/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (full) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 179 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 273 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 96 ms] (18) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (full) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__zeros -> cons(0, zeros) a__tail(cons(X, XS)) -> mark(XS) mark(zeros) -> a__zeros mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(0) -> 0 a__zeros -> zeros a__tail(X) -> tail(X) S is empty. Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(zeros) -> zeros encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_a__zeros) -> a__zeros encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__zeros -> a__zeros encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_zeros -> zeros encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__zeros -> cons(0, zeros) a__tail(cons(X, XS)) -> mark(XS) mark(zeros) -> a__zeros mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(0) -> 0 a__zeros -> zeros a__tail(X) -> tail(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(zeros) -> zeros encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_a__zeros) -> a__zeros encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__zeros -> a__zeros encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_zeros -> zeros encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__zeros -> cons(0, zeros) a__tail(cons(X, XS)) -> mark(XS) mark(zeros) -> a__zeros mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(0) -> 0 a__zeros -> zeros a__tail(X) -> tail(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0) -> 0 encArg(zeros) -> zeros encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_a__zeros) -> a__zeros encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__zeros -> a__zeros encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_zeros -> zeros encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__zeros -> cons(0', zeros) a__tail(cons(X, XS)) -> mark(XS) mark(zeros) -> a__zeros mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(0') -> 0' a__zeros -> zeros a__tail(X) -> tail(X) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0') -> 0' encArg(zeros) -> zeros encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_a__zeros) -> a__zeros encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__zeros -> a__zeros encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_zeros -> zeros encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: TRS: Rules: a__zeros -> cons(0', zeros) a__tail(cons(X, XS)) -> mark(XS) mark(zeros) -> a__zeros mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(0') -> 0' a__zeros -> zeros a__tail(X) -> tail(X) encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0') -> 0' encArg(zeros) -> zeros encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_a__zeros) -> a__zeros encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__zeros -> a__zeros encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_zeros -> zeros encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) Types: a__zeros :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark cons :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark 0' :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark zeros :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark a__tail :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark mark :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark tail :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark encArg :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark cons_a__zeros :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark cons_a__tail :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark cons_mark :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark encode_a__zeros :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark encode_cons :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark encode_0 :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark encode_zeros :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark encode_a__tail :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark encode_mark :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark encode_tail :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark hole_0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark1_3 :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark gen_0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark2_3 :: Nat -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: a__tail, mark, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a__tail = mark a__tail < encArg mark < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: TRS: Rules: a__zeros -> cons(0', zeros) a__tail(cons(X, XS)) -> mark(XS) mark(zeros) -> a__zeros mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(0') -> 0' a__zeros -> zeros a__tail(X) -> tail(X) encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0') -> 0' encArg(zeros) -> zeros encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_a__zeros) -> a__zeros encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__zeros -> a__zeros encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_zeros -> zeros encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) Types: a__zeros :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark cons :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark 0' :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark zeros :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark a__tail :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark mark :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark tail :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark encArg :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark cons_a__zeros :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark cons_a__tail :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark cons_mark :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark encode_a__zeros :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark encode_cons :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark encode_0 :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark encode_zeros :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark encode_a__tail :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark encode_mark :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark encode_tail :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark hole_0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark1_3 :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark gen_0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark2_3 :: Nat -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark Generator Equations: gen_0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark2_3(0) <=> 0' gen_0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark2_3(+(x, 1)) <=> cons(gen_0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark2_3(x), 0') The following defined symbols remain to be analysed: mark, a__tail, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a__tail = mark a__tail < encArg mark < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: mark(gen_0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark2_3(n4_3)) -> gen_0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark2_3(n4_3), rt in Omega(1 + n4_3) Induction Base: mark(gen_0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark2_3(0)) ->_R^Omega(1) 0' Induction Step: mark(gen_0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark2_3(+(n4_3, 1))) ->_R^Omega(1) cons(mark(gen_0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark2_3(n4_3)), 0') ->_IH cons(gen_0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark2_3(c5_3), 0') We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: TRS: Rules: a__zeros -> cons(0', zeros) a__tail(cons(X, XS)) -> mark(XS) mark(zeros) -> a__zeros mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(0') -> 0' a__zeros -> zeros a__tail(X) -> tail(X) encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0') -> 0' encArg(zeros) -> zeros encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_a__zeros) -> a__zeros encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__zeros -> a__zeros encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_zeros -> zeros encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) Types: a__zeros :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark cons :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark 0' :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark zeros :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark a__tail :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark mark :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark tail :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark encArg :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark cons_a__zeros :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark cons_a__tail :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark cons_mark :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark encode_a__zeros :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark encode_cons :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark encode_0 :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark encode_zeros :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark encode_a__tail :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark encode_mark :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark encode_tail :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark hole_0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark1_3 :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark gen_0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark2_3 :: Nat -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark Generator Equations: gen_0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark2_3(0) <=> 0' gen_0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark2_3(+(x, 1)) <=> cons(gen_0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark2_3(x), 0') The following defined symbols remain to be analysed: mark, a__tail, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a__tail = mark a__tail < encArg mark < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: TRS: Rules: a__zeros -> cons(0', zeros) a__tail(cons(X, XS)) -> mark(XS) mark(zeros) -> a__zeros mark(tail(X)) -> a__tail(mark(X)) mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(0') -> 0' a__zeros -> zeros a__tail(X) -> tail(X) encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(0') -> 0' encArg(zeros) -> zeros encArg(tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_a__zeros) -> a__zeros encArg(cons_a__tail(x_1)) -> a__tail(encArg(x_1)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__zeros -> a__zeros encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_zeros -> zeros encode_a__tail(x_1) -> a__tail(encArg(x_1)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) Types: a__zeros :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark cons :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark 0' :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark zeros :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark a__tail :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark mark :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark tail :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark encArg :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark cons_a__zeros :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark cons_a__tail :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark cons_mark :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark encode_a__zeros :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark encode_cons :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark encode_0 :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark encode_zeros :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark encode_a__tail :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark encode_mark :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark encode_tail :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark hole_0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark1_3 :: 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark gen_0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark2_3 :: Nat -> 0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark Lemmas: mark(gen_0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark2_3(n4_3)) -> gen_0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark2_3(n4_3), rt in Omega(1 + n4_3) Generator Equations: gen_0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark2_3(0) <=> 0' gen_0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark2_3(+(x, 1)) <=> cons(gen_0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark2_3(x), 0') The following defined symbols remain to be analysed: a__tail, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a__tail = mark a__tail < encArg mark < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark2_3(n366_3)) -> gen_0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark2_3(n366_3), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark2_3(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark2_3(+(n366_3, 1))) ->_R^Omega(0) cons(encArg(gen_0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark2_3(n366_3)), encArg(0')) ->_IH cons(gen_0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark2_3(c367_3), encArg(0')) ->_R^Omega(0) cons(gen_0':zeros:cons:tail:cons_a__zeros:cons_a__tail:cons_mark2_3(n366_3), 0') We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (18) BOUNDS(1, INF)