/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files


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WORST_CASE(Omega(n^1), O(n^2))
proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, n^2).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 252 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) CpxTrsToCdtProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms]
(6) CdtProblem
    (7) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms]
    (8) CdtProblem
    (9) CdtGraphSplitRhsProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
    (10) CdtProblem
    (11) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms]
    (12) CdtProblem
    (13) CdtUsableRulesProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
    (14) CdtProblem
    (15) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^1)), 190 ms]
    (16) CdtProblem
    (17) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^2)), 799 ms]
    (18) CdtProblem
    (19) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^2)), 686 ms]
    (20) CdtProblem
    (21) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^2)), 322 ms]
    (22) CdtProblem
    (23) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^2)), 316 ms]
    (24) CdtProblem
    (25) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^2)), 369 ms]
    (26) CdtProblem
    (27) SIsEmptyProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
    (28) BOUNDS(1, 1)
(29) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(30) CpxRelTRS
    (31) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
    (32) typed CpxTrs
    (33) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
    (34) typed CpxTrs
    (35) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 287 ms]
    (36) BEST
        (37) proven lower bound
            (38) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
            (39) BOUNDS(n^1, INF)
        (40) typed CpxTrs
            (41) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 54 ms]
            (42) typed CpxTrs
            (43) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 105 ms]
            (44) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, n^2).


The TRS R consists of the following rules:

   le(0, y) -> true
   le(s(x), 0) -> false
   le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
   minus(x, 0) -> x
   minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
   gcd(0, y) -> y
   gcd(s(x), 0) -> s(x)
   gcd(s(x), s(y)) -> if_gcd(le(y, x), s(x), s(y))
   if_gcd(true, s(x), s(y)) -> gcd(minus(x, y), s(y))
   if_gcd(false, s(x), s(y)) -> gcd(minus(y, x), s(x))

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_gcd(x_1, x_2)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if_gcd(x_1, x_2, x_3)) -> if_gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_true -> true
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_false -> false
   encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_gcd(x_1, x_2) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if_gcd(x_1, x_2, x_3) -> if_gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, n^2).


The TRS R consists of the following rules:

   le(0, y) -> true
   le(s(x), 0) -> false
   le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
   minus(x, 0) -> x
   minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
   gcd(0, y) -> y
   gcd(s(x), 0) -> s(x)
   gcd(s(x), s(y)) -> if_gcd(le(y, x), s(x), s(y))
   if_gcd(true, s(x), s(y)) -> gcd(minus(x, y), s(y))
   if_gcd(false, s(x), s(y)) -> gcd(minus(y, x), s(x))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_gcd(x_1, x_2)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if_gcd(x_1, x_2, x_3)) -> if_gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_true -> true
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_false -> false
   encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_gcd(x_1, x_2) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if_gcd(x_1, x_2, x_3) -> if_gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, n^2).


The TRS R consists of the following rules:

   le(0, y) -> true
   le(s(x), 0) -> false
   le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
   minus(x, 0) -> x
   minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
   gcd(0, y) -> y
   gcd(s(x), 0) -> s(x)
   gcd(s(x), s(y)) -> if_gcd(le(y, x), s(x), s(y))
   if_gcd(true, s(x), s(y)) -> gcd(minus(x, y), s(y))
   if_gcd(false, s(x), s(y)) -> gcd(minus(y, x), s(x))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_gcd(x_1, x_2)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if_gcd(x_1, x_2, x_3)) -> if_gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_true -> true
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_false -> false
   encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_gcd(x_1, x_2) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if_gcd(x_1, x_2, x_3) -> if_gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) CpxTrsToCdtProof (UPPER BOUND(ID))
Converted Cpx (relative) TRS to CDT
----------------------------------------

(6)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_le(z0, z1)) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_gcd(z0, z1)) -> gcd(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_if_gcd(z0, z1, z2)) -> if_gcd(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encode_le(z0, z1) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_0 -> 0
   encode_true -> true
   encode_s(z0) -> s(encArg(z0))
   encode_false -> false
   encode_minus(z0, z1) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_gcd(z0, z1) -> gcd(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_if_gcd(z0, z1, z2) -> if_gcd(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   le(0, z0) -> true
   le(s(z0), 0) -> false
   le(s(z0), s(z1)) -> le(z0, z1)
   minus(z0, 0) -> z0
   minus(s(z0), s(z1)) -> minus(z0, z1)
   gcd(0, z0) -> z0
   gcd(s(z0), 0) -> s(z0)
   gcd(s(z0), s(z1)) -> if_gcd(le(z1, z0), s(z0), s(z1))
   if_gcd(true, s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(z0, z1), s(z1))
   if_gcd(false, s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(z1, z0), s(z0))
Tuples:
   ENCARG(0) -> c
   ENCARG(true) -> c1
   ENCARG(s(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(false) -> c3
   ENCARG(cons_le(z0, z1)) -> c4(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c5(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_gcd(z0, z1)) -> c6(GCD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_if_gcd(z0, z1, z2)) -> c7(IF_GCD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c8(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_0 -> c9
   ENCODE_TRUE -> c10
   ENCODE_S(z0) -> c11(ENCARG(z0))
   ENCODE_FALSE -> c12
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c13(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_GCD(z0, z1) -> c14(GCD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_IF_GCD(z0, z1, z2) -> c15(IF_GCD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   LE(0, z0) -> c16
   LE(s(z0), 0) -> c17
   LE(s(z0), s(z1)) -> c18(LE(z0, z1))
   MINUS(z0, 0) -> c19
   MINUS(s(z0), s(z1)) -> c20(MINUS(z0, z1))
   GCD(0, z0) -> c21
   GCD(s(z0), 0) -> c22
   GCD(s(z0), s(z1)) -> c23(IF_GCD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_GCD(true, s(z0), s(z1)) -> c24(GCD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_GCD(false, s(z0), s(z1)) -> c25(GCD(minus(z1, z0), s(z0)), MINUS(z1, z0))
S tuples:
   LE(0, z0) -> c16
   LE(s(z0), 0) -> c17
   LE(s(z0), s(z1)) -> c18(LE(z0, z1))
   MINUS(z0, 0) -> c19
   MINUS(s(z0), s(z1)) -> c20(MINUS(z0, z1))
   GCD(0, z0) -> c21
   GCD(s(z0), 0) -> c22
   GCD(s(z0), s(z1)) -> c23(IF_GCD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_GCD(true, s(z0), s(z1)) -> c24(GCD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_GCD(false, s(z0), s(z1)) -> c25(GCD(minus(z1, z0), s(z0)), MINUS(z1, z0))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   le_2, minus_2, gcd_2, if_gcd_3, encArg_1, encode_le_2, encode_0, encode_true, encode_s_1, encode_false, encode_minus_2, encode_gcd_2, encode_if_gcd_3

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, ENCODE_LE_2, ENCODE_0, ENCODE_TRUE, ENCODE_S_1, ENCODE_FALSE, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_GCD_2, ENCODE_IF_GCD_3, LE_2, MINUS_2, GCD_2, IF_GCD_3

Compound Symbols:   c, c1, c2_1, c3, c4_3, c5_3, c6_3, c7_4, c8_3, c9, c10, c11_1, c12, c13_3, c14_3, c15_4, c16, c17, c18_1, c19, c20_1, c21, c22, c23_2, c24_2, c25_2


----------------------------------------

(7) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication)
Removed 1 leading nodes:
   ENCODE_S(z0) -> c11(ENCARG(z0))
Removed 6 trailing nodes:
   ENCODE_FALSE -> c12
   ENCODE_TRUE -> c10
   ENCARG(false) -> c3
   ENCARG(true) -> c1
   ENCARG(0) -> c
   ENCODE_0 -> c9

