/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files


--------------------------------------------------------------------------------


WORST_CASE(Omega(n^2), ?)
proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 259 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(6) CpxRelTRS
(7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(8) typed CpxTrs
(9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(10) typed CpxTrs
(11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 278 ms]
(12) BEST
    (13) proven lower bound
        (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (15) BOUNDS(n^1, INF)
    (16) typed CpxTrs
        (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 63 ms]
        (18) BEST
            (19) proven lower bound
                (20) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
                (21) BOUNDS(n^2, INF)
            (22) typed CpxTrs
                (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 23 ms]
                (24) typed CpxTrs
                (25) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 15 ms]
                (26) typed CpxTrs
                (27) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 322 ms]
                (28) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   +(x, 0) -> x
   +(x, s(y)) -> s(+(x, y))
   *(x, 0) -> 0
   *(x, s(y)) -> +(*(x, y), x)
   ge(x, 0) -> true
   ge(0, s(y)) -> false
   ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
   -(x, 0) -> x
   -(s(x), s(y)) -> -(x, y)
   fact(x) -> iffact(x, ge(x, s(s(0))))
   iffact(x, true) -> *(x, fact(-(x, s(0))))
   iffact(x, false) -> s(0)

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_fact(x_1)) -> fact(encArg(x_1))
   encArg(cons_iffact(x_1, x_2)) -> iffact(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_+(x_1, x_2) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_*(x_1, x_2) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_fact(x_1) -> fact(encArg(x_1))
   encode_iffact(x_1, x_2) -> iffact(encArg(x_1), encArg(x_2))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   +(x, 0) -> x
   +(x, s(y)) -> s(+(x, y))
   *(x, 0) -> 0
   *(x, s(y)) -> +(*(x, y), x)
   ge(x, 0) -> true
   ge(0, s(y)) -> false
   ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
   -(x, 0) -> x
   -(s(x), s(y)) -> -(x, y)
   fact(x) -> iffact(x, ge(x, s(s(0))))
   iffact(x, true) -> *(x, fact(-(x, s(0))))
   iffact(x, false) -> s(0)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_fact(x_1)) -> fact(encArg(x_1))
   encArg(cons_iffact(x_1, x_2)) -> iffact(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_+(x_1, x_2) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_*(x_1, x_2) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_fact(x_1) -> fact(encArg(x_1))
   encode_iffact(x_1, x_2) -> iffact(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   +(x, 0) -> x
   +(x, s(y)) -> s(+(x, y))
   *(x, 0) -> 0
   *(x, s(y)) -> +(*(x, y), x)
   ge(x, 0) -> true
   ge(0, s(y)) -> false
   ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
   -(x, 0) -> x
   -(s(x), s(y)) -> -(x, y)
   fact(x) -> iffact(x, ge(x, s(s(0))))
   iffact(x, true) -> *(x, fact(-(x, s(0))))
   iffact(x, false) -> s(0)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_fact(x_1)) -> fact(encArg(x_1))
   encArg(cons_iffact(x_1, x_2)) -> iffact(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_+(x_1, x_2) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_*(x_1, x_2) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_fact(x_1) -> fact(encArg(x_1))
   encode_iffact(x_1, x_2) -> iffact(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   +'(x, 0') -> x
   +'(x, s(y)) -> s(+'(x, y))
   *'(x, 0') -> 0'
   *'(x, s(y)) -> +'(*'(x, y), x)
   ge(x, 0') -> true
   ge(0', s(y)) -> false
   ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
   -(x, 0') -> x
   -(s(x), s(y)) -> -(x, y)
   fact(x) -> iffact(x, ge(x, s(s(0'))))
   iffact(x, true) -> *'(x, fact(-(x, s(0'))))
   iffact(x, false) -> s(0')

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0') -> 0'
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_fact(x_1)) -> fact(encArg(x_1))
   encArg(cons_iffact(x_1, x_2)) -> iffact(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0'
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_fact(x_1) -> fact(encArg(x_1))
   encode_iffact(x_1, x_2) -> iffact(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(8)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
+'(x, 0') -> x
+'(x, s(y)) -> s(+'(x, y))
*'(x, 0') -> 0'
*'(x, s(y)) -> +'(*'(x, y), x)
ge(x, 0') -> true
ge(0', s(y)) -> false
ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
-(x, 0') -> x
-(s(x), s(y)) -> -(x, y)
fact(x) -> iffact(x, ge(x, s(s(0'))))
iffact(x, true) -> *'(x, fact(-(x, s(0'))))
iffact(x, false) -> s(0')
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_fact(x_1)) -> fact(encArg(x_1))
encArg(cons_iffact(x_1, x_2)) -> iffact(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_fact(x_1) -> fact(encArg(x_1))
encode_iffact(x_1, x_2) -> iffact(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
+' :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
0' :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
s :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
*' :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
ge :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
true :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
false :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
- :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
fact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
iffact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encArg :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_+ :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_* :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_ge :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_- :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_fact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_iffact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_+ :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_s :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_* :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_ge :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_true :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_false :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_- :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_fact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_iffact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
hole_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact1_3 :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact

----------------------------------------

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
+', *', ge, -, fact, iffact, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
+' < *'
+' < encArg
*' < iffact
*' < encArg
ge < fact
ge < encArg
- < iffact
- < encArg
fact = iffact
fact < encArg
iffact < encArg

----------------------------------------

(10)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
+'(x, 0') -> x
+'(x, s(y)) -> s(+'(x, y))
*'(x, 0') -> 0'
*'(x, s(y)) -> +'(*'(x, y), x)
ge(x, 0') -> true
ge(0', s(y)) -> false
ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
-(x, 0') -> x
-(s(x), s(y)) -> -(x, y)
fact(x) -> iffact(x, ge(x, s(s(0'))))
iffact(x, true) -> *'(x, fact(-(x, s(0'))))
iffact(x, false) -> s(0')
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_fact(x_1)) -> fact(encArg(x_1))
encArg(cons_iffact(x_1, x_2)) -> iffact(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_fact(x_1) -> fact(encArg(x_1))
encode_iffact(x_1, x_2) -> iffact(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
+' :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
0' :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
s :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
*' :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
ge :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
true :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
false :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
- :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
fact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
iffact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encArg :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_+ :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_* :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_ge :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_- :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_fact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_iffact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_+ :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_s :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_* :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_ge :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_true :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_false :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_- :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_fact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_iffact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
hole_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact1_3 :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
+', *', ge, -, fact, iffact, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
+' < *'
+' < encArg
*' < iffact
*' < encArg
ge < fact
ge < encArg
- < iffact
- < encArg
fact = iffact
fact < encArg
iffact < encArg

----------------------------------------

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
+'(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(a), gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(n4_3)) -> gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(+(n4_3, a)), rt in Omega(1 + n4_3)

Induction Base:
+'(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(a), gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(0)) ->_R^Omega(1)
gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(a)

Induction Step:
+'(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(a), gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(+(n4_3, 1))) ->_R^Omega(1)
s(+'(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(a), gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(n4_3))) ->_IH
s(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(+(a, c5_3)))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(12)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(13)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
+'(x, 0') -> x
+'(x, s(y)) -> s(+'(x, y))
*'(x, 0') -> 0'
*'(x, s(y)) -> +'(*'(x, y), x)
ge(x, 0') -> true
ge(0', s(y)) -> false
ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
-(x, 0') -> x
-(s(x), s(y)) -> -(x, y)
fact(x) -> iffact(x, ge(x, s(s(0'))))
iffact(x, true) -> *'(x, fact(-(x, s(0'))))
iffact(x, false) -> s(0')
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_fact(x_1)) -> fact(encArg(x_1))
encArg(cons_iffact(x_1, x_2)) -> iffact(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_fact(x_1) -> fact(encArg(x_1))
encode_iffact(x_1, x_2) -> iffact(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
+' :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
0' :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
s :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
*' :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
ge :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
true :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
false :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
- :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
fact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
iffact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encArg :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_+ :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_* :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_ge :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_- :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_fact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_iffact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_+ :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_s :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_* :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_ge :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_true :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_false :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_- :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_fact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_iffact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
hole_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact1_3 :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
+', *', ge, -, fact, iffact, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
+' < *'
+' < encArg
*' < iffact
*' < encArg
ge < fact
ge < encArg
- < iffact
- < encArg
fact = iffact
fact < encArg
iffact < encArg

----------------------------------------

(14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(15)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
+'(x, 0') -> x
+'(x, s(y)) -> s(+'(x, y))
*'(x, 0') -> 0'
*'(x, s(y)) -> +'(*'(x, y), x)
ge(x, 0') -> true
ge(0', s(y)) -> false
ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
-(x, 0') -> x
-(s(x), s(y)) -> -(x, y)
fact(x) -> iffact(x, ge(x, s(s(0'))))
iffact(x, true) -> *'(x, fact(-(x, s(0'))))
iffact(x, false) -> s(0')
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_fact(x_1)) -> fact(encArg(x_1))
encArg(cons_iffact(x_1, x_2)) -> iffact(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_fact(x_1) -> fact(encArg(x_1))
encode_iffact(x_1, x_2) -> iffact(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
+' :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
0' :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
s :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
*' :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
ge :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
true :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
false :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
- :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
fact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
iffact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encArg :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_+ :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_* :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_ge :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_- :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_fact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_iffact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_+ :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_s :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_* :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_ge :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_true :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_false :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_- :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_fact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_iffact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
hole_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact1_3 :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact


Lemmas:
+'(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(a), gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(n4_3)) -> gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(+(n4_3, a)), rt in Omega(1 + n4_3)


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
*', ge, -, fact, iffact, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
*' < iffact
*' < encArg
ge < fact
ge < encArg
- < iffact
- < encArg
fact = iffact
fact < encArg
iffact < encArg

----------------------------------------

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
*'(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(a), gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(n1163_3)) -> gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(*(n1163_3, a)), rt in Omega(1 + a*n1163_3 + n1163_3)

Induction Base:
*'(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(a), gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(0)) ->_R^Omega(1)
0'

Induction Step:
*'(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(a), gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(+(n1163_3, 1))) ->_R^Omega(1)
+'(*'(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(a), gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(n1163_3)), gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(a)) ->_IH
+'(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(*(c1164_3, a)), gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(a)) ->_L^Omega(1 + a)
gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(+(a, *(n1163_3, a)))

We have rt in Omega(n^2) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^2).
----------------------------------------

(18)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(19)
Obligation:
Proved the lower bound n^2 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
+'(x, 0') -> x
+'(x, s(y)) -> s(+'(x, y))
*'(x, 0') -> 0'
*'(x, s(y)) -> +'(*'(x, y), x)
ge(x, 0') -> true
ge(0', s(y)) -> false
ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
-(x, 0') -> x
-(s(x), s(y)) -> -(x, y)
fact(x) -> iffact(x, ge(x, s(s(0'))))
iffact(x, true) -> *'(x, fact(-(x, s(0'))))
iffact(x, false) -> s(0')
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_fact(x_1)) -> fact(encArg(x_1))
encArg(cons_iffact(x_1, x_2)) -> iffact(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_fact(x_1) -> fact(encArg(x_1))
encode_iffact(x_1, x_2) -> iffact(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
+' :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
0' :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
s :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
*' :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
ge :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
true :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
false :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
- :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
fact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
iffact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encArg :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_+ :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_* :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_ge :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_- :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_fact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_iffact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_+ :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_s :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_* :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_ge :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_true :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_false :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_- :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_fact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_iffact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
hole_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact1_3 :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact


Lemmas:
+'(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(a), gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(n4_3)) -> gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(+(n4_3, a)), rt in Omega(1 + n4_3)


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
*', ge, -, fact, iffact, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
*' < iffact
*' < encArg
ge < fact
ge < encArg
- < iffact
- < encArg
fact = iffact
fact < encArg
iffact < encArg

----------------------------------------

(20) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(21)
BOUNDS(n^2, INF)

----------------------------------------

(22)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
+'(x, 0') -> x
+'(x, s(y)) -> s(+'(x, y))
*'(x, 0') -> 0'
*'(x, s(y)) -> +'(*'(x, y), x)
ge(x, 0') -> true
ge(0', s(y)) -> false
ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
-(x, 0') -> x
-(s(x), s(y)) -> -(x, y)
fact(x) -> iffact(x, ge(x, s(s(0'))))
iffact(x, true) -> *'(x, fact(-(x, s(0'))))
iffact(x, false) -> s(0')
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_fact(x_1)) -> fact(encArg(x_1))
encArg(cons_iffact(x_1, x_2)) -> iffact(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_fact(x_1) -> fact(encArg(x_1))
encode_iffact(x_1, x_2) -> iffact(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
+' :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
0' :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
s :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
*' :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
ge :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
true :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
false :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
- :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
fact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
iffact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encArg :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_+ :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_* :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_ge :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_- :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_fact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_iffact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_+ :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_s :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_* :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_ge :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_true :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_false :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_- :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_fact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_iffact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
hole_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact1_3 :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact


Lemmas:
+'(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(a), gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(n4_3)) -> gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(+(n4_3, a)), rt in Omega(1 + n4_3)
*'(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(a), gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(n1163_3)) -> gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(*(n1163_3, a)), rt in Omega(1 + a*n1163_3 + n1163_3)


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
ge, -, fact, iffact, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
ge < fact
ge < encArg
- < iffact
- < encArg
fact = iffact
fact < encArg
iffact < encArg

