -> c18(S(s(half(s(s(half(half(z0))))))), S(half(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), HALF(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) LOG(c_s(z0)) -> c21(S(log(half(c_s(z0)))), LOG(half(s(z0))), HALF(s(z0)), S(z0)) LOG(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c21(S(log(half(s(s(z0))))), LOG(half(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), HALF(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) LOG(c_s(x0)) -> c21(LOG(half(s(x0))), HALF(s(x0)), S(x0)) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(x0))))))) -> c11(S(c_s(s(x0))), S(c_s(c_p(c_s(x0))))) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c11(S(s(c_s(z0))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))))) -> c11(S(s(s(s(z0)))), S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(S(p(c_s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(c_s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0)))) P(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c13(S(p(s(s(z0)))), P(s(s(c_p(c_s(z0))))), S(s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0))))))) -> c13(S(p(s(c_s(s(x0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0))))), S(c_s(c_p(c_s(x0))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(S(p(s(s(c_s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))))) -> c13(S(p(s(s(s(s(z0)))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))))), S(s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))), S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0))))))) -> c13(P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0))))))) -> c13(P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0))))), S(c_s(c_p(c_s(x0))))) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(c_s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) P(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> c13(P(s(c_s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))) -> c13(P(s(s(s(z0)))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(S(half(c_p(c_s(s(x0))))), HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(c_p(s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(c_p(s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(S(half(p(c_s(c_s(z0))))), HALF(p(s(s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(c_s(s(s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0)))) HALF(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))) -> c15(S(half(p(s(s(z0))))), HALF(p(s(s(c_p(c_s(z0)))))), P(s(s(c_p(c_s(z0))))), S(s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0)))))) -> c15(S(half(p(s(c_s(s(x0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(x0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0))))), S(c_s(c_p(c_s(x0))))) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(S(half(p(s(s(c_s(z0)))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(z0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))))) -> c15(S(half(p(s(s(s(s(z0))))))), HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0))))))))), S(s(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))), S(c_s(c_p(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))))) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0)))))) -> c15(HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(x0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(x0)))))) -> c15(HALF(p(s(s(c_s(c_p(c_s(x0))))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(x0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(x0))))), S(c_s(c_p(c_s(x0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(c_s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(z0))) -> c15(HALF(p(s(c_s(z0)))), P(s(s(z0))), S(s(z0)), S(z0)) HALF(c_s(c_s(c_s(c_p(c_s(z0)))))) -> c15(HALF(p(s(s(s(z0))))), P(s(s(c_s(c_p(c_s(z0)))))), S(s(c_s(c_p(c_s(z0))))), S(c_s(c_p(c_s(z0))))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c11_2, c13_3, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1, c1_2, c1_1, c2_2, c2_1, c3_2, c3_1, c13_4, c13_1, c13_2, c15_5, c15_2, c15_3 ---------------------------------------- (183) CdtGraphSplitRhsProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Split RHS of tuples not part of any SCC ---------------------------------------- (184) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(cons_log(z0)) -> log(encArg(z0)) encArg(cons_half(z0)) -> half(encArg(z0)) encArg(cons_p(z0)) -> p(encArg(z0)) encArg(cons_s(z0)) -> s(encArg(z0)) encArg(cons_0(z0)) -> 0(encArg(z0)) log(c_s(z0)) -> s(log(half(s(z0)))) half(z0) -> c_half(z0) half(c_s(c_s(z0))) -> s(half(p(s(s(z0))))) half(c_0(z0)) -> 0(s(s(half(z0)))) half(c_s(c_0(z0))) -> 0(z0) half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> s(s(half(half(z0)))) p(z0) -> c_p(z0) p(c_s(c_s(c_s(z0)))) -> s(p(s(s(z0)))) s(z0) -> c_s(z0) s(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> s(s(z0)) 0(z0) -> c_0(z0) 0(z0) -> z0 Tuples: ENCARG(cons_0(z0)) -> c4(0'(encArg(z0)), ENCARG(z0)) HALF(c_s(c_0(z0))) -> c17(0'(z0)) 0'(z0) -> c20 ENCODE_0(z0) -> c10(0'(encArg(z0))) S(c_s(c_p(c_s(z0)))) -> c11(S(c_s(z0)), S(z0)) P(c_s(c_s(c_s(x0)))) -> c13(P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c15(HALF(p(s(s(x0)))), P(s(s(x0))), S(s(x0)), S(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(c_s(s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(x0)) -> c16(0'(s(c_s(half(x0)))), S(s(half(x0))), S(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_0(z0)) -> c16(0'(s(s(c_half(z0)))), S(s(half(z0))), S(half(z0)), HALF(z0)) HALF(c_0(c_s(c_s(z0)))) -> c16(0'(s(s(s(half(p(s(s(z0)))))))), S(s(half(c_s(c_s(z0))))), S(half(c_s(c_s(z0)))), HALF(c_s(c_s(z0)))) HALF(c_0(c_0(z0))) -> c16(0'(s(s(0(s(s(half(z0))))))), S(s(half(c_0(z0)))), S(half(c_0(z0))), HALF(c_0(z0))) HALF(c_0(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) -> c16(0'(s(s(s(s(half(half(z0))))))), S(s(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))))), S(half(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))), HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0))))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(0'(s(s(0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(s(half(c_s(c_0(z0)))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(S(half(c_s(c_0(z0))))) HALF(c_0(c_s(c_0(z0)))) -> c5(HALF(c_s(c_0(z0)))) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(c_s(half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(x0)))))) -> c18(S(s(c_half(half(x0)))), S(half(half(x0))), HALF(half(x0)), HALF(x0)) HALF(c_half(c_s(c_s(c_s(c_s(z0)))))) -> c18(S(s(half(c_half(z0)))), S(half(half(z0))), HALF(half(z0)), HALF(z0)) 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HALF(c_s(c_s(x0))) -> c6(S(s(x0))) HALF(c_s(c_s(x0))) -> c6(S(x0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, log_1, half_1, p_1, s_1, 0_1 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, HALF_1, 0'_1, ENCODE_0_1, S_1, P_1, LOG_1, ENCODE_LOG_1, ENCODE_S_1, ENCODE_HALF_1, ENCODE_P_1 Compound Symbols: c4_2, c17_1, c20, c10_1, c11_2, c13_3, c15_4, c16_4, c5_1, c18_4, c21_4, c21_3, c_2, c_1, c1_2, c1_1, c2_2, c2_1, c3_2, c3_1, c13_4, c13_1, c13_2, c15_5, c15_2, c15_3, c6_1