/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 343 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 304 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 10.7 s] (18) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: minus(x, 0) -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) quot(0, s(y)) -> 0 quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y))) app(nil, y) -> y app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y)) reverse(nil) -> nil reverse(add(n, x)) -> app(reverse(x), add(n, nil)) shuffle(nil) -> nil shuffle(add(n, x)) -> add(n, shuffle(reverse(x))) concat(leaf, y) -> y concat(cons(u, v), y) -> cons(u, concat(v, y)) less_leaves(x, leaf) -> false less_leaves(leaf, cons(w, z)) -> true less_leaves(cons(u, v), cons(w, z)) -> less_leaves(concat(u, v), concat(w, z)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(leaf) -> leaf encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(false) -> false encArg(true) -> true encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_reverse(x_1)) -> reverse(encArg(x_1)) encArg(cons_shuffle(x_1)) -> shuffle(encArg(x_1)) encArg(cons_concat(x_1, x_2)) -> concat(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_less_leaves(x_1, x_2)) -> less_leaves(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_reverse(x_1) -> reverse(encArg(x_1)) encode_shuffle(x_1) -> shuffle(encArg(x_1)) encode_concat(x_1, x_2) -> concat(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_leaf -> leaf encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_less_leaves(x_1, x_2) -> less_leaves(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_false -> false encode_true -> true ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: minus(x, 0) -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) quot(0, s(y)) -> 0 quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y))) app(nil, y) -> y app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y)) reverse(nil) -> nil reverse(add(n, x)) -> app(reverse(x), add(n, nil)) shuffle(nil) -> nil shuffle(add(n, x)) -> add(n, shuffle(reverse(x))) concat(leaf, y) -> y concat(cons(u, v), y) -> cons(u, concat(v, y)) less_leaves(x, leaf) -> false less_leaves(leaf, cons(w, z)) -> true less_leaves(cons(u, v), cons(w, z)) -> less_leaves(concat(u, v), concat(w, z)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(leaf) -> leaf encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(false) -> false encArg(true) -> true encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_reverse(x_1)) -> reverse(encArg(x_1)) encArg(cons_shuffle(x_1)) -> shuffle(encArg(x_1)) encArg(cons_concat(x_1, x_2)) -> concat(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_less_leaves(x_1, x_2)) -> less_leaves(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_reverse(x_1) -> reverse(encArg(x_1)) encode_shuffle(x_1) -> shuffle(encArg(x_1)) encode_concat(x_1, x_2) -> concat(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_leaf -> leaf encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_less_leaves(x_1, x_2) -> less_leaves(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_false -> false encode_true -> true Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: minus(x, 0) -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) quot(0, s(y)) -> 0 quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y))) app(nil, y) -> y app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y)) reverse(nil) -> nil reverse(add(n, x)) -> app(reverse(x), add(n, nil)) shuffle(nil) -> nil shuffle(add(n, x)) -> add(n, shuffle(reverse(x))) concat(leaf, y) -> y concat(cons(u, v), y) -> cons(u, concat(v, y)) less_leaves(x, leaf) -> false less_leaves(leaf, cons(w, z)) -> true less_leaves(cons(u, v), cons(w, z)) -> less_leaves(concat(u, v), concat(w, z)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(leaf) -> leaf encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(false) -> false encArg(true) -> true encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_reverse(x_1)) -> reverse(encArg(x_1)) encArg(cons_shuffle(x_1)) -> shuffle(encArg(x_1)) encArg(cons_concat(x_1, x_2)) -> concat(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_less_leaves(x_1, x_2)) -> less_leaves(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_reverse(x_1) -> reverse(encArg(x_1)) encode_shuffle(x_1) -> shuffle(encArg(x_1)) encode_concat(x_1, x_2) -> concat(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_leaf -> leaf encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_less_leaves(x_1, x_2) -> less_leaves(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_false -> false encode_true -> true Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: minus(x, 0') -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) quot(0', s(y)) -> 0' quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y))) app(nil, y) -> y app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y)) reverse(nil) -> nil reverse(add(n, x)) -> app(reverse(x), add(n, nil)) shuffle(nil) -> nil shuffle(add(n, x)) -> add(n, shuffle(reverse(x))) concat(leaf, y) -> y concat(cons(u, v), y) -> cons(u, concat(v, y)) less_leaves(x, leaf) -> false less_leaves(leaf, cons(w, z)) -> true less_leaves(cons(u, v), cons(w, z)) -> less_leaves(concat(u, v), concat(w, z)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(leaf) -> leaf encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(false) -> false encArg(true) -> true encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_reverse(x_1)) -> reverse(encArg(x_1)) encArg(cons_shuffle(x_1)) -> shuffle(encArg(x_1)) encArg(cons_concat(x_1, x_2)) -> concat(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_less_leaves(x_1, x_2)) -> less_leaves(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_reverse(x_1) -> reverse(encArg(x_1)) encode_shuffle(x_1) -> shuffle(encArg(x_1)) encode_concat(x_1, x_2) -> concat(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_leaf -> leaf encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_less_leaves(x_1, x_2) -> less_leaves(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_false -> false encode_true -> true Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: minus(x, 0') -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) quot(0', s(y)) -> 0' quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y))) app(nil, y) -> y app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y)) reverse(nil) -> nil reverse(add(n, x)) -> app(reverse(x), add(n, nil)) shuffle(nil) -> nil shuffle(add(n, x)) -> add(n, shuffle(reverse(x))) concat(leaf, y) -> y concat(cons(u, v), y) -> cons(u, concat(v, y)) less_leaves(x, leaf) -> false less_leaves(leaf, cons(w, z)) -> true less_leaves(cons(u, v), cons(w, z)) -> less_leaves(concat(u, v), concat(w, z)) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(leaf) -> leaf encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(false) -> false encArg(true) -> true encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_reverse(x_1)) -> reverse(encArg(x_1)) encArg(cons_shuffle(x_1)) -> shuffle(encArg(x_1)) encArg(cons_concat(x_1, x_2)) -> concat(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_less_leaves(x_1, x_2)) -> less_leaves(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_reverse(x_1) -> reverse(encArg(x_1)) encode_shuffle(x_1) -> shuffle(encArg(x_1)) encode_concat(x_1, x_2) -> concat(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_leaf -> leaf encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_less_leaves(x_1, x_2) -> less_leaves(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_false -> false encode_true -> true Types: minus :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves 0' :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves s :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves quot :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves app :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves nil :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves add :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves reverse :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves shuffle :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves concat :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves leaf :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves cons :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves less_leaves :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves false :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves true :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encArg :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves cons_minus :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves