/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (full) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 341 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 445 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 128 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 68 ms] (20) typed CpxTrs (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 82 ms] (22) typed CpxTrs (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 106 ms] (24) typed CpxTrs (25) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 4131 ms] (26) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (full) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(zeros) -> mark(cons(0, zeros)) active(U11(tt, L)) -> mark(U12(tt, L)) active(U12(tt, L)) -> mark(s(length(L))) active(length(nil)) -> mark(0) active(length(cons(N, L))) -> mark(U11(tt, L)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X1, X2)) -> U12(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(length(X)) -> length(active(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X1), X2) -> mark(U12(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) length(mark(X)) -> mark(length(X)) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0) -> ok(0) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X1, X2)) -> U12(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(length(X)) -> length(proper(X)) proper(nil) -> ok(nil) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U12(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) length(ok(X)) -> ok(length(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) S is empty. Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(zeros) -> zeros encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(tt) -> tt encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U12(x_1, x_2)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_zeros -> zeros encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1, x_2) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(zeros) -> mark(cons(0, zeros)) active(U11(tt, L)) -> mark(U12(tt, L)) active(U12(tt, L)) -> mark(s(length(L))) active(length(nil)) -> mark(0) active(length(cons(N, L))) -> mark(U11(tt, L)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X1, X2)) -> U12(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(length(X)) -> length(active(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X1), X2) -> mark(U12(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) length(mark(X)) -> mark(length(X)) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0) -> ok(0) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X1, X2)) -> U12(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(length(X)) -> length(proper(X)) proper(nil) -> ok(nil) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U12(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) length(ok(X)) -> ok(length(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(zeros) -> zeros encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(tt) -> tt encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U12(x_1, x_2)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_zeros -> zeros encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1, x_2) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(zeros) -> mark(cons(0, zeros)) active(U11(tt, L)) -> mark(U12(tt, L)) active(U12(tt, L)) -> mark(s(length(L))) active(length(nil)) -> mark(0) active(length(cons(N, L))) -> mark(U11(tt, L)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X1, X2)) -> U12(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(length(X)) -> length(active(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X1), X2) -> mark(U12(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) length(mark(X)) -> mark(length(X)) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0) -> ok(0) proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X1, X2)) -> U12(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(length(X)) -> length(proper(X)) proper(nil) -> ok(nil) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U12(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) length(ok(X)) -> ok(length(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(zeros) -> zeros encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(tt) -> tt encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U12(x_1, x_2)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_zeros -> zeros encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1, x_2) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(zeros) -> mark(cons(0', zeros)) active(U11(tt, L)) -> mark(U12(tt, L)) active(U12(tt, L)) -> mark(s(length(L))) active(length(nil)) -> mark(0') active(length(cons(N, L))) -> mark(U11(tt, L)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X1, X2)) -> U12(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(length(X)) -> length(active(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X1), X2) -> mark(U12(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) length(mark(X)) -> mark(length(X)) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X1, X2)) -> U12(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(length(X)) -> length(proper(X)) proper(nil) -> ok(nil) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U12(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) length(ok(X)) -> ok(length(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(zeros) -> zeros encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(tt) -> tt encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U12(x_1, x_2)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_zeros -> zeros encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1, x_2) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: TRS: Rules: active(zeros) -> mark(cons(0', zeros)) active(U11(tt, L)) -> mark(U12(tt, L)) active(U12(tt, L)) -> mark(s(length(L))) active(length(nil)) -> mark(0') active(length(cons(N, L))) -> mark(U11(tt, L)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X1, X2)) -> U12(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(length(X)) -> length(active(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X1), X2) -> mark(U12(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) length(mark(X)) -> mark(length(X)) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X1, X2)) -> U12(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(length(X)) -> length(proper(X)) proper(nil) -> ok(nil) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U12(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) length(ok(X)) -> ok(length(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(zeros) -> zeros encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(tt) -> tt encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U12(x_1, x_2)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_zeros -> zeros encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1, x_2) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top 0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encArg :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top1_3 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: active, cons, U12, s, length, U11, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cons < active U12 < active s < active length < active U11 < active active < top active < encArg cons < proper cons < encArg U12 < proper U12 < encArg s < proper s < encArg length < proper length < encArg U11 < proper U11 < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: TRS: Rules: active(zeros) -> mark(cons(0', zeros)) active(U11(tt, L)) -> mark(U12(tt, L)) active(U12(tt, L)) -> mark(s(length(L))) active(length(nil)) -> mark(0') active(length(cons(N, L))) -> mark(U11(tt, L)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X1, X2)) -> U12(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(length(X)) -> length(active(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X1), X2) -> mark(U12(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) length(mark(X)) -> mark(length(X)) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X1, X2)) -> U12(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(length(X)) -> length(proper(X)) proper(nil) -> ok(nil) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U12(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) length(ok(X)) -> ok(length(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(zeros) -> zeros encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(tt) -> tt encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U12(x_1, x_2)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_zeros -> zeros encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1, x_2) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top 0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encArg :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top1_3 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top Generator Equations: gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> zeros gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: cons, active, U12, s, length, U11, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cons < active U12 < active s < active length < active U11 < active active < top active < encArg cons < proper cons < encArg U12 < proper U12 < encArg s < proper s < encArg length < proper length < encArg U11 < proper U11 < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) Induction Base: cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(b)) Induction Step: cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n4_3, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(b)) ->_R^Omega(1) mark(cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(b))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: TRS: Rules: active(zeros) -> mark(cons(0', zeros)) active(U11(tt, L)) -> mark(U12(tt, L)) active(U12(tt, L)) -> mark(s(length(L))) active(length(nil)) -> mark(0') active(length(cons(N, L))) -> mark(U11(tt, L)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X1, X2)) -> U12(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(length(X)) -> length(active(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X1), X2) -> mark(U12(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) length(mark(X)) -> mark(length(X)) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X1, X2)) -> U12(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(length(X)) -> length(proper(X)) proper(nil) -> ok(nil) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U12(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) length(ok(X)) -> ok(length(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(zeros) -> zeros encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(tt) -> tt encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U12(x_1, x_2)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_zeros -> zeros encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1, x_2) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top 0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encArg :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top1_3 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top Generator Equations: gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> zeros gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: cons, active, U12, s, length, U11, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cons < active U12 < active s < active length < active U11 < active active < top active < encArg cons < proper cons < encArg U12 < proper U12 < encArg s < proper s < encArg length < proper length < encArg U11 < proper U11 < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: TRS: Rules: active(zeros) -> mark(cons(0', zeros)) active(U11(tt, L)) -> mark(U12(tt, L)) active(U12(tt, L)) -> mark(s(length(L))) active(length(nil)) -> mark(0') active(length(cons(N, L))) -> mark(U11(tt, L)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X1, X2)) -> U12(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(length(X)) -> length(active(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X1), X2) -> mark(U12(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) length(mark(X)) -> mark(length(X)) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X1, X2)) -> U12(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(length(X)) -> length(proper(X)) proper(nil) -> ok(nil) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U12(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) length(ok(X)) -> ok(length(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(zeros) -> zeros encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(tt) -> tt encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U12(x_1, x_2)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_zeros -> zeros encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1, x_2) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top 0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encArg :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top1_3 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) Generator Equations: gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> zeros gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: U12, active, s, length, U11, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: U12 < active s < active length < active U11 < active active < top active < encArg U12 < proper U12 < encArg s < proper s < encArg length < proper length < encArg U11 < proper U11 < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1265_3)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n1265_3) Induction Base: U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(b)) Induction Step: U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n1265_3, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(b)) ->_R^Omega(1) mark(U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1265_3)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(b))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: TRS: Rules: active(zeros) -> mark(cons(0', zeros)) active(U11(tt, L)) -> mark(U12(tt, L)) active(U12(tt, L)) -> mark(s(length(L))) active(length(nil)) -> mark(0') active(length(cons(N, L))) -> mark(U11(tt, L)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X1, X2)) -> U12(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(length(X)) -> length(active(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X1), X2) -> mark(U12(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) length(mark(X)) -> mark(length(X)) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X1, X2)) -> U12(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(length(X)) -> length(proper(X)) proper(nil) -> ok(nil) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U12(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) length(ok(X)) -> ok(length(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(zeros) -> zeros encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(tt) -> tt encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U12(x_1, x_2)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_zeros -> zeros encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1, x_2) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top 0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encArg :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top1_3 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1265_3)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n1265_3) Generator Equations: gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> zeros gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: s, active, length, U11, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: s < active length < active U11 < active active < top active < encArg s < proper s < encArg length < proper length < encArg U11 < proper U11 < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2832_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2832_3) Induction Base: s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0))) Induction Step: s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n2832_3, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2832_3)))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (20) Obligation: TRS: Rules: