/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 248 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 1653 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 94 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 276 ms] (20) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: 0(#) -> # +(x, #) -> x +(#, x) -> x +(0(x), 0(y)) -> 0(+(x, y)) +(0(x), 1(y)) -> 1(+(x, y)) +(1(x), 0(y)) -> 1(+(x, y)) +(1(x), 1(y)) -> 0(+(+(x, y), 1(#))) +(+(x, y), z) -> +(x, +(y, z)) *(#, x) -> # *(0(x), y) -> 0(*(x, y)) *(1(x), y) -> +(0(*(x, y)), y) *(*(x, y), z) -> *(x, *(y, z)) *(x, +(y, z)) -> +(*(x, y), *(x, z)) app(nil, l) -> l app(cons(x, l1), l2) -> cons(x, app(l1, l2)) sum(nil) -> 0(#) sum(cons(x, l)) -> +(x, sum(l)) sum(app(l1, l2)) -> +(sum(l1), sum(l2)) prod(nil) -> 1(#) prod(cons(x, l)) -> *(x, prod(l)) prod(app(l1, l2)) -> *(prod(l1), prod(l2)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(#) -> # encArg(1(x_1)) -> 1(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encArg(cons_prod(x_1)) -> prod(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_# -> # encode_+(x_1, x_2) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1(x_1) -> 1(encArg(x_1)) encode_*(x_1, x_2) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) encode_prod(x_1) -> prod(encArg(x_1)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: 0(#) -> # +(x, #) -> x +(#, x) -> x +(0(x), 0(y)) -> 0(+(x, y)) +(0(x), 1(y)) -> 1(+(x, y)) +(1(x), 0(y)) -> 1(+(x, y)) +(1(x), 1(y)) -> 0(+(+(x, y), 1(#))) +(+(x, y), z) -> +(x, +(y, z)) *(#, x) -> # *(0(x), y) -> 0(*(x, y)) *(1(x), y) -> +(0(*(x, y)), y) *(*(x, y), z) -> *(x, *(y, z)) *(x, +(y, z)) -> +(*(x, y), *(x, z)) app(nil, l) -> l app(cons(x, l1), l2) -> cons(x, app(l1, l2)) sum(nil) -> 0(#) sum(cons(x, l)) -> +(x, sum(l)) sum(app(l1, l2)) -> +(sum(l1), sum(l2)) prod(nil) -> 1(#) prod(cons(x, l)) -> *(x, prod(l)) prod(app(l1, l2)) -> *(prod(l1), prod(l2)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(#) -> # encArg(1(x_1)) -> 1(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encArg(cons_prod(x_1)) -> prod(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_# -> # encode_+(x_1, x_2) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1(x_1) -> 1(encArg(x_1)) encode_*(x_1, x_2) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) encode_prod(x_1) -> prod(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: 0(#) -> # +(x, #) -> x +(#, x) -> x +(0(x), 0(y)) -> 0(+(x, y)) +(0(x), 1(y)) -> 1(+(x, y)) +(1(x), 0(y)) -> 1(+(x, y)) +(1(x), 1(y)) -> 0(+(+(x, y), 1(#))) +(+(x, y), z) -> +(x, +(y, z)) *(#, x) -> # *(0(x), y) -> 0(*(x, y)) *(1(x), y) -> +(0(*(x, y)), y) *(*(x, y), z) -> *(x, *(y, z)) *(x, +(y, z)) -> +(*(x, y), *(x, z)) app(nil, l) -> l app(cons(x, l1), l2) -> cons(x, app(l1, l2)) sum(nil) -> 0(#) sum(cons(x, l)) -> +(x, sum(l)) sum(app(l1, l2)) -> +(sum(l1), sum(l2)) prod(nil) -> 1(#) prod(cons(x, l)) -> *(x, prod(l)) prod(app(l1, l2)) -> *(prod(l1), prod(l2)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(#) -> # encArg(1(x_1)) -> 1(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encArg(cons_prod(x_1)) -> prod(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_# -> # encode_+(x_1, x_2) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1(x_1) -> 1(encArg(x_1)) encode_*(x_1, x_2) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) encode_prod(x_1) -> prod(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: 0(#) -> # +'(x, #) -> x +'(#, x) -> x +'(0(x), 0(y)) -> 0(+'(x, y)) +'(0(x), 1(y)) -> 1(+'(x, y)) +'(1(x), 0(y)) -> 1(+'(x, y)) +'(1(x), 1(y)) -> 0(+'(+'(x, y), 1(#))) +'(+'(x, y), z) -> +'(x, +'(y, z)) *'(#, x) -> # *'(0(x), y) -> 0(*'(x, y)) *'(1(x), y) -> +'(0(*'(x, y)), y) *'(*'(x, y), z) -> *'(x, *'(y, z)) *'(x, +'(y, z)) -> +'(*'(x, y), *'(x, z)) app(nil, l) -> l app(cons(x, l1), l2) -> cons(x, app(l1, l2)) sum(nil) -> 0(#) sum(cons(x, l)) -> +'(x, sum(l)) sum(app(l1, l2)) -> +'(sum(l1), sum(l2)) prod(nil) -> 1(#) prod(cons(x, l)) -> *'(x, prod(l)) prod(app(l1, l2)) -> *'(prod(l1), prod(l2)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(#) -> # encArg(1(x_1)) -> 1(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encArg(cons_prod(x_1)) -> prod(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_# -> # encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1(x_1) -> 1(encArg(x_1)) encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) encode_prod(x_1) -> prod(encArg(x_1)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: 0(#) -> # +'(x, #) -> x +'(#, x) -> x +'(0(x), 0(y)) -> 0(+'(x, y)) +'(0(x), 1(y)) -> 1(+'(x, y)) +'(1(x), 0(y)) -> 1(+'(x, y)) +'(1(x), 1(y)) -> 0(+'(+'(x, y), 1(#))) +'(+'(x, y), z) -> +'(x, +'(y, z)) *'(#, x) -> # *'(0(x), y) -> 0(*'(x, y)) *'(1(x), y) -> +'(0(*'(x, y)), y) *'(*'(x, y), z) -> *'(x, *'(y, z)) *'(x, +'(y, z)) -> +'(*'(x, y), *'(x, z)) app(nil, l) -> l app(cons(x, l1), l2) -> cons(x, app(l1, l2)) sum(nil) -> 0(#) sum(cons(x, l)) -> +'(x, sum(l)) sum(app(l1, l2)) -> +'(sum(l1), sum(l2)) prod(nil) -> 1(#) prod(cons(x, l)) -> *'(x, prod(l)) prod(app(l1, l2)) -> *'(prod(l1), prod(l2)) encArg(#) -> # encArg(1(x_1)) -> 1(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encArg(cons_prod(x_1)) -> prod(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_# -> # encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1(x_1) -> 1(encArg(x_1)) encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) encode_prod(x_1) -> prod(encArg(x_1)) Types: 0 :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod # :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod +' :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod 1 :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod *' :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod app :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod nil :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod sum :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod prod :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encArg :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons_0 :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons_+ :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons_* :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons_app :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons_sum :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons_prod :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_0 :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_# :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_+ :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_1 :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_* :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_app :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_nil :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_cons :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_sum :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_prod :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod hole_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod1_3 :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3 :: Nat -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: +', *', app, sum, prod, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: +' < *' +' < sum +' < encArg *' < prod *' < encArg app < encArg sum < encArg prod < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: 0(#) -> # +'(x, #) -> x +'(#, x) -> x +'(0(x), 0(y)) -> 0(+'(x, y)) +'(0(x), 1(y)) -> 1(+'(x, y)) +'(1(x), 0(y)) -> 1(+'(x, y)) +'(1(x), 1(y)) -> 0(+'(+'(x, y), 1(#))) +'(+'(x, y), z) -> +'(x, +'(y, z)) *'(#, x) -> # *'(0(x), y) -> 0(*'(x, y)) *'(1(x), y) -> +'(0(*'(x, y)), y) *'(*'(x, y), z) -> *'(x, *'(y, z)) *'(x, +'(y, z)) -> +'(*'(x, y), *'(x, z)) app(nil, l) -> l app(cons(x, l1), l2) -> cons(x, app(l1, l2)) sum(nil) -> 0(#) sum(cons(x, l)) -> +'(x, sum(l)) sum(app(l1, l2)) -> +'(sum(l1), sum(l2)) prod(nil) -> 1(#) prod(cons(x, l)) -> *'(x, prod(l)) prod(app(l1, l2)) -> *'(prod(l1), prod(l2)) encArg(#) -> # encArg(1(x_1)) -> 1(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encArg(cons_prod(x_1)) -> prod(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_# -> # encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1(x_1) -> 1(encArg(x_1)) encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) encode_prod(x_1) -> prod(encArg(x_1)) Types: 0 :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod # :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod +' :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod 1 :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod *' :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod app :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod nil :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod sum :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod prod :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encArg :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons_0 :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons_+ :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons_* :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons_app :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons_sum :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons_prod :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_0 :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_# :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_+ :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_1 :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_* :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_app :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_nil :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_cons :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_sum :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_prod :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod hole_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod1_3 :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3 :: Nat -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod Generator Equations: gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(0) <=> # gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(+(x, 1)) <=> 1(gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: +', *', app, sum, prod, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: +' < *' +' < sum +' < encArg *' < prod *' < encArg app < encArg sum < encArg prod < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: +'(gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(n4_3), gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(n4_3)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) Induction Base: +'(gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(0), gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(0)) Induction Step: +'(gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(+(n4_3, 1)), gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(+(n4_3, 1))) ->_R^Omega(1) 0(+'(+'(gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(n4_3), gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(n4_3)), 1(#))) ->_IH 0(+'(*3_3, 1(#))) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: 0(#) -> # +'(x, #) -> x +'(#, x) -> x +'(0(x), 0(y)) -> 0(+'(x, y)) +'(0(x), 1(y)) -> 1(+'(x, y)) +'(1(x), 0(y)) -> 1(+'(x, y)) +'(1(x), 