/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files


--------------------------------------------------------------------------------


WORST_CASE(Omega(n^1), ?)
proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 347 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(6) CpxRelTRS
(7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(8) typed CpxTrs
(9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(10) typed CpxTrs
(11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 278 ms]
(12) BEST
    (13) proven lower bound
        (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (15) BOUNDS(n^1, INF)
    (16) typed CpxTrs
        (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 80 ms]
        (18) typed CpxTrs
        (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 852 ms]
        (20) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   le(s(x), 0) -> false
   le(0, y) -> true
   le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
   double(0) -> 0
   double(s(x)) -> s(s(double(x)))
   log(0) -> logError
   log(s(x)) -> loop(s(x), s(0), 0)
   loop(x, s(y), z) -> if(le(x, s(y)), x, s(y), z)
   if(true, x, y, z) -> z
   if(false, x, y, z) -> loop(x, double(y), s(z))

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(false) -> false
   encArg(true) -> true
   encArg(logError) -> logError
   encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1))
   encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1))
   encArg(cons_loop(x_1, x_2, x_3)) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0
   encode_false -> false
   encode_true -> true
   encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1))
   encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1))
   encode_logError -> logError
   encode_loop(x_1, x_2, x_3) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   le(s(x), 0) -> false
   le(0, y) -> true
   le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
   double(0) -> 0
   double(s(x)) -> s(s(double(x)))
   log(0) -> logError
   log(s(x)) -> loop(s(x), s(0), 0)
   loop(x, s(y), z) -> if(le(x, s(y)), x, s(y), z)
   if(true, x, y, z) -> z
   if(false, x, y, z) -> loop(x, double(y), s(z))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(false) -> false
   encArg(true) -> true
   encArg(logError) -> logError
   encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1))
   encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1))
   encArg(cons_loop(x_1, x_2, x_3)) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0
   encode_false -> false
   encode_true -> true
   encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1))
   encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1))
   encode_logError -> logError
   encode_loop(x_1, x_2, x_3) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   le(s(x), 0) -> false
   le(0, y) -> true
   le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
   double(0) -> 0
   double(s(x)) -> s(s(double(x)))
   log(0) -> logError
   log(s(x)) -> loop(s(x), s(0), 0)
   loop(x, s(y), z) -> if(le(x, s(y)), x, s(y), z)
   if(true, x, y, z) -> z
   if(false, x, y, z) -> loop(x, double(y), s(z))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(0) -> 0
   encArg(false) -> false
   encArg(true) -> true
   encArg(logError) -> logError
   encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1))
   encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1))
   encArg(cons_loop(x_1, x_2, x_3)) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0
   encode_false -> false
   encode_true -> true
   encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1))
   encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1))
   encode_logError -> logError
   encode_loop(x_1, x_2, x_3) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   le(s(x), 0') -> false
   le(0', y) -> true
   le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
   double(0') -> 0'
   double(s(x)) -> s(s(double(x)))
   log(0') -> logError
   log(s(x)) -> loop(s(x), s(0'), 0')
   loop(x, s(y), z) -> if(le(x, s(y)), x, s(y), z)
   if(true, x, y, z) -> z
   if(false, x, y, z) -> loop(x, double(y), s(z))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(0') -> 0'
   encArg(false) -> false
   encArg(true) -> true
   encArg(logError) -> logError
   encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1))
   encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1))
   encArg(cons_loop(x_1, x_2, x_3)) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0'
   encode_false -> false
   encode_true -> true
   encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1))
   encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1))
   encode_logError -> logError
   encode_loop(x_1, x_2, x_3) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(8)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
le(s(x), 0') -> false
le(0', y) -> true
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
double(0') -> 0'
double(s(x)) -> s(s(double(x)))
log(0') -> logError
log(s(x)) -> loop(s(x), s(0'), 0')
loop(x, s(y), z) -> if(le(x, s(y)), x, s(y), z)
if(true, x, y, z) -> z
if(false, x, y, z) -> loop(x, double(y), s(z))
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(false) -> false
encArg(true) -> true
encArg(logError) -> logError
encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1))
encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1))
encArg(cons_loop(x_1, x_2, x_3)) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_false -> false
encode_true -> true
encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1))
encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1))
encode_logError -> logError
encode_loop(x_1, x_2, x_3) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Types:
le :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
s :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
0' :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
false :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
true :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
double :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
log :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
logError :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
loop :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
if :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encArg :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
cons_le :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
cons_double :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
cons_log :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
cons_loop :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
cons_if :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_le :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_s :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_0 :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_false :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_true :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_double :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_log :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_logError :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_loop :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_if :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
hole_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if1_5 :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5 :: Nat -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if

----------------------------------------

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
le, double, loop, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
le < loop
le < encArg
double < if
double < encArg
loop = if
loop < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(10)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
le(s(x), 0') -> false
le(0', y) -> true
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
double(0') -> 0'
double(s(x)) -> s(s(double(x)))
log(0') -> logError
log(s(x)) -> loop(s(x), s(0'), 0')
loop(x, s(y), z) -> if(le(x, s(y)), x, s(y), z)
if(true, x, y, z) -> z
if(false, x, y, z) -> loop(x, double(y), s(z))
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(false) -> false
encArg(true) -> true
encArg(logError) -> logError
encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1))
encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1))
encArg(cons_loop(x_1, x_2, x_3)) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_false -> false
encode_true -> true
encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1))
encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1))
encode_logError -> logError
encode_loop(x_1, x_2, x_3) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Types:
le :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
s :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
0' :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
false :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
true :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
double :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
log :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
logError :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
loop :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
if :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encArg :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
cons_le :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
cons_double :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
cons_log :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
cons_loop :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
cons_if :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_le :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_s :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_0 :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_false :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_true :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_double :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_log :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_logError :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_loop :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_if :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
hole_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if1_5 :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5 :: Nat -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if