----------------------------------------

(8)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_le(z0, z1)) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_gcd(z0, z1)) -> gcd(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_if_gcd(z0, z1, z2)) -> if_gcd(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encode_le(z0, z1) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_0 -> 0
   encode_true -> true
   encode_s(z0) -> s(encArg(z0))
   encode_false -> false
   encode_minus(z0, z1) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_gcd(z0, z1) -> gcd(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_if_gcd(z0, z1, z2) -> if_gcd(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   le(0, z0) -> true
   le(s(z0), 0) -> false
   le(s(z0), s(z1)) -> le(z0, z1)
   minus(z0, 0) -> z0
   minus(s(z0), s(z1)) -> minus(z0, z1)
   gcd(0, z0) -> z0
   gcd(s(z0), 0) -> s(z0)
   gcd(s(z0), s(z1)) -> if_gcd(le(z1, z0), s(z0), s(z1))
   if_gcd(true, s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(z0, z1), s(z1))
   if_gcd(false, s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(z1, z0), s(z0))
Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_le(z0, z1)) -> c4(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c5(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_gcd(z0, z1)) -> c6(GCD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_if_gcd(z0, z1, z2)) -> c7(IF_GCD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c8(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c13(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_GCD(z0, z1) -> c14(GCD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCODE_IF_GCD(z0, z1, z2) -> c15(IF_GCD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   LE(0, z0) -> c16
   LE(s(z0), 0) -> c17
   LE(s(z0), s(z1)) -> c18(LE(z0, z1))
   MINUS(z0, 0) -> c19
   MINUS(s(z0), s(z1)) -> c20(MINUS(z0, z1))
   GCD(0, z0) -> c21
   GCD(s(z0), 0) -> c22
   GCD(s(z0), s(z1)) -> c23(IF_GCD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_GCD(true, s(z0), s(z1)) -> c24(GCD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_GCD(false, s(z0), s(z1)) -> c25(GCD(minus(z1, z0), s(z0)), MINUS(z1, z0))
S tuples:
   LE(0, z0) -> c16
   LE(s(z0), 0) -> c17
   LE(s(z0), s(z1)) -> c18(LE(z0, z1))
   MINUS(z0, 0) -> c19
   MINUS(s(z0), s(z1)) -> c20(MINUS(z0, z1))
   GCD(0, z0) -> c21
   GCD(s(z0), 0) -> c22
   GCD(s(z0), s(z1)) -> c23(IF_GCD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_GCD(true, s(z0), s(z1)) -> c24(GCD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_GCD(false, s(z0), s(z1)) -> c25(GCD(minus(z1, z0), s(z0)), MINUS(z1, z0))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   le_2, minus_2, gcd_2, if_gcd_3, encArg_1, encode_le_2, encode_0, encode_true, encode_s_1, encode_false, encode_minus_2, encode_gcd_2, encode_if_gcd_3

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, ENCODE_LE_2, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_GCD_2, ENCODE_IF_GCD_3, LE_2, MINUS_2, GCD_2, IF_GCD_3

Compound Symbols:   c2_1, c4_3, c5_3, c6_3, c7_4, c8_3, c13_3, c14_3, c15_4, c16, c17, c18_1, c19, c20_1, c21, c22, c23_2, c24_2, c25_2


----------------------------------------

(9) CdtGraphSplitRhsProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Split RHS of tuples not part of any SCC
----------------------------------------

(10)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_le(z0, z1)) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_gcd(z0, z1)) -> gcd(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_if_gcd(z0, z1, z2)) -> if_gcd(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encode_le(z0, z1) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_0 -> 0
   encode_true -> true
   encode_s(z0) -> s(encArg(z0))
   encode_false -> false
   encode_minus(z0, z1) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_gcd(z0, z1) -> gcd(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_if_gcd(z0, z1, z2) -> if_gcd(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   le(0, z0) -> true
   le(s(z0), 0) -> false
   le(s(z0), s(z1)) -> le(z0, z1)
   minus(z0, 0) -> z0
   minus(s(z0), s(z1)) -> minus(z0, z1)
   gcd(0, z0) -> z0
   gcd(s(z0), 0) -> s(z0)
   gcd(s(z0), s(z1)) -> if_gcd(le(z1, z0), s(z0), s(z1))
   if_gcd(true, s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(z0, z1), s(z1))
   if_gcd(false, s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(z1, z0), s(z0))
Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_le(z0, z1)) -> c4(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c5(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_gcd(z0, z1)) -> c6(GCD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_if_gcd(z0, z1, z2)) -> c7(IF_GCD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   LE(0, z0) -> c16
   LE(s(z0), 0) -> c17
   LE(s(z0), s(z1)) -> c18(LE(z0, z1))
   MINUS(z0, 0) -> c19
   MINUS(s(z0), s(z1)) -> c20(MINUS(z0, z1))
   GCD(0, z0) -> c21
   GCD(s(z0), 0) -> c22
   GCD(s(z0), s(z1)) -> c23(IF_GCD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_GCD(true, s(z0), s(z1)) -> c24(GCD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_GCD(false, s(z0), s(z1)) -> c25(GCD(minus(z1, z0), s(z0)), MINUS(z1, z0))
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(LE(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(ENCARG(z1))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(ENCARG(z1))
   ENCODE_GCD(z0, z1) -> c(GCD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_GCD(z0, z1) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_GCD(z0, z1) -> c(ENCARG(z1))
   ENCODE_IF_GCD(z0, z1, z2) -> c(IF_GCD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
   ENCODE_IF_GCD(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_IF_GCD(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z1))
   ENCODE_IF_GCD(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z2))
S tuples:
   LE(0, z0) -> c16
   LE(s(z0), 0) -> c17
   LE(s(z0), s(z1)) -> c18(LE(z0, z1))
   MINUS(z0, 0) -> c19
   MINUS(s(z0), s(z1)) -> c20(MINUS(z0, z1))
   GCD(0, z0) -> c21
   GCD(s(z0), 0) -> c22
   GCD(s(z0), s(z1)) -> c23(IF_GCD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_GCD(true, s(z0), s(z1)) -> c24(GCD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_GCD(false, s(z0), s(z1)) -> c25(GCD(minus(z1, z0), s(z0)), MINUS(z1, z0))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   le_2, minus_2, gcd_2, if_gcd_3, encArg_1, encode_le_2, encode_0, encode_true, encode_s_1, encode_false, encode_minus_2, encode_gcd_2, encode_if_gcd_3

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, LE_2, MINUS_2, GCD_2, IF_GCD_3, ENCODE_LE_2, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_GCD_2, ENCODE_IF_GCD_3

Compound Symbols:   c2_1, c4_3, c5_3, c6_3, c7_4, c16, c17, c18_1, c19, c20_1, c21, c22, c23_2, c24_2, c25_2, c_1


----------------------------------------

(11) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication)
Removed 9 leading nodes:
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(ENCARG(z1))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(ENCARG(z1))
   ENCODE_GCD(z0, z1) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_GCD(z0, z1) -> c(ENCARG(z1))
   ENCODE_IF_GCD(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z0))
   ENCODE_IF_GCD(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z1))
   ENCODE_IF_GCD(z0, z1, z2) -> c(ENCARG(z2))

----------------------------------------

(12)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_le(z0, z1)) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_gcd(z0, z1)) -> gcd(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_if_gcd(z0, z1, z2)) -> if_gcd(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   encode_le(z0, z1) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_0 -> 0
   encode_true -> true
   encode_s(z0) -> s(encArg(z0))
   encode_false -> false
   encode_minus(z0, z1) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_gcd(z0, z1) -> gcd(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_if_gcd(z0, z1, z2) -> if_gcd(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   le(0, z0) -> true
   le(s(z0), 0) -> false
   le(s(z0), s(z1)) -> le(z0, z1)
   minus(z0, 0) -> z0
   minus(s(z0), s(z1)) -> minus(z0, z1)
   gcd(0, z0) -> z0
   gcd(s(z0), 0) -> s(z0)
   gcd(s(z0), s(z1)) -> if_gcd(le(z1, z0), s(z0), s(z1))
   if_gcd(true, s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(z0, z1), s(z1))
   if_gcd(false, s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(z1, z0), s(z0))
Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_le(z0, z1)) -> c4(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c5(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_gcd(z0, z1)) -> c6(GCD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_if_gcd(z0, z1, z2)) -> c7(IF_GCD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   LE(0, z0) -> c16
   LE(s(z0), 0) -> c17
   LE(s(z0), s(z1)) -> c18(LE(z0, z1))
   MINUS(z0, 0) -> c19
   MINUS(s(z0), s(z1)) -> c20(MINUS(z0, z1))
   GCD(0, z0) -> c21
   GCD(s(z0), 0) -> c22
   GCD(s(z0), s(z1)) -> c23(IF_GCD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_GCD(true, s(z0), s(z1)) -> c24(GCD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_GCD(false, s(z0), s(z1)) -> c25(GCD(minus(z1, z0), s(z0)), MINUS(z1, z0))
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(LE(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_GCD(z0, z1) -> c(GCD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_IF_GCD(z0, z1, z2) -> c(IF_GCD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
S tuples:
   LE(0, z0) -> c16
   LE(s(z0), 0) -> c17
   LE(s(z0), s(z1)) -> c18(LE(z0, z1))
   MINUS(z0, 0) -> c19
   MINUS(s(z0), s(z1)) -> c20(MINUS(z0, z1))
   GCD(0, z0) -> c21
   GCD(s(z0), 0) -> c22
   GCD(s(z0), s(z1)) -> c23(IF_GCD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_GCD(true, s(z0), s(z1)) -> c24(GCD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_GCD(false, s(z0), s(z1)) -> c25(GCD(minus(z1, z0), s(z0)), MINUS(z1, z0))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   le_2, minus_2, gcd_2, if_gcd_3, encArg_1, encode_le_2, encode_0, encode_true, encode_s_1, encode_false, encode_minus_2, encode_gcd_2, encode_if_gcd_3

