/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 457 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 1666 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 57 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 77 ms] (20) typed CpxTrs (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 503 ms] (22) typed CpxTrs (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 902 ms] (24) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: 0(#) -> # +(#, x) -> x +(x, #) -> x +(0(x), 0(y)) -> 0(+(x, y)) +(0(x), 1(y)) -> 1(+(x, y)) +(1(x), 0(y)) -> 1(+(x, y)) +(1(x), 1(y)) -> 0(+(+(x, y), 1(#))) +(+(x, y), z) -> +(x, +(y, z)) -(#, x) -> # -(x, #) -> x -(0(x), 0(y)) -> 0(-(x, y)) -(0(x), 1(y)) -> 1(-(-(x, y), 1(#))) -(1(x), 0(y)) -> 1(-(x, y)) -(1(x), 1(y)) -> 0(-(x, y)) not(true) -> false not(false) -> true if(true, x, y) -> x if(false, x, y) -> y ge(0(x), 0(y)) -> ge(x, y) ge(0(x), 1(y)) -> not(ge(y, x)) ge(1(x), 0(y)) -> ge(x, y) ge(1(x), 1(y)) -> ge(x, y) ge(x, #) -> true ge(#, 0(x)) -> ge(#, x) ge(#, 1(x)) -> false log(x) -> -(log'(x), 1(#)) log'(#) -> # log'(1(x)) -> +(log'(x), 1(#)) log'(0(x)) -> if(ge(x, 1(#)), +(log'(x), 1(#)), #) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(#) -> # encArg(1(x_1)) -> 1(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_not(x_1)) -> not(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) encArg(cons_log'(x_1)) -> log'(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_# -> # encode_+(x_1, x_2) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1(x_1) -> 1(encArg(x_1)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) encode_log'(x_1) -> log'(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: 0(#) -> # +(#, x) -> x +(x, #) -> x +(0(x), 0(y)) -> 0(+(x, y)) +(0(x), 1(y)) -> 1(+(x, y)) +(1(x), 0(y)) -> 1(+(x, y)) +(1(x), 1(y)) -> 0(+(+(x, y), 1(#))) +(+(x, y), z) -> +(x, +(y, z)) -(#, x) -> # -(x, #) -> x -(0(x), 0(y)) -> 0(-(x, y)) -(0(x), 1(y)) -> 1(-(-(x, y), 1(#))) -(1(x), 0(y)) -> 1(-(x, y)) -(1(x), 1(y)) -> 0(-(x, y)) not(true) -> false not(false) -> true if(true, x, y) -> x if(false, x, y) -> y ge(0(x), 0(y)) -> ge(x, y) ge(0(x), 1(y)) -> not(ge(y, x)) ge(1(x), 0(y)) -> ge(x, y) ge(1(x), 1(y)) -> ge(x, y) ge(x, #) -> true ge(#, 0(x)) -> ge(#, x) ge(#, 1(x)) -> false log(x) -> -(log'(x), 1(#)) log'(#) -> # log'(1(x)) -> +(log'(x), 1(#)) log'(0(x)) -> if(ge(x, 1(#)), +(log'(x), 1(#)), #) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(#) -> # encArg(1(x_1)) -> 1(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_not(x_1)) -> not(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) encArg(cons_log'(x_1)) -> log'(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_# -> # encode_+(x_1, x_2) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1(x_1) -> 1(encArg(x_1)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) encode_log'(x_1) -> log'(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: 0(#) -> # +(#, x) -> x +(x, #) -> x +(0(x), 0(y)) -> 0(+(x, y)) +(0(x), 1(y)) -> 1(+(x, y)) +(1(x), 0(y)) -> 1(+(x, y)) +(1(x), 1(y)) -> 0(+(+(x, y), 1(#))) +(+(x, y), z) -> +(x, +(y, z)) -(#, x) -> # -(x, #) -> x -(0(x), 0(y)) -> 0(-(x, y)) -(0(x), 1(y)) -> 1(-(-(x, y), 1(#))) -(1(x), 0(y)) -> 1(-(x, y)) -(1(x), 1(y)) -> 0(-(x, y)) not(true) -> false not(false) -> true if(true, x, y) -> x if(false, x, y) -> y ge(0(x), 0(y)) -> ge(x, y) ge(0(x), 1(y)) -> not(ge(y, x)) ge(1(x), 0(y)) -> ge(x, y) ge(1(x), 1(y)) -> ge(x, y) ge(x, #) -> true ge(#, 0(x)) -> ge(#, x) ge(#, 1(x)) -> false log(x) -> -(log'(x), 1(#)) log'(#) -> # log'(1(x)) -> +(log'(x), 1(#)) log'(0(x)) -> if(ge(x, 1(#)), +(log'(x), 1(#)), #) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(#) -> # encArg(1(x_1)) -> 1(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_not(x_1)) -> not(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) encArg(cons_log'(x_1)) -> log'(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_# -> # encode_+(x_1, x_2) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1(x_1) -> 1(encArg(x_1)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) encode_log'(x_1) -> log'(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: 0(#) -> # +'(#, x) -> x +'(x, #) -> x +'(0(x), 0(y)) -> 0(+'(x, y)) +'(0(x), 1(y)) -> 1(+'(x, y)) +'(1(x), 0(y)) -> 1(+'(x, y)) +'(1(x), 1(y)) -> 0(+'(+'(x, y), 1(#))) +'(+'(x, y), z) -> +'(x, +'(y, z)) -(#, x) -> # -(x, #) -> x -(0(x), 0(y)) -> 0(-(x, y)) -(0(x), 1(y)) -> 1(-(-(x, y), 1(#))) -(1(x), 0(y)) -> 1(-(x, y)) -(1(x), 1(y)) -> 0(-(x, y)) not(true) -> false not(false) -> true if(true, x, y) -> x if(false, x, y) -> y ge(0(x), 0(y)) -> ge(x, y) ge(0(x), 1(y)) -> not(ge(y, x)) ge(1(x), 0(y)) -> ge(x, y) ge(1(x), 1(y)) -> ge(x, y) ge(x, #) -> true ge(#, 0(x)) -> ge(#, x) ge(#, 1(x)) -> false log(x) -> -(log'(x), 1(#)) log'(#) -> # log'(1(x)) -> +'(log'(x), 1(#)) log'(0(x)) -> if(ge(x, 1(#)), +'(log'(x), 1(#)), #) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(#) -> # encArg(1(x_1)) -> 1(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_not(x_1)) -> not(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) encArg(cons_log'(x_1)) -> log'(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_# -> # encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1(x_1) -> 1(encArg(x_1)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) encode_log'(x_1) -> log'(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: 0(#) -> # +'(#, x) -> x +'(x, #) -> x +'(0(x), 0(y)) -> 0(+'(x, y)) +'(0(x), 1(y)) -> 1(+'(x, y)) +'(1(x), 0(y)) -> 1(+'(x, y)) +'(1(x), 1(y)) -> 0(+'(+'(x, y), 1(#))) +'(+'(x, y), z) -> +'(x, +'(y, z)) -(#, x) -> # -(x, #) -> x -(0(x), 0(y)) -> 0(-(x, y)) -(0(x), 1(y)) -> 1(-(-(x, y), 1(#))) -(1(x), 0(y)) -> 1(-(x, y)) -(1(x), 1(y)) -> 0(-(x, y)) not(true) -> false not(false) -> true if(true, x, y) -> x if(false, x, y) -> y ge(0(x), 0(y)) -> ge(x, y) ge(0(x), 1(y)) -> not(ge(y, x)) ge(1(x), 0(y)) -> ge(x, y) ge(1(x), 1(y)) -> ge(x, y) ge(x, #) -> true ge(#, 0(x)) -> ge(#, x) ge(#, 1(x)) -> false