/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (full) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 49 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 12 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 432 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 119 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 205 ms] (20) typed CpxTrs (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 142 ms] (22) typed CpxTrs (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 197 ms] (24) typed CpxTrs (25) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 126 ms] (26) typed CpxTrs (27) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 151 ms] (28) typed CpxTrs (29) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 148 ms] (30) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (full) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a(x1) -> b(b(x1)) c(b(x1)) -> d(x1) e(b(x1)) -> c(c(x1)) d(b(x1)) -> b(f(x1)) f(x1) -> a(e(x1)) c(x1) -> x1 a(a(x1)) -> f(x1) S is empty. Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encArg(cons_d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a(x1) -> b(b(x1)) c(b(x1)) -> d(x1) e(b(x1)) -> c(c(x1)) d(b(x1)) -> b(f(x1)) f(x1) -> a(e(x1)) c(x1) -> x1 a(a(x1)) -> f(x1) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encArg(cons_d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a(x1) -> b(b(x1)) c(b(x1)) -> d(x1) e(b(x1)) -> c(c(x1)) d(b(x1)) -> b(f(x1)) f(x1) -> a(e(x1)) c(x1) -> x1 a(a(x1)) -> f(x1) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encArg(cons_d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a(x1) -> b(b(x1)) c(b(x1)) -> d(x1) e(b(x1)) -> c(c(x1)) d(b(x1)) -> b(f(x1)) f(x1) -> a(e(x1)) c(x1) -> x1 a(a(x1)) -> f(x1) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encArg(cons_d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: TRS: Rules: a(x1) -> b(b(x1)) c(b(x1)) -> d(x1) e(b(x1)) -> c(c(x1)) d(b(x1)) -> b(f(x1)) f(x1) -> a(e(x1)) c(x1) -> x1 a(a(x1)) -> f(x1) encArg(b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encArg(cons_d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) Types: a :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f b :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f c :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f d :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f e :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f f :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encArg :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_a :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_c :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_e :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_d :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_f :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_a :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_b :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_c :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_d :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_e :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_f :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f hole_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f1_0 :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0 :: Nat -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: c, d, e, f, a, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: c = d c = e c = f c = a c < encArg d = e d = f d = a d < encArg e = f e = a e < encArg f = a f < encArg a < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: TRS: Rules: a(x1) -> b(b(x1)) c(b(x1)) -> d(x1) e(b(x1)) -> c(c(x1)) d(b(x1)) -> b(f(x1)) f(x1) -> a(e(x1)) c(x1) -> x1 a(a(x1)) -> f(x1) encArg(b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encArg(cons_d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) Types: a :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f b :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f c :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f d :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f e :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f f :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encArg :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_a :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_c :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_e :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_d :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_f :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_a :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_b :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_c :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_d :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_e :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_f :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f hole_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f1_0 :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0 :: Nat -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f Generator Equations: gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(0) <=> hole_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f1_0 gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(x, 1)) <=> b(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: d, c, e, f, a, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: c = d c = e c = f c = a c < encArg d = e d = f d = a d < encArg e = f e = a e < encArg f = a f < encArg a < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: d(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, n4_0)))) -> *3_0, rt in Omega(n4_0) Induction Base: d(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, 0)))) Induction Step: d(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, +(n4_0, 1))))) ->_R^Omega(1) b(f(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(3, *(3, n4_0))))) ->_R^Omega(1) b(a(e(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(3, *(3, n4_0)))))) ->_R^Omega(1) b(a(c(c(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(2, *(3, n4_0))))))) ->_R^Omega(1) b(a(c(d(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, n4_0))))))) ->_IH b(a(c(*3_0))) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: TRS: Rules: a(x1) -> b(b(x1)) c(b(x1)) -> d(x1) e(b(x1)) -> c(c(x1)) d(b(x1)) -> b(f(x1)) f(x1) -> a(e(x1)) c(x1) -> x1 a(a(x1)) -> f(x1) encArg(b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encArg(cons_d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) Types: a :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f b :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f c :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f d :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f e :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f f :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encArg :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_a :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_c :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_e :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_d :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_f :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_a :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_b :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_c :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_d :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_e :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_f :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f hole_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f1_0 :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0 :: Nat -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f Generator Equations: gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(0) <=> hole_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f1_0 gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(x, 1)) <=> b(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: d, c, e, f, a, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: c = d c = e c = f c = a c < encArg d = e d = f d = a d < encArg e = f e = a e < encArg f = a f < encArg a < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: TRS: Rules: a(x1) -> b(b(x1)) c(b(x1)) -> d(x1) e(b(x1)) -> c(c(x1)) d(b(x1)) -> b(f(x1)) f(x1) -> a(e(x1)) c(x1) -> x1 a(a(x1)) -> f(x1) encArg(b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encArg(cons_d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) Types: a :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f b :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f c :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f d :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f e :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f f :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encArg :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_a :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_c :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_e :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_d :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_f :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_a :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_b :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_c :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_d :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_e :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_f :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f hole_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f1_0 :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0 :: Nat -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f Lemmas: d(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, n4_0)))) -> *3_0, rt in Omega(n4_0) Generator Equations: gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(0) <=> hole_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f1_0 gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(x, 1)) <=> b(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: f, c, e, a, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: c = d c = e c = f c = a c < encArg d = e d = f d = a d < encArg e = f e = a e < encArg f = a f < encArg a < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: f(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(*(3, n678_0))) -> *3_0, rt in Omega(n678_0) Induction Base: f(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(*(3, 0))) Induction Step: f(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(*(3, +(n678_0, 1)))) ->_R^Omega(1) a(e(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(*(3, +(n678_0, 1))))) ->_R^Omega(1) a(c(c(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(2, *(3, n678_0)))))) ->_R^Omega(1) a(c(d(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, n678_0)))))) ->_R^Omega(1) a(c(b(f(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(*(3, n678_0)))))) ->_IH a(c(b(*3_0))) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: TRS: Rules: a(x1) -> b(b(x1)) c(b(x1)) -> d(x1) e(b(x1)) -> c(c(x1)) d(b(x1)) -> b(f(x1)) f(x1) -> a(e(x1)) c(x1) -> x1 a(a(x1)) -> f(x1) encArg(b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encArg(cons_d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) Types: a :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f b :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f c :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f d :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f e :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f f :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encArg :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_a :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_c :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_e :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_d :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_f :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_a :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_b :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_c :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_d :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_e :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_f :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f hole_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f1_0 :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0 :: Nat -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f Lemmas: d(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, n4_0)))) -> *3_0, rt in Omega(n4_0) f(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(*(3, n678_0))) -> *3_0, rt in Omega(n678_0) Generator Equations: gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(0) <=> hole_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f1_0 gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(x, 1)) <=> b(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: a, c, d, e, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: c = d c = e c = f c = a c < encArg d = e d = f d = a d < encArg e = f e = a e < encArg f = a f < encArg a < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: e(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, n1468_0)))) -> *3_0, rt in Omega(n1468_0) Induction Base: e(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, 0)))) Induction Step: e(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, +(n1468_0, 1))))) ->_R^Omega(1) c(c(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(3, *(3, n1468_0))))) ->_R^Omega(1) c(d(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(2, *(3, n1468_0))))) ->_R^Omega(1) c(b(f(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, n1468_0)))))) ->_R^Omega(1) c(b(a(e(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, n1468_0))))))) ->_IH c(b(a(*3_0))) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (20) Obligation: TRS: Rules: a(x1) -> b(b(x1)) c(b(x1)) -> d(x1) e(b(x1)) -> c(c(x1)) d(b(x1)) -> b(f(x1)) f(x1) -> a(e(x1)) c(x1) -> x1 a(a(x1)) -> f(x1) encArg(b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encArg(cons_d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) Types: a :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f b :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f c :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f d :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f e :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f f :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encArg :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_a :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_c :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_e :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_d :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_f :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_a :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_b :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_c :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_d :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_e :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_f :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f hole_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f1_0 :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0 :: Nat -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f Lemmas: d(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, n4_0)))) -> *3_0, rt in Omega(n4_0) f(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(*(3, n678_0))) -> *3_0, rt in Omega(n678_0) e(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, n1468_0)))) -> *3_0, rt in Omega(n1468_0) Generator Equations: gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(0) <=> hole_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f1_0 gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(x, 1)) <=> b(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: c, d, f, a, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: c = d c = e c = f c = a c < encArg d = e d = f d = a d < encArg e = f e = a e < encArg f = a f < encArg a < encArg ---------------------------------------- (21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: c(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, n2380_0)))) -> *3_0, rt in Omega(n2380_0) Induction Base: c(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, 0)))) Induction Step: c(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, +(n2380_0, 1))))) ->_R^Omega(1) d(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(3, *(3, n2380_0)))) ->_R^Omega(1) b(f(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(2, *(3, n2380_0))))) ->_R^Omega(1) b(a(e(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(2, *(3, n2380_0)))))) ->_R^Omega(1) b(a(c(c(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, n2380_0))))))) ->_IH b(a(c(*3_0))) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (22) Obligation: TRS: Rules: a(x1) -> b(b(x1)) c(b(x1)) -> d(x1) e(b(x1)) -> c(c(x1)) d(b(x1)) -> b(f(x1)) f(x1) -> a(e(x1)) c(x1) -> x1 a(a(x1)) -> f(x1) encArg(b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encArg(cons_d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) Types: a :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f b :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f c :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f d :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f e :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f f :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encArg :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_a :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_c :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_e :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_d :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_f :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_a :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_b :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_c :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_d :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_e :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_f :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f hole_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f1_0 :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0 :: Nat -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f Lemmas: d(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, n4_0)))) -> *3_0, rt in Omega(n4_0) f(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(*(3, n678_0))) -> *3_0, rt in Omega(n678_0) e(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, n1468_0)))) -> *3_0, rt in Omega(n1468_0) c(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, n2380_0)))) -> *3_0, rt in Omega(n2380_0) Generator Equations: gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(0) <=> hole_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f1_0 gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(x, 1)) <=> b(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: d, e, f, a, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: c = d c = e c = f c = a c < encArg d = e d = f d = a d < encArg e = f e = a e < encArg f = a f < encArg a < encArg ---------------------------------------- (23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: d(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, n3132_0)))) -> *3_0, rt in Omega(n3132_0) Induction Base: d(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, 0)))) Induction Step: d(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, +(n3132_0, 1))))) ->_R^Omega(1) b(f(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(3, *(3, n3132_0))))) ->_R^Omega(1) b(a(e(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(3, *(3, n3132_0)))))) ->_R^Omega(1) b(a(c(c(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(2, *(3, n3132_0))))))) ->_R^Omega(1) b(a(c(d(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, n3132_0))))))) ->_IH b(a(c(*3_0))) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (24) Obligation: TRS: Rules: a(x1) -> b(b(x1)) c(b(x1)) -> d(x1) e(b(x1)) -> c(c(x1)) d(b(x1)) -> b(f(x1)) f(x1) -> a(e(x1)) c(x1) -> x1 a(a(x1)) -> f(x1) encArg(b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encArg(cons_d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) Types: a :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f b :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f c :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f d :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f e :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f f :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encArg :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_a :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_c :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_e :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_d :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_f :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_a :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_b :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_c :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_d :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_e :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_f :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f hole_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f1_0 :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0 :: Nat -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f Lemmas: d(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, n3132_0)))) -> *3_0, rt in Omega(n3132_0) f(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(*(3, n678_0))) -> *3_0, rt in Omega(n678_0) e(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, n1468_0)))) -> *3_0, rt in Omega(n1468_0) c(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, n2380_0)))) -> *3_0, rt in Omega(n2380_0) Generator