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, LE_2, MINUS_2, GCD_2, IF_GCD_3, ENCODE_LE_2, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_GCD_2, ENCODE_IF_GCD_3

Compound Symbols:   c2_1, c4_3, c5_3, c6_3, c7_4, c16, c17, c18_1, c19, c20_1, c21, c22, c23_2, c24_2, c25_2, c_1


----------------------------------------

(13) CdtUsableRulesProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules are not usable and were removed:
   encode_le(z0, z1) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_0 -> 0
   encode_true -> true
   encode_s(z0) -> s(encArg(z0))
   encode_false -> false
   encode_minus(z0, z1) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_gcd(z0, z1) -> gcd(encArg(z0), encArg(z1))
   encode_if_gcd(z0, z1, z2) -> if_gcd(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))

----------------------------------------

(14)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_le(z0, z1)) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_gcd(z0, z1)) -> gcd(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_if_gcd(z0, z1, z2)) -> if_gcd(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   le(0, z0) -> true
   le(s(z0), 0) -> false
   le(s(z0), s(z1)) -> le(z0, z1)
   minus(z0, 0) -> z0
   minus(s(z0), s(z1)) -> minus(z0, z1)
   gcd(0, z0) -> z0
   gcd(s(z0), 0) -> s(z0)
   gcd(s(z0), s(z1)) -> if_gcd(le(z1, z0), s(z0), s(z1))
   if_gcd(true, s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(z0, z1), s(z1))
   if_gcd(false, s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(z1, z0), s(z0))
Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_le(z0, z1)) -> c4(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c5(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_gcd(z0, z1)) -> c6(GCD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_if_gcd(z0, z1, z2)) -> c7(IF_GCD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   LE(0, z0) -> c16
   LE(s(z0), 0) -> c17
   LE(s(z0), s(z1)) -> c18(LE(z0, z1))
   MINUS(z0, 0) -> c19
   MINUS(s(z0), s(z1)) -> c20(MINUS(z0, z1))
   GCD(0, z0) -> c21
   GCD(s(z0), 0) -> c22
   GCD(s(z0), s(z1)) -> c23(IF_GCD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_GCD(true, s(z0), s(z1)) -> c24(GCD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_GCD(false, s(z0), s(z1)) -> c25(GCD(minus(z1, z0), s(z0)), MINUS(z1, z0))
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(LE(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_GCD(z0, z1) -> c(GCD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_IF_GCD(z0, z1, z2) -> c(IF_GCD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
S tuples:
   LE(0, z0) -> c16
   LE(s(z0), 0) -> c17
   LE(s(z0), s(z1)) -> c18(LE(z0, z1))
   MINUS(z0, 0) -> c19
   MINUS(s(z0), s(z1)) -> c20(MINUS(z0, z1))
   GCD(0, z0) -> c21
   GCD(s(z0), 0) -> c22
   GCD(s(z0), s(z1)) -> c23(IF_GCD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_GCD(true, s(z0), s(z1)) -> c24(GCD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_GCD(false, s(z0), s(z1)) -> c25(GCD(minus(z1, z0), s(z0)), MINUS(z1, z0))
K tuples:none
Defined Rule Symbols:   encArg_1, le_2, minus_2, gcd_2, if_gcd_3

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, LE_2, MINUS_2, GCD_2, IF_GCD_3, ENCODE_LE_2, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_GCD_2, ENCODE_IF_GCD_3

Compound Symbols:   c2_1, c4_3, c5_3, c6_3, c7_4, c16, c17, c18_1, c19, c20_1, c21, c22, c23_2, c24_2, c25_2, c_1


----------------------------------------

(15) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^1)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   GCD(0, z0) -> c21
   GCD(s(z0), 0) -> c22
We considered the (Usable) Rules:none
And the Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_le(z0, z1)) -> c4(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c5(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_gcd(z0, z1)) -> c6(GCD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_if_gcd(z0, z1, z2)) -> c7(IF_GCD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   LE(0, z0) -> c16
   LE(s(z0), 0) -> c17
   LE(s(z0), s(z1)) -> c18(LE(z0, z1))
   MINUS(z0, 0) -> c19
   MINUS(s(z0), s(z1)) -> c20(MINUS(z0, z1))
   GCD(0, z0) -> c21
   GCD(s(z0), 0) -> c22
   GCD(s(z0), s(z1)) -> c23(IF_GCD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_GCD(true, s(z0), s(z1)) -> c24(GCD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_GCD(false, s(z0), s(z1)) -> c25(GCD(minus(z1, z0), s(z0)), MINUS(z1, z0))
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(LE(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_GCD(z0, z1) -> c(GCD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_IF_GCD(z0, z1, z2) -> c(IF_GCD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(0) = 0
   POL(ENCARG(x_1)) = x_1
   POL(ENCODE_GCD(x_1, x_2)) = [1]
   POL(ENCODE_IF_GCD(x_1, x_2, x_3)) = [1]
   POL(ENCODE_LE(x_1, x_2)) = x_1
   POL(ENCODE_MINUS(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(GCD(x_1, x_2)) = [1]
   POL(IF_GCD(x_1, x_2, x_3)) = [1]
   POL(LE(x_1, x_2)) = 0
   POL(MINUS(x_1, x_2)) = 0
   POL(c(x_1)) = x_1
   POL(c16) = 0
   POL(c17) = 0
   POL(c18(x_1)) = x_1
   POL(c19) = 0
   POL(c2(x_1)) = x_1
   POL(c20(x_1)) = x_1
   POL(c21) = 0
   POL(c22) = 0
   POL(c23(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c24(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c25(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c4(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c5(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c6(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c7(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(cons_gcd(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_if_gcd(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3
   POL(cons_le(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_minus(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(encArg(x_1)) = [1] + x_1
   POL(false) = 0
   POL(gcd(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(if_gcd(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3
   POL(le(x_1, x_2)) = 0
   POL(minus(x_1, x_2)) = [1] + x_2
   POL(s(x_1)) = x_1
   POL(true) = 0

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_le(z0, z1)) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_gcd(z0, z1)) -> gcd(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_if_gcd(z0, z1, z2)) -> if_gcd(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   le(0, z0) -> true
   le(s(z0), 0) -> false
   le(s(z0), s(z1)) -> le(z0, z1)
   minus(z0, 0) -> z0
   minus(s(z0), s(z1)) -> minus(z0, z1)
   gcd(0, z0) -> z0
   gcd(s(z0), 0) -> s(z0)
   gcd(s(z0), s(z1)) -> if_gcd(le(z1, z0), s(z0), s(z1))
   if_gcd(true, s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(z0, z1), s(z1))
   if_gcd(false, s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(z1, z0), s(z0))
Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_le(z0, z1)) -> c4(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c5(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_gcd(z0, z1)) -> c6(GCD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_if_gcd(z0, z1, z2)) -> c7(IF_GCD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   LE(0, z0) -> c16
   LE(s(z0), 0) -> c17
   LE(s(z0), s(z1)) -> c18(LE(z0, z1))
   MINUS(z0, 0) -> c19
   MINUS(s(z0), s(z1)) -> c20(MINUS(z0, z1))
   GCD(0, z0) -> c21
   GCD(s(z0), 0) -> c22
   GCD(s(z0), s(z1)) -> c23(IF_GCD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_GCD(true, s(z0), s(z1)) -> c24(GCD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_GCD(false, s(z0), s(z1)) -> c25(GCD(minus(z1, z0), s(z0)), MINUS(z1, z0))
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(LE(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_GCD(z0, z1) -> c(GCD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_IF_GCD(z0, z1, z2) -> c(IF_GCD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
S tuples:
   LE(0, z0) -> c16
   LE(s(z0), 0) -> c17
   LE(s(z0), s(z1)) -> c18(LE(z0, z1))
   MINUS(z0, 0) -> c19
   MINUS(s(z0), s(z1)) -> c20(MINUS(z0, z1))
   GCD(s(z0), s(z1)) -> c23(IF_GCD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_GCD(true, s(z0), s(z1)) -> c24(GCD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_GCD(false, s(z0), s(z1)) -> c25(GCD(minus(z1, z0), s(z0)), MINUS(z1, z0))
K tuples:
   GCD(0, z0) -> c21
   GCD(s(z0), 0) -> c22
Defined Rule Symbols:   encArg_1, le_2, minus_2, gcd_2, if_gcd_3