log(x) -> -(log'(x), 1(#)) log'(#) -> # log'(1(x)) -> +'(log'(x), 1(#)) log'(0(x)) -> if(ge(x, 1(#)), +'(log'(x), 1(#)), #) encArg(#) -> # encArg(1(x_1)) -> 1(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_not(x_1)) -> not(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) encArg(cons_log'(x_1)) -> log'(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_# -> # encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1(x_1) -> 1(encArg(x_1)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) encode_log'(x_1) -> log'(encArg(x_1)) Types: 0 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' # :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' +' :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' 1 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' - :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' not :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' true :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' false :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' if :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' ge :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' log :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' log' :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encArg :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_0 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_+ :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_- :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_not :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_if :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_ge :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_log :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_log' :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_0 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_# :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_+ :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_1 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_- :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_not :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_true :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_false :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_if :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_ge :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_log :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_log' :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' hole_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'1_4 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4 :: Nat -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: +', -, ge, log', encArg They will be analysed ascendingly in the following order: +' < log' +' < encArg - < encArg ge < log' ge < encArg log' < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: 0(#) -> # +'(#, x) -> x +'(x, #) -> x +'(0(x), 0(y)) -> 0(+'(x, y)) +'(0(x), 1(y)) -> 1(+'(x, y)) +'(1(x), 0(y)) -> 1(+'(x, y)) +'(1(x), 1(y)) -> 0(+'(+'(x, y), 1(#))) +'(+'(x, y), z) -> +'(x, +'(y, z)) -(#, x) -> # -(x, #) -> x -(0(x), 0(y)) -> 0(-(x, y)) -(0(x), 1(y)) -> 1(-(-(x, y), 1(#))) -(1(x), 0(y)) -> 1(-(x, y)) -(1(x), 1(y)) -> 0(-(x, y)) not(true) -> false not(false) -> true if(true, x, y) -> x if(false, x, y) -> y ge(0(x), 0(y)) -> ge(x, y) ge(0(x), 1(y)) -> not(ge(y, x)) ge(1(x), 0(y)) -> ge(x, y) ge(1(x), 1(y)) -> ge(x, y) ge(x, #) -> true ge(#, 0(x)) -> ge(#, x) ge(#, 1(x)) -> false log(x) -> -(log'(x), 1(#)) log'(#) -> # log'(1(x)) -> +'(log'(x), 1(#)) log'(0(x)) -> if(ge(x, 1(#)), +'(log'(x), 1(#)), #) encArg(#) -> # encArg(1(x_1)) -> 1(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_not(x_1)) -> not(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) encArg(cons_log'(x_1)) -> log'(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_# -> # encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1(x_1) -> 1(encArg(x_1)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) encode_log'(x_1) -> log'(encArg(x_1)) Types: 0 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' # :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' +' :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' 1 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' - :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' not :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' true :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' false :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' if :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' ge :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' log :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' log' :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encArg :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_0 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_+ :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_- :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_not :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_if :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_ge :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_log :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_log' :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_0 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_# :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_+ :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_1 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_- :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_not :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_true :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_false :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_if :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_ge :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_log :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_log' :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' hole_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'1_4 