/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^2), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (full) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^2, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 320 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 615 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 125 ms] (18) BEST (19) proven lower bound (20) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (21) BOUNDS(n^2, INF) (22) typed CpxTrs (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 138 ms] (24) typed CpxTrs (25) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 141 ms] (26) typed CpxTrs (27) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 38 ms] (28) typed CpxTrs (29) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 166 ms] (30) typed CpxTrs (31) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 121 ms] (32) typed CpxTrs (33) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 249 ms] (34) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (full) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^2, INF). The TRS R consists of the following rules: a__U11(tt, M, N) -> a__U12(tt, M, N) a__U12(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__plus(N, 0) -> mark(N) a__plus(N, s(M)) -> a__U11(tt, M, N) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0) -> 0 a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) S is empty. Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U11(x_1, x_2, x_3)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U12(x_1, x_2, x_3)) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U11(x_1, x_2, x_3) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_a__U12(x_1, x_2, x_3) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF). The TRS R consists of the following rules: a__U11(tt, M, N) -> a__U12(tt, M, N) a__U12(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__plus(N, 0) -> mark(N) a__plus(N, s(M)) -> a__U11(tt, M, N) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0) -> 0 a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U11(x_1, x_2, x_3)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U12(x_1, x_2, x_3)) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U11(x_1, x_2, x_3) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_a__U12(x_1, x_2, x_3) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF). The TRS R consists of the following rules: a__U11(tt, M, N) -> a__U12(tt, M, N) a__U12(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__plus(N, 0) -> mark(N) a__plus(N, s(M)) -> a__U11(tt, M, N) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0) -> 0 a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U11(x_1, x_2, x_3)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U12(x_1, x_2, x_3)) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U11(x_1, x_2, x_3) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_a__U12(x_1, x_2, x_3) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (full) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF). The TRS R consists of the following rules: a__U11(tt, M, N) -> a__U12(tt, M, N) a__U12(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__plus(N, 0') -> mark(N) a__plus(N, s(M)) -> a__U11(tt, M, N) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U11(x_1, x_2, x_3)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U12(x_1, x_2, x_3)) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U11(x_1, x_2, x_3) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_a__U12(x_1, x_2, x_3) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: FULL ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: TRS: Rules: a__U11(tt, M, N) -> a__U12(tt, M, N) a__U12(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__plus(N, 0') -> mark(N) a__plus(N, s(M)) -> a__U11(tt, M, N) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U11(x_1, x_2, x_3)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U12(x_1, x_2, x_3)) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U11(x_1, x_2, x_3) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_a__U12(x_1, x_2, x_3) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark tt :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark s :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark mark :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark 0' :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encArg :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_mark :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_tt :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_s :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_mark :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_0 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark hole_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark1_4 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4 :: Nat -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: a__U11, a__U12, a__plus, mark, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a__U11 = a__U12 a__U11 = a__plus a__U11 = mark a__U11 < encArg a__U12 = a__plus a__U12 = mark a__U12 < encArg a__plus = mark a__plus < encArg mark < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: TRS: Rules: a__U11(tt, M, N) -> a__U12(tt, M, N) a__U12(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__plus(N, 0') -> mark(N) a__plus(N, s(M)) -> a__U11(tt, M, N) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U11(x_1, x_2, x_3)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U12(x_1, x_2, x_3)) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U11(x_1, x_2, x_3) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_a__U12(x_1, x_2, x_3) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark tt :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark s :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark mark :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark 0' :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encArg :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_mark :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_tt :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_s :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_mark :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_0 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark hole_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark1_4 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4 :: Nat -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark Generator Equations: gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0) <=> tt gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: a__U12, a__U11, a__plus, mark, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a__U11 = a__U12 a__U11 = a__plus a__U11 = mark a__U11 < encArg a__U12 = a__plus a__U12 = mark a__U12 < encArg a__plus = mark a__plus < encArg mark < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n7802_4)) -> gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n7802_4), rt in Omega(1 + n7802_4) Induction Base: mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0)) ->_R^Omega(1) tt Induction Step: mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(n7802_4, 1))) ->_R^Omega(1) s(mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n7802_4))) ->_IH s(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c7803_4)) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: TRS: Rules: a__U11(tt, M, N) -> a__U12(tt, M, N) a__U12(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__plus(N, 0') -> mark(N) a__plus(N, s(M)) -> a__U11(tt, M, N) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U11(x_1, x_2, x_3)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U12(x_1, x_2, x_3)) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U11(x_1, x_2, x_3) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_a__U12(x_1, x_2, x_3) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark tt :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark s :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark mark :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark 0' :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encArg :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_mark :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_tt :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_s :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_mark :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_0 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark hole_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark1_4 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4 :: Nat -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark Generator Equations: gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0) <=> tt gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: mark, a__U11, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a__U11 = a__U12 a__U11 = a__plus a__U11 = mark a__U11 < encArg a__U12 = a__plus a__U12 = mark a__U12 < encArg a__plus = mark a__plus < encArg mark < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: TRS: Rules: a__U11(tt, M, N) -> a__U12(tt, M, N) a__U12(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__plus(N, 0') -> mark(N) a__plus(N, s(M)) -> a__U11(tt, M, N) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U11(x_1, x_2, x_3)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U12(x_1, x_2, x_3)) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U11(x_1, x_2, x_3) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_a__U12(x_1, x_2, x_3) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark tt :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark s :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark mark :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark 0' :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encArg :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_mark :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_tt :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_s :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_mark :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_0 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark hole_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark1_4 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4 :: Nat -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark Lemmas: mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n7802_4)) -> gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n7802_4), rt in Omega(1 + n7802_4) Generator Equations: gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0) <=> tt gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: a__U11, a__U12, a__plus, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a__U11 = a__U12 a__U11 = a__plus a__U11 = mark a__U11 < encArg a__U12 = a__plus a__U12 = mark a__U12 < encArg a__plus = mark a__plus < encArg mark < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: a__U11(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n8578_4), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(c*n8578_4 + n8578_4 + n8578_4^2) Induction Base: a__U11(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c)) Induction Step: a__U11(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(n8578_4, 1)), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c)) ->_R^Omega(1) a__U12(tt, gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(n8578_4, 1)), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c)) ->_R^Omega(1) s(a__plus(mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c)), mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(1, n8578_4))))) ->_L^Omega(1 + c) s(a__plus(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c), mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(1, n8578_4))))) ->_L^Omega(2 + n8578_4) s(a__plus(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(1, n8578_4)))) ->_R^Omega(1) s(a__U11(tt, gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n8578_4), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c))) ->_IH s(*3_4) We have rt in Omega(n^2) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^2). ---------------------------------------- (18) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (19) Obligation: Proved the lower bound n^2 for the following obligation: TRS: Rules: a__U11(tt, M, N) -> a__U12(tt, M, N) a__U12(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__plus(N, 0') -> mark(N) a__plus(N, s(M)) -> a__U11(tt, M, N) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U11(x_1, x_2, x_3)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U12(x_1, x_2, x_3)) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U11(x_1, x_2, x_3) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_a__U12(x_1, x_2, x_3) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark tt :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark s :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark mark :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark 0' :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encArg :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_mark :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_tt :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_s :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_mark :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_0 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark hole_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark1_4 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4 :: Nat -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark Lemmas: mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n7802_4)) -> gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n7802_4), rt in Omega(1 + n7802_4) Generator Equations: gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0) <=> tt gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: a__U11, a__U12, a__plus, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a__U11 = a__U12 a__U11 = a__plus a__U11 = mark a__U11 < encArg a__U12 = a__plus a__U12 = mark a__U12 < encArg a__plus = mark a__plus < encArg mark < encArg ---------------------------------------- (20) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (21) BOUNDS(n^2, INF) ---------------------------------------- (22) Obligation: TRS: Rules: a__U11(tt, M, N) -> a__U12(tt, M, N) a__U12(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__plus(N, 0') -> mark(N) a__plus(N, s(M)) -> a__U11(tt, M, N) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U11(x_1, x_2, x_3)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U12(x_1, x_2, x_3)) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U11(x_1, x_2, x_3) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_a__U12(x_1, x_2, x_3) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark tt :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark s :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark mark :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark 0' :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encArg :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_mark :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_tt :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_s :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_mark :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_0 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark hole_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark1_4 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4 :: Nat -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark Lemmas: mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n7802_4)) -> gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n7802_4), rt in Omega(1 + n7802_4) a__U11(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n8578_4), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(c*n8578_4 + n8578_4 + n8578_4^2) Generator Equations: gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0) <=> tt gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: a__U12, a__plus, mark, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a__U11 = a__U12 a__U11 = a__plus a__U11 = mark a__U11 < encArg a__U12 = a__plus a__U12 = mark a__U12 < encArg a__plus = mark a__plus < encArg mark < encArg ---------------------------------------- (23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: a__U12(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n12902_4), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(c*n12902_4 + n12902_4 + n12902_4^2) Induction Base: a__U12(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c)) Induction Step: a__U12(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(n12902_4, 1)), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c)) ->_R^Omega(1) s(a__plus(mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c)), mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(n12902_4, 1))))) ->_L^Omega(1 + c) s(a__plus(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c), mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(1, n12902_4))))) ->_L^Omega(2 + n12902_4) s(a__plus(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(1, n12902_4)))) ->_R^Omega(1) s(a__U11(tt, gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n12902_4), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c))) ->_R^Omega(1) s(a__U12(tt, gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n12902_4), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c))) ->_IH s(*3_4) We have rt in Omega(n^2) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^2). ---------------------------------------- (24) Obligation: TRS: Rules: a__U11(tt, M, N) -> a__U12(tt, M, N) a__U12(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__plus(N, 0') -> mark(N) a__plus(N, s(M)) -> a__U11(tt, M, N) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U11(x_1, x_2, x_3)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U12(x_1, x_2, x_3)) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U11(x_1, x_2, x_3) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_a__U12(x_1, x_2, x_3) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark tt :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark s :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark mark :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark 0' :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encArg :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_mark :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_tt :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_s :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_mark :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_0 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark hole_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark1_4 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4 :: Nat -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark Lemmas: mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n7802_4)) -> gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n7802_4), rt in Omega(1 + n7802_4) a__U11(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n8578_4), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(c*n8578_4 + n8578_4 + n8578_4^2) a__U12(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n12902_4), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(c*n12902_4 + n12902_4 + n12902_4^2) Generator Equations: gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0) <=> tt gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: a__plus, a__U11, mark, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a__U11 = a__U12 a__U11 = a__plus a__U11 = mark a__U11 < encArg a__U12 = a__plus a__U12 = mark a__U12 < encArg a__plus = mark a__plus < encArg mark < encArg ---------------------------------------- (25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: a__plus(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(a), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(1, n17328_4))) -> *3_4, rt in Omega(a*n17328_4 + n17328_4 + n17328_4^2) Induction Base: a__plus(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(a), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(1, 0))) Induction Step: a__plus(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(a), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(1, +(n17328_4, 1)))) ->_R^Omega(1) a__U11(tt, gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(1, n17328_4)), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(a)) ->_R^Omega(1) a__U12(tt, gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(1, n17328_4)), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(a)) ->_R^Omega(1) s(a__plus(mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(a)), mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(1, n17328_4))))) ->_L^Omega(1 + a) s(a__plus(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(a), mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(1, n17328_4))))) ->_L^Omega(2 + n17328_4) s(a__plus(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(a), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(1, n17328_4)))) ->_IH s(*3_4) We have rt in Omega(n^2) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^2). ---------------------------------------- (26) Obligation: TRS: Rules: a__U11(tt, M, N) -> a__U12(tt, M, N) a__U12(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__plus(N, 