/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 237 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 8 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 273 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 1924 ms] (18) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: eq(0, 0) -> true eq(0, s(x)) -> false eq(s(x), 0) -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) or(true, y) -> true or(false, y) -> y union(empty, h) -> h union(edge(x, y, i), h) -> edge(x, y, union(i, h)) reach(x, y, empty, h) -> false reach(x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach_1(eq(x, u), x, y, edge(u, v, i), h) if_reach_1(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach_2(eq(y, v), x, y, edge(u, v, i), h) if_reach_2(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> true if_reach_2(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> or(reach(x, y, i, h), reach(v, y, union(i, h), empty)) if_reach_1(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> reach(x, y, i, edge(u, v, h)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(empty) -> empty encArg(edge(x_1, x_2, x_3)) -> edge(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_or(x_1, x_2)) -> or(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_union(x_1, x_2)) -> union(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_reach(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> reach(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_if_reach_1(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if_reach_1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encArg(cons_if_reach_2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if_reach_2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_or(x_1, x_2) -> or(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_union(x_1, x_2) -> union(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_empty -> empty encode_edge(x_1, x_2, x_3) -> edge(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_reach(x_1, x_2, x_3, x_4) -> reach(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_if_reach_1(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if_reach_1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_if_reach_2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if_reach_2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: eq(0, 0) -> true eq(0, s(x)) -> false eq(s(x), 0) -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) or(true, y) -> true or(false, y) -> y union(empty, h) -> h union(edge(x, y, i), h) -> edge(x, y, union(i, h)) reach(x, y, empty, h) -> false reach(x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach_1(eq(x, u), x, y, edge(u, v, i), h) if_reach_1(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach_2(eq(y, v), x, y, edge(u, v, i), h) if_reach_2(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> true if_reach_2(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> or(reach(x, y, i, h), reach(v, y, union(i, h), empty)) if_reach_1(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> reach(x, y, i, edge(u, v, h)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(empty) -> empty encArg(edge(x_1, x_2, x_3)) -> edge(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_or(x_1, x_2)) -> or(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_union(x_1, x_2)) -> union(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_reach(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> reach(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_if_reach_1(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if_reach_1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encArg(cons_if_reach_2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if_reach_2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_or(x_1, x_2) -> or(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_union(x_1, x_2) -> union(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_empty -> empty encode_edge(x_1, x_2, x_3) -> edge(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_reach(x_1, x_2, x_3, x_4) -> reach(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_if_reach_1(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if_reach_1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_if_reach_2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if_reach_2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: eq(0, 0) -> true eq(0, s(x)) -> false eq(s(x), 0) -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) or(true, y) -> true or(false, y) -> y union(empty, h) -> h union(edge(x, y, i), h) -> edge(x, y, union(i, h)) reach(x, y, empty, h) -> false reach(x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach_1(eq(x, u), x, y, edge(u, v, i), h) if_reach_1(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach_2(eq(y, v), x, y, edge(u, v, i), h) if_reach_2(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> true if_reach_2(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> or(reach(x, y, i, h), reach(v, y, union(i, h), empty)) if_reach_1(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> reach(x, y, i, edge(u, v, h)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(empty) -> empty encArg(edge(x_1, x_2, x_3)) -> edge(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_or(x_1, x_2)) -> or(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_union(x_1, x_2)) -> union(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_reach(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> reach(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_if_reach_1(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if_reach_1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encArg(cons_if_reach_2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if_reach_2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_or(x_1, x_2) -> or(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_union(x_1, x_2) -> union(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_empty -> empty encode_edge(x_1, x_2, x_3) -> edge(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_reach(x_1, x_2, x_3, x_4) -> reach(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_if_reach_1(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if_reach_1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_if_reach_2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if_reach_2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: eq(0', 0') -> true eq(0', s(x)) -> false eq(s(x), 0') -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) or(true, y) -> true or(false, y) -> y union(empty, h) -> h union(edge(x, y, i), h) -> edge(x, y, union(i, h)) reach(x, y, empty, h) -> false reach(x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach_1(eq(x, u), x, y, edge(u, v, i), h) if_reach_1(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach_2(eq(y, v), x, y, edge(u, v, i), h) if_reach_2(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> true if_reach_2(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> or(reach(x, y, i, h), reach(v, y, union(i, h), empty)) if_reach_1(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> reach(x, y, i, edge(u, v, h)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(empty) -> empty encArg(edge(x_1, x_2, x_3)) -> edge(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_or(x_1, x_2)) -> or(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_union(x_1, x_2)) -> union(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_reach(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> reach(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_if_reach_1(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if_reach_1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encArg(cons_if_reach_2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if_reach_2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_or(x_1, x_2) -> or(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_union(x_1, x_2) -> union(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_empty -> empty encode_edge(x_1, x_2, x_3) -> edge(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_reach(x_1, x_2, x_3, x_4) -> reach(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_if_reach_1(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if_reach_1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_if_reach_2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if_reach_2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: eq(0', 0') -> true eq(0', s(x)) -> false eq(s(x), 0') -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) or(true, y) -> true or(false, y) -> y union(empty, h) -> h union(edge(x, y, i), h) -> edge(x, y, union(i, h)) reach(x, y, empty, h) -> false reach(x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach_1(eq(x, u), x, y, edge(u, v, i), h) if_reach_1(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach_2(eq(y, v), x, y, edge(u, v, i), h) if_reach_2(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> true if_reach_2(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> or(reach(x, y, i, h), reach(v, y, union(i, h), empty)) if_reach_1(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> reach(x, y, i, edge(u, v, h)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(empty) -> empty