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4 :: Nat -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' Generator Equations: gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(0) <=> # gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(+(x, 1)) <=> 1(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: +', -, ge, log', encArg They will be analysed ascendingly in the following order: +' < log' +' < encArg - < encArg ge < log' ge < encArg log' < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: +'(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(n4_4), gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(n4_4)) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) Induction Base: +'(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(0), gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(0)) Induction Step: +'(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(+(n4_4, 1)), gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(+(n4_4, 1))) ->_R^Omega(1) 0(+'(+'(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(n4_4), gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(n4_4)), 1(#))) ->_IH 0(+'(*3_4, 1(#))) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: 0(#) -> # +'(#, x) -> x +'(x, #) -> x +'(0(x), 0(y)) -> 0(+'(x, y)) +'(0(x), 1(y)) -> 1(+'(x, y)) +'(1(x), 0(y)) -> 1(+'(x, y)) +'(1(x), 1(y)) -> 0(+'(+'(x, y), 1(#))) +'(+'(x, y), z) -> +'(x, +'(y, z)) -(#, x) -> # -(x, #) -> x -(0(x), 0(y)) -> 0(-(x, y)) -(0(x), 1(y)) -> 1(-(-(x, y), 1(#))) -(1(x), 0(y)) -> 1(-(x, y)) -(1(x), 1(y)) -> 0(-(x, y)) not(true) -> false not(false) -> true if(true, x, y) -> x if(false, x, y) -> y ge(0(x), 0(y)) -> ge(x, y) ge(0(x), 1(y)) -> not(ge(y, x)) ge(1(x), 0(y)) -> ge(x, y) ge(1(x), 1(y)) -> ge(x, y) ge(x, #) -> true ge(#, 0(x)) -> ge(#, x) ge(#, 1(x)) -> false log(x) -> -(log'(x), 1(#)) log'(#) -> # log'(1(x)) -> +'(log'(x), 1(#)) log'(0(x)) -> if(ge(x, 1(#)), +'(log'(x), 1(#)), #) encArg(#) -> # encArg(1(x_1)) -> 1(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_not(x_1)) -> not(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) encArg(cons_log'(x_1)) -> log'(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_# -> # encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1(x_1) -> 1(encArg(x_1)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) encode_log'(x_1) -> log'(encArg(x_1)) Types: 0 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' # :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' +' :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' 1 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' - :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' not :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' true :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' false :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' if :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' ge :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' log :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' log' :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encArg :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_0 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_+ :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_- :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_not :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_if :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_ge :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_log :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_log' :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_0 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_# :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_+ :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_1 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_- :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_not :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_true :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_false :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_if :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_ge :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_log :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_log' :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' hole_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'1_4 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4 :: Nat -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' Generator Equations: gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(0) <=> # gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(+(x, 1)) <=> 1(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: +', -, ge, log', encArg They will be analysed ascendingly in the following order: +' < log' +' < encArg - < encArg ge < log' ge < encArg log' < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: 0(#) -> # +'(#, x) -> x +'(x, #) -> x +'(0(x), 0(y)) -> 0(+'(x, y)) +'(0(x), 1(y)) -> 1(+'(x, y)) +'(1(x), 0(y)) -> 1(+'(x, y)) +'(1(x), 1(y)) -> 0(+'(+'(x, y), 1(#))) +'(+'(x, y), z) -> +'(x, +'(y, z)) -(#, x) -> # -(x, #) -> x -(0(x), 0(y)) -> 0(-(x, y)) -(0(x), 1(y)) -> 1(-(-(x, y), 1(#))) -(1(x), 0(y)) -> 1(-(x, y)) -(1(x), 1(y)) -> 0(-(x, y)) not(true) -> false not(false) -> true if(true, x, y) -> x if(false, x, y) -> y ge(0(x), 0(y)) -> ge(x, y) ge(0(x), 1(y)) -> not(ge(y, x)) ge(1(x), 0(y)) -> ge(x, y) ge(1(x), 1(y)) -> ge(x, y) ge(x, #) -> true ge(#, 0(x)) -> ge(#, x) ge(#, 1(x)) -> false log(x) -> -(log'(x), 1(#)) log'(#) -> # log'(1(x)) -> +'(log'(x), 1(#)) log'(0(x)) -> if(ge(x, 1(#)), +'(log'(x), 1(#)), #) encArg(#) -> # encArg(1(x_1)) -> 1(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_not(x_1)) -> not(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) encArg(cons_log'(x_1)) -> log'(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_# -> # encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1(x_1) -> 1(encArg(x_1)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) encode_log'(x_1) -> log'(encArg(x_1)) Types: 