/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files


--------------------------------------------------------------------------------


WORST_CASE(Omega(n^2), ?)
proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 187 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(6) CpxRelTRS
(7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 9 ms]
(8) typed CpxTrs
(9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(10) typed CpxTrs
(11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 362 ms]
(12) BEST
    (13) proven lower bound
        (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (15) BOUNDS(n^1, INF)
    (16) typed CpxTrs
        (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 4644 ms]
        (18) BEST
            (19) proven lower bound
                (20) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
                (21) BOUNDS(n^2, INF)
            (22) typed CpxTrs
                (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 73 ms]
                (24) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   +(x, 0) -> x
   +(0, x) -> x
   +(s(x), s(y)) -> s(s(+(x, y)))
   +(+(x, y), z) -> +(x, +(y, z))
   *(x, 0) -> 0
   *(0, x) -> 0
   *(s(x), s(y)) -> s(+(*(x, y), +(x, y)))
   *(*(x, y), z) -> *(x, *(y, z))
   sum(nil) -> 0
   sum(cons(x, l)) -> +(x, sum(l))
   prod(nil) -> s(0)
   prod(cons(x, l)) -> *(x, prod(l))

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1))
   encArg(cons_prod(x_1)) -> prod(encArg(x_1))
   encode_+(x_1, x_2) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_*(x_1, x_2) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1))
   encode_nil -> nil
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_prod(x_1) -> prod(encArg(x_1))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   +(x, 0) -> x
   +(0, x) -> x
   +(s(x), s(y)) -> s(s(+(x, y)))
   +(+(x, y), z) -> +(x, +(y, z))
   *(x, 0) -> 0
   *(0, x) -> 0
   *(s(x), s(y)) -> s(+(*(x, y), +(x, y)))
   *(*(x, y), z) -> *(x, *(y, z))
   sum(nil) -> 0
   sum(cons(x, l)) -> +(x, sum(l))
   prod(nil) -> s(0)
   prod(cons(x, l)) -> *(x, prod(l))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1))
   encArg(cons_prod(x_1)) -> prod(encArg(x_1))
   encode_+(x_1, x_2) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_*(x_1, x_2) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1))
   encode_nil -> nil
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_prod(x_1) -> prod(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   +(x, 0) -> x
   +(0, x) -> x
   +(s(x), s(y)) -> s(s(+(x, y)))
   +(+(x, y), z) -> +(x, +(y, z))
   *(x, 0) -> 0
   *(0, x) -> 0
   *(s(x), s(y)) -> s(+(*(x, y), +(x, y)))
   *(*(x, y), z) -> *(x, *(y, z))
   sum(nil) -> 0
   sum(cons(x, l)) -> +(x, sum(l))
   prod(nil) -> s(0)
   prod(cons(x, l)) -> *(x, prod(l))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1))
   encArg(cons_prod(x_1)) -> prod(encArg(x_1))
   encode_+(x_1, x_2) -> +(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_*(x_1, x_2) -> *(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1))
   encode_nil -> nil
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_prod(x_1) -> prod(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   +'(x, 0') -> x
   +'(0', x) -> x
   +'(s(x), s(y)) -> s(s(+'(x, y)))
   +'(+'(x, y), z) -> +'(x, +'(y, z))
   *'(x, 0') -> 0'
   *'(0', x) -> 0'
   *'(s(x), s(y)) -> s(+'(*'(x, y), +'(x, y)))
   *'(*'(x, y), z) -> *'(x, *'(y, z))
   sum(nil) -> 0'
   sum(cons(x, l)) -> +'(x, sum(l))
   prod(nil) -> s(0')
   prod(cons(x, l)) -> *'(x, prod(l))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0') -> 0'
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(nil) -> nil
   encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1))
   encArg(cons_prod(x_1)) -> prod(encArg(x_1))
   encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0'
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1))
   encode_nil -> nil
   encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_prod(x_1) -> prod(encArg(x_1))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(8)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
+'(x, 0') -> x
+'(0', x) -> x
+'(s(x), s(y)) -> s(s(+'(x, y)))
+'(+'(x, y), z) -> +'(x, +'(y, z))
*'(x, 0') -> 0'
*'(0', x) -> 0'
*'(s(x), s(y)) -> s(+'(*'(x, y), +'(x, y)))
*'(*'(x, y), z) -> *'(x, *'(y, z))
sum(nil) -> 0'
sum(cons(x, l)) -> +'(x, sum(l))
prod(nil) -> s(0')
prod(cons(x, l)) -> *'(x, prod(l))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(nil) -> nil
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1))
encArg(cons_prod(x_1)) -> prod(encArg(x_1))
encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_prod(x_1) -> prod(encArg(x_1))

