/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 354 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 270 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 44 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 746 ms] (20) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: plus(0, y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) lt(0, s(y)) -> true lt(x, 0) -> false lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y) fib(x) -> fibiter(x, 0, 0, s(0)) fibiter(b, c, x, y) -> if(lt(c, b), b, c, x, y) if(false, b, c, x, y) -> x if(true, b, c, x, y) -> fibiter(b, s(c), y, plus(x, y)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1)) encArg(cons_fibiter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> fibiter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1)) encode_fibiter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> fibiter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: plus(0, y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) lt(0, s(y)) -> true lt(x, 0) -> false lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y) fib(x) -> fibiter(x, 0, 0, s(0)) fibiter(b, c, x, y) -> if(lt(c, b), b, c, x, y) if(false, b, c, x, y) -> x if(true, b, c, x, y) -> fibiter(b, s(c), y, plus(x, y)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1)) encArg(cons_fibiter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> fibiter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1)) encode_fibiter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> fibiter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: plus(0, y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) lt(0, s(y)) -> true lt(x, 0) -> false lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y) fib(x) -> fibiter(x, 0, 0, s(0)) fibiter(b, c, x, y) -> if(lt(c, b), b, c, x, y) if(false, b, c, x, y) -> x if(true, b, c, x, y) -> fibiter(b, s(c), y, plus(x, y)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1)) encArg(cons_fibiter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> fibiter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1)) encode_fibiter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> fibiter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) lt(0', s(y)) -> true lt(x, 0') -> false lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y) fib(x) -> fibiter(x, 0', 0', s(0')) fibiter(b, c, x, y) -> if(lt(c, b), b, c, x, y) if(false, b, c, x, y) -> x if(true, b, c, x, y) -> fibiter(b, s(c), y, plus(x, y)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1)) encArg(cons_fibiter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> fibiter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1)) encode_fibiter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> fibiter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) lt(0', s(y)) -> true lt(x, 0') -> false lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y) fib(x) -> fibiter(x, 0', 0', s(0')) fibiter(b, c, x, y) -> if(lt(c, b), b, c, x, y) if(false, b, c, x, y) -> x if(true, b, c, x, y) -> fibiter(b, s(c), y, plus(x, y)) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1)) encArg(cons_fibiter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> fibiter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1)) encode_fibiter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> fibiter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) Types: plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if 0' :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if lt :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if fib :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if fibiter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encArg :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if cons_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if cons_lt :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if cons_fib :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if cons_fibiter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if cons_if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_0 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_lt :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_fib :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_fibiter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if hole_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if1_6 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: plus, lt, fibiter, if, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: plus < if plus < encArg lt < fibiter lt < encArg fibiter = if fibiter < encArg if < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) lt(0', s(y)) -> true lt(x, 0') -> false lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y) fib(x) -> fibiter(x, 0', 0', s(0')) fibiter(b, c, x, y) -> if(lt(c, b), b, c, x, y) if(false, b, c, x, y) -> x if(true, b, c, x, y) -> fibiter(b, s(c), y, plus(x, y)) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1)) encArg(cons_fibiter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> fibiter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1)) encode_fibiter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> fibiter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) Types: plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if 0' :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if lt :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if fib :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if fibiter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encArg :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if cons_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if cons_lt :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if cons_fib :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if cons_fibiter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if cons_if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_0 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_lt :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_fib :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_fibiter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if hole_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if1_6 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if Generator Equations: gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(0) <=> 0' gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(x)) The following defined symbols remain to be analysed: plus, lt, fibiter, if, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: plus < if plus < encArg lt < fibiter lt < encArg fibiter = if fibiter < encArg if < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: plus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(n4_6), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(+(n4_6, b)), rt in Omega(1 + n4_6) Induction Base: plus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(0), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(b)) ->_R^Omega(1) gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(b) Induction Step: plus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(+(n4_6, 1)), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(b)) ->_R^Omega(1) s(plus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(n4_6), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(b))) ->_IH s(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(+(b, c5_6))) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) lt(0', s(y)) -> true lt(x, 0') -> false lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y) fib(x) -> fibiter(x, 0', 0', s(0')) fibiter(b, c, x, y) -> if(lt(c, b), b, c, x, y) if(false, b, c, x, y) -> x