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, LE_2, MINUS_2, GCD_2, IF_GCD_3, ENCODE_LE_2, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_GCD_2, ENCODE_IF_GCD_3

Compound Symbols:   c2_1, c4_3, c5_3, c6_3, c7_4, c16, c17, c18_1, c19, c20_1, c21, c22, c23_2, c24_2, c25_2, c_1


----------------------------------------

(17) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^2)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   MINUS(z0, 0) -> c19
   IF_GCD(true, s(z0), s(z1)) -> c24(GCD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_GCD(false, s(z0), s(z1)) -> c25(GCD(minus(z1, z0), s(z0)), MINUS(z1, z0))
We considered the (Usable) Rules:
   le(s(z0), s(z1)) -> le(z0, z1)
   le(s(z0), 0) -> false
   gcd(s(z0), 0) -> s(z0)
   if_gcd(true, s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(z0, z1), s(z1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(cons_le(z0, z1)) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_gcd(z0, z1)) -> gcd(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   if_gcd(false, s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(z1, z0), s(z0))
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(false) -> false
   gcd(0, z0) -> z0
   gcd(s(z0), s(z1)) -> if_gcd(le(z1, z0), s(z0), s(z1))
   encArg(cons_if_gcd(z0, z1, z2)) -> if_gcd(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   le(0, z0) -> true
   minus(s(z0), s(z1)) -> minus(z0, z1)
   minus(z0, 0) -> z0
And the Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_le(z0, z1)) -> c4(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c5(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_gcd(z0, z1)) -> c6(GCD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_if_gcd(z0, z1, z2)) -> c7(IF_GCD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   LE(0, z0) -> c16
   LE(s(z0), 0) -> c17
   LE(s(z0), s(z1)) -> c18(LE(z0, z1))
   MINUS(z0, 0) -> c19
   MINUS(s(z0), s(z1)) -> c20(MINUS(z0, z1))
   GCD(0, z0) -> c21
   GCD(s(z0), 0) -> c22
   GCD(s(z0), s(z1)) -> c23(IF_GCD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_GCD(true, s(z0), s(z1)) -> c24(GCD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_GCD(false, s(z0), s(z1)) -> c25(GCD(minus(z1, z0), s(z0)), MINUS(z1, z0))
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(LE(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_GCD(z0, z1) -> c(GCD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_IF_GCD(z0, z1, z2) -> c(IF_GCD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(0) = 0
   POL(ENCARG(x_1)) = [2]x_1^2
   POL(ENCODE_GCD(x_1, x_2)) = [2] + [2]x_1 + x_2 + [2]x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2
   POL(ENCODE_IF_GCD(x_1, x_2, x_3)) = [2] + [2]x_1 + x_2 + [2]x_3 + [2]x_3^2 + [2]x_2*x_3 + [2]x_1*x_3 + [2]x_1^2 + [2]x_1*x_2 + x_2^2
   POL(ENCODE_LE(x_1, x_2)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2
   POL(ENCODE_MINUS(x_1, x_2)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_2^2 + x_1*x_2 + [2]x_1^2
   POL(GCD(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(IF_GCD(x_1, x_2, x_3)) = x_1*x_3 + x_1*x_2
   POL(LE(x_1, x_2)) = 0
   POL(MINUS(x_1, x_2)) = [1]
   POL(c(x_1)) = x_1
   POL(c16) = 0
   POL(c17) = 0
   POL(c18(x_1)) = x_1
   POL(c19) = 0
   POL(c2(x_1)) = x_1
   POL(c20(x_1)) = x_1
   POL(c21) = 0
   POL(c22) = 0
   POL(c23(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c24(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c25(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c4(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c5(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c6(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c7(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(cons_gcd(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2
   POL(cons_if_gcd(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(cons_le(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2
   POL(cons_minus(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2
   POL(encArg(x_1)) = x_1
   POL(false) = [1]
   POL(gcd(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2
   POL(if_gcd(x_1, x_2, x_3)) = x_2 + x_3
   POL(le(x_1, x_2)) = [1]
   POL(minus(x_1, x_2)) = x_1
   POL(s(x_1)) = [2] + x_1
   POL(true) = [1]

----------------------------------------

(18)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_le(z0, z1)) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_gcd(z0, z1)) -> gcd(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_if_gcd(z0, z1, z2)) -> if_gcd(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   le(0, z0) -> true
   le(s(z0), 0) -> false
   le(s(z0), s(z1)) -> le(z0, z1)
   minus(z0, 0) -> z0
   minus(s(z0), s(z1)) -> minus(z0, z1)
   gcd(0, z0) -> z0
   gcd(s(z0), 0) -> s(z0)
   gcd(s(z0), s(z1)) -> if_gcd(le(z1, z0), s(z0), s(z1))
   if_gcd(true, s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(z0, z1), s(z1))
   if_gcd(false, s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(z1, z0), s(z0))
Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_le(z0, z1)) -> c4(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c5(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_gcd(z0, z1)) -> c6(GCD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_if_gcd(z0, z1, z2)) -> c7(IF_GCD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   LE(0, z0) -> c16
   LE(s(z0), 0) -> c17
   LE(s(z0), s(z1)) -> c18(LE(z0, z1))
   MINUS(z0, 0) -> c19
   MINUS(s(z0), s(z1)) -> c20(MINUS(z0, z1))
   GCD(0, z0) -> c21
   GCD(s(z0), 0) -> c22
   GCD(s(z0), s(z1)) -> c23(IF_GCD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_GCD(true, s(z0), s(z1)) -> c24(GCD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_GCD(false, s(z0), s(z1)) -> c25(GCD(minus(z1, z0), s(z0)), MINUS(z1, z0))
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(LE(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_GCD(z0, z1) -> c(GCD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_IF_GCD(z0, z1, z2) -> c(IF_GCD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
S tuples:
   LE(0, z0) -> c16
   LE(s(z0), 0) -> c17
   LE(s(z0), s(z1)) -> c18(LE(z0, z1))
   MINUS(s(z0), s(z1)) -> c20(MINUS(z0, z1))
   GCD(s(z0), s(z1)) -> c23(IF_GCD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
K tuples:
   GCD(0, z0) -> c21
   GCD(s(z0), 0) -> c22
   MINUS(z0, 0) -> c19
   IF_GCD(true, s(z0), s(z1)) -> c24(GCD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_GCD(false, s(z0), s(z1)) -> c25(GCD(minus(z1, z0), s(z0)), MINUS(z1, z0))
Defined Rule Symbols:   encArg_1, le_2, minus_2, gcd_2, if_gcd_3

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, LE_2, MINUS_2, GCD_2, IF_GCD_3, ENCODE_LE_2, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_GCD_2, ENCODE_IF_GCD_3

Compound Symbols:   c2_1, c4_3, c5_3, c6_3, c7_4, c16, c17, c18_1, c19, c20_1, c21, c22, c23_2, c24_2, c25_2, c_1