Types:
+' :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
0' :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
s :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
*' :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
sum :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
nil :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
cons :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
prod :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encArg :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
cons_+ :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
cons_* :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
cons_sum :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
cons_prod :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_+ :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_0 :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_s :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_* :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_sum :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_nil :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_cons :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_prod :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
hole_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod1_3 :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3 :: Nat -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod

----------------------------------------

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
+', *', sum, prod, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
+' < *'
+' < sum
+' < encArg
*' < prod
*' < encArg
sum < encArg
prod < encArg

----------------------------------------

(10)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
+'(x, 0') -> x
+'(0', x) -> x
+'(s(x), s(y)) -> s(s(+'(x, y)))
+'(+'(x, y), z) -> +'(x, +'(y, z))
*'(x, 0') -> 0'
*'(0', x) -> 0'
*'(s(x), s(y)) -> s(+'(*'(x, y), +'(x, y)))
*'(*'(x, y), z) -> *'(x, *'(y, z))
sum(nil) -> 0'
sum(cons(x, l)) -> +'(x, sum(l))
prod(nil) -> s(0')
prod(cons(x, l)) -> *'(x, prod(l))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(nil) -> nil
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1))
encArg(cons_prod(x_1)) -> prod(encArg(x_1))
encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_prod(x_1) -> prod(encArg(x_1))

Types:
+' :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
0' :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
s :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
*' :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
sum :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
nil :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
cons :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
prod :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encArg :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
cons_+ :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
cons_* :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
cons_sum :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
cons_prod :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_+ :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_0 :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_s :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_* :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_sum :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_nil :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_cons :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_prod :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
hole_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod1_3 :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3 :: Nat -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod


Generator Equations:
gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(0) <=> 0'
gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
+', *', sum, prod, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
+' < *'
+' < sum
+' < encArg
*' < prod
*' < encArg
sum < encArg
prod < encArg

----------------------------------------

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
+'(gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(n4_3), gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(n4_3)) -> gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(*(2, n4_3)), rt in Omega(1 + n4_3)

Induction Base:
+'(gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(0), gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(0)) ->_R^Omega(1)
gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(0)

Induction Step:
+'(gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(+(n4_3, 1)), gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(+(n4_3, 1))) ->_R^Omega(1)
s(s(+'(gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(n4_3), gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(n4_3)))) ->_IH
s(s(gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(*(2, c5_3))))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(12)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(13)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
+'(x, 0') -> x
+'(0', x) -> x
+'(s(x), s(y)) -> s(s(+'(x, y)))
+'(+'(x, y), z) -> +'(x, +'(y, z))
*'(x, 0') -> 0'
*'(0', x) -> 0'
*'(s(x), s(y)) -> s(+'(*'(x, y), +'(x, y)))
*'(*'(x, y), z) -> *'(x, *'(y, z))
sum(nil) -> 0'
sum(cons(x, l)) -> +'(x, sum(l))
prod(nil) -> s(0')
prod(cons(x, l)) -> *'(x, prod(l))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(nil) -> nil
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1))
encArg(cons_prod(x_1)) -> prod(encArg(x_1))
encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_prod(x_1) -> prod(encArg(x_1))

Types:
+' :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
0' :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
s :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
*' :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
sum :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
nil :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
cons :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
prod :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encArg :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
cons_+ :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
cons_* :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
cons_sum :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
cons_prod :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_+ :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_0 :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_s :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_* :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_sum :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_nil :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_cons :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_prod :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
hole_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod1_3 :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3 :: Nat -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod


Generator Equations:
gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(0) <=> 0'
gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
+', *', sum, prod, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
+' < *'
+' < sum
+' < encArg
*' < prod
*' < encArg
sum < encArg
prod < encArg

----------------------------------------

(14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(15)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
+'(x, 0') -> x
+'(0', x) -> x
+'(s(x), s(y)) -> s(s(+'(x, y)))
+'(+'(x, y), z) -> +'(x, +'(y, z))
*'(x, 0') -> 0'
*'(0', x) -> 0'
*'(s(x), s(y)) -> s(+'(*'(x, y), +'(x, y)))
*'(*'(x, y), z) -> *'(x, *'(y, z))
sum(nil) -> 0'
sum(cons(x, l)) -> +'(x, sum(l))
prod(nil) -> s(0')
prod(cons(x, l)) -> *'(x, prod(l))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(nil) -> nil
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1))
encArg(cons_prod(x_1)) -> prod(encArg(x_1))
encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_prod(x_1) -> prod(encArg(x_1))

Types:
+' :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
0' :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
s :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
*' :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
sum :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
nil :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
cons :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
prod :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encArg :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
cons_+ :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
cons_* :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
cons_sum :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
cons_prod :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_+ :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_0 :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_s :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_* :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_sum :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_nil :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_cons :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_prod :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
hole_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod1_3 :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3 :: Nat -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod


Lemmas:
+'(gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(n4_3), gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(n4_3)) -> gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(*(2, n4_3)), rt in Omega(1 + n4_3)


Generator Equations:
gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(0) <=> 0'
gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
*', sum, prod, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
*' < prod
*' < encArg
sum < encArg
prod < encArg

----------------------------------------

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
*'(gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(n1035_3), gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(n1035_3)) -> *3_3, rt in Omega(n1035_3 + n1035_3^2)

Induction Base:
*'(gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(0), gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(0))

Induction Step:
*'(gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(+(n1035_3, 1)), gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(+(n1035_3, 1))) ->_R^Omega(1)
s(+'(*'(gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(n1035_3), gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(n1035_3)), +'(gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(n1035_3), gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(n1035_3)))) ->_IH
s(+'(*3_3, +'(gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(n1035_3), gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(n1035_3)))) ->_L^Omega(1 + n1035_3)
s(+'(*3_3, gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(*(2, n1035_3))))

We have rt in Omega(n^2) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^2).
----------------------------------------

(18)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(19)
Obligation:
Proved the lower bound n^2 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
+'(x, 0') -> x
+'(0', x) -> x
+'(s(x), s(y)) -> s(s(+'(x, y)))
+'(+'(x, y), z) -> +'(x, +'(y, z))
*'(x, 0') -> 0'
*'(0', x) -> 0'
*'(s(x), s(y)) -> s(+'(*'(x, y), +'(x, y)))
*'(*'(x, y), z) -> *'(x, *'(y, z))
sum(nil) -> 0'
sum(cons(x, l)) -> +'(x, sum(l))
prod(nil) -> s(0')
prod(cons(x, l)) -> *'(x, prod(l))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(nil) -> nil
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1))
encArg(cons_prod(x_1)) -> prod(encArg(x_1))
encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_prod(x_1) -> prod(encArg(x_1))

Types:
+' :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
0' :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
s :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
*' :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
sum :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
nil :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
cons :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
prod :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encArg :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
cons_+ :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
cons_* :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
cons_sum :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
cons_prod :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_+ :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_0 :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_s :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_* :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_sum :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_nil :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_cons :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_prod :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
hole_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod1_3 :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3 :: Nat -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod


Lemmas:
+'(gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(n4_3), gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(n4_3)) -> gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(*(2, n4_3)), rt in Omega(1 + n4_3)


Generator Equations:
gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(0) <=> 0'
gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
*', sum, prod, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
*' < prod
*' < encArg
sum < encArg
prod < encArg

----------------------------------------

(20) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(21)
BOUNDS(n^2, INF)

----------------------------------------

(22)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
+'(x, 0') -> x
+'(0', x) -> x
+'(s(x), s(y)) -> s(s(+'(x, y)))
+'(+'(x, y), z) -> +'(x, +'(y, z))
*'(x, 0') -> 0'
*'(0', x) -> 0'
*'(s(x), s(y)) -> s(+'(*'(x, y), +'(x, y)))
*'(*'(x, y), z) -> *'(x, *'(y, z))
sum(nil) -> 0'
sum(cons(x, l)) -> +'(x, sum(l))
prod(nil) -> s(0')
prod(cons(x, l)) -> *'(x, prod(l))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(nil) -> nil
encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_+(x_1, x_2)) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_*(x_1, x_2)) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_sum(x_1)) -> sum(encArg(x_1))
encArg(cons_prod(x_1)) -> prod(encArg(x_1))
encode_+(x_1, x_2) -> +'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_*(x_1, x_2) -> *'(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_sum(x_1) -> sum(encArg(x_1))
encode_nil -> nil
encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_prod(x_1) -> prod(encArg(x_1))

Types:
+' :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
0' :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
s :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
*' :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
sum :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
nil :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
cons :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
prod :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encArg :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
cons_+ :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
cons_* :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
cons_sum :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
cons_prod :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_+ :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_0 :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_s :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_* :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_sum :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_nil :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_cons :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
encode_prod :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
hole_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod1_3 :: 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod
gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3 :: Nat -> 0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod


Lemmas:
+'(gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(n4_3), gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(n4_3)) -> gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(*(2, n4_3)), rt in Omega(1 + n4_3)
*'(gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(n1035_3), gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(n1035_3)) -> *3_3, rt in Omega(n1035_3 + n1035_3^2)


Generator Equations:
gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(0) <=> 0'
gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
sum, prod, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
sum < encArg
prod < encArg

----------------------------------------

(23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(n14539_3)) -> gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(n14539_3), rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(0)) ->_R^Omega(0)
0'

Induction Step:
encArg(gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(+(n14539_3, 1))) ->_R^Omega(0)
s(encArg(gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(n14539_3))) ->_IH
s(gen_0':s:nil:cons:cons_+:cons_*:cons_sum:cons_prod2_3(c14540_3))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(24)
BOUNDS(1, INF)