/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (full) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 245 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 277 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 12.5 s] (18) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (full) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: app(nil, k) -> k app(l, nil) -> l app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k)) sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil) sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(plus(x, y), l)) sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) -> sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k))))) plus(0, y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) sum(plus(cons(0, x), cons(y, l))) -> pred(sum(cons(s(x), cons(y, l)))) pred(cons(s(x), nil)) -> cons(x, nil) S is empty. Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_pred(x_1)) -> pred(encArg(x_1)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_pred(x_1) -> pred(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: app(nil, k) -> k app(l, nil) -> l app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k)) sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil) sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(plus(x, y), l)) sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) -> sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k))))) plus(0, y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) sum(plus(cons(0, x), cons(y, l))) -> pred(sum(cons(s(x), cons(y, l)))) pred(cons(s(x), nil)) -> cons(x, nil) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_pred(x_1)) -> pred(encArg(x_1)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_pred(x_1) -> pred(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: app(nil, k) -> k app(l, nil) -> l app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k)) sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil) sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(plus(x, y), l)) sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) -> sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k))))) plus(0, y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) sum(plus(cons(0, x), cons(y, l))) -> pred(sum(cons(s(x), cons(y, l)))) pred(cons(s(x), nil)) -> cons(x, nil) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_pred(x_1)) -> pred(encArg(x_1)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_pred(x_1) -> pred(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: app(nil, k) -> k app(l, nil) -> l app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k)) sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil) sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(plus(x, y), l)) sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) -> sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k))))) plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) sum(plus(cons(0', x), cons(y, l))) -> pred(sum(cons(s(x), cons(y, l)))) pred(cons(s(x), nil)) -> cons(x, nil) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_pred(x_1)) -> pred(encArg(x_1)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_pred(x_1) -> pred(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: TRS: Rules: app(nil, k) -> k app(l, nil) -> l app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k)) sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil) sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(plus(x, y), l)) sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) -> sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k))))) plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) sum(plus(cons(0', x), cons(y, l))) -> pred(sum(cons(s(x), cons(y, l)))) pred(cons(s(x), nil)) -> cons(x, nil) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_pred(x_1)) -> pred(encArg(x_1)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_pred(x_1) -> pred(encArg(x_1)) Types: app :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred nil :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred cons :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred sum :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred plus :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred 0' :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred s :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred pred :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encArg :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred cons_app :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred cons_sum :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred cons_plus :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred cons_pred :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encode_app :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encode_nil :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encode_cons :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encode_sum :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encode_plus :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encode_0 :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encode_s :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encode_pred :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred hole_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred1_3 :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred gen_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred2_3 :: Nat -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: app, sum, plus, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: app < sum app < encArg plus < sum sum < encArg plus < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: TRS: Rules: app(nil, k) -> k app(l, nil) -> l app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k)) sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil) sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(plus(x, y), l)) sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) -> sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k))))) plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) sum(plus(cons(0', x), cons(y, l))) -> pred(sum(cons(s(x), cons(y, l)))) pred(cons(s(x), nil)) -> cons(x, nil) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_pred(x_1)) -> pred(encArg(x_1)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_pred(x_1) -> pred(encArg(x_1)) Types: app :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred nil :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred cons :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred sum :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred plus :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred 0' :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred s :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred pred :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encArg :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred cons_app :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred cons_sum :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred cons_plus :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred cons_pred :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encode_app :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encode_nil :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encode_cons :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encode_sum :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encode_plus :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encode_0 :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encode_s :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encode_pred :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred hole_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred1_3 :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred gen_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred2_3 :: Nat -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred Generator Equations: gen_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred2_3(0) <=> nil gen_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred2_3(+(x, 1)) <=> cons(nil, gen_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: app, sum, plus, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: app < sum app < encArg plus < sum sum < encArg plus < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: app(gen_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred2_3(n4_3), gen_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred2_3(b)) -> gen_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred2_3(+(n4_3, b)), rt in Omega(1 + n4_3) Induction Base: app(gen_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred2_3(0), gen_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred2_3(b)) ->_R^Omega(1) gen_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred2_3(b) Induction Step: app(gen_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred2_3(+(n4_3, 1)), gen_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred2_3(b)) ->_R^Omega(1) cons(nil, app(gen_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred2_3(n4_3), gen_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred2_3(b))) ->_IH cons(nil, gen_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred2_3(+(b, c5_3))) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: TRS: Rules: app(nil, k) -> k app(l, nil) -> l app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k)) sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil) sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(plus(x, y), l)) sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) -> sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k))))) plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) sum(plus(cons(0', x), cons(y, l))) -> pred(sum(cons(s(x), cons(y, l)))) pred(cons(s(x), nil)) -> cons(x, nil) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_pred(x_1)) -> pred(encArg(x_1)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_pred(x_1) -> pred(encArg(x_1)) Types: app :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred nil :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred cons :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred sum :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred plus :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred 0' :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred s :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred pred :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encArg :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred cons_app :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred cons_sum :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred cons_plus :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred cons_pred :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encode_app :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encode_nil :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encode_cons :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encode_sum :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encode_plus :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encode_0 :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encode_s :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encode_pred :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred hole_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred1_3 :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred gen_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred2_3 :: Nat -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred Generator Equations: gen_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred2_3(0) <=> nil gen_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred2_3(+(x, 1)) <=> cons(nil, gen_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: app, sum, plus, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: app < sum app < encArg plus < sum sum < encArg plus < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: TRS: Rules: app(nil, k) -> k app(l, nil) -> l app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k)) sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil) sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(plus(x, y), l)) sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) -> sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k))))) plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) sum(plus(cons(0', x), cons(y, l))) -> pred(sum(cons(s(x), cons(y, l)))) pred(cons(s(x), nil)) -> cons(x, nil) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_pred(x_1)) -> pred(encArg(x_1)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_pred(x_1) -> pred(encArg(x_1)) Types: app :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred nil :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred cons :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred sum :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred plus :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred 0' :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred s :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred pred :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encArg :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred cons_app :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred cons_sum :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred cons_plus :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred cons_pred :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encode_app :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encode_nil :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encode_cons :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encode_sum :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encode_plus :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encode_0 :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encode_s :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred encode_pred :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred hole_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred1_3 :: nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred gen_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred2_3 :: Nat -> nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred Lemmas: app(gen_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred2_3(n4_3), gen_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred2_3(b)) -> gen_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred2_3(+(n4_3, b)), rt in Omega(1 + n4_3) Generator Equations: gen_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred2_3(0) <=> nil gen_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred2_3(+(x, 1)) <=> cons(nil, gen_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: plus, sum, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: plus < sum sum < encArg plus < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred2_3(n183379_3)) -> gen_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred2_3(n183379_3), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred2_3(0)) ->_R^Omega(0) nil Induction Step: encArg(gen_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred2_3(+(n183379_3, 1))) ->_R^Omega(0) cons(encArg(nil), encArg(gen_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred2_3(n183379_3))) ->_R^Omega(0) cons(nil, encArg(gen_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred2_3(n183379_3))) ->_IH cons(nil, gen_nil:cons:0':s:cons_app:cons_sum:cons_plus:cons_pred2_3(c183380_3)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (18) BOUNDS(1, INF)