1(y)) -> 0(+'(+'(x, y), 1(#))) +'(+'(x, y), z) -> +'(x, +'(y, z)) *'(#, x) -> # *'(0(x), y) -> 0(*'(x, y)) *'(1(x), y) -> +'(0(*'(x, y)), y) *'(*'(x, y), z) -> *'(x, *'(y, z)) *'(x, +'(y, z)) -> +'(*'(x, y), *'(x, z)) app(nil, l) -> l app(cons(x, l1), l2) -> cons(x, app(l1, l2)) sum(nil) -> 0(#) sum(cons(x, l)) -> +'(x, sum(l)) sum(app(l1, l2)) -> +'(sum(l1), sum(l2)) prod(nil) -> 1(#) prod(cons(x, l)) -> *'(x, prod(l)) prod(app(l1, l2)) -> *'(prod(l1), prod(l2)) encArg(#) -> # encArg(1(x_1)) -> 1(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encArg(cons_prod(x_1)) -> prod(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_# -> # encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1(x_1) -> 1(encArg(x_1)) encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) encode_prod(x_1) -> prod(encArg(x_1)) Types: 0 :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod # :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod +' :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod 1 :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod *' :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod app :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod nil :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod sum :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod prod :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encArg :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons_0 :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons_+ :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons_* :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons_app :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons_sum :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons_prod :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_0 :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_# :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_+ :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_1 :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_* :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_app :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_nil :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_cons :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_sum :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_prod :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod hole_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod1_3 :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3 :: Nat -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod Generator Equations: gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(0) <=> # gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(+(x, 1)) <=> 1(gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: +', *', app, sum, prod, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: +' < *' +' < sum +' < encArg *' < prod *' < encArg app < encArg sum < encArg prod < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: 0(#) -> # +'(x, #) -> x +'(#, x) -> x +'(0(x), 0(y)) -> 0(+'(x, y)) +'(0(x), 1(y)) -> 1(+'(x, y)) +'(1(x), 0(y)) -> 1(+'(x, y)) +'(1(x), 1(y)) -> 0(+'(+'(x, y), 1(#))) +'(+'(x, y), z) -> +'(x, +'(y, z)) *'(#, x) -> # *'(0(x), y) -> 0(*'(x, y)) *'(1(x), y) -> +'(0(*'(x, y)), y) *'(*'(x, y), z) -> *'(x, *'(y, z)) *'(x, +'(y, z)) -> +'(*'(x, y), *'(x, z)) app(nil, l) -> l app(cons(x, l1), l2) -> cons(x, app(l1, l2)) sum(nil) -> 0(#) sum(cons(x, l)) -> +'(x, sum(l)) sum(app(l1, l2)) -> +'(sum(l1), sum(l2)) prod(nil) -> 1(#) prod(cons(x, l)) -> *'(x, prod(l)) prod(app(l1, l2)) -> *'(prod(l1), prod(l2)) encArg(#) -> # encArg(1(x_1)) -> 1(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encArg(cons_prod(x_1)) -> prod(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_# -> # encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1(x_1) -> 1(encArg(x_1)) encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) encode_prod(x_1) -> prod(encArg(x_1)) Types: 0 :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod # :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod +' :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod 1 :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod *' :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod app :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod nil :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod sum :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod prod :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encArg :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons_0 :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons_+ :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons_* :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons_app :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons_sum :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons_prod :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_0 :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_# :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_+ :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_1 :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_* :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_app :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_nil :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_cons :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_sum :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_prod :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod hole_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod1_3 :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3 :: Nat -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod Lemmas: +'(gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(n4_3), gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(n4_3)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) Generator Equations: gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(0) <=> # gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(+(x, 1)) <=> 1(gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: *', app, sum, prod, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: *' < prod *' < encArg app < encArg sum < encArg prod < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: *'(gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(n110634_3), gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(0)) -> gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(0), rt in Omega(1 + n110634_3) Induction Base: *'(gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(0), gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(0)) ->_R^Omega(1) # Induction Step: *'(gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(+(n110634_3, 1)), gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(0)) ->_R^Omega(1) +'(0(*'(gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(n110634_3), gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(0))), gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(0)) ->_IH +'(0(gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(0)), gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(0)) ->_R^Omega(1) +'(#, gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(0)) ->_R^Omega(1) # We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: 0(#) -> # +'(x, #) -> x +'(#, x) -> x +'(0(x), 0(y)) -> 0(+'(x, y)) +'(0(x), 1(y)) -> 1(+'(x, y)) +'(1(x), 0(y)) -> 1(+'(x, y)) +'(1(x), 1(y)) -> 0(+'(+'(x, y), 1(#))) +'(+'(x, y), z) -> +'(x, +'(y, z)) *'(#, x) -> # *'(0(x), y) -> 0(*'(x, y)) *'(1(x), y) -> +'(0(*'(x, y)), y) *'(*'(x, y), z) -> *'(x, *'(y, z)) *'(x, +'(y, z)) -> +'(*'(x, y), *'(x, z)) app(nil, l) -> l app(cons(x, l1), l2) -> cons(x, app(l1, l2)) sum(nil) -> 0(#) sum(cons(x, l)) -> +'(x, sum(l)) sum(app(l1, l2)) -> +'(sum(l1), sum(l2)) prod(nil) -> 1(#) prod(cons(x, l)) -> *'(x, prod(l)) prod(app(l1, l2)) -> *'(prod(l1), prod(l2)) encArg(#) -> # encArg(1(x_1)) -> 1(encArg(x_1)) encArg(nil) -> nil encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_0(x_1)) -> 0(encArg(x_1)) encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1)) encArg(cons_prod(x_1)) -> prod(encArg(x_1)) encode_0(x_1) -> 0(encArg(x_1)) encode_# -> # encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_1(x_1) -> 1(encArg(x_1)) encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1)) encode_prod(x_1) -> prod(encArg(x_1)) Types: 0 :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod # :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod +' :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod 1 :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod *' :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod app :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod nil :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod sum :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod prod :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encArg :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons_0 :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons_+ :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons_* :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons_app :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons_sum :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod cons_prod :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_0 :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_# :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_+ :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_1 :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_* :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_app :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_nil :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_cons :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_sum :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod encode_prod :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod hole_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod1_3 :: #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3 :: Nat -> #:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod Lemmas: +'(gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(n4_3), gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(n4_3)) -> *3_3, rt in Omega(n4_3) *'(gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(n110634_3), gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(0)) -> gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(0), rt in Omega(1 + n110634_3) Generator Equations: gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(0) <=> # gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(+(x, 1)) <=> 1(gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: app, sum, prod, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: app < encArg sum < encArg prod < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(n125402_3)) -> gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(n125402_3), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(0)) ->_R^Omega(0) # Induction Step: encArg(gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(+(n125402_3, 1))) ->_R^Omega(0) 1(encArg(gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(n125402_3))) ->_IH 1(gen_#:1:nil:cons:cons_0:cons_+:cons_*:cons_app:cons_sum:cons_prod2_3(c125403_3)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (20) BOUNDS(1, INF)