Generator Equations:
gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(0) <=> 0'
gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
le, double, loop, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
le < loop
le < encArg
double < if
double < encArg
loop = if
loop < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
le(gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(+(1, n4_5)), gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(n4_5)) -> false, rt in Omega(1 + n4_5)

Induction Base:
le(gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(+(1, 0)), gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(0)) ->_R^Omega(1)
false

Induction Step:
le(gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(+(1, +(n4_5, 1))), gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(+(n4_5, 1))) ->_R^Omega(1)
le(gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(+(1, n4_5)), gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(n4_5)) ->_IH
false

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(12)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(13)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
le(s(x), 0') -> false
le(0', y) -> true
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
double(0') -> 0'
double(s(x)) -> s(s(double(x)))
log(0') -> logError
log(s(x)) -> loop(s(x), s(0'), 0')
loop(x, s(y), z) -> if(le(x, s(y)), x, s(y), z)
if(true, x, y, z) -> z
if(false, x, y, z) -> loop(x, double(y), s(z))
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(false) -> false
encArg(true) -> true
encArg(logError) -> logError
encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1))
encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1))
encArg(cons_loop(x_1, x_2, x_3)) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_false -> false
encode_true -> true
encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1))
encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1))
encode_logError -> logError
encode_loop(x_1, x_2, x_3) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Types:
le :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
s :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
0' :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
false :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
true :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
double :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
log :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
logError :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
loop :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
if :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encArg :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
cons_le :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
cons_double :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
cons_log :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
cons_loop :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
cons_if :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_le :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_s :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_0 :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_false :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_true :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_double :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_log :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_logError :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_loop :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_if :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
hole_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if1_5 :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5 :: Nat -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if


Generator Equations:
gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(0) <=> 0'
gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
le, double, loop, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
le < loop
le < encArg
double < if
double < encArg
loop = if
loop < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(15)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
le(s(x), 0') -> false
le(0', y) -> true
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
double(0') -> 0'
double(s(x)) -> s(s(double(x)))
log(0') -> logError
log(s(x)) -> loop(s(x), s(0'), 0')
loop(x, s(y), z) -> if(le(x, s(y)), x, s(y), z)
if(true, x, y, z) -> z
if(false, x, y, z) -> loop(x, double(y), s(z))
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(false) -> false
encArg(true) -> true
encArg(logError) -> logError
encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1))
encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1))
encArg(cons_loop(x_1, x_2, x_3)) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_false -> false
encode_true -> true
encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1))
encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1))
encode_logError -> logError
encode_loop(x_1, x_2, x_3) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Types:
le :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
s :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
0' :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
false :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
true :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
double :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
log :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
logError :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
loop :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
if :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encArg :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
cons_le :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
cons_double :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
cons_log :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
cons_loop :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
cons_if :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_le :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_s :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_0 :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_false :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_true :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_double :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_log :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_logError :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_loop :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_if :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
hole_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if1_5 :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5 :: Nat -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if


Lemmas:
le(gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(+(1, n4_5)), gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(n4_5)) -> false, rt in Omega(1 + n4_5)


Generator Equations:
gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(0) <=> 0'
gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
double, loop, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
double < if
double < encArg
loop = if
loop < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
double(gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(n551_5)) -> gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(*(2, n551_5)), rt in Omega(1 + n551_5)

Induction Base:
double(gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(0)) ->_R^Omega(1)
0'

Induction Step:
double(gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(+(n551_5, 1))) ->_R^Omega(1)
s(s(double(gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(n551_5)))) ->_IH
s(s(gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(*(2, c552_5))))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(18)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
le(s(x), 0') -> false
le(0', y) -> true
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
double(0') -> 0'
double(s(x)) -> s(s(double(x)))
log(0') -> logError
log(s(x)) -> loop(s(x), s(0'), 0')
loop(x, s(y), z) -> if(le(x, s(y)), x, s(y), z)
if(true, x, y, z) -> z
if(false, x, y, z) -> loop(x, double(y), s(z))
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(0') -> 0'
encArg(false) -> false
encArg(true) -> true
encArg(logError) -> logError
encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_double(x_1)) -> double(encArg(x_1))
encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1))
encArg(cons_loop(x_1, x_2, x_3)) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_false -> false
encode_true -> true
encode_double(x_1) -> double(encArg(x_1))
encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1))
encode_logError -> logError
encode_loop(x_1, x_2, x_3) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Types:
le :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
s :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
0' :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
false :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
true :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
double :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
log :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
logError :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
loop :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
if :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encArg :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
cons_le :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
cons_double :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
cons_log :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
cons_loop :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
cons_if :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_le :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_s :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_0 :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_false :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_true :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_double :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_log :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_logError :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_loop :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
encode_if :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
hole_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if1_5 :: s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if
gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5 :: Nat -> s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if


Lemmas:
le(gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(+(1, n4_5)), gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(n4_5)) -> false, rt in Omega(1 + n4_5)
double(gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(n551_5)) -> gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(*(2, n551_5)), rt in Omega(1 + n551_5)


Generator Equations:
gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(0) <=> 0'
gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
if, loop, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
loop = if
loop < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(n2906_5)) -> gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(n2906_5), rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(0)) ->_R^Omega(0)
0'

Induction Step:
encArg(gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(+(n2906_5, 1))) ->_R^Omega(0)
s(encArg(gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(n2906_5))) ->_IH
s(gen_s:0':false:true:logError:cons_le:cons_double:cons_log:cons_loop:cons_if2_5(c2907_5))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(20)
BOUNDS(1, INF)