/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (full) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 386 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 5 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 9544 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 103.8 s] (18) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (full) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__nats -> cons(0, incr(nats)) a__pairs -> cons(0, incr(odds)) a__odds -> a__incr(a__pairs) a__incr(cons(X, XS)) -> cons(s(mark(X)), incr(XS)) a__head(cons(X, XS)) -> mark(X) a__tail(cons(X, XS)) -> mark(XS) mark(nats) -> a__nats mark(pairs) -> a__pairs mark(odds) -> a__odds mark(incr(X)) -> a__incr(mark(X)) mark(head(X)) -> a__head(mark(X)) mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(0) -> 0 mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) a__nats -> nats a__pairs -> pairs a__odds -> odds a__incr(X) -> incr(X) a__head(X) -> head(X) a__tail(X) -> tail(X) S is empty. Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(nats) -> nats encArg(odds) -> odds encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(pairs) -> pairs encArg(head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(cons_a__nats) -> a__nats encArg(cons_a__pairs) -> a__pairs encArg(cons_a__odds) -> a__odds encArg(cons_a__incr(x_1)) -> a__incr(encArg(x_1)) encArg(cons_a__head(x_1)) -> a__head(encArg(x_1)) encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__nats -> a__nats encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_a__pairs -> a__pairs encode_odds -> odds encode_a__odds -> a__odds encode_a__incr(x_1) -> a__incr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__head(x_1) -> a__head(encArg(x_1)) encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_pairs -> pairs encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_nil -> nil ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__nats -> cons(0, incr(nats)) a__pairs -> cons(0, incr(odds)) a__odds -> a__incr(a__pairs) a__incr(cons(X, XS)) -> cons(s(mark(X)), incr(XS)) a__head(cons(X, XS)) -> mark(X) a__tail(cons(X, XS)) -> mark(XS) mark(nats) -> a__nats mark(pairs) -> a__pairs mark(odds) -> a__odds mark(incr(X)) -> a__incr(mark(X)) mark(head(X)) -> a__head(mark(X)) mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(0) -> 0 mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) a__nats -> nats a__pairs -> pairs a__odds -> odds a__incr(X) -> incr(X) a__head(X) -> head(X) a__tail(X) -> tail(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(nats) -> nats encArg(odds) -> odds encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(pairs) -> pairs encArg(head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(cons_a__nats) -> a__nats encArg(cons_a__pairs) -> a__pairs encArg(cons_a__odds) -> a__odds encArg(cons_a__incr(x_1)) -> a__incr(encArg(x_1)) encArg(cons_a__head(x_1)) -> a__head(encArg(x_1)) encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__nats -> a__nats encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_a__pairs -> a__pairs encode_odds -> odds encode_a__odds -> a__odds encode_a__incr(x_1) -> a__incr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__head(x_1) -> a__head(encArg(x_1)) encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_pairs -> pairs encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_nil -> nil Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__nats -> cons(0, incr(nats)) a__pairs -> cons(0, incr(odds)) a__odds -> a__incr(a__pairs) a__incr(cons(X, XS)) -> cons(s(mark(X)), incr(XS)) a__head(cons(X, XS)) -> mark(X) a__tail(cons(X, XS)) -> mark(XS) mark(nats) -> a__nats mark(pairs) -> a__pairs mark(odds) -> a__odds mark(incr(X)) -> a__incr(mark(X)) mark(head(X)) -> a__head(mark(X)) mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(0) -> 0 mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) a__nats -> nats a__pairs -> pairs a__odds -> odds a__incr(X) -> incr(X) a__head(X) -> head(X) a__tail(X) -> tail(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(nats) -> nats encArg(odds) -> odds encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(pairs) -> pairs encArg(head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(cons_a__nats) -> a__nats encArg(cons_a__pairs) -> a__pairs encArg(cons_a__odds) -> a__odds encArg(cons_a__incr(x_1)) -> a__incr(encArg(x_1)) encArg(cons_a__head(x_1)) -> a__head(encArg(x_1)) encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__nats -> a__nats encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_a__pairs -> a__pairs encode_odds -> odds encode_a__odds -> a__odds encode_a__incr(x_1) -> a__incr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__head(x_1) -> a__head(encArg(x_1)) encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_pairs -> pairs encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_nil -> nil Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__nats -> cons(0', incr(nats)) a__pairs -> cons(0', incr(odds)) a__odds -> a__incr(a__pairs) a__incr(cons(X, XS)) -> cons(s(mark(X)), incr(XS)) a__head(cons(X, XS)) -> mark(X) a__tail(cons(X, XS)) -> mark(XS) mark(nats) -> a__nats mark(pairs) -> a__pairs mark(odds) -> a__odds mark(incr(X)) -> a__incr(mark(X)) mark(head(X)) -> a__head(mark(X)) mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(0') -> 0' mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) a__nats -> nats a__pairs -> pairs a__odds -> odds a__incr(X) -> incr(X) a__head(X) -> head(X) a__tail(X) -> tail(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0') -> 0' encArg(incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(nats) -> nats encArg(odds) -> odds encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(pairs) -> pairs encArg(head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(cons_a__nats) -> a__nats encArg(cons_a__pairs) -> a__pairs encArg(cons_a__odds) -> a__odds encArg(cons_a__incr(x_1)) -> a__incr(encArg(x_1)) encArg(cons_a__head(x_1)) -> a__head(encArg(x_1)) encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__nats -> a__nats encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_a__pairs -> a__pairs encode_odds -> odds encode_a__odds -> a__odds encode_a__incr(x_1) -> a__incr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__head(x_1) -> a__head(encArg(x_1)) encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_pairs -> pairs encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_nil -> nil Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: TRS: Rules: a__nats -> cons(0', incr(nats)) a__pairs -> cons(0', incr(odds)) a__odds -> a__incr(a__pairs) a__incr(cons(X, XS)) -> cons(s(mark(X)), incr(XS)) a__head(cons(X, XS)) -> mark(X) a__tail(cons(X, XS)) -> mark(XS) mark(nats) -> a__nats mark(pairs) -> a__pairs mark(odds) -> a__odds mark(incr(X)) -> a__incr(mark(X)) mark(head(X)) -> a__head(mark(X)) mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(0') -> 0' mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) a__nats -> nats a__pairs -> pairs a__odds -> odds a__incr(X) -> incr(X) a__head(X) -> head(X) a__tail(X) -> tail(X) encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0') -> 0' encArg(incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(nats) -> nats encArg(odds) -> odds encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(pairs) -> pairs encArg(head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(cons_a__nats) -> a__nats encArg(cons_a__pairs) -> a__pairs encArg(cons_a__odds) -> a__odds encArg(cons_a__incr(x_1)) -> a__incr(encArg(x_1)) encArg(cons_a__head(x_1)) -> a__head(encArg(x_1)) encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__nats -> a__nats encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_a__pairs -> a__pairs encode_odds -> odds encode_a__odds -> a__odds encode_a__incr(x_1) -> a__incr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__head(x_1) -> a__head(encArg(x_1)) encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_pairs -> pairs encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_nil -> nil Types: a__nats :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark 0' :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark incr :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark nats :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__pairs :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark odds :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__odds :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__incr :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark s :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark mark :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__head :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__tail :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark pairs :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark head :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark tail :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark nil :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encArg :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__nats :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__pairs :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__odds :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__incr :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__head :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__tail :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_mark :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__nats :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_cons :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_0 :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_incr :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_nats :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__pairs :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_odds :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__odds :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__incr :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_s :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_mark :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__head :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__tail :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_pairs :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_head :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_tail :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_nil :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark hole_0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark1_3 :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark gen_0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3 :: Nat -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: a__odds, a__incr, mark, a__head, a__tail, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a__odds = a__incr a__odds = mark a__odds = a__head a__odds = a__tail a__odds < encArg a__incr = mark a__incr = a__head a__incr = a__tail a__incr < encArg mark = a__head mark = a__tail mark < encArg a__head = a__tail a__head < encArg a__tail < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: TRS: Rules: a__nats -> cons(0', incr(nats)) a__pairs -> cons(0', incr(odds)) a__odds -> a__incr(a__pairs) a__incr(cons(X, XS)) -> cons(s(mark(X)), incr(XS)) a__head(cons(X, XS)) -> mark(X) a__tail(cons(X, XS)) -> mark(XS) mark(nats) -> a__nats mark(pairs) -> a__pairs mark(odds) -> a__odds mark(incr(X)) -> a__incr(mark(X)) mark(head(X)) -> a__head(mark(X)) mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(0') -> 0' mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) a__nats -> nats a__pairs -> pairs a__odds -> odds a__incr(X) -> incr(X) a__head(X) -> head(X) a__tail(X) -> tail(X) encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0') -> 0' encArg(incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(nats) -> nats encArg(odds) -> odds encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(pairs) -> pairs encArg(head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(cons_a__nats) -> a__nats encArg(cons_a__pairs) -> a__pairs encArg(cons_a__odds) -> a__odds encArg(cons_a__incr(x_1)) -> a__incr(encArg(x_1)) encArg(cons_a__head(x_1)) -> a__head(encArg(x_1)) encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__nats -> a__nats encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_a__pairs -> a__pairs encode_odds -> odds encode_a__odds -> a__odds encode_a__incr(x_1) -> a__incr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__head(x_1) -> a__head(encArg(x_1)) encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_pairs -> pairs encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_nil -> nil Types: a__nats :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark 0' :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark incr :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark nats :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__pairs :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark odds :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__odds :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__incr :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark s :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark mark :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__head :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__tail :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark pairs :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark head :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark tail :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark nil :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encArg :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__nats :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__pairs :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__odds :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__incr :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__head :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__tail :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_mark :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__nats :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_cons :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_0 :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_incr :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_nats :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__pairs :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_odds :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__odds :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__incr :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_s :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_mark :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__head :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__tail :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_pairs :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_head :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_tail :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_nil :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark hole_0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark1_3 :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark gen_0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3 :: Nat -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark Generator Equations: gen_0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(0) <=> 0' gen_0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(+(x, 1)) <=> cons(gen_0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(x), 0') The following defined symbols remain to be analysed: a__incr, a__odds, mark, a__head, a__tail, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a__odds = a__incr a__odds = mark a__odds = a__head a__odds = a__tail a__odds < encArg a__incr = mark a__incr = a__head a__incr = a__tail a__incr < encArg mark = a__head mark = a__tail mark < encArg a__head = a__tail a__head < encArg a__tail < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: mark(gen_0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(n252277_3)) -> gen_0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(n252277_3), rt in Omega(1 + n252277_3) Induction Base: mark(gen_0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(0)) ->_R^Omega(1) 0' Induction Step: mark(gen_0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(+(n252277_3, 1))) ->_R^Omega(1) cons(mark(gen_0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(n252277_3)), 0') ->_IH cons(gen_0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(c252278_3), 0') We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: TRS: Rules: a__nats -> cons(0', incr(nats)) a__pairs -> cons(0', incr(odds)) a__odds -> a__incr(a__pairs) a__incr(cons(X, XS)) -> cons(s(mark(X)), incr(XS)) a__head(cons(X, XS)) -> mark(X) a__tail(cons(X, XS)) -> mark(XS) mark(nats) -> a__nats mark(pairs) -> a__pairs mark(odds) -> a__odds mark(incr(X)) -> a__incr(mark(X)) mark(head(X)) -> a__head(mark(X)) mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(0') -> 0' mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) a__nats -> nats a__pairs -> pairs a__odds -> odds a__incr(X) -> incr(X) a__head(X) -> head(X) a__tail(X) -> tail(X) encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0') -> 0' encArg(incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(nats) -> nats encArg(odds) -> odds encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(pairs) -> pairs encArg(head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(cons_a__nats) -> a__nats encArg(cons_a__pairs) -> a__pairs encArg(cons_a__odds) -> a__odds encArg(cons_a__incr(x_1)) -> a__incr(encArg(x_1)) encArg(cons_a__head(x_1)) -> a__head(encArg(x_1)) encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__nats -> a__nats encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_a__pairs -> a__pairs encode_odds -> odds encode_a__odds -> a__odds encode_a__incr(x_1) -> a__incr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__head(x_1) -> a__head(encArg(x_1)) encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_pairs -> pairs encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_nil -> nil Types: a__nats :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark 0' :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark incr :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark nats :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__pairs :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark odds :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__odds :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__incr :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark s :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark mark :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__head :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__tail :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark pairs :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark head :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark tail :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark nil :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encArg :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__nats :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__pairs :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__odds :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__incr :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__head :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__tail :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_mark :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__nats :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_cons :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_0 :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_incr :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_nats :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__pairs :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_odds :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__odds :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__incr :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_s :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_mark :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__head :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__tail :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_pairs :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_head :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_tail :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_nil :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark hole_0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark1_3 :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark gen_0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3 :: Nat -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark Generator Equations: gen_0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(0) <=> 0' gen_0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(+(x, 1)) <=> cons(gen_0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(x), 0') The following defined symbols remain to be analysed: mark, a__odds, a__head, a__tail, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a__odds = a__incr a__odds = mark a__odds = a__head a__odds = a__tail a__odds < encArg a__incr = mark a__incr = a__head a__incr = a__tail a__incr < encArg mark = a__head mark = a__tail mark < encArg a__head = a__tail a__head < encArg a__tail < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: TRS: Rules: a__nats -> cons(0', incr(nats)) a__pairs -> cons(0', incr(odds)) a__odds -> a__incr(a__pairs) a__incr(cons(X, XS)) -> cons(s(mark(X)), incr(XS)) a__head(cons(X, XS)) -> mark(X) a__tail(cons(X, XS)) -> mark(XS) mark(nats) -> a__nats mark(pairs) -> a__pairs mark(odds) -> a__odds mark(incr(X)) -> a__incr(mark(X)) mark(head(X)) -> a__head(mark(X)) mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(0') -> 0' mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(nil) -> nil mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) a__nats -> nats a__pairs -> pairs a__odds -> odds a__incr(X) -> incr(X) a__head(X) -> head(X) a__tail(X) -> tail(X) encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0') -> 0' encArg(incr(x_1)) -> incr(encArg(x_1)) encArg(nats) -> nats encArg(odds) -> odds encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(pairs) -> pairs encArg(head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(cons_a__nats) -> a__nats encArg(cons_a__pairs) -> a__pairs encArg(cons_a__odds) -> a__odds encArg(cons_a__incr(x_1)) -> a__incr(encArg(x_1)) encArg(cons_a__head(x_1)) -> a__head(encArg(x_1)) encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__nats -> a__nats encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_incr(x_1) -> incr(encArg(x_1)) encode_nats -> nats encode_a__pairs -> a__pairs encode_odds -> odds encode_a__odds -> a__odds encode_a__incr(x_1) -> a__incr(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__head(x_1) -> a__head(encArg(x_1)) encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_pairs -> pairs encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_nil -> nil Types: a__nats :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark 0' :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark incr :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark nats :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__pairs :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark odds :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__odds :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__incr :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark s :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark mark :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__head :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark a__tail :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark pairs :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark head :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark tail :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark nil :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encArg :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__nats :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__pairs :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__odds :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__incr :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__head :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_a__tail :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark cons_mark :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__nats :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_cons :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_0 :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_incr :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_nats :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__pairs :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_odds :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__odds :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__incr :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_s :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_mark :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__head :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_a__tail :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_pairs :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_head :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_tail :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark encode_nil :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark hole_0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark1_3 :: 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark gen_0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3 :: Nat -> 0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark Lemmas: mark(gen_0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(n252277_3)) -> gen_0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(n252277_3), rt in Omega(1 + n252277_3) Generator Equations: gen_0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(0) <=> 0' gen_0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(+(x, 1)) <=> cons(gen_0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(x), 0') The following defined symbols remain to be analysed: a__odds, a__incr, a__head, a__tail, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a__odds = a__incr a__odds = mark a__odds = a__head a__odds = a__tail a__odds < encArg a__incr = mark a__incr = a__head a__incr = a__tail a__incr < encArg mark = a__head mark = a__tail mark < encArg a__head = a__tail a__head < encArg a__tail < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(n299502_3)) -> gen_0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(n299502_3), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(+(n299502_3, 1))) ->_R^Omega(0) cons(encArg(gen_0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(n299502_3)), encArg(0')) ->_IH cons(gen_0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(c299503_3), encArg(0')) ->_R^Omega(0) cons(gen_0':nats:incr:cons:odds:s:pairs:head:tail:nil:cons_a__nats:cons_a__pairs:cons_a__odds:cons_a__incr:cons_a__head:cons_a__tail:cons_mark2_3(n299502_3), 0') We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (18) BOUNDS(1, INF)