----------------------------------------

(23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
ge(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(n2551_3), gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(n2551_3)) -> true, rt in Omega(1 + n2551_3)

Induction Base:
ge(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(0), gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(0)) ->_R^Omega(1)
true

Induction Step:
ge(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(+(n2551_3, 1)), gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(+(n2551_3, 1))) ->_R^Omega(1)
ge(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(n2551_3), gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(n2551_3)) ->_IH
true

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(24)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
+'(x, 0') -> x
+'(x, s(y)) -> s(+'(x, y))
*'(x, 0') -> 0'
*'(x, s(y)) -> +'(*'(x, y), x)
ge(x, 0') -> true
ge(0', s(y)) -> false
ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
-(x, 0') -> x
-(s(x), s(y)) -> -(x, y)
fact(x) -> iffact(x, ge(x, s(s(0'))))
iffact(x, true) -> *'(x, fact(-(x, s(0'))))
iffact(x, false) -> s(0')
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_fact(x_1)) -> fact(encArg(x_1))
encArg(cons_iffact(x_1, x_2)) -> iffact(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_fact(x_1) -> fact(encArg(x_1))
encode_iffact(x_1, x_2) -> iffact(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
+' :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
0' :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
s :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
*' :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
ge :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
true :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
false :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
- :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
fact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
iffact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encArg :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_+ :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_* :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_ge :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_- :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_fact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_iffact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_+ :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_s :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_* :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_ge :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_true :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_false :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_- :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_fact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_iffact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
hole_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact1_3 :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact


Lemmas:
+'(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(a), gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(n4_3)) -> gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(+(n4_3, a)), rt in Omega(1 + n4_3)
*'(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(a), gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(n1163_3)) -> gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(*(n1163_3, a)), rt in Omega(1 + a*n1163_3 + n1163_3)
ge(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(n2551_3), gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(n2551_3)) -> true, rt in Omega(1 + n2551_3)


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
-, fact, iffact, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
- < iffact
- < encArg
fact = iffact
fact < encArg
iffact < encArg

----------------------------------------

(25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
-(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(n3133_3), gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(n3133_3)) -> gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(0), rt in Omega(1 + n3133_3)

Induction Base:
-(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(0), gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(0)) ->_R^Omega(1)
gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(0)

Induction Step:
-(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(+(n3133_3, 1)), gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(+(n3133_3, 1))) ->_R^Omega(1)
-(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(n3133_3), gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(n3133_3)) ->_IH
gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(0)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(26)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
+'(x, 0') -> x
+'(x, s(y)) -> s(+'(x, y))
*'(x, 0') -> 0'
*'(x, s(y)) -> +'(*'(x, y), x)
ge(x, 0') -> true
ge(0', s(y)) -> false
ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
-(x, 0') -> x
-(s(x), s(y)) -> -(x, y)
fact(x) -> iffact(x, ge(x, s(s(0'))))
iffact(x, true) -> *'(x, fact(-(x, s(0'))))
iffact(x, false) -> s(0')
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_fact(x_1)) -> fact(encArg(x_1))
encArg(cons_iffact(x_1, x_2)) -> iffact(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_fact(x_1) -> fact(encArg(x_1))
encode_iffact(x_1, x_2) -> iffact(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
+' :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
0' :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
s :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
*' :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
ge :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
true :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
false :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
- :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
fact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
iffact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encArg :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_+ :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_* :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_ge :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_- :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_fact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
cons_iffact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_+ :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_s :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_* :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_ge :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_true :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_false :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_- :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_fact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
encode_iffact :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
hole_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact1_3 :: 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact
gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact


Lemmas:
+'(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(a), gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(n4_3)) -> gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(+(n4_3, a)), rt in Omega(1 + n4_3)
*'(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(a), gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(n1163_3)) -> gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(*(n1163_3, a)), rt in Omega(1 + a*n1163_3 + n1163_3)
ge(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(n2551_3), gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(n2551_3)) -> true, rt in Omega(1 + n2551_3)
-(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(n3133_3), gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(n3133_3)) -> gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(0), rt in Omega(1 + n3133_3)


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
iffact, fact, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
fact = iffact
fact < encArg
iffact < encArg

----------------------------------------

(27) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(n3927_3)) -> gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(n3927_3), rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(0)) ->_R^Omega(0)
0'

Induction Step:
encArg(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(+(n3927_3, 1))) ->_R^Omega(0)
s(encArg(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(n3927_3))) ->_IH
s(gen_0':s:true:false:cons_+:cons_*:cons_ge:cons_-:cons_fact:cons_iffact2_3(c3928_3))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(28)
BOUNDS(1, INF)