0') -> mark(N) a__plus(N, s(M)) -> a__U11(tt, M, N) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U11(x_1, x_2, x_3)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U12(x_1, x_2, x_3)) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U11(x_1, x_2, x_3) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_a__U12(x_1, x_2, x_3) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark tt :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark s :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark mark :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark 0' :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encArg :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_mark :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_tt :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_s :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_mark :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_0 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark hole_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark1_4 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4 :: Nat -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark Lemmas: mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n7802_4)) -> gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n7802_4), rt in Omega(1 + n7802_4) a__U11(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n8578_4), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(c*n8578_4 + n8578_4 + n8578_4^2) a__U12(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n12902_4), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(c*n12902_4 + n12902_4 + n12902_4^2) a__plus(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(a), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(1, n17328_4))) -> *3_4, rt in Omega(a*n17328_4 + n17328_4 + n17328_4^2) Generator Equations: gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0) <=> tt gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: mark, a__U11, a__U12, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a__U11 = a__U12 a__U11 = a__plus a__U11 = mark a__U11 < encArg a__U12 = a__plus a__U12 = mark a__U12 < encArg a__plus = mark a__plus < encArg mark < encArg ---------------------------------------- (27) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n22691_4)) -> gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n22691_4), rt in Omega(1 + n22691_4) Induction Base: mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0)) ->_R^Omega(1) tt Induction Step: mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(n22691_4, 1))) ->_R^Omega(1) s(mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n22691_4))) ->_IH s(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c22692_4)) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (28) Obligation: TRS: Rules: a__U11(tt, M, N) -> a__U12(tt, M, N) a__U12(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__plus(N, 0') -> mark(N) a__plus(N, s(M)) -> a__U11(tt, M, N) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U11(x_1, x_2, x_3)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U12(x_1, x_2, x_3)) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U11(x_1, x_2, x_3) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_a__U12(x_1, x_2, x_3) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark tt :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark s :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark mark :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark 0' :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encArg :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_mark :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_tt :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_s :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_mark :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_0 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark hole_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark1_4 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4 :: Nat -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark Lemmas: mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n22691_4)) -> gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n22691_4), rt in Omega(1 + n22691_4) a__U11(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n8578_4), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(c*n8578_4 + n8578_4 + n8578_4^2) a__U12(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n12902_4), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(c*n12902_4 + n12902_4 + n12902_4^2) a__plus(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(a), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(1, n17328_4))) -> *3_4, rt in Omega(a*n17328_4 + n17328_4 + n17328_4^2) Generator Equations: gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0) <=> tt gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: a__U11, a__U12, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a__U11 = a__U12 a__U11 = a__plus a__U11 = mark a__U11 < encArg a__U12 = a__plus a__U12 = mark a__U12 < encArg a__plus = mark a__plus < encArg mark < encArg ---------------------------------------- (29) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: a__U11(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n23776_4), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(c*n23776_4 + n23776_4 + n23776_4^2) Induction Base: a__U11(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c)) Induction Step: a__U11(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(n23776_4, 1)), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c)) ->_R^Omega(1) a__U12(tt, gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(n23776_4, 1)), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c)) ->_R^Omega(1) s(a__plus(mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c)), mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(1, n23776_4))))) ->_L^Omega(1 + c) s(a__plus(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c), mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(1, n23776_4))))) ->_L^Omega(2 + n23776_4) s(a__plus(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(1, n23776_4)))) ->_R^Omega(1) s(a__U11(tt, gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n23776_4), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c))) ->_IH s(*3_4) We have rt in Omega(n^2) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^2). ---------------------------------------- (30) Obligation: TRS: Rules: a__U11(tt, M, N) -> a__U12(tt, M, N) a__U12(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__plus(N, 0') -> mark(N) a__plus(N, s(M)) -> a__U11(tt, M, N) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U11(x_1, x_2, x_3)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U12(x_1, x_2, x_3)) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U11(x_1, x_2, x_3) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_a__U12(x_1, x_2, x_3) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark tt :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark s :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark mark :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark 0' :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encArg :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_mark :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_tt :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_s :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_mark :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_0 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark hole_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark1_4 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4 :: Nat -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark Lemmas: mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n22691_4)) -> gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n22691_4), rt in Omega(1 + n22691_4) a__U11(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n23776_4), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(c*n23776_4 + n23776_4 + n23776_4^2) a__U12(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n12902_4), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(c*n12902_4 + n12902_4 + n12902_4^2) a__plus(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(a), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(1, n17328_4))) -> *3_4, rt in Omega(a*n17328_4 + n17328_4 + n17328_4^2) Generator Equations: gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0) <=> tt gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: a__U12, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: a__U11 = a__U12 a__U11 = a__plus a__U11 = mark a__U11 < encArg a__U12 = a__plus a__U12 = mark a__U12 < encArg a__plus = mark a__plus < encArg mark < encArg ---------------------------------------- (31) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: a__U12(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n29315_4), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(c*n29315_4 + n29315_4 + n29315_4^2) Induction Base: a__U12(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c)) Induction Step: a__U12(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(n29315_4, 1)), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c)) ->_R^Omega(1) s(a__plus(mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c)), mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(n29315_4, 1))))) ->_L^Omega(1 + c) s(a__plus(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c), mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(1, n29315_4))))) ->_L^Omega(2 + n29315_4) s(a__plus(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(1, n29315_4)))) ->_R^Omega(1) s(a__U11(tt, gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n29315_4), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c))) ->_R^Omega(1) s(a__U12(tt, gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n29315_4), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c))) ->_IH s(*3_4) We have rt in Omega(n^2) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^2). ---------------------------------------- (32) Obligation: TRS: Rules: a__U11(tt, M, N) -> a__U12(tt, M, N) a__U12(tt, M, N) -> s(a__plus(mark(N), mark(M))) a__plus(N, 0') -> mark(N) a__plus(N, s(M)) -> a__U11(tt, M, N) mark(U11(X1, X2, X3)) -> a__U11(mark(X1), X2, X3) mark(U12(X1, X2, X3)) -> a__U12(mark(X1), X2, X3) mark(plus(X1, X2)) -> a__plus(mark(X1), mark(X2)) mark(tt) -> tt mark(s(X)) -> s(mark(X)) mark(0') -> 0' a__U11(X1, X2, X3) -> U11(X1, X2, X3) a__U12(X1, X2, X3) -> U12(X1, X2, X3) a__plus(X1, X2) -> plus(X1, X2) encArg(tt) -> tt encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(U11(x_1, x_2, x_3)) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(U12(x_1, x_2, x_3)) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_a__U11(x_1, x_2, x_3)) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__U12(x_1, x_2, x_3)) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_a__plus(x_1, x_2)) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_mark(x_1)) -> mark(encArg(x_1)) encode_a__U11(x_1, x_2, x_3) -> a__U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_tt -> tt encode_a__U12(x_1, x_2, x_3) -> a__U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_a__plus(x_1, x_2) -> a__plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_mark(x_1) -> mark(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_U11(x_1, x_2, x_3) -> U11(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_U12(x_1, x_2, x_3) -> U12(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark tt :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark s :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark mark :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark 0' :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encArg :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark cons_mark :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_a__U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_tt :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_a__U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_s :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_a__plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_mark :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_0 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_U11 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_U12 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark encode_plus :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark hole_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark1_4 :: tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4 :: Nat -> tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark Lemmas: mark(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n22691_4)) -> gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n22691_4), rt in Omega(1 + n22691_4) a__U11(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n23776_4), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(c*n23776_4 + n23776_4 + n23776_4^2) a__U12(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n29315_4), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c)) -> *3_4, rt in Omega(c*n29315_4 + n29315_4 + n29315_4^2) a__plus(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(a), gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(1, n17328_4))) -> *3_4, rt in Omega(a*n17328_4 + n17328_4 + n17328_4^2) Generator Equations: gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0) <=> tt gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: encArg ---------------------------------------- (33) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n34533_4)) -> gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n34533_4), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(0)) ->_R^Omega(0) tt Induction Step: encArg(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(+(n34533_4, 1))) ->_R^Omega(0) s(encArg(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(n34533_4))) ->_IH s(gen_tt:s:0':U11:U12:plus:cons_a__U11:cons_a__U12:cons_a__plus:cons_mark2_4(c34534_4)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (34) BOUNDS(1, INF)