encArg(edge(x_1, x_2, x_3)) -> edge(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_or(x_1, x_2)) -> or(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_union(x_1, x_2)) -> union(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_reach(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> reach(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_if_reach_1(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if_reach_1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encArg(cons_if_reach_2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if_reach_2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_or(x_1, x_2) -> or(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_union(x_1, x_2) -> union(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_empty -> empty encode_edge(x_1, x_2, x_3) -> edge(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_reach(x_1, x_2, x_3, x_4) -> reach(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_if_reach_1(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if_reach_1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_if_reach_2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if_reach_2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) Types: eq :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 0' :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 true :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 s :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 false :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 or :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 union :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 empty :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 edge :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 reach :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 if_reach_1 :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 if_reach_2 :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encArg :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 cons_eq :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 cons_or :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 cons_union :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 cons_reach :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 cons_if_reach_1 :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 cons_if_reach_2 :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_eq :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_0 :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_true :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_s :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_false :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_or :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_union :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_empty :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_edge :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_reach :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_if_reach_1 :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_if_reach_2 :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 hole_0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_21_6 :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 gen_0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_22_6 :: Nat -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: eq, union, reach, if_reach_1, if_reach_2, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: eq < reach eq < if_reach_1 eq < encArg union < if_reach_2 union < encArg reach = if_reach_1 reach = if_reach_2 reach < encArg if_reach_1 = if_reach_2 if_reach_1 < encArg if_reach_2 < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: eq(0', 0') -> true eq(0', s(x)) -> false eq(s(x), 0') -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) or(true, y) -> true or(false, y) -> y union(empty, h) -> h union(edge(x, y, i), h) -> edge(x, y, union(i, h)) reach(x, y, empty, h) -> false reach(x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach_1(eq(x, u), x, y, edge(u, v, i), h) if_reach_1(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach_2(eq(y, v), x, y, edge(u, v, i), h) if_reach_2(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> true if_reach_2(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> or(reach(x, y, i, h), reach(v, y, union(i, h), empty)) if_reach_1(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> reach(x, y, i, edge(u, v, h)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(empty) -> empty encArg(edge(x_1, x_2, x_3)) -> edge(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_or(x_1, x_2)) -> or(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_union(x_1, x_2)) -> union(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_reach(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> reach(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_if_reach_1(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if_reach_1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encArg(cons_if_reach_2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if_reach_2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_or(x_1, x_2) -> or(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_union(x_1, x_2) -> union(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_empty -> empty encode_edge(x_1, x_2, x_3) -> edge(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_reach(x_1, x_2, x_3, x_4) -> reach(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_if_reach_1(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if_reach_1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_if_reach_2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if_reach_2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) Types: eq :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 0' :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 true :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 s :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 false :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 or :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 union :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 empty :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 edge :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 reach :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 if_reach_1 :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 if_reach_2 :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encArg :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 cons_eq :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 cons_or :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 cons_union :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 cons_reach :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 cons_if_reach_1 :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 cons_if_reach_2 :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_eq :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_0 :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_true :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_s :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_false :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_or :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_union :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_empty :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_edge :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_reach :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_if_reach_1 :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_if_reach_2 :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 hole_0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_21_6 :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 gen_0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_22_6 :: Nat -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 Generator Equations: gen_0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_22_6(0) <=> 0' gen_0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_22_6(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_22_6(x)) The following defined symbols remain to be analysed: eq, union, reach, if_reach_1, if_reach_2, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: eq < reach eq < if_reach_1 eq < encArg union < if_reach_2 union < encArg reach = if_reach_1 reach = if_reach_2 reach < encArg if_reach_1 = if_reach_2 if_reach_1 < encArg if_reach_2 < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: eq(gen_0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_22_6(n4_6), gen_0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_22_6(n4_6)) -> true, rt in Omega(1 + n4_6) Induction Base: eq(gen_0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_22_6(0), gen_0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_22_6(0)) ->_R^Omega(1) true Induction Step: eq(gen_0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_22_6(+(n4_6, 1)), gen_0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_22_6(+(n4_6, 1))) ->_R^Omega(1) eq(gen_0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_22_6(n4_6), gen_0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_22_6(n4_6)) ->_IH true We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: eq(0', 0') -> true eq(0', s(x)) -> false eq(s(x), 0') -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) or(true, y) -> true or(false, y) -> y union(empty, h) -> h union(edge(x, y, i), h) -> edge(x, y, union(i, h)) reach(x, y, empty, h) -> false reach(x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach_1(eq(x, u), x, y, edge(u, v, i), h) if_reach_1(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach_2(eq(y, v), x, y, edge(u, v, i), h) if_reach_2(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> true