----------------------------------------

(19) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^2)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   GCD(s(z0), s(z1)) -> c23(IF_GCD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
We considered the (Usable) Rules:
   le(s(z0), s(z1)) -> le(z0, z1)
   le(s(z0), 0) -> false
   gcd(s(z0), 0) -> s(z0)
   if_gcd(true, s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(z0, z1), s(z1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(cons_le(z0, z1)) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_gcd(z0, z1)) -> gcd(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   if_gcd(false, s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(z1, z0), s(z0))
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(false) -> false
   gcd(0, z0) -> z0
   gcd(s(z0), s(z1)) -> if_gcd(le(z1, z0), s(z0), s(z1))
   encArg(cons_if_gcd(z0, z1, z2)) -> if_gcd(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   le(0, z0) -> true
   minus(s(z0), s(z1)) -> minus(z0, z1)
   minus(z0, 0) -> z0
And the Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_le(z0, z1)) -> c4(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c5(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_gcd(z0, z1)) -> c6(GCD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_if_gcd(z0, z1, z2)) -> c7(IF_GCD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   LE(0, z0) -> c16
   LE(s(z0), 0) -> c17
   LE(s(z0), s(z1)) -> c18(LE(z0, z1))
   MINUS(z0, 0) -> c19
   MINUS(s(z0), s(z1)) -> c20(MINUS(z0, z1))
   GCD(0, z0) -> c21
   GCD(s(z0), 0) -> c22
   GCD(s(z0), s(z1)) -> c23(IF_GCD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_GCD(true, s(z0), s(z1)) -> c24(GCD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_GCD(false, s(z0), s(z1)) -> c25(GCD(minus(z1, z0), s(z0)), MINUS(z1, z0))
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(LE(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_GCD(z0, z1) -> c(GCD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_IF_GCD(z0, z1, z2) -> c(IF_GCD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(0) = 0
   POL(ENCARG(x_1)) = x_1^2
   POL(ENCODE_GCD(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + [2]x_2 + [2]x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2
   POL(ENCODE_IF_GCD(x_1, x_2, x_3)) = [1] + [2]x_1 + x_2 + x_3 + [2]x_3^2 + [2]x_2*x_3 + [2]x_1*x_3 + [2]x_1^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_2^2
   POL(ENCODE_LE(x_1, x_2)) = [1] + [2]x_1 + [2]x_2 + [2]x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2
   POL(ENCODE_MINUS(x_1, x_2)) = [1] + [2]x_1 + [2]x_2 + [2]x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2
   POL(GCD(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + [2]x_2 + [2]x_1*x_2
   POL(IF_GCD(x_1, x_2, x_3)) = [2]x_2*x_3 + [2]x_1*x_3 + x_1*x_2
   POL(LE(x_1, x_2)) = 0
   POL(MINUS(x_1, x_2)) = 0
   POL(c(x_1)) = x_1
   POL(c16) = 0
   POL(c17) = 0
   POL(c18(x_1)) = x_1
   POL(c19) = 0
   POL(c2(x_1)) = x_1
   POL(c20(x_1)) = x_1
   POL(c21) = 0
   POL(c22) = 0
   POL(c23(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c24(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c25(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c4(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c5(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c6(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c7(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(cons_gcd(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2
   POL(cons_if_gcd(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(cons_le(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_minus(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(encArg(x_1)) = x_1
   POL(false) = [1]
   POL(gcd(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(if_gcd(x_1, x_2, x_3)) = x_2 + x_3
   POL(le(x_1, x_2)) = [1]
   POL(minus(x_1, x_2)) = [1] + x_1
   POL(s(x_1)) = [2] + x_1
   POL(true) = [1]

----------------------------------------

(20)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_le(z0, z1)) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_gcd(z0, z1)) -> gcd(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_if_gcd(z0, z1, z2)) -> if_gcd(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   le(0, z0) -> true
   le(s(z0), 0) -> false
   le(s(z0), s(z1)) -> le(z0, z1)
   minus(z0, 0) -> z0
   minus(s(z0), s(z1)) -> minus(z0, z1)
   gcd(0, z0) -> z0
   gcd(s(z0), 0) -> s(z0)
   gcd(s(z0), s(z1)) -> if_gcd(le(z1, z0), s(z0), s(z1))
   if_gcd(true, s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(z0, z1), s(z1))
   if_gcd(false, s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(z1, z0), s(z0))
Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_le(z0, z1)) -> c4(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c5(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_gcd(z0, z1)) -> c6(GCD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_if_gcd(z0, z1, z2)) -> c7(IF_GCD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   LE(0, z0) -> c16
   LE(s(z0), 0) -> c17
   LE(s(z0), s(z1)) -> c18(LE(z0, z1))
   MINUS(z0, 0) -> c19
   MINUS(s(z0), s(z1)) -> c20(MINUS(z0, z1))
   GCD(0, z0) -> c21
   GCD(s(z0), 0) -> c22
   GCD(s(z0), s(z1)) -> c23(IF_GCD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_GCD(true, s(z0), s(z1)) -> c24(GCD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_GCD(false, s(z0), s(z1)) -> c25(GCD(minus(z1, z0), s(z0)), MINUS(z1, z0))
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(LE(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_GCD(z0, z1) -> c(GCD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_IF_GCD(z0, z1, z2) -> c(IF_GCD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
S tuples:
   LE(0, z0) -> c16
   LE(s(z0), 0) -> c17
   LE(s(z0), s(z1)) -> c18(LE(z0, z1))
   MINUS(s(z0), s(z1)) -> c20(MINUS(z0, z1))
K tuples:
   GCD(0, z0) -> c21
   GCD(s(z0), 0) -> c22
   MINUS(z0, 0) -> c19
   IF_GCD(true, s(z0), s(z1)) -> c24(GCD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_GCD(false, s(z0), s(z1)) -> c25(GCD(minus(z1, z0), s(z0)), MINUS(z1, z0))
   GCD(s(z0), s(z1)) -> c23(IF_GCD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
Defined Rule Symbols:   encArg_1, le_2, minus_2, gcd_2, if_gcd_3

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, LE_2, MINUS_2, GCD_2, IF_GCD_3, ENCODE_LE_2, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_GCD_2, ENCODE_IF_GCD_3

Compound Symbols:   c2_1, c4_3, c5_3, c6_3, c7_4, c16, c17, c18_1, c19, c20_1, c21, c22, c23_2, c24_2, c25_2, c_1


----------------------------------------

(21) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^2)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   LE(0, z0) -> c16
   LE(s(z0), 0) -> c17
We considered the (Usable) Rules:
   le(s(z0), s(z1)) -> le(z0, z1)
   le(s(z0), 0) -> false
   gcd(s(z0), 0) -> s(z0)
   if_gcd(true, s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(z0, z1), s(z1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(cons_le(z0, z1)) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_gcd(z0, z1)) -> gcd(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   if_gcd(false, s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(z1, z0), s(z0))
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(false) -> false
   gcd(0, z0) -> z0
   gcd(s(z0), s(z1)) -> if_gcd(le(z1, z0), s(z0), s(z1))
   encArg(cons_if_gcd(z0, z1, z2)) -> if_gcd(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   le(0, z0) -> true
   minus(s(z0), s(z1)) -> minus(z0, z1)
   minus(z0, 0) -> z0
And the Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_le(z0, z1)) -> c4(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c5(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_gcd(z0, z1)) -> c6(GCD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_if_gcd(z0, z1, z2)) -> c7(IF_GCD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   LE(0, z0) -> c16
   LE(s(z0), 0) -> c17
   LE(s(z0), s(z1)) -> c18(LE(z0, z1))
   MINUS(z0, 0) -> c19
   MINUS(s(z0), s(z1)) -> c20(MINUS(z0, z1))
   GCD(0, z0) -> c21
   GCD(s(z0), 0) -> c22
   GCD(s(z0), s(z1)) -> c23(IF_GCD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_GCD(true, s(z0), s(z1)) -> c24(GCD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_GCD(false, s(z0), s(z1)) -> c25(GCD(minus(z1, z0), s(z0)), MINUS(z1, z0))
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(LE(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_GCD(z0, z1) -> c(GCD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_IF_GCD(z0, z1, z2) -> c(IF_GCD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(0) = 0
   POL(ENCARG(x_1)) = [1] + x_1^2
   POL(ENCODE_GCD(x_1, x_2)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_2 + x_2^2 + x_1*x_2 + [2]x_1^2
   POL(ENCODE_IF_GCD(x_1, x_2, x_3)) = [2] + x_1 + [2]x_2 + [2]x_3 + [2]x_3^2 + [2]x_2*x_3 + [2]x_1*x_3 + [2]x_1^2 + x_1*x_2 + [2]x_2^2
   POL(ENCODE_LE(x_1, x_2)) = [1] + [2]x_1 + [2]x_2 + [2]x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2
   POL(ENCODE_MINUS(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + [2]x_2 + x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2
   POL(GCD(x_1, x_2)) = [1] + [2]x_1 + [2]x_2
   POL(IF_GCD(x_1, x_2, x_3)) = [2]x_2 + [2]x_3
   POL(LE(x_1, x_2)) = [1]
   POL(MINUS(x_1, x_2)) = [1]
   POL(c(x_1)) = x_1
   POL(c16) = 0
   POL(c17) = 0
   POL(c18(x_1)) = x_1
   POL(c19) = 0
   POL(c2(x_1)) = x_1
   POL(c20(x_1)) = x_1
   POL(c21) = 0
   POL(c22) = 0
   POL(c23(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c24(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c25(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c4(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c5(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c6(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c7(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(cons_gcd(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2
   POL(cons_if_gcd(x_1, x_2, x_3)) = [2] + x_1 + x_2 + x_3
   POL(cons_le(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2
   POL(cons_minus(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2
   POL(encArg(x_1)) = x_1
   POL(false) = 0
   POL(gcd(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(if_gcd(x_1, x_2, x_3)) = x_2 + x_3
   POL(le(x_1, x_2)) = 0
   POL(minus(x_1, x_2)) = x_1
   POL(s(x_1)) = [1] + x_1
   POL(true) = 0

