/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 316 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 302 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 229 ms] (18) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: is_empty(nil) -> true is_empty(cons(x, l)) -> false hd(cons(x, l)) -> x tl(cons(x, l)) -> l append(l1, l2) -> ifappend(l1, l2, is_empty(l1)) ifappend(l1, l2, true) -> l2 ifappend(l1, l2, false) -> cons(hd(l1), append(tl(l1), l2)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(nil) -> nil encArg(true) -> true encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(false) -> false encArg(cons_is_empty(x_1)) -> is_empty(encArg(x_1)) encArg(cons_hd(x_1)) -> hd(encArg(x_1)) encArg(cons_tl(x_1)) -> tl(encArg(x_1)) encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_ifappend(x_1, x_2, x_3)) -> ifappend(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_is_empty(x_1) -> is_empty(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_true -> true encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_false -> false encode_hd(x_1) -> hd(encArg(x_1)) encode_tl(x_1) -> tl(encArg(x_1)) encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_ifappend(x_1, x_2, x_3) -> ifappend(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: is_empty(nil) -> true is_empty(cons(x, l)) -> false hd(cons(x, l)) -> x tl(cons(x, l)) -> l append(l1, l2) -> ifappend(l1, l2, is_empty(l1)) ifappend(l1, l2, true) -> l2 ifappend(l1, l2, false) -> cons(hd(l1), append(tl(l1), l2)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(nil) -> nil encArg(true) -> true encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(false) -> false encArg(cons_is_empty(x_1)) -> is_empty(encArg(x_1)) encArg(cons_hd(x_1)) -> hd(encArg(x_1)) encArg(cons_tl(x_1)) -> tl(encArg(x_1)) encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_ifappend(x_1, x_2, x_3)) -> ifappend(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_is_empty(x_1) -> is_empty(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_true -> true encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_false -> false encode_hd(x_1) -> hd(encArg(x_1)) encode_tl(x_1) -> tl(encArg(x_1)) encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_ifappend(x_1, x_2, x_3) -> ifappend(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: is_empty(nil) -> true is_empty(cons(x, l)) -> false hd(cons(x, l)) -> x tl(cons(x, l)) -> l append(l1, l2) -> ifappend(l1, l2, is_empty(l1)) ifappend(l1, l2, true) -> l2 ifappend(l1, l2, false) -> cons(hd(l1), append(tl(l1), l2)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(nil) -> nil encArg(true) -> true encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(false) -> false encArg(cons_is_empty(x_1)) -> is_empty(encArg(x_1)) encArg(cons_hd(x_1)) -> hd(encArg(x_1)) encArg(cons_tl(x_1)) -> tl(encArg(x_1)) encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_ifappend(x_1, x_2, x_3)) -> ifappend(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_is_empty(x_1) -> is_empty(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_true -> true encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_false -> false encode_hd(x_1) -> hd(encArg(x_1)) encode_tl(x_1) -> tl(encArg(x_1)) encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_ifappend(x_1, x_2, x_3) -> ifappend(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: is_empty(nil) -> true is_empty(cons(x, l)) -> false hd(cons(x, l)) -> x tl(cons(x, l)) -> l append(l1, l2) -> ifappend(l1, l2, is_empty(l1)) ifappend(l1, l2, true) -> l2 ifappend(l1, l2, false) -> cons(hd(l1), append(tl(l1), l2)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(nil) -> nil encArg(true) -> true encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(false) -> false encArg(cons_is_empty(x_1)) -> is_empty(encArg(x_1)) encArg(cons_hd(x_1)) -> hd(encArg(x_1)) encArg(cons_tl(x_1)) -> tl(encArg(x_1)) encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_ifappend(x_1, x_2, x_3)) -> ifappend(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_is_empty(x_1) -> is_empty(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_true -> true encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_false -> false encode_hd(x_1) -> hd(encArg(x_1)) encode_tl(x_1) -> tl(encArg(x_1)) encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_ifappend(x_1, x_2, x_3) -> ifappend(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: is_empty(nil) -> true is_empty(cons(x, l)) -> false hd(cons(x, l)) -> x tl(cons(x, l)) -> l append(l1, l2) -> ifappend(l1, l2, is_empty(l1)) ifappend(l1, l2, true) -> l2 ifappend(l1, l2, false) -> cons(hd(l1), append(tl(l1), l2)) encArg(nil) -> nil encArg(true) -> true encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(false) -> false encArg(cons_is_empty(x_1)) -> is_empty(encArg(x_1)) encArg(cons_hd(x_1)) -> hd(encArg(x_1)) encArg(cons_tl(x_1)) -> tl(encArg(x_1)) encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_ifappend(x_1, x_2, x_3)) -> ifappend(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_is_empty(x_1) -> is_empty(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_true -> true encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_false -> false encode_hd(x_1) -> hd(encArg(x_1)) encode_tl(x_1) -> tl(encArg(x_1)) encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_ifappend(x_1, x_2, x_3) -> ifappend(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: is_empty :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend nil :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend true :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend cons :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend false :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend hd :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend tl :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend append :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend ifappend :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encArg :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend cons_is_empty :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend cons_hd :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend cons_tl :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend cons_append :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend cons_ifappend :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_is_empty :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_nil :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_true :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_cons :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_false :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_hd :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_tl :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_append :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_ifappend :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend hole_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend1_0 :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0 :: Nat -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: append, ifappend, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: append = ifappend append < encArg ifappend < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: is_empty(nil) -> true is_empty(cons(x, l)) -> false hd(cons(x, l)) -> x tl(cons(x, l)) -> l append(l1, l2) -> ifappend(l1, l2, is_empty(l1)) ifappend(l1, l2, true) -> l2 ifappend(l1, l2, false) -> cons(hd(l1), append(tl(l1), l2)) encArg(nil) -> nil encArg(true) -> true encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(false) -> false encArg(cons_is_empty(x_1)) -> is_empty(encArg(x_1)) encArg(cons_hd(x_1)) -> hd(encArg(x_1)) encArg(cons_tl(x_1)) -> tl(encArg(x_1)) encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_ifappend(x_1, x_2, x_3)) -> ifappend(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_is_empty(x_1) -> is_empty(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_true -> true encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_false -> false encode_hd(x_1) -> hd(encArg(x_1)) encode_tl(x_1) -> tl(encArg(x_1)) encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_ifappend(x_1, x_2, x_3) -> ifappend(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: is_empty :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend nil :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend true :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend cons :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend false :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend hd :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend tl :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend append :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend ifappend :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encArg :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend cons_is_empty :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend cons_hd :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend cons_tl :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend cons_append :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend cons_ifappend :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_is_empty :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_nil :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_true :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_cons :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_false :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_hd :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_tl :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_append :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_ifappend :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend hole_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend1_0 :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0 :: Nat -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend Generator Equations: gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(0) <=> nil gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(+(x, 1)) <=> cons(nil, gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: ifappend, append, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: append = ifappend append < encArg ifappend < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: append(gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(n14_0), gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(b)) -> gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(+(n14_0, b)), rt in Omega(1 + n14_0) Induction Base: append(gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(0), gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(b)) ->_R^Omega(1) ifappend(gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(0), gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(b), is_empty(gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(0))) ->_R^Omega(1) ifappend(gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(0), gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(b), true) ->_R^Omega(1) gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(b) Induction Step: append(gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(+(n14_0, 1)), gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(b)) ->_R^Omega(1) ifappend(gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(+(n14_0, 1)), gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(b), is_empty(gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(+(n14_0, 1)))) ->_R^Omega(1) ifappend(gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(+(1, n14_0)), gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(b), false) ->_R^Omega(1) cons(hd(gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(+(1, n14_0))), append(tl(gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(+(1, n14_0))), gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(b))) ->_R^Omega(1) cons(nil, append(tl(gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(+(1, n14_0))), gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(b))) ->_R^Omega(1) cons(nil, append(gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(n14_0), gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(b))) ->_IH cons(nil, gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(+(b, c15_0))) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: is_empty(nil) -> true is_empty(cons(x, l)) -> false hd(cons(x, l)) -> x tl(cons(x, l)) -> l append(l1, l2) -> ifappend(l1, l2, is_empty(l1)) ifappend(l1, l2, true) -> l2 ifappend(l1, l2, false) -> cons(hd(l1), append(tl(l1), l2)) encArg(nil) -> nil encArg(true) -> true encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(false) -> false encArg(cons_is_empty(x_1)) -> is_empty(encArg(x_1)) encArg(cons_hd(x_1)) -> hd(encArg(x_1)) encArg(cons_tl(x_1)) -> tl(encArg(x_1)) encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_ifappend(x_1, x_2, x_3)) -> ifappend(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_is_empty(x_1) -> is_empty(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_true -> true encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_false -> false encode_hd(x_1) -> hd(encArg(x_1)) encode_tl(x_1) -> tl(encArg(x_1)) encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_ifappend(x_1, x_2, x_3) -> ifappend(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: is_empty :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend nil :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend true :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend cons :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend false :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend hd :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend tl :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend append :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend ifappend :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encArg :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend cons_is_empty :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend cons_hd :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend cons_tl :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend cons_append :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend cons_ifappend :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_is_empty :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_nil :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_true :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_cons :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_false :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_hd :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_tl :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_append :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_ifappend :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend hole_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend1_0 :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0 :: Nat -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend Generator Equations: gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(0) <=> nil gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(+(x, 1)) <=> cons(nil, gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: append, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: append = ifappend append < encArg ifappend < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: is_empty(nil) -> true is_empty(cons(x, l)) -> false hd(cons(x, l)) -> x tl(cons(x, l)) -> l append(l1, l2) -> ifappend(l1, l2, is_empty(l1)) ifappend(l1, l2, true) -> l2 ifappend(l1, l2, false) -> cons(hd(l1), append(tl(l1), l2)) encArg(nil) -> nil encArg(true) -> true encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(false) -> false encArg(cons_is_empty(x_1)) -> is_empty(encArg(x_1)) encArg(cons_hd(x_1)) -> hd(encArg(x_1)) encArg(cons_tl(x_1)) -> tl(encArg(x_1)) encArg(cons_append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_ifappend(x_1, x_2, x_3)) -> ifappend(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_is_empty(x_1) -> is_empty(encArg(x_1)) encode_nil -> nil encode_true -> true encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_false -> false encode_hd(x_1) -> hd(encArg(x_1)) encode_tl(x_1) -> tl(encArg(x_1)) encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_ifappend(x_1, x_2, x_3) -> ifappend(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: is_empty :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend nil :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend true :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend cons :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend false :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend hd :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend tl :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend append :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend ifappend :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encArg :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend cons_is_empty :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend cons_hd :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend cons_tl :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend cons_append :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend cons_ifappend :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_is_empty :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_nil :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_true :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_cons :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_false :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_hd :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_tl :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_append :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend encode_ifappend :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend hole_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend1_0 :: nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0 :: Nat -> nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend Lemmas: append(gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(n14_0), gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(b)) -> gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(+(n14_0, b)), rt in Omega(1 + n14_0) Generator Equations: gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(0) <=> nil gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(+(x, 1)) <=> cons(nil, gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(x)) The following defined symbols remain to be analysed: ifappend, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: append = ifappend append < encArg ifappend < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(n1995_0)) -> gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(n1995_0), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(0)) ->_R^Omega(0) nil Induction Step: encArg(gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(+(n1995_0, 1))) ->_R^Omega(0) cons(encArg(nil), encArg(gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(n1995_0))) ->_R^Omega(0) cons(nil, encArg(gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(n1995_0))) ->_IH cons(nil, gen_nil:true:cons:false:cons_is_empty:cons_hd:cons_tl:cons_append:cons_ifappend2_0(c1996_0)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (18) BOUNDS(1, INF)