/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (full) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 252 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 4 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 404 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 115 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 41 ms] (20) typed CpxTrs (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 57 ms] (22) typed CpxTrs (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 349 ms] (24) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (full) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(f(0)) -> mark(cons(0, f(s(0)))) active(f(s(0))) -> mark(f(p(s(0)))) active(p(s(X))) -> mark(X) active(f(X)) -> f(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(p(X)) -> p(active(X)) f(mark(X)) -> mark(f(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) p(mark(X)) -> mark(p(X)) proper(f(X)) -> f(proper(X)) proper(0) -> ok(0) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(p(X)) -> p(proper(X)) f(ok(X)) -> ok(f(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) p(ok(X)) -> ok(p(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) S is empty. Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(0) -> 0 encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(f(0)) -> mark(cons(0, f(s(0)))) active(f(s(0))) -> mark(f(p(s(0)))) active(p(s(X))) -> mark(X) active(f(X)) -> f(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(p(X)) -> p(active(X)) f(mark(X)) -> mark(f(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) p(mark(X)) -> mark(p(X)) proper(f(X)) -> f(proper(X)) proper(0) -> ok(0) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(p(X)) -> p(proper(X)) f(ok(X)) -> ok(f(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) p(ok(X)) -> ok(p(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(f(0)) -> mark(cons(0, f(s(0)))) active(f(s(0))) -> mark(f(p(s(0)))) active(p(s(X))) -> mark(X) active(f(X)) -> f(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(p(X)) -> p(active(X)) f(mark(X)) -> mark(f(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) p(mark(X)) -> mark(p(X)) proper(f(X)) -> f(proper(X)) proper(0) -> ok(0) proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(p(X)) -> p(proper(X)) f(ok(X)) -> ok(f(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) p(ok(X)) -> ok(p(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: active(f(0')) -> mark(cons(0', f(s(0')))) active(f(s(0'))) -> mark(f(p(s(0')))) active(p(s(X))) -> mark(X) active(f(X)) -> f(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(p(X)) -> p(active(X)) f(mark(X)) -> mark(f(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) p(mark(X)) -> mark(p(X)) proper(f(X)) -> f(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(p(X)) -> p(proper(X)) f(ok(X)) -> ok(f(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) p(ok(X)) -> ok(p(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0') -> 0' encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: TRS: Rules: active(f(0')) -> mark(cons(0', f(s(0')))) active(f(s(0'))) -> mark(f(p(s(0')))) active(p(s(X))) -> mark(X) active(f(X)) -> f(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(p(X)) -> p(active(X)) f(mark(X)) -> mark(f(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) p(mark(X)) -> mark(p(X)) proper(f(X)) -> f(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(p(X)) -> p(proper(X)) f(ok(X)) -> ok(f(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) p(ok(X)) -> ok(p(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(0') -> 0' encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top f :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top 0' :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top mark :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top p :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top ok :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encArg :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_f :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_p :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_f :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_0 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_mark :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_p :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_ok :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top hole_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top1_3 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: active, cons, f, s, p, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cons < active f < active s < active p < active active < top active < encArg cons < proper cons < encArg f < proper f < encArg s < proper s < encArg p < proper p < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: TRS: Rules: active(f(0')) -> mark(cons(0', f(s(0')))) active(f(s(0'))) -> mark(f(p(s(0')))) active(p(s(X))) -> mark(X) active(f(X)) -> f(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(p(X)) -> p(active(X)) f(mark(X)) -> mark(f(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) p(mark(X)) -> mark(p(X)) proper(f(X)) -> f(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(p(X)) -> p(proper(X)) f(ok(X)) -> ok(f(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) p(ok(X)) -> ok(p(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(0') -> 0' encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top f :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top 0' :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top mark :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top p :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top ok :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encArg :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_f :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_p :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_f :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_0 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_mark :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_p :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_ok :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top hole_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top1_3 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top Generator Equations: gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: cons, active, f, s, p, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cons < active f < active s < active p < active active < top active < encArg cons < proper cons < encArg f < proper f < encArg s < proper s < encArg p < proper p < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: cons(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) Induction Base: cons(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(b)) Induction Step: cons(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n4_3, 1))), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(b)) ->_R^Omega(1) mark(cons(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(b))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: TRS: Rules: active(f(0')) -> mark(cons(0', f(s(0')))) active(f(s(0'))) -> mark(f(p(s(0')))) active(p(s(X))) -> mark(X) active(f(X)) -> f(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(p(X)) -> p(active(X)) f(mark(X)) -> mark(f(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) p(mark(X)) -> mark(p(X)) proper(f(X)) -> f(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(p(X)) -> p(proper(X)) f(ok(X)) -> ok(f(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) p(ok(X)) -> ok(p(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(0') -> 0' encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top f :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top 0' :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top mark :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top p :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top ok :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encArg :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_f :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_p :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_f :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_0 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_mark :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_p :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_ok :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top hole_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top1_3 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top Generator Equations: gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: cons, active, f, s, p, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: cons < active f < active s < active p < active active < top active < encArg cons < proper cons < encArg f < proper f < encArg s < proper s < encArg p < proper p < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: TRS: Rules: active(f(0')) -> mark(cons(0', f(s(0')))) active(f(s(0'))) -> mark(f(p(s(0')))) active(p(s(X))) -> mark(X) active(f(X)) -> f(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(p(X)) -> p(active(X)) f(mark(X)) -> mark(f(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) p(mark(X)) -> mark(p(X)) proper(f(X)) -> f(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(p(X)) -> p(proper(X)) f(ok(X)) -> ok(f(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) p(ok(X)) -> ok(p(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(0') -> 0' encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top f :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top 0' :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top mark :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top p :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top ok :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encArg :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_f :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_p :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_f :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_0 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_mark :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_p :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_ok :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top hole_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top1_3 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) Generator Equations: gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: f, active, s, p, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: f < active s < active p < active active < top active < encArg f < proper f < encArg s < proper s < encArg p < proper p < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: f(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1027_3))) -> *3_3, rt in Omega(n1027_3) Induction Base: f(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0))) Induction Step: f(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n1027_3, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(f(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1027_3)))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: TRS: Rules: active(f(0')) -> mark(cons(0', f(s(0')))) active(f(s(0'))) -> mark(f(p(s(0')))) active(p(s(X))) -> mark(X) active(f(X)) -> f(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(p(X)) -> p(active(X)) f(mark(X)) -> mark(f(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) p(mark(X)) -> mark(p(X)) proper(f(X)) -> f(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(p(X)) -> p(proper(X)) f(ok(X)) -> ok(f(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) p(ok(X)) -> ok(p(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(0') -> 0' encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top f :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top 0' :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top mark :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top p :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top ok :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encArg :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_f :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_p :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_f :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_0 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_mark :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_p :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_ok :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top hole_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top1_3 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) f(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1027_3))) -> *3_3, rt in Omega(n1027_3) Generator Equations: gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: s, active, p, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: s < active p < active active < top active < encArg s < proper s < encArg p < proper p < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: s(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1570_3))) -> *3_3, rt in Omega(n1570_3) Induction Base: s(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0))) Induction Step: s(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n1570_3, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(s(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1570_3)))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (20) Obligation: TRS: Rules: active(f(0')) -> mark(cons(0', f(s(0')))) active(f(s(0'))) -> mark(f(p(s(0')))) active(p(s(X))) -> mark(X) active(f(X)) -> f(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(p(X)) -> p(active(X)) f(mark(X)) -> mark(f(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) p(mark(X)) -> mark(p(X)) proper(f(X)) -> f(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(p(X)) -> p(proper(X)) f(ok(X)) -> ok(f(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) p(ok(X)) -> ok(p(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(0') -> 0' encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top f :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top 0' :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top mark :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top p :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top ok :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encArg :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_f :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_p :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_f :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_0 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_mark :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_p :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_ok :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top hole_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top1_3 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) f(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1027_3))) -> *3_3, rt in Omega(n1027_3) s(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1570_3))) -> *3_3, rt in Omega(n1570_3) Generator Equations: gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: p, active, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: p < active active < top active < encArg p < proper p < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: p(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2214_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2214_3) Induction Base: p(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(+(1, 0))) Induction Step: p(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(+(1, +(n2214_3, 1)))) ->_R^Omega(1) mark(p(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2214_3)))) ->_IH mark(*3_3) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (22) Obligation: TRS: Rules: active(f(0')) -> mark(cons(0', f(s(0')))) active(f(s(0'))) -> mark(f(p(s(0')))) active(p(s(X))) -> mark(X) active(f(X)) -> f(active(X)) active(cons(X1, X2)) -> cons(active(X1), X2) active(s(X)) -> s(active(X)) active(p(X)) -> p(active(X)) f(mark(X)) -> mark(f(X)) cons(mark(X1), X2) -> mark(cons(X1, X2)) s(mark(X)) -> mark(s(X)) p(mark(X)) -> mark(p(X)) proper(f(X)) -> f(proper(X)) proper(0') -> ok(0') proper(cons(X1, X2)) -> cons(proper(X1), proper(X2)) proper(s(X)) -> s(proper(X)) proper(p(X)) -> p(proper(X)) f(ok(X)) -> ok(f(X)) cons(ok(X1), ok(X2)) -> ok(cons(X1, X2)) s(ok(X)) -> ok(s(X)) p(ok(X)) -> ok(p(X)) top(mark(X)) -> top(proper(X)) top(ok(X)) -> top(active(X)) encArg(0') -> 0' encArg(mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encArg(ok(x_1)) -> ok(encArg(x_1)) encArg(cons_active(x_1)) -> active(encArg(x_1)) encArg(cons_f(x_1)) -> f(encArg(x_1)) encArg(cons_cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1)) encArg(cons_proper(x_1)) -> proper(encArg(x_1)) encArg(cons_top(x_1)) -> top(encArg(x_1)) encode_active(x_1) -> active(encArg(x_1)) encode_f(x_1) -> f(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1)) encode_proper(x_1) -> proper(encArg(x_1)) encode_ok(x_1) -> ok(encArg(x_1)) encode_top(x_1) -> top(encArg(x_1)) Types: active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top f :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top 0' :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top mark :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top p :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top ok :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encArg :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_f :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_p :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top cons_top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_active :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_f :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_0 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_mark :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_cons :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_s :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_p :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_proper :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_ok :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top encode_top :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top hole_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top1_3 :: 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3 :: Nat -> 0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top Lemmas: cons(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n4_3)), gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(b)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) f(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1027_3))) -> *3_3, rt in Omega(n1027_3) s(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n1570_3))) -> *3_3, rt in Omega(n1570_3) p(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(+(1, n2214_3))) -> *3_3, rt in Omega(n2214_3) Generator Equations: gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(0) <=> 0' gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(+(x, 1)) <=> mark(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: active, proper, top, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: active < top active < encArg proper < top proper < encArg top < encArg ---------------------------------------- (23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(n3525_3)) -> gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(n3525_3), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(+(n3525_3, 1))) ->_R^Omega(0) mark(encArg(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(n3525_3))) ->_IH mark(gen_0':mark:ok:cons_active:cons_f:cons_cons:cons_s:cons_p:cons_proper:cons_top2_3(c3526_3)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (24) BOUNDS(1, INF)