----------------------------------------

(22)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_le(z0, z1)) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_gcd(z0, z1)) -> gcd(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_if_gcd(z0, z1, z2)) -> if_gcd(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   le(0, z0) -> true
   le(s(z0), 0) -> false
   le(s(z0), s(z1)) -> le(z0, z1)
   minus(z0, 0) -> z0
   minus(s(z0), s(z1)) -> minus(z0, z1)
   gcd(0, z0) -> z0
   gcd(s(z0), 0) -> s(z0)
   gcd(s(z0), s(z1)) -> if_gcd(le(z1, z0), s(z0), s(z1))
   if_gcd(true, s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(z0, z1), s(z1))
   if_gcd(false, s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(z1, z0), s(z0))
Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_le(z0, z1)) -> c4(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c5(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_gcd(z0, z1)) -> c6(GCD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_if_gcd(z0, z1, z2)) -> c7(IF_GCD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   LE(0, z0) -> c16
   LE(s(z0), 0) -> c17
   LE(s(z0), s(z1)) -> c18(LE(z0, z1))
   MINUS(z0, 0) -> c19
   MINUS(s(z0), s(z1)) -> c20(MINUS(z0, z1))
   GCD(0, z0) -> c21
   GCD(s(z0), 0) -> c22
   GCD(s(z0), s(z1)) -> c23(IF_GCD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_GCD(true, s(z0), s(z1)) -> c24(GCD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_GCD(false, s(z0), s(z1)) -> c25(GCD(minus(z1, z0), s(z0)), MINUS(z1, z0))
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(LE(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_GCD(z0, z1) -> c(GCD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_IF_GCD(z0, z1, z2) -> c(IF_GCD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
S tuples:
   LE(s(z0), s(z1)) -> c18(LE(z0, z1))
   MINUS(s(z0), s(z1)) -> c20(MINUS(z0, z1))
K tuples:
   GCD(0, z0) -> c21
   GCD(s(z0), 0) -> c22
   MINUS(z0, 0) -> c19
   IF_GCD(true, s(z0), s(z1)) -> c24(GCD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_GCD(false, s(z0), s(z1)) -> c25(GCD(minus(z1, z0), s(z0)), MINUS(z1, z0))
   GCD(s(z0), s(z1)) -> c23(IF_GCD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   LE(0, z0) -> c16
   LE(s(z0), 0) -> c17
Defined Rule Symbols:   encArg_1, le_2, minus_2, gcd_2, if_gcd_3

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, LE_2, MINUS_2, GCD_2, IF_GCD_3, ENCODE_LE_2, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_GCD_2, ENCODE_IF_GCD_3

Compound Symbols:   c2_1, c4_3, c5_3, c6_3, c7_4, c16, c17, c18_1, c19, c20_1, c21, c22, c23_2, c24_2, c25_2, c_1


----------------------------------------

(23) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^2)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   MINUS(s(z0), s(z1)) -> c20(MINUS(z0, z1))
We considered the (Usable) Rules:
   le(s(z0), s(z1)) -> le(z0, z1)
   le(s(z0), 0) -> false
   gcd(s(z0), 0) -> s(z0)
   if_gcd(true, s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(z0, z1), s(z1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(cons_le(z0, z1)) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_gcd(z0, z1)) -> gcd(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   if_gcd(false, s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(z1, z0), s(z0))
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(false) -> false
   gcd(0, z0) -> z0
   gcd(s(z0), s(z1)) -> if_gcd(le(z1, z0), s(z0), s(z1))
   encArg(cons_if_gcd(z0, z1, z2)) -> if_gcd(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   le(0, z0) -> true
   minus(s(z0), s(z1)) -> minus(z0, z1)
   minus(z0, 0) -> z0
And the Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_le(z0, z1)) -> c4(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c5(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_gcd(z0, z1)) -> c6(GCD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_if_gcd(z0, z1, z2)) -> c7(IF_GCD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   LE(0, z0) -> c16
   LE(s(z0), 0) -> c17
   LE(s(z0), s(z1)) -> c18(LE(z0, z1))
   MINUS(z0, 0) -> c19
   MINUS(s(z0), s(z1)) -> c20(MINUS(z0, z1))
   GCD(0, z0) -> c21
   GCD(s(z0), 0) -> c22
   GCD(s(z0), s(z1)) -> c23(IF_GCD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_GCD(true, s(z0), s(z1)) -> c24(GCD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_GCD(false, s(z0), s(z1)) -> c25(GCD(minus(z1, z0), s(z0)), MINUS(z1, z0))
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(LE(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_GCD(z0, z1) -> c(GCD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_IF_GCD(z0, z1, z2) -> c(IF_GCD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(0) = 0
   POL(ENCARG(x_1)) = x_1^2
   POL(ENCODE_GCD(x_1, x_2)) = [1] + [2]x_1 + [2]x_2 + [2]x_2^2 + [2]x_1*x_2 + x_1^2
   POL(ENCODE_IF_GCD(x_1, x_2, x_3)) = [2] + [2]x_1 + x_2 + [2]x_3 + [2]x_3^2 + [2]x_2*x_3 + [2]x_1*x_3 + [2]x_1^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_2^2
   POL(ENCODE_LE(x_1, x_2)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_2 + [2]x_2^2 + x_1*x_2 + [2]x_1^2
   POL(ENCODE_MINUS(x_1, x_2)) = [2] + [2]x_1 + x_2 + [2]x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2
   POL(GCD(x_1, x_2)) = [2]x_1*x_2
   POL(IF_GCD(x_1, x_2, x_3)) = [2]x_2*x_3
   POL(LE(x_1, x_2)) = 0
   POL(MINUS(x_1, x_2)) = x_2
   POL(c(x_1)) = x_1
   POL(c16) = 0
   POL(c17) = 0
   POL(c18(x_1)) = x_1
   POL(c19) = 0
   POL(c2(x_1)) = x_1
   POL(c20(x_1)) = x_1
   POL(c21) = 0
   POL(c22) = 0
   POL(c23(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c24(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c25(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c4(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c5(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c6(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c7(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(cons_gcd(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2
   POL(cons_if_gcd(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(cons_le(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2
   POL(cons_minus(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2
   POL(encArg(x_1)) = x_1
   POL(false) = 0
   POL(gcd(x_1, x_2)) = [2] + x_1 + x_2
   POL(if_gcd(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(le(x_1, x_2)) = [2]
   POL(minus(x_1, x_2)) = x_1
   POL(s(x_1)) = [2] + x_1
   POL(true) = 0

----------------------------------------

(24)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_le(z0, z1)) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_gcd(z0, z1)) -> gcd(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_if_gcd(z0, z1, z2)) -> if_gcd(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   le(0, z0) -> true
   le(s(z0), 0) -> false
   le(s(z0), s(z1)) -> le(z0, z1)
   minus(z0, 0) -> z0
   minus(s(z0), s(z1)) -> minus(z0, z1)
   gcd(0, z0) -> z0
   gcd(s(z0), 0) -> s(z0)
   gcd(s(z0), s(z1)) -> if_gcd(le(z1, z0), s(z0), s(z1))
   if_gcd(true, s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(z0, z1), s(z1))
   if_gcd(false, s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(z1, z0), s(z0))
Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_le(z0, z1)) -> c4(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c5(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_gcd(z0, z1)) -> c6(GCD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_if_gcd(z0, z1, z2)) -> c7(IF_GCD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   LE(0, z0) -> c16
   LE(s(z0), 0) -> c17
   LE(s(z0), s(z1)) -> c18(LE(z0, z1))
   MINUS(z0, 0) -> c19
   MINUS(s(z0), s(z1)) -> c20(MINUS(z0, z1))
   GCD(0, z0) -> c21
   GCD(s(z0), 0) -> c22
   GCD(s(z0), s(z1)) -> c23(IF_GCD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_GCD(true, s(z0), s(z1)) -> c24(GCD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_GCD(false, s(z0), s(z1)) -> c25(GCD(minus(z1, z0), s(z0)), MINUS(z1, z0))
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(LE(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_GCD(z0, z1) -> c(GCD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_IF_GCD(z0, z1, z2) -> c(IF_GCD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
S tuples:
   LE(s(z0), s(z1)) -> c18(LE(z0, z1))
K tuples:
   GCD(0, z0) -> c21
   GCD(s(z0), 0) -> c22
   MINUS(z0, 0) -> c19
   IF_GCD(true, s(z0), s(z1)) -> c24(GCD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_GCD(false, s(z0), s(z1)) -> c25(GCD(minus(z1, z0), s(z0)), MINUS(z1, z0))
   GCD(s(z0), s(z1)) -> c23(IF_GCD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   LE(0, z0) -> c16
   LE(s(z0), 0) -> c17
   MINUS(s(z0), s(z1)) -> c20(MINUS(z0, z1))
Defined Rule Symbols:   encArg_1, le_2, minus_2, gcd_2, if_gcd_3

