/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 234 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 2 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 325 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 333 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 234 ms] (20) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: minus(x, 0) -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) quot(0, s(y)) -> 0 quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y))) plus(0, y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) minus(minus(x, y), z) -> minus(x, plus(y, z)) app(nil, k) -> k app(l, nil) -> l app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k)) sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil) sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(plus(x, y), l)) sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) -> sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k))))) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: minus(x, 0) -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) quot(0, s(y)) -> 0 quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y))) plus(0, y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) minus(minus(x, y), z) -> minus(x, plus(y, z)) app(nil, k) -> k app(l, nil) -> l app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k)) sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil) sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(plus(x, y), l)) sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) -> sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k))))) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: minus(x, 0) -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) quot(0, s(y)) -> 0 quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y))) plus(0, y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) minus(minus(x, y), z) -> minus(x, plus(y, z)) app(nil, k) -> k app(l, nil) -> l app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k)) sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil) sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(plus(x, y), l)) sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) -> sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k))))) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: minus(x, 0') -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) quot(0', s(y)) -> 0' quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y))) plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) minus(minus(x, y), z) -> minus(x, plus(y, z)) app(nil, k) -> k app(l, nil) -> l app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k)) sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil) sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(plus(x, y), l)) sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) -> sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k))))) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: minus(x, 0') -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) quot(0', s(y)) -> 0' quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y))) plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) minus(minus(x, y), z) -> minus(x, plus(y, z)) app(nil, k) -> k app(l, nil) -> l app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k)) sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil) sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(plus(x, y), l)) sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) -> sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k))))) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) Types: minus :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum 0' :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum s :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum quot :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum plus :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum app :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum nil :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum cons :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum sum :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encArg :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum cons_minus :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum cons_quot :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum cons_plus :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum cons_app :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum cons_sum :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_minus :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_0 :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_s :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_quot :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_plus :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_app :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_nil :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_cons :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_sum :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum hole_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum1_3 :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3 :: Nat -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: minus, quot, plus, app, sum, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: minus < quot plus < minus minus < encArg quot < encArg plus < sum plus < encArg app < sum app < encArg sum < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: minus(x, 0') -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) quot(0', s(y)) -> 0' quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y))) plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) minus(minus(x, y), z) -> minus(x, plus(y, z)) app(nil, k) -> k app(l, nil) -> l app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k)) sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil) sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(plus(x, y), l)) sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) -> sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k))))) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) Types: minus :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum 0' :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum s :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum quot :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum plus :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum app :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum nil :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum cons :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum sum :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encArg :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum cons_minus :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum cons_quot :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum cons_plus :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum cons_app :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum cons_sum :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_minus :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_0 :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_s :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_quot :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_plus :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_app :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_nil :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_cons :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_sum :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum hole_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum1_3 :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3 :: Nat -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum Generator Equations: gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(0) <=> 0' gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: plus, minus, quot, app, sum, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: minus < quot plus < minus minus < encArg quot < encArg plus < sum plus < encArg app < sum app < encArg sum < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: plus(gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(n4_3), gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(b)) -> gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(+(n4_3, b)), rt in Omega(1 + n4_3) Induction Base: plus(gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(0), gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(b)) ->_R^Omega(1) gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(b) Induction Step: plus(gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(+(n4_3, 1)), gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(b)) ->_R^Omega(1) s(plus(gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(n4_3), gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(b))) ->_IH s(gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(+(b, c5_3))) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: minus(x, 0') -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) quot(0', s(y)) -> 0' quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y))) plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) minus(minus(x, y), z) -> minus(x, plus(y, z)) app(nil, k) -> k app(l, nil) -> l app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k)) sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil) sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(plus(x, y), l)) sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) -> sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k))))) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) Types: minus :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum 0' :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum s :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum quot :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum plus :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum app :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum nil :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum cons :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum sum :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encArg :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum cons_minus :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum cons_quot :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum cons_plus :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum cons_app :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum cons_sum :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_minus :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_0 :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_s :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_quot :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_plus :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_app :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_nil :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_cons :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_sum :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum hole_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum1_3 :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3 :: Nat -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum Generator Equations: gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(0) <=> 0' gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: plus, minus, quot, app, sum, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: minus < quot plus < minus minus < encArg quot < encArg plus < sum plus < encArg app < sum app < encArg sum < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: minus(x, 0') -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) quot(0', s(y)) -> 0' quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y))) plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) minus(minus(x, y), z) -> minus(x, plus(y, z)) app(nil, k) -> k app(l, nil) -> l app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k)) sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil) sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(plus(x, y), l)) sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) -> sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k))))) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) Types: minus :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum 0' :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum s :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum quot :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum plus :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum app :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum nil :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum cons :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum sum :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encArg :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum cons_minus :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum cons_quot :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum cons_plus :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum cons_app :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum cons_sum :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_minus :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_0 :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_s :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_quot :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_plus :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_app :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_nil :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_cons :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_sum :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum hole_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum1_3 :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3 :: Nat -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum Lemmas: plus(gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(n4_3), gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(b)) -> gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(+(n4_3, b)), rt in Omega(1 + n4_3) Generator Equations: gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(0) <=> 0' gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: minus, quot, app, sum, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: minus < quot minus < encArg quot < encArg app < sum app < encArg sum < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: minus(gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(+(1, n1137_3)), gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(+(1, n1137_3))) -> *3_3, rt in Omega(n1137_3) Induction Base: minus(gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(+(1, 0)), gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(+(1, 0))) Induction Step: minus(gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(+(1, +(n1137_3, 1))), gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(+(1, +(n1137_3, 1)))) ->_R^Omega(1) minus(gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(+(1, n1137_3)), gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(+(1, n1137_3))) ->_IH *3_3 We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: minus(x, 0') -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) quot(0', s(y)) -> 0' quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y))) plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) minus(minus(x, y), z) -> minus(x, plus(y, z)) app(nil, k) -> k app(l, nil) -> l app(cons(x, l), k) -> cons(x, app(l, k)) sum(cons(x, nil)) -> cons(x, nil) sum(cons(x, cons(y, l))) -> sum(cons(plus(x, y), l)) sum(app(l, cons(x, cons(y, k)))) -> sum(app(l, sum(cons(x, cons(y, k))))) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) Types: minus :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum 0' :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum s :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum quot :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum plus :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum app :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum nil :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum cons :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum sum :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encArg :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum cons_minus :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum cons_quot :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum cons_plus :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum cons_app :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum cons_sum :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_minus :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_0 :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_s :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_quot :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_plus :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_app :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_nil :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_cons :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum encode_sum :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum hole_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum1_3 :: 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3 :: Nat -> 0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum Lemmas: plus(gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(n4_3), gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(b)) -> gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(+(n4_3, b)), rt in Omega(1 + n4_3) minus(gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(+(1, n1137_3)), gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(+(1, n1137_3))) -> *3_3, rt in Omega(n1137_3) Generator Equations: gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(0) <=> 0' gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: quot, app, sum, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: quot < encArg app < sum app < encArg sum < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(n3707_3)) -> gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(n3707_3), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(+(n3707_3, 1))) ->_R^Omega(0) s(encArg(gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(n3707_3))) ->_IH s(gen_0':s:nil:cons:cons_minus:cons_quot:cons_plus:cons_app:cons_sum2_3(c3708_3)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (20) BOUNDS(1, INF)