active(zeros) -> mark(cons(0', zeros)) active(U11(tt, L)) -> mark(U12(tt, L)) active(U12(tt, L)) -> mark(s(length(L))) active(length(nil)) -> mark(0') active(length(cons(N, L))) -> mark(U11(tt, L)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X1, X2)) -> U12(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(length(X)) -> length(active(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X1), X2) -> mark(U12(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) length(mark(X)) -> mark(length(X)) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X1, X2)) -> U12(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(length(X)) -> length(proper(X)) proper(nil) -> ok(nil) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U12(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) length(ok(X)) -> ok(length(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(zeros) -> zeros encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(tt) -> tt encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U12(x_1, x_2)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_zeros -> zeros encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1, x_2) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top 0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encArg :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top1_3 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1265_3)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n1265_3) s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2832_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2832_3) Generator Equations: gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> zeros gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: length, active, U11, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: length < active U11 < active active < top active < encArg length < proper length < encArg U11 < proper U11 < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3576_3))) -> *3_3, rt in Omega(n3576_3) Induction Base: length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0))) Induction Step: length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n3576_3, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3576_3)))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (22) Obligation: TRS: Rules: active(zeros) -> mark(cons(0', zeros)) active(U11(tt, L)) -> mark(U12(tt, L)) active(U12(tt, L)) -> mark(s(length(L))) active(length(nil)) -> mark(0') active(length(cons(N, L))) -> mark(U11(tt, L)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X1, X2)) -> U12(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(length(X)) -> length(active(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X1), X2) -> mark(U12(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) length(mark(X)) -> mark(length(X)) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X1, X2)) -> U12(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(length(X)) -> length(proper(X)) proper(nil) -> ok(nil) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U12(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) length(ok(X)) -> ok(length(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(zeros) -> zeros encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(tt) -> tt encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U12(x_1, x_2)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_zeros -> zeros encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1, x_2) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top 0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encArg :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top1_3 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1265_3)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n1265_3) s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2832_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2832_3) length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3576_3))) -> *3_3, rt in Omega(n3576_3) Generator Equations: gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> zeros gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: U11, active, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: U11 < active active < top active < encArg U11 < proper U11 < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4421_3)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4421_3) Induction Base: U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(b)) Induction Step: U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n4421_3, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(b)) ->_R^Omega(1) mark(U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4421_3)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(b))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (24) Obligation: TRS: Rules: active(zeros) -> mark(cons(0', zeros)) active(U11(tt, L)) -> mark(U12(tt, L)) active(U12(tt, L)) -> mark(s(length(L))) active(length(nil)) -> mark(0') active(length(cons(N, L))) -> mark(U11(tt, L)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(U11(X1, X2)) -> U11(active(X1), X2) active(U12(X1, X2)) -> U12(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(length(X)) -> length(active(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) U11(mark(X1), X2) -> mark(U11(X1, X2)) U12(mark(X1), X2) -> mark(U12(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) length(mark(X)) -> mark(length(X)) proper(zeros) -> ok(zeros) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(0') -> ok(0') proper(U11(X1, X2)) -> U11(proper(X1), proper(X2)) proper(tt) -> ok(tt) proper(U12(X1, X2)) -> U12(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(length(X)) -> length(proper(X)) proper(nil) -> ok(nil) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) U11(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U11(X1, X2)) U12(ok(X1), ok(X2)) -> ok(U12(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) length(ok(X)) -> ok(length(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(zeros) -> zeros encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(tt) -> tt encArg(nil) -> nil encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U11(x_1, x_2)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_U12(x_1, x_2)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_length(x_1)) -> length(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_zeros -> zeros encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_U11(x_1, x_2) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_tt -> tt encode_U12(x_1, x_2) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_length(x_1) -> length(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top 0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encArg :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top cons_top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top encode_top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top1_3 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1265_3)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n1265_3) s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2832_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2832_3) length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n3576_3))) -> *3_3, rt in Omega(n3576_3) U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4421_3)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4421_3) Generator Equations: gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> zeros gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: active, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: active < top active < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(n19651_3)) -> gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(n19651_3), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(0)) ->_R^Omega(0) zeros Induction Step: encArg(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(+(n19651_3, 1))) ->_R^Omega(0) mark(encArg(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(n19651_3))) ->_IH mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok:cons_active:cons_cons:cons_U11:cons_U12:cons_s:cons_length:cons_proper:cons_top2_3(c19652_3)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (26) BOUNDS(1, INF)