cons_quot :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves cons_app :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves cons_reverse :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves cons_shuffle :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves cons_concat :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves cons_less_leaves :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_minus :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_0 :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_s :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_quot :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_app :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_nil :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_add :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_reverse :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_shuffle :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_concat :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_leaf :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_cons :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_less_leaves :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_false :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_true :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves hole_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves1_3 :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves gen_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves2_3 :: Nat -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: minus, quot, app, reverse, shuffle, concat, less_leaves, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: minus < quot minus < encArg quot < encArg app < reverse app < encArg reverse < shuffle reverse < encArg shuffle < encArg concat < less_leaves concat < encArg less_leaves < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: minus(x, 0') -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) quot(0', s(y)) -> 0' quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y))) app(nil, y) -> y app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y)) reverse(nil) -> nil reverse(add(n, x)) -> app(reverse(x), add(n, nil)) shuffle(nil) -> nil shuffle(add(n, x)) -> add(n, shuffle(reverse(x))) concat(leaf, y) -> y concat(cons(u, v), y) -> cons(u, concat(v, y)) less_leaves(x, leaf) -> false less_leaves(leaf, cons(w, z)) -> true less_leaves(cons(u, v), cons(w, z)) -> less_leaves(concat(u, v), concat(w, z)) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(leaf) -> leaf encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(false) -> false encArg(true) -> true encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_reverse(x_1)) -> reverse(encArg(x_1)) encArg(cons_shuffle(x_1)) -> shuffle(encArg(x_1)) encArg(cons_concat(x_1, x_2)) -> concat(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_less_leaves(x_1, x_2)) -> less_leaves(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_reverse(x_1) -> reverse(encArg(x_1)) encode_shuffle(x_1) -> shuffle(encArg(x_1)) encode_concat(x_1, x_2) -> concat(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_leaf -> leaf encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_less_leaves(x_1, x_2) -> less_leaves(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_false -> false encode_true -> true Types: minus :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves 0' :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves s :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves quot :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves app :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves nil :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves add :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves reverse :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves shuffle :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves concat :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves leaf :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves cons :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves less_leaves :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves false :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves true :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encArg :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves cons_minus :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves cons_quot :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves cons_app :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves cons_reverse :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves cons_shuffle :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves cons_concat :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves cons_less_leaves :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_minus :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_0 :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_s :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_quot :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_app :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_nil :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_add :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_reverse :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_shuffle :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_concat :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_leaf :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_cons :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_less_leaves :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_false :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_true :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves hole_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves1_3 :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves gen_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves2_3 :: Nat -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves Generator Equations: gen_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves2_3(0) <=> 0' gen_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: minus, quot, app, reverse, shuffle, concat, less_leaves, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: minus < quot minus < encArg quot < encArg app < reverse app < encArg reverse < shuffle reverse < encArg shuffle < encArg concat < less_leaves concat < encArg less_leaves < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: minus(gen_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves2_3(n4_3), gen_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves2_3(n4_3)) -> gen_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves2_3(0), rt in Omega(1 + n4_3) Induction Base: minus(gen_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves2_3(0), gen_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves2_3(0)) ->_R^Omega(1) gen_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves2_3(0) Induction Step: minus(gen_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves2_3(+(n4_3, 1)), gen_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves2_3(+(n4_3, 1))) ->_R^Omega(1) minus(gen_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves2_3(n4_3), gen_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves2_3(n4_3)) ->_IH gen_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves2_3(0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: minus(x, 0') -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) quot(0', s(y)) -> 0' quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y))) app(nil, y) -> y app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y)) reverse(nil) -> nil reverse(add(n, x)) -> app(reverse(x), add(n, nil)) shuffle(nil) -> nil shuffle(add(n, x)) -> add(n, shuffle(reverse(x))) concat(leaf, y) -> y concat(cons(u, v), y) -> cons(u, concat(v, y)) less_leaves(x, leaf) -> false less_leaves(leaf, cons(w, z)) -> true less_leaves(cons(u, v), cons(w, z)) -> less_leaves(concat(u, v), concat(w, z)) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(leaf) -> leaf encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(false) -> false encArg(true) -> true encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_reverse(x_1)) -> reverse(encArg(x_1)) encArg(cons_shuffle(x_1)) -> shuffle(encArg(x_1)) encArg(cons_concat(x_1, x_2)) -> concat(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_less_leaves(x_1, x_2)) -> less_leaves(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_reverse(x_1) -> reverse(encArg(x_1)) encode_shuffle(x_1) -> shuffle(encArg(x_1)) encode_concat(x_1, x_2) -> concat(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_leaf -> leaf encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_less_leaves(x_1, x_2) -> less_leaves(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_false -> false encode_true -> true Types: minus :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves 0' :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves s :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves quot :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves app :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves nil :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves add :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves reverse :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves shuffle :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves concat :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves leaf :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves cons :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves less_leaves :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves false :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves true :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encArg :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves cons_minus :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves cons_quot :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves cons_app :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves cons_reverse :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves cons_shuffle :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves cons_concat :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves cons_less_leaves :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_minus :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_0 :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_s :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_quot :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_app :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_nil :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_add :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_reverse :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_shuffle :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_concat :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_leaf :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_cons :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_less_leaves :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_false :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_true :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves hole_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves1_3 :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves gen_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves2_3 :: Nat -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves Generator Equations: gen_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves2_3(0) <=> 0' gen_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: minus, quot, app, reverse, shuffle, concat, less_leaves, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: minus < quot minus < encArg quot < encArg app < reverse app < encArg reverse < shuffle reverse < encArg shuffle < encArg concat < less_leaves concat < encArg less_leaves < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: minus(x, 0') -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) quot(0', s(y)) -> 0' quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y))) app(nil, y) -> y app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y)) reverse(nil) -> nil reverse(add(n, x)) -> app(reverse(x), add(n, nil)) shuffle(nil) -> nil shuffle(add(n, x)) -> add(n, shuffle(reverse(x))) concat(leaf, y) -> y concat(cons(u, v), y) -> cons(u, concat(v, y)) less_leaves(x, leaf) -> false less_leaves(leaf, cons(w, z)) -> true less_leaves(cons(u, v), cons(w, z)) -> less_leaves(concat(u, v), concat(w, z)) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(leaf) -> leaf encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(false) -> false encArg(true) -> true encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_reverse(x_1)) -> reverse(encArg(x_1)) encArg(cons_shuffle(x_1)) -> shuffle(encArg(x_1)) encArg(cons_concat(x_1, x_2)) -> concat(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_less_leaves(x_1, x_2)) -> less_leaves(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_reverse(x_1) -> reverse(encArg(x_1)) encode_shuffle(x_1) -> shuffle(encArg(x_1)) encode_concat(x_1, x_2) -> concat(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_leaf -> leaf encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_less_leaves(x_1, x_2) -> less_leaves(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_false -> false encode_true -> true Types: minus :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves 0' :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves s :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves quot :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves app :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves nil :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves add :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves reverse :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves shuffle :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves concat :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves leaf :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves cons :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves less_leaves :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves false :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves true :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encArg :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves cons_minus :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves cons_quot :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves cons_app :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves cons_reverse :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves cons_shuffle :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves cons_concat :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves cons_less_leaves :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_minus :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_0 :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_s :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_quot :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_app :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_nil :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_add :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_reverse :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_shuffle :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_concat :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_leaf :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_cons :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_less_leaves :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_false :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves encode_true :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves hole_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves1_3 :: 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves gen_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves2_3 :: Nat -> 0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves Lemmas: minus(gen_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves2_3(n4_3), gen_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves2_3(n4_3)) -> gen_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves2_3(0), rt in Omega(1 + n4_3) Generator Equations: gen_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves2_3(0) <=> 0' gen_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: quot, app, reverse, shuffle, concat, less_leaves, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: quot < encArg app < reverse app < encArg reverse < shuffle reverse < encArg shuffle < encArg concat < less_leaves concat < encArg less_leaves < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves2_3(n1028_3)) -> gen_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves2_3(n1028_3), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves2_3(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves2_3(+(n1028_3, 1))) ->_R^Omega(0) s(encArg(gen_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves2_3(n1028_3))) ->_IH s(gen_0':s:nil:add:leaf:cons:false:true:cons_minus:cons_quot:cons_app:cons_reverse:cons_shuffle:cons_concat:cons_less_leaves2_3(c1029_3)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (18) BOUNDS(1, INF)