/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files


--------------------------------------------------------------------------------


WORST_CASE(Omega(n^1), ?)
proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 208 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(6) CpxRelTRS
(7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(8) typed CpxTrs
(9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(10) typed CpxTrs
(11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 390 ms]
(12) proven lower bound
(13) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
(14) BOUNDS(n^1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   xor(x, F) -> x
   xor(x, neg(x)) -> F
   and(x, T) -> x
   and(x, F) -> F
   and(x, x) -> x
   and(xor(x, y), z) -> xor(and(x, z), and(y, z))
   xor(x, x) -> F
   impl(x, y) -> xor(and(x, y), xor(x, T))
   or(x, y) -> xor(and(x, y), xor(x, y))
   equiv(x, y) -> xor(x, xor(y, T))
   neg(x) -> xor(x, T)

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(F) -> F
   encArg(T) -> T
   encArg(cons_xor(x_1, x_2)) -> xor(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_impl(x_1, x_2)) -> impl(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_or(x_1, x_2)) -> or(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_equiv(x_1, x_2)) -> equiv(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_neg(x_1)) -> neg(encArg(x_1))
   encode_xor(x_1, x_2) -> xor(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_F -> F
   encode_neg(x_1) -> neg(encArg(x_1))
   encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_T -> T
   encode_impl(x_1, x_2) -> impl(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_or(x_1, x_2) -> or(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_equiv(x_1, x_2) -> equiv(encArg(x_1), encArg(x_2))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   xor(x, F) -> x
   xor(x, neg(x)) -> F
   and(x, T) -> x
   and(x, F) -> F
   and(x, x) -> x
   and(xor(x, y), z) -> xor(and(x, z), and(y, z))
   xor(x, x) -> F
   impl(x, y) -> xor(and(x, y), xor(x, T))
   or(x, y) -> xor(and(x, y), xor(x, y))
   equiv(x, y) -> xor(x, xor(y, T))
   neg(x) -> xor(x, T)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(F) -> F
   encArg(T) -> T
   encArg(cons_xor(x_1, x_2)) -> xor(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_impl(x_1, x_2)) -> impl(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_or(x_1, x_2)) -> or(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_equiv(x_1, x_2)) -> equiv(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_neg(x_1)) -> neg(encArg(x_1))
   encode_xor(x_1, x_2) -> xor(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_F -> F
   encode_neg(x_1) -> neg(encArg(x_1))
   encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_T -> T
   encode_impl(x_1, x_2) -> impl(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_or(x_1, x_2) -> or(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_equiv(x_1, x_2) -> equiv(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   xor(x, F) -> x
   xor(x, neg(x)) -> F
   and(x, T) -> x
   and(x, F) -> F
   and(x, x) -> x
   and(xor(x, y), z) -> xor(and(x, z), and(y, z))
   xor(x, x) -> F
   impl(x, y) -> xor(and(x, y), xor(x, T))
   or(x, y) -> xor(and(x, y), xor(x, y))
   equiv(x, y) -> xor(x, xor(y, T))
   neg(x) -> xor(x, T)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(F) -> F
   encArg(T) -> T
   encArg(cons_xor(x_1, x_2)) -> xor(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_impl(x_1, x_2)) -> impl(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_or(x_1, x_2)) -> or(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_equiv(x_1, x_2)) -> equiv(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_neg(x_1)) -> neg(encArg(x_1))
   encode_xor(x_1, x_2) -> xor(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_F -> F
   encode_neg(x_1) -> neg(encArg(x_1))
   encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_T -> T
   encode_impl(x_1, x_2) -> impl(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_or(x_1, x_2) -> or(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_equiv(x_1, x_2) -> equiv(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   xor(x, F) -> x
   xor(x, neg(x)) -> F
   and(x, T) -> x
   and(x, F) -> F
   and(x, x) -> x
   and(xor(x, y), z) -> xor(and(x, z), and(y, z))
   xor(x, x) -> F
   impl(x, y) -> xor(and(x, y), xor(x, T))
   or(x, y) -> xor(and(x, y), xor(x, y))
   equiv(x, y) -> xor(x, xor(y, T))
   neg(x) -> xor(x, T)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(F) -> F
   encArg(T) -> T
   encArg(cons_xor(x_1, x_2)) -> xor(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_impl(x_1, x_2)) -> impl(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_or(x_1, x_2)) -> or(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_equiv(x_1, x_2)) -> equiv(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_neg(x_1)) -> neg(encArg(x_1))
   encode_xor(x_1, x_2) -> xor(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_F -> F
   encode_neg(x_1) -> neg(encArg(x_1))
   encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_T -> T
   encode_impl(x_1, x_2) -> impl(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_or(x_1, x_2) -> or(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_equiv(x_1, x_2) -> equiv(encArg(x_1), encArg(x_2))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(8)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
xor(x, F) -> x
xor(x, neg(x)) -> F
and(x, T) -> x
and(x, F) -> F
and(x, x) -> x
and(xor(x, y), z) -> xor(and(x, z), and(y, z))
xor(x, x) -> F
impl(x, y) -> xor(and(x, y), xor(x, T))
or(x, y) -> xor(and(x, y), xor(x, y))
equiv(x, y) -> xor(x, xor(y, T))
neg(x) -> xor(x, T)
encArg(F) -> F
encArg(T) -> T
encArg(cons_xor(x_1, x_2)) -> xor(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_impl(x_1, x_2)) -> impl(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_or(x_1, x_2)) -> or(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_equiv(x_1, x_2)) -> equiv(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_neg(x_1)) -> neg(encArg(x_1))
encode_xor(x_1, x_2) -> xor(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_F -> F
encode_neg(x_1) -> neg(encArg(x_1))
encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_T -> T
encode_impl(x_1, x_2) -> impl(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_or(x_1, x_2) -> or(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_equiv(x_1, x_2) -> equiv(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
xor :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
F :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
neg :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
and :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
T :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
impl :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
or :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
equiv :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
encArg :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
cons_xor :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
cons_and :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
cons_impl :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
cons_or :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
cons_equiv :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
cons_neg :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
encode_xor :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
encode_F :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
encode_neg :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
encode_and :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
encode_T :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
encode_impl :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
encode_or :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
encode_equiv :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
hole_F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg1_0 :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
gen_F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg2_0 :: Nat -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg

----------------------------------------

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
and, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
and < encArg

----------------------------------------

(10)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
xor(x, F) -> x
xor(x, neg(x)) -> F
and(x, T) -> x
and(x, F) -> F
and(x, x) -> x
and(xor(x, y), z) -> xor(and(x, z), and(y, z))
xor(x, x) -> F
impl(x, y) -> xor(and(x, y), xor(x, T))
or(x, y) -> xor(and(x, y), xor(x, y))
equiv(x, y) -> xor(x, xor(y, T))
neg(x) -> xor(x, T)
encArg(F) -> F
encArg(T) -> T
encArg(cons_xor(x_1, x_2)) -> xor(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_impl(x_1, x_2)) -> impl(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_or(x_1, x_2)) -> or(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_equiv(x_1, x_2)) -> equiv(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_neg(x_1)) -> neg(encArg(x_1))
encode_xor(x_1, x_2) -> xor(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_F -> F
encode_neg(x_1) -> neg(encArg(x_1))
encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_T -> T
encode_impl(x_1, x_2) -> impl(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_or(x_1, x_2) -> or(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_equiv(x_1, x_2) -> equiv(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
xor :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
F :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
neg :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
and :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
T :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
impl :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
or :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
equiv :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
encArg :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
cons_xor :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
cons_and :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
cons_impl :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
cons_or :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
cons_equiv :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
cons_neg :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
encode_xor :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
encode_F :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
encode_neg :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
encode_and :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
encode_T :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
encode_impl :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
encode_or :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
encode_equiv :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
hole_F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg1_0 :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
gen_F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg2_0 :: Nat -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg


Generator Equations:
gen_F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg2_0(0) <=> F
gen_F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg2_0(+(x, 1)) <=> cons_xor(F, gen_F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
and, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
and < encArg

----------------------------------------

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg2_0(n26_0)) -> gen_F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg2_0(0), rt in Omega(n26_0)

Induction Base:
encArg(gen_F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg2_0(0)) ->_R^Omega(0)
F

Induction Step:
encArg(gen_F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg2_0(+(n26_0, 1))) ->_R^Omega(0)
xor(encArg(F), encArg(gen_F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg2_0(n26_0))) ->_R^Omega(0)
xor(F, encArg(gen_F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg2_0(n26_0))) ->_IH
xor(F, gen_F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg2_0(0)) ->_R^Omega(1)
F

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(12)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
xor(x, F) -> x
xor(x, neg(x)) -> F
and(x, T) -> x
and(x, F) -> F
and(x, x) -> x
and(xor(x, y), z) -> xor(and(x, z), and(y, z))
xor(x, x) -> F
impl(x, y) -> xor(and(x, y), xor(x, T))
or(x, y) -> xor(and(x, y), xor(x, y))
equiv(x, y) -> xor(x, xor(y, T))
neg(x) -> xor(x, T)
encArg(F) -> F
encArg(T) -> T
encArg(cons_xor(x_1, x_2)) -> xor(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_and(x_1, x_2)) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_impl(x_1, x_2)) -> impl(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_or(x_1, x_2)) -> or(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_equiv(x_1, x_2)) -> equiv(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_neg(x_1)) -> neg(encArg(x_1))
encode_xor(x_1, x_2) -> xor(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_F -> F
encode_neg(x_1) -> neg(encArg(x_1))
encode_and(x_1, x_2) -> and(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_T -> T
encode_impl(x_1, x_2) -> impl(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_or(x_1, x_2) -> or(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_equiv(x_1, x_2) -> equiv(encArg(x_1), encArg(x_2))

Types:
xor :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
F :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
neg :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
and :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
T :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
impl :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
or :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
equiv :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
encArg :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
cons_xor :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
cons_and :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
cons_impl :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
cons_or :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
cons_equiv :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
cons_neg :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
encode_xor :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
encode_F :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
encode_neg :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
encode_and :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
encode_T :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
encode_impl :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
encode_or :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
encode_equiv :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
hole_F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg1_0 :: F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg
gen_F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg2_0 :: Nat -> F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg


Generator Equations:
gen_F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg2_0(0) <=> F
gen_F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg2_0(+(x, 1)) <=> cons_xor(F, gen_F:T:cons_xor:cons_and:cons_impl:cons_or:cons_equiv:cons_neg2_0(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
encArg
----------------------------------------

(13) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(14)
BOUNDS(n^1, INF)