if(true, b, c, x, y) -> fibiter(b, s(c), y, plus(x, y)) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1)) encArg(cons_fibiter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> fibiter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1)) encode_fibiter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> fibiter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) Types: plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if 0' :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if lt :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if fib :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if fibiter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encArg :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if cons_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if cons_lt :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if cons_fib :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if cons_fibiter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if cons_if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_0 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_lt :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_fib :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_fibiter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if hole_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if1_6 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if Generator Equations: gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(0) <=> 0' gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(x)) The following defined symbols remain to be analysed: plus, lt, fibiter, if, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: plus < if plus < encArg lt < fibiter lt < encArg fibiter = if fibiter < encArg if < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) lt(0', s(y)) -> true lt(x, 0') -> false lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y) fib(x) -> fibiter(x, 0', 0', s(0')) fibiter(b, c, x, y) -> if(lt(c, b), b, c, x, y) if(false, b, c, x, y) -> x if(true, b, c, x, y) -> fibiter(b, s(c), y, plus(x, y)) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1)) encArg(cons_fibiter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> fibiter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1)) encode_fibiter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> fibiter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) Types: plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if 0' :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if lt :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if fib :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if fibiter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encArg :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if cons_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if cons_lt :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if cons_fib :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if cons_fibiter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if cons_if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_0 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_lt :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_fib :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_fibiter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if hole_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if1_6 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if Lemmas: plus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(n4_6), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(+(n4_6, b)), rt in Omega(1 + n4_6) Generator Equations: gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(0) <=> 0' gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(x)) The following defined symbols remain to be analysed: lt, fibiter, if, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: lt < fibiter lt < encArg fibiter = if fibiter < encArg if < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: lt(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(n1033_6), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(+(1, n1033_6))) -> true, rt in Omega(1 + n1033_6) Induction Base: lt(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(0), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(+(1, 0))) ->_R^Omega(1) true Induction Step: lt(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(+(n1033_6, 1)), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(+(1, +(n1033_6, 1)))) ->_R^Omega(1) lt(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(n1033_6), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(+(1, n1033_6))) ->_IH true We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) lt(0', s(y)) -> true lt(x, 0') -> false lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y) fib(x) -> fibiter(x, 0', 0', s(0')) fibiter(b, c, x, y) -> if(lt(c, b), b, c, x, y) if(false, b, c, x, y) -> x if(true, b, c, x, y) -> fibiter(b, s(c), y, plus(x, y)) encArg(0') -> 0' encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_fib(x_1)) -> fib(encArg(x_1)) encArg(cons_fibiter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> fibiter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_true -> true encode_false -> false encode_fib(x_1) -> fib(encArg(x_1)) encode_fibiter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> fibiter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5)) Types: plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if 0' :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if lt :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if fib :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if fibiter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encArg :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if cons_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if cons_lt :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if cons_fib :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if cons_fibiter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if cons_if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_0 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_lt :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_fib :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_fibiter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if encode_if :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if hole_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if1_6 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if Lemmas: plus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(n4_6), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(+(n4_6, b)), rt in Omega(1 + n4_6) lt(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(n1033_6), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(+(1, n1033_6))) -> true, rt in Omega(1 + n1033_6) Generator Equations: gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(0) <=> 0' gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(x)) The following defined symbols remain to be analysed: if, fibiter, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: fibiter = if fibiter < encArg if < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(n3262_6)) -> gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(n3262_6), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(+(n3262_6, 1))) ->_R^Omega(0) s(encArg(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(n3262_6))) ->_IH s(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_lt:cons_fib:cons_fibiter:cons_if2_6(c3263_6)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (20) BOUNDS(1, INF)