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, LE_2, MINUS_2, GCD_2, IF_GCD_3, ENCODE_LE_2, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_GCD_2, ENCODE_IF_GCD_3

Compound Symbols:   c2_1, c4_3, c5_3, c6_3, c7_4, c16, c17, c18_1, c19, c20_1, c21, c22, c23_2, c24_2, c25_2, c_1


----------------------------------------

(25) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^2)))
Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S.
   LE(s(z0), s(z1)) -> c18(LE(z0, z1))
We considered the (Usable) Rules:
   le(s(z0), s(z1)) -> le(z0, z1)
   le(s(z0), 0) -> false
   gcd(s(z0), 0) -> s(z0)
   if_gcd(true, s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(z0, z1), s(z1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(cons_le(z0, z1)) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_gcd(z0, z1)) -> gcd(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   if_gcd(false, s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(z1, z0), s(z0))
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(false) -> false
   gcd(0, z0) -> z0
   gcd(s(z0), s(z1)) -> if_gcd(le(z1, z0), s(z0), s(z1))
   encArg(cons_if_gcd(z0, z1, z2)) -> if_gcd(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   le(0, z0) -> true
   minus(s(z0), s(z1)) -> minus(z0, z1)
   minus(z0, 0) -> z0
And the Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_le(z0, z1)) -> c4(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c5(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_gcd(z0, z1)) -> c6(GCD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_if_gcd(z0, z1, z2)) -> c7(IF_GCD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   LE(0, z0) -> c16
   LE(s(z0), 0) -> c17
   LE(s(z0), s(z1)) -> c18(LE(z0, z1))
   MINUS(z0, 0) -> c19
   MINUS(s(z0), s(z1)) -> c20(MINUS(z0, z1))
   GCD(0, z0) -> c21
   GCD(s(z0), 0) -> c22
   GCD(s(z0), s(z1)) -> c23(IF_GCD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_GCD(true, s(z0), s(z1)) -> c24(GCD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_GCD(false, s(z0), s(z1)) -> c25(GCD(minus(z1, z0), s(z0)), MINUS(z1, z0))
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(LE(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_GCD(z0, z1) -> c(GCD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_IF_GCD(z0, z1, z2) -> c(IF_GCD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
The order we found is given by the following interpretation:

Polynomial interpretation :

   POL(0) = 0
   POL(ENCARG(x_1)) = x_1^2
   POL(ENCODE_GCD(x_1, x_2)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_2 + [2]x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2
   POL(ENCODE_IF_GCD(x_1, x_2, x_3)) = [2] + [2]x_1 + [2]x_2 + [2]x_3 + [2]x_3^2 + [2]x_2*x_3 + x_1*x_3 + [2]x_1^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_2^2
   POL(ENCODE_LE(x_1, x_2)) = [1] + [2]x_1 + x_2 + x_2^2 + x_1*x_2 + [2]x_1^2
   POL(ENCODE_MINUS(x_1, x_2)) = [2] + [2]x_1 + x_2^2 + [2]x_1*x_2 + [2]x_1^2
   POL(GCD(x_1, x_2)) = x_2 + x_1*x_2
   POL(IF_GCD(x_1, x_2, x_3)) = x_2*x_3
   POL(LE(x_1, x_2)) = x_1
   POL(MINUS(x_1, x_2)) = 0
   POL(c(x_1)) = x_1
   POL(c16) = 0
   POL(c17) = 0
   POL(c18(x_1)) = x_1
   POL(c19) = 0
   POL(c2(x_1)) = x_1
   POL(c20(x_1)) = x_1
   POL(c21) = 0
   POL(c22) = 0
   POL(c23(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c24(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c25(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(c4(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c5(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c6(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(c7(x_1, x_2, x_3, x_4)) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4
   POL(cons_gcd(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_if_gcd(x_1, x_2, x_3)) = [1] + x_1 + x_2 + x_3
   POL(cons_le(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(cons_minus(x_1, x_2)) = x_1 + x_2
   POL(encArg(x_1)) = x_1
   POL(false) = 0
   POL(gcd(x_1, x_2)) = [1] + x_1 + x_2
   POL(if_gcd(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3
   POL(le(x_1, x_2)) = 0
   POL(minus(x_1, x_2)) = x_1
   POL(s(x_1)) = [2] + x_1
   POL(true) = 0

----------------------------------------

(26)
Obligation:
Complexity Dependency Tuples Problem

Rules:
   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(s(z0)) -> s(encArg(z0))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_le(z0, z1)) -> le(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_minus(z0, z1)) -> minus(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_gcd(z0, z1)) -> gcd(encArg(z0), encArg(z1))
   encArg(cons_if_gcd(z0, z1, z2)) -> if_gcd(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2))
   le(0, z0) -> true
   le(s(z0), 0) -> false
   le(s(z0), s(z1)) -> le(z0, z1)
   minus(z0, 0) -> z0
   minus(s(z0), s(z1)) -> minus(z0, z1)
   gcd(0, z0) -> z0
   gcd(s(z0), 0) -> s(z0)
   gcd(s(z0), s(z1)) -> if_gcd(le(z1, z0), s(z0), s(z1))
   if_gcd(true, s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(z0, z1), s(z1))
   if_gcd(false, s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(z1, z0), s(z0))
Tuples:
   ENCARG(s(z0)) -> c2(ENCARG(z0))
   ENCARG(cons_le(z0, z1)) -> c4(LE(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_minus(z0, z1)) -> c5(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_gcd(z0, z1)) -> c6(GCD(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1))
   ENCARG(cons_if_gcd(z0, z1, z2)) -> c7(IF_GCD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)), ENCARG(z0), ENCARG(z1), ENCARG(z2))
   LE(0, z0) -> c16
   LE(s(z0), 0) -> c17
   LE(s(z0), s(z1)) -> c18(LE(z0, z1))
   MINUS(z0, 0) -> c19
   MINUS(s(z0), s(z1)) -> c20(MINUS(z0, z1))
   GCD(0, z0) -> c21
   GCD(s(z0), 0) -> c22
   GCD(s(z0), s(z1)) -> c23(IF_GCD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   IF_GCD(true, s(z0), s(z1)) -> c24(GCD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_GCD(false, s(z0), s(z1)) -> c25(GCD(minus(z1, z0), s(z0)), MINUS(z1, z0))
   ENCODE_LE(z0, z1) -> c(LE(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_MINUS(z0, z1) -> c(MINUS(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_GCD(z0, z1) -> c(GCD(encArg(z0), encArg(z1)))
   ENCODE_IF_GCD(z0, z1, z2) -> c(IF_GCD(encArg(z0), encArg(z1), encArg(z2)))
S tuples:none
K tuples:
   GCD(0, z0) -> c21
   GCD(s(z0), 0) -> c22
   MINUS(z0, 0) -> c19
   IF_GCD(true, s(z0), s(z1)) -> c24(GCD(minus(z0, z1), s(z1)), MINUS(z0, z1))
   IF_GCD(false, s(z0), s(z1)) -> c25(GCD(minus(z1, z0), s(z0)), MINUS(z1, z0))
   GCD(s(z0), s(z1)) -> c23(IF_GCD(le(z1, z0), s(z0), s(z1)), LE(z1, z0))
   LE(0, z0) -> c16
   LE(s(z0), 0) -> c17
   MINUS(s(z0), s(z1)) -> c20(MINUS(z0, z1))
   LE(s(z0), s(z1)) -> c18(LE(z0, z1))
Defined Rule Symbols:   encArg_1, le_2, minus_2, gcd_2, if_gcd_3

Defined Pair Symbols:   ENCARG_1, LE_2, MINUS_2, GCD_2, IF_GCD_3, ENCODE_LE_2, ENCODE_MINUS_2, ENCODE_GCD_2, ENCODE_IF_GCD_3

Compound Symbols:   c2_1, c4_3, c5_3, c6_3, c7_4, c16, c17, c18_1, c19, c20_1, c21, c22, c23_2, c24_2, c25_2, c_1


----------------------------------------

(27) SIsEmptyProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The set S is empty
----------------------------------------

(28)
BOUNDS(1, 1)