if_reach_2(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> or(reach(x, y, i, h), reach(v, y, union(i, h), empty)) if_reach_1(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> reach(x, y, i, edge(u, v, h)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(empty) -> empty encArg(edge(x_1, x_2, x_3)) -> edge(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_or(x_1, x_2)) -> or(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_union(x_1, x_2)) -> union(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_reach(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> reach(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_if_reach_1(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if_reach_1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encArg(cons_if_reach_2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if_reach_2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_or(x_1, x_2) -> or(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_union(x_1, x_2) -> union(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_empty -> empty encode_edge(x_1, x_2, x_3) -> edge(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_reach(x_1, x_2, x_3, x_4) -> reach(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_if_reach_1(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if_reach_1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_if_reach_2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if_reach_2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) Types: eq :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 0' :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 true :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 s :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 false :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 or :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 union :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 empty :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 edge :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 reach :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 if_reach_1 :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 if_reach_2 :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encArg :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 cons_eq :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 cons_or :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 cons_union :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 cons_reach :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 cons_if_reach_1 :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 cons_if_reach_2 :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_eq :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_0 :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_true :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_s :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_false :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_or :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_union :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_empty :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_edge :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_reach :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_if_reach_1 :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_if_reach_2 :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 hole_0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_21_6 :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 gen_0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_22_6 :: Nat -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 Generator Equations: gen_0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_22_6(0) <=> 0' gen_0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_22_6(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_22_6(x)) The following defined symbols remain to be analysed: eq, union, reach, if_reach_1, if_reach_2, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: eq < reach eq < if_reach_1 eq < encArg union < if_reach_2 union < encArg reach = if_reach_1 reach = if_reach_2 reach < encArg if_reach_1 = if_reach_2 if_reach_1 < encArg if_reach_2 < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: eq(0', 0') -> true eq(0', s(x)) -> false eq(s(x), 0') -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) or(true, y) -> true or(false, y) -> y union(empty, h) -> h union(edge(x, y, i), h) -> edge(x, y, union(i, h)) reach(x, y, empty, h) -> false reach(x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach_1(eq(x, u), x, y, edge(u, v, i), h) if_reach_1(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> if_reach_2(eq(y, v), x, y, edge(u, v, i), h) if_reach_2(true, x, y, edge(u, v, i), h) -> true if_reach_2(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> or(reach(x, y, i, h), reach(v, y, union(i, h), empty)) if_reach_1(false, x, y, edge(u, v, i), h) -> reach(x, y, i, edge(u, v, h)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(empty) -> empty encArg(edge(x_1, x_2, x_3)) -> edge(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_or(x_1, x_2)) -> or(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_union(x_1, x_2)) -> union(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_reach(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> reach(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_if_reach_1(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if_reach_1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encArg(cons_if_reach_2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if_reach_2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_or(x_1, x_2) -> or(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_union(x_1, x_2) -> union(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_empty -> empty encode_edge(x_1, x_2, x_3) -> edge(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_reach(x_1, x_2, x_3, x_4) -> reach(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_if_reach_1(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if_reach_1(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_if_reach_2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if_reach_2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) Types: eq :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 0' :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 true :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 s :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 false :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 or :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 union :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 empty :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 edge :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 reach :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 if_reach_1 :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 if_reach_2 :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encArg :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 cons_eq :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 cons_or :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 cons_union :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 cons_reach :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 cons_if_reach_1 :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 cons_if_reach_2 :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_eq :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_0 :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_true :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_s :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_false :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_or :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_union :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_empty :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_edge :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_reach :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_if_reach_1 :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 encode_if_reach_2 :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 hole_0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_21_6 :: 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 gen_0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_22_6 :: Nat -> 0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_2 Lemmas: eq(gen_0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_22_6(n4_6), gen_0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_22_6(n4_6)) -> true, rt in Omega(1 + n4_6) Generator Equations: gen_0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_22_6(0) <=> 0' gen_0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_22_6(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_22_6(x)) The following defined symbols remain to be analysed: union, reach, if_reach_1, if_reach_2, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: union < if_reach_2 union < encArg reach = if_reach_1 reach = if_reach_2 reach < encArg if_reach_1 = if_reach_2 if_reach_1 < encArg if_reach_2 < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_22_6(n935_6)) -> gen_0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_22_6(n935_6), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_22_6(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_22_6(+(n935_6, 1))) ->_R^Omega(0) s(encArg(gen_0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_22_6(n935_6))) ->_IH s(gen_0':true:s:false:empty:edge:cons_eq:cons_or:cons_union:cons_reach:cons_if_reach_1:cons_if_reach_22_6(c936_6)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (18) BOUNDS(1, INF)