Equations: gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(0) <=> hole_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f1_0 gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(x, 1)) <=> b(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: f, e, a, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: c = d c = e c = f c = a c < encArg d = e d = f d = a d < encArg e = f e = a e < encArg f = a f < encArg a < encArg ---------------------------------------- (25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: f(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(*(3, n4302_0))) -> *3_0, rt in Omega(n4302_0) Induction Base: f(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(*(3, 0))) Induction Step: f(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(*(3, +(n4302_0, 1)))) ->_R^Omega(1) a(e(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(*(3, +(n4302_0, 1))))) ->_R^Omega(1) a(c(c(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(2, *(3, n4302_0)))))) ->_R^Omega(1) a(c(d(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, n4302_0)))))) ->_R^Omega(1) a(c(b(f(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(*(3, n4302_0)))))) ->_IH a(c(b(*3_0))) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (26) Obligation: TRS: Rules: a(x1) -> b(b(x1)) c(b(x1)) -> d(x1) e(b(x1)) -> c(c(x1)) d(b(x1)) -> b(f(x1)) f(x1) -> a(e(x1)) c(x1) -> x1 a(a(x1)) -> f(x1) encArg(b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encArg(cons_d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) Types: a :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f b :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f c :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f d :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f e :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f f :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encArg :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_a :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_c :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_e :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_d :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_f :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_a :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_b :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_c :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_d :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_e :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_f :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f hole_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f1_0 :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0 :: Nat -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f Lemmas: d(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, n3132_0)))) -> *3_0, rt in Omega(n3132_0) f(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(*(3, n4302_0))) -> *3_0, rt in Omega(n4302_0) e(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, n1468_0)))) -> *3_0, rt in Omega(n1468_0) c(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, n2380_0)))) -> *3_0, rt in Omega(n2380_0) Generator Equations: gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(0) <=> hole_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f1_0 gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(x, 1)) <=> b(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: a, e, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: c = d c = e c = f c = a c < encArg d = e d = f d = a d < encArg e = f e = a e < encArg f = a f < encArg a < encArg ---------------------------------------- (27) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: e(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, n5473_0)))) -> *3_0, rt in Omega(n5473_0) Induction Base: e(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, 0)))) Induction Step: e(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, +(n5473_0, 1))))) ->_R^Omega(1) c(c(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(3, *(3, n5473_0))))) ->_R^Omega(1) c(d(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(2, *(3, n5473_0))))) ->_R^Omega(1) c(b(f(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, n5473_0)))))) ->_R^Omega(1) c(b(a(e(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, n5473_0))))))) ->_IH c(b(a(*3_0))) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (28) Obligation: TRS: Rules: a(x1) -> b(b(x1)) c(b(x1)) -> d(x1) e(b(x1)) -> c(c(x1)) d(b(x1)) -> b(f(x1)) f(x1) -> a(e(x1)) c(x1) -> x1 a(a(x1)) -> f(x1) encArg(b(x_1)) -> b(encArg(x_1)) encArg(cons_a(x_1)) -> a(encArg(x_1)) encArg(cons_c(x_1)) -> c(encArg(x_1)) encArg(cons_e(x_1)) -> e(encArg(x_1)) encArg(cons_d(x_1)) -> d(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encode_a(x_1) -> a(encArg(x_1)) encode_b(x_1) -> b(encArg(x_1)) encode_c(x_1) -> c(encArg(x_1)) encode_d(x_1) -> d(encArg(x_1)) encode_e(x_1) -> e(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) Types: a :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f b :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f c :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f d :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f e :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f f :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encArg :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_a :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_c :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_e :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_d :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f cons_f :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_a :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_b :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_c :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_d :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_e :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f encode_f :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f hole_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f1_0 :: b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0 :: Nat -> b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f Lemmas: d(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, n3132_0)))) -> *3_0, rt in Omega(n3132_0) f(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(*(3, n4302_0))) -> *3_0, rt in Omega(n4302_0) e(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, n5473_0)))) -> *3_0, rt in Omega(n5473_0) c(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, *(3, n2380_0)))) -> *3_0, rt in Omega(n2380_0) Generator Equations: gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(0) <=> hole_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f1_0 gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(x, 1)) <=> b(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: encArg ---------------------------------------- (29) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, n6633_0))) -> *3_0, rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, 0))) Induction Step: encArg(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, +(n6633_0, 1)))) ->_R^Omega(0) b(encArg(gen_b:cons_a:cons_c:cons_e:cons_d:cons_f2_0(+(1, n6633_0)))) ->_IH b(*3_0) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (30) BOUNDS(1, INF)