----------------------------------------

(29) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(30)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   le(0', y) -> true
   le(s(x), 0') -> false
   le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
   minus(x, 0') -> x
   minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
   gcd(0', y) -> y
   gcd(s(x), 0') -> s(x)
   gcd(s(x), s(y)) -> if_gcd(le(y, x), s(x), s(y))
   if_gcd(true, s(x), s(y)) -> gcd(minus(x, y), s(y))
   if_gcd(false, s(x), s(y)) -> gcd(minus(y, x), s(x))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0') -> 0'
   encArg(true) -> true
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_gcd(x_1, x_2)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if_gcd(x_1, x_2, x_3)) -> if_gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0'
   encode_true -> true
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_false -> false
   encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_gcd(x_1, x_2) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if_gcd(x_1, x_2, x_3) -> if_gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(31) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(32)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
le(0', y) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
minus(x, 0') -> x
minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
gcd(0', y) -> y
gcd(s(x), 0') -> s(x)
gcd(s(x), s(y)) -> if_gcd(le(y, x), s(x), s(y))
if_gcd(true, s(x), s(y)) -> gcd(minus(x, y), s(y))
if_gcd(false, s(x), s(y)) -> gcd(minus(y, x), s(x))
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(false) -> false
encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_gcd(x_1, x_2)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if_gcd(x_1, x_2, x_3)) -> if_gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_true -> true
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_false -> false
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_gcd(x_1, x_2) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if_gcd(x_1, x_2, x_3) -> if_gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Types:
le :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
0' :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
true :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
s :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
false :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
minus :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
gcd :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
if_gcd :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encArg :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
cons_le :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
cons_minus :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
cons_gcd :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
cons_if_gcd :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_le :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_0 :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_true :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_s :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_false :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_minus :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_gcd :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_if_gcd :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
hole_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd1_4 :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4 :: Nat -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd

----------------------------------------

(33) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
le, minus, gcd, if_gcd, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
le < gcd
le < encArg
minus < if_gcd
minus < encArg
gcd = if_gcd
gcd < encArg
if_gcd < encArg

----------------------------------------

(34)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
le(0', y) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
minus(x, 0') -> x
minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
gcd(0', y) -> y
gcd(s(x), 0') -> s(x)
gcd(s(x), s(y)) -> if_gcd(le(y, x), s(x), s(y))
if_gcd(true, s(x), s(y)) -> gcd(minus(x, y), s(y))
if_gcd(false, s(x), s(y)) -> gcd(minus(y, x), s(x))
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(false) -> false
encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_gcd(x_1, x_2)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if_gcd(x_1, x_2, x_3)) -> if_gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_true -> true
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_false -> false
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_gcd(x_1, x_2) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if_gcd(x_1, x_2, x_3) -> if_gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Types:
le :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
0' :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
true :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
s :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
false :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
minus :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
gcd :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
if_gcd :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encArg :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
cons_le :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
cons_minus :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
cons_gcd :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
cons_if_gcd :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_le :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_0 :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_true :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_s :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_false :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_minus :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_gcd :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_if_gcd :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
hole_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd1_4 :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4 :: Nat -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd


Generator Equations:
gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(0) <=> 0'
gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
le, minus, gcd, if_gcd, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
le < gcd
le < encArg
minus < if_gcd
minus < encArg
gcd = if_gcd
gcd < encArg
if_gcd < encArg

----------------------------------------

(35) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
le(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(n4_4), gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(n4_4)) -> true, rt in Omega(1 + n4_4)

Induction Base:
le(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(0), gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(0)) ->_R^Omega(1)
true

Induction Step:
le(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(+(n4_4, 1)), gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(+(n4_4, 1))) ->_R^Omega(1)
le(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(n4_4), gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(n4_4)) ->_IH
true

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(36)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(37)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
le(0', y) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
minus(x, 0') -> x
minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
gcd(0', y) -> y
gcd(s(x), 0') -> s(x)
gcd(s(x), s(y)) -> if_gcd(le(y, x), s(x), s(y))
if_gcd(true, s(x), s(y)) -> gcd(minus(x, y), s(y))
if_gcd(false, s(x), s(y)) -> gcd(minus(y, x), s(x))
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(false) -> false
encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_gcd(x_1, x_2)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if_gcd(x_1, x_2, x_3)) -> if_gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_true -> true
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_false -> false
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_gcd(x_1, x_2) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if_gcd(x_1, x_2, x_3) -> if_gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Types:
le :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
0' :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
true :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
s :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
false :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
minus :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
gcd :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
if_gcd :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encArg :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
cons_le :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
cons_minus :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
cons_gcd :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
cons_if_gcd :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_le :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_0 :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_true :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_s :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_false :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_minus :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_gcd :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_if_gcd :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
hole_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd1_4 :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4 :: Nat -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd


Generator Equations:
gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(0) <=> 0'
gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
le, minus, gcd, if_gcd, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
le < gcd
le < encArg
minus < if_gcd
minus < encArg
gcd = if_gcd
gcd < encArg
if_gcd < encArg

----------------------------------------

(38) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(39)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(40)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
le(0', y) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
minus(x, 0') -> x
minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
gcd(0', y) -> y
gcd(s(x), 0') -> s(x)
gcd(s(x), s(y)) -> if_gcd(le(y, x), s(x), s(y))
if_gcd(true, s(x), s(y)) -> gcd(minus(x, y), s(y))
if_gcd(false, s(x), s(y)) -> gcd(minus(y, x), s(x))
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(false) -> false
encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_gcd(x_1, x_2)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if_gcd(x_1, x_2, x_3)) -> if_gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_true -> true
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_false -> false
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_gcd(x_1, x_2) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if_gcd(x_1, x_2, x_3) -> if_gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Types:
le :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
0' :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
true :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
s :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
false :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
minus :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
gcd :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
if_gcd :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encArg :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
cons_le :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
cons_minus :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
cons_gcd :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
cons_if_gcd :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_le :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_0 :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_true :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_s :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_false :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_minus :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_gcd :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_if_gcd :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
hole_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd1_4 :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4 :: Nat -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd


Lemmas:
le(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(n4_4), gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(n4_4)) -> true, rt in Omega(1 + n4_4)


Generator Equations:
gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(0) <=> 0'
gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
minus, gcd, if_gcd, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
minus < if_gcd
minus < encArg
gcd = if_gcd
gcd < encArg
if_gcd < encArg

----------------------------------------

(41) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
minus(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(n503_4), gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(n503_4)) -> gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(0), rt in Omega(1 + n503_4)

Induction Base:
minus(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(0), gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(0)) ->_R^Omega(1)
gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(0)

Induction Step:
minus(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(+(n503_4, 1)), gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(+(n503_4, 1))) ->_R^Omega(1)
minus(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(n503_4), gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(n503_4)) ->_IH
gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(0)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(42)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
le(0', y) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
minus(x, 0') -> x
minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y)
gcd(0', y) -> y
gcd(s(x), 0') -> s(x)
gcd(s(x), s(y)) -> if_gcd(le(y, x), s(x), s(y))
if_gcd(true, s(x), s(y)) -> gcd(minus(x, y), s(y))
if_gcd(false, s(x), s(y)) -> gcd(minus(y, x), s(x))
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(false) -> false
encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_gcd(x_1, x_2)) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if_gcd(x_1, x_2, x_3)) -> if_gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_true -> true
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_false -> false
encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_gcd(x_1, x_2) -> gcd(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if_gcd(x_1, x_2, x_3) -> if_gcd(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Types:
le :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
0' :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
true :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
s :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
false :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
minus :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
gcd :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
if_gcd :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encArg :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
cons_le :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
cons_minus :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
cons_gcd :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
cons_if_gcd :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_le :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_0 :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_true :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_s :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_false :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_minus :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_gcd :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
encode_if_gcd :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
hole_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd1_4 :: 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd
gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4 :: Nat -> 0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd


Lemmas:
le(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(n4_4), gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(n4_4)) -> true, rt in Omega(1 + n4_4)
minus(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(n503_4), gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(n503_4)) -> gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(0), rt in Omega(1 + n503_4)


Generator Equations:
gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(0) <=> 0'
gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
if_gcd, gcd, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
gcd = if_gcd
gcd < encArg
if_gcd < encArg

----------------------------------------

(43) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(n1230_4)) -> gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(n1230_4), rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(0)) ->_R^Omega(0)
0'

Induction Step:
encArg(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(+(n1230_4, 1))) ->_R^Omega(0)
s(encArg(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(n1230_4))) ->_IH
s(gen_0':true:s:false:cons_le:cons_minus:cons_gcd:cons_if_gcd2_4(c1231_4))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(44)
BOUNDS(1, INF)