0 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' # :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' +' :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' 1 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' - :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' not :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' true :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' false :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' if :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' ge :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' log :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' log' :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encArg :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_0 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_+ :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_- :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_not :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_if :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_ge :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_log :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_log' :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_0 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_# :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_+ :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_1 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_- :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_not :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_true :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_false :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_if :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_ge :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_log :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_log' :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' hole_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'1_4 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4 :: Nat -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' Lemmas: +'(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(n4_4), gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(n4_4)) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) Generator Equations: gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(0) <=> # gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(+(x, 1)) <=> 1(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: -, ge, log', encArg They will be analysed ascendingly in the following order: - < encArg ge < log' ge < encArg log' < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: -(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(n113106_4), gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(n113106_4)) -> gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(0), rt in Omega(1 + n113106_4) Induction Base: -(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(0), gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(0)) ->_R^Omega(1) # Induction Step: -(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(+(n113106_4, 1)), gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(+(n113106_4, 1))) ->_R^Omega(1) 0(-(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(n113106_4), gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(n113106_4))) ->_IH 0(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(0)) ->_R^Omega(1) # We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: 0(#) -> # +'(#, x) -> x +'(x, #) -> x +'(0(x), 0(y)) -> 0(+'(x, y)) +'(0(x), 1(y)) -> 1(+'(x, y)) +'(1(x), 0(y)) -> 1(+'(x, y)) +'(1(x), 1(y)) -> 0(+'(+'(x, y), 1(#))) +'(+'(x, y), z) -> +'(x, +'(y, z)) -(#, x) -> # -(x, #) -> x -(0(x), 0(y)) -> 0(-(x, y)) -(0(x), 1(y)) -> 1(-(-(x, y), 1(#))) -(1(x), 0(y)) -> 1(-(x, y)) -(1(x), 1(y)) -> 0(-(x, y)) not(true) -> false not(false) -> true if(true, x, y) -> x if(false, x, y) -> y ge(0(x), 0(y)) -> ge(x, y) ge(0(x), 1(y)) -> not(ge(y, x)) ge(1(x), 0(y)) -> ge(x, y) ge(1(x), 1(y)) -> ge(x, y) ge(x, #) -> true ge(#, 0(x)) -> ge(#, x) ge(#, 1(x)) -> false log(x) -> -(log'(x), 1(#)) log'(#) -> # log'(1(x)) -> +'(log'(x), 1(#)) log'(0(x)) -> if(ge(x, 1(#)), +'(log'(x), 1(#)), #) encArg(#) -> # encArg(1(x_1)) -> 1(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_not(x_1)) -> not(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) encArg(cons_log'(x_1)) -> log'(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_# -> # encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1(x_1) -> 1(encArg(x_1)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) encode_log'(x_1) -> log'(encArg(x_1)) Types: 0 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' # :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' +' :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' 1 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' - :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' not :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' true :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' false :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' if :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' ge :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' log :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' log' :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encArg :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_0 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_+ :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_- :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_not :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_if :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_ge :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_log :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_log' :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_0 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_# :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_+ :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_1 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_- :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_not :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_true :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_false :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_if :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_ge :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_log :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_log' :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' hole_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'1_4 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4 :: Nat -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' Lemmas: +'(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(n4_4), gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(n4_4)) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) -(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(n113106_4), gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(n113106_4)) -> gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(0), rt in Omega(1 + n113106_4) Generator Equations: gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(0) <=> # gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(+(x, 1)) <=> 1(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: ge, log', encArg They will be analysed ascendingly in the following order: ge < log' ge < encArg log' < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: ge(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(n115689_4), gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(n115689_4)) -> true, rt in Omega(1 + n115689_4) Induction Base: ge(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(0), gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(0)) ->_R^Omega(1) true Induction Step: ge(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(+(n115689_4, 1)), gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(+(n115689_4, 1))) ->_R^Omega(1) ge(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(n115689_4), gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(n115689_4)) ->_IH true We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (20) Obligation: Innermost TRS: Rules: 0(#) -> # +'(#, x) -> x +'(x, #) -> x +'(0(x), 0(y)) -> 0(+'(x, y)) +'(0(x), 1(y)) -> 1(+'(x, y)) +'(1(x), 0(y)) -> 1(+'(x, y)) +'(1(x), 1(y)) -> 0(+'(+'(x, y), 1(#))) +'(+'(x, y), z) -> +'(x, +'(y, z)) -(#, x) -> # -(x, #) -> x -(0(x), 0(y)) -> 0(-(x, y)) -(0(x), 1(y)) -> 1(-(-(x, y), 1(#))) -(1(x), 0(y)) -> 1(-(x, y)) -(1(x), 1(y)) -> 0(-(x, y)) not(true) -> false not(false) -> true if(true, x, y) -> x if(false, x, y) -> y ge(0(x), 0(y)) -> ge(x, y) ge(0(x), 1(y)) -> not(ge(y, x)) ge(1(x), 0(y)) -> ge(x, y) ge(1(x), 1(y)) -> ge(x, y) ge(x, #) -> true ge(#, 0(x)) -> ge(#, x) ge(#, 1(x)) -> false log(x) -> -(log'(x), 1(#)) log'(#) -> # log'(1(x)) -> +'(log'(x), 1(#)) log'(0(x)) -> if(ge(x, 1(#)), +'(log'(x), 1(#)), #) encArg(#) -> # encArg(1(x_1)) -> 1(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_not(x_1)) -> not(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) encArg(cons_log'(x_1)) -> log'(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_# -> # encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1(x_1) -> 1(encArg(x_1)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) encode_log'(x_1) -> log'(encArg(x_1)) Types: 0 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' # :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' +' :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' 1 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' - :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' not :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' true :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' false :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' if :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' ge :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' log :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' log' :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encArg :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_0 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_+ :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_- :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_not :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_if :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_ge :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_log :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_log' :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_0 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_# :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_+ :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_1 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_- :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_not :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_true :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_false :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_if :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_ge :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_log :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_log' :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' hole_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'1_4 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4 :: Nat -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' Lemmas: +'(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(n4_4), gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(n4_4)) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) -(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(n113106_4), gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(n113106_4)) -> gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(0), rt in Omega(1 + n113106_4) ge(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(n115689_4), gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(n115689_4)) -> true, rt in Omega(1 + n115689_4) Generator Equations: gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(0) <=> # gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(+(x, 1)) <=> 1(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: log', encArg They will be analysed ascendingly in the following order: log' < encArg ---------------------------------------- (21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: log'(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(+(1, n119670_4))) -> *3_4, rt in Omega(n119670_4) Induction Base: log'(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(+(1, 0))) Induction Step: log'(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(+(1, +(n119670_4, 1)))) ->_R^Omega(1) +'(log'(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(+(1, n119670_4))), 1(#)) ->_IH +'(*3_4, 1(#)) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (22) Obligation: Innermost TRS: Rules: 0(#) -> # +'(#, x) -> x +'(x, #) -> x +'(0(x), 0(y)) -> 0(+'(x, y)) +'(0(x), 1(y)) -> 1(+'(x, y)) +'(1(x), 0(y)) -> 1(+'(x, y)) +'(1(x), 1(y)) -> 0(+'(+'(x, y), 1(#))) +'(+'(x, y), z) -> +'(x, +'(y, z)) -(#, x) -> # -(x, #) -> x -(0(x), 0(y)) -> 0(-(x, y)) -(0(x), 1(y)) -> 1(-(-(x, y), 1(#))) -(1(x), 0(y)) -> 1(-(x, y)) -(1(x), 1(y)) -> 0(-(x, y)) not(true) -> false not(false) -> true if(true, x, y) -> x if(false, x, y) -> y ge(0(x), 0(y)) -> ge(x, y) ge(0(x), 1(y)) -> not(ge(y, x)) ge(1(x), 0(y)) -> ge(x, y) ge(1(x), 1(y)) -> ge(x, y) ge(x, #) -> true ge(#, 0(x)) -> ge(#, x) ge(#, 1(x)) -> false log(x) -> -(log'(x), 1(#)) log'(#) -> # log'(1(x)) -> +'(log'(x), 1(#)) log'(0(x)) -> if(ge(x, 1(#)), +'(log'(x), 1(#)), #) encArg(#) -> # encArg(1(x_1)) -> 1(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_-(x_1, x_2)) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_not(x_1)) -> not(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) encArg(cons_log'(x_1)) -> log'(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_# -> # encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1(x_1) -> 1(encArg(x_1)) encode_-(x_1, x_2) -> -(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_not(x_1) -> not(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) encode_log'(x_1) -> log'(encArg(x_1)) Types: 0 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' # :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' +' :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' 1 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' - :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' not :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' true :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' false :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' if :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' ge :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' log :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' log' :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encArg :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_0 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_+ :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_- :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_not :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_if :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_ge :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_log :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' cons_log' :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_0 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_# :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_+ :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_1 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_- :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_not :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_true :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_false :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_if :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_ge :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_log :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' encode_log' :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' hole_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'1_4 :: #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4 :: Nat -> #:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log' Lemmas: +'(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(n4_4), gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(n4_4)) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) -(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(n113106_4), gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(n113106_4)) -> gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(0), rt in Omega(1 + n113106_4) ge(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(n115689_4), gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(n115689_4)) -> true, rt in Omega(1 + n115689_4) log'(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(+(1, n119670_4))) -> *3_4, rt in Omega(n119670_4) Generator Equations: gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(0) <=> # gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(+(x, 1)) <=> 1(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: encArg ---------------------------------------- (23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(n216930_4)) -> gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(n216930_4), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(0)) ->_R^Omega(0) # Induction Step: encArg(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(+(n216930_4, 1))) ->_R^Omega(0) 1(encArg(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(n216930_4))) ->_IH 1(gen_#:1:true:false:cons_0:cons_+:cons_-:cons_not:cons_if:cons_ge:cons_log:cons_log'2_4(c216931_4)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (24) BOUNDS(1, INF)