/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 348 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 5 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 403 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 5695 ms] (18) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: sum(cons(s(n), x), cons(m, y)) -> sum(cons(n, x), cons(s(m), y)) sum(cons(0, x), y) -> sum(x, y) sum(nil, y) -> y empty(nil) -> true empty(cons(n, x)) -> false tail(nil) -> nil tail(cons(n, x)) -> x head(cons(n, x)) -> n weight(x) -> if(empty(x), empty(tail(x)), x) if(true, b, x) -> weight_undefined_error if(false, b, x) -> if2(b, x) if2(true, x) -> head(x) if2(false, x) -> weight(sum(x, cons(0, tail(tail(x))))) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(nil) -> nil encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(weight_undefined_error) -> weight_undefined_error encArg(cons_sum(x_1, x_2)) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_empty(x_1)) -> empty(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_weight(x_1)) -> weight(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if2(x_1, x_2)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1, x_2) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_nil -> nil encode_empty(x_1) -> empty(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_weight(x_1) -> weight(encArg(x_1)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_weight_undefined_error -> weight_undefined_error encode_if2(x_1, x_2) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: sum(cons(s(n), x), cons(m, y)) -> sum(cons(n, x), cons(s(m), y)) sum(cons(0, x), y) -> sum(x, y) sum(nil, y) -> y empty(nil) -> true empty(cons(n, x)) -> false tail(nil) -> nil tail(cons(n, x)) -> x head(cons(n, x)) -> n weight(x) -> if(empty(x), empty(tail(x)), x) if(true, b, x) -> weight_undefined_error if(false, b, x) -> if2(b, x) if2(true, x) -> head(x) if2(false, x) -> weight(sum(x, cons(0, tail(tail(x))))) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(nil) -> nil encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(weight_undefined_error) -> weight_undefined_error encArg(cons_sum(x_1, x_2)) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_empty(x_1)) -> empty(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_weight(x_1)) -> weight(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if2(x_1, x_2)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1, x_2) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_nil -> nil encode_empty(x_1) -> empty(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_weight(x_1) -> weight(encArg(x_1)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_weight_undefined_error -> weight_undefined_error encode_if2(x_1, x_2) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: sum(cons(s(n), x), cons(m, y)) -> sum(cons(n, x), cons(s(m), y)) sum(cons(0, x), y) -> sum(x, y) sum(nil, y) -> y empty(nil) -> true empty(cons(n, x)) -> false tail(nil) -> nil tail(cons(n, x)) -> x head(cons(n, x)) -> n weight(x) -> if(empty(x), empty(tail(x)), x) if(true, b, x) -> weight_undefined_error if(false, b, x) -> if2(b, x) if2(true, x) -> head(x) if2(false, x) -> weight(sum(x, cons(0, tail(tail(x))))) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(nil) -> nil encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(weight_undefined_error) -> weight_undefined_error encArg(cons_sum(x_1, x_2)) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_empty(x_1)) -> empty(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_weight(x_1)) -> weight(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if2(x_1, x_2)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1, x_2) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_nil -> nil encode_empty(x_1) -> empty(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_weight(x_1) -> weight(encArg(x_1)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_weight_undefined_error -> weight_undefined_error encode_if2(x_1, x_2) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: sum(cons(s(n), x), cons(m, y)) -> sum(cons(n, x), cons(s(m), y)) sum(cons(0', x), y) -> sum(x, y) sum(nil, y) -> y empty(nil) -> true empty(cons(n, x)) -> false tail(nil) -> nil tail(cons(n, x)) -> x head(cons(n, x)) -> n weight(x) -> if(empty(x), empty(tail(x)), x) if(true, b, x) -> weight_undefined_error if(false, b, x) -> if2(b, x) if2(true, x) -> head(x) if2(false, x) -> weight(sum(x, cons(0', tail(tail(x))))) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(weight_undefined_error) -> weight_undefined_error encArg(cons_sum(x_1, x_2)) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_empty(x_1)) -> empty(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_weight(x_1)) -> weight(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if2(x_1, x_2)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1, x_2) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_nil -> nil encode_empty(x_1) -> empty(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_weight(x_1) -> weight(encArg(x_1)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_weight_undefined_error -> weight_undefined_error encode_if2(x_1, x_2) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: sum(cons(s(n), x), cons(m, y)) -> sum(cons(n, x), cons(s(m), y)) sum(cons(0', x), y) -> sum(x, y) sum(nil, y) -> y empty(nil) -> true empty(cons(n, x)) -> false tail(nil) -> nil tail(cons(n, x)) -> x head(cons(n, x)) -> n weight(x) -> if(empty(x), empty(tail(x)), x) if(true, b, x) -> weight_undefined_error if(false, b, x) -> if2(b, x) if2(true, x) -> head(x) if2(false, x) -> weight(sum(x, cons(0', tail(tail(x))))) encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(weight_undefined_error) -> weight_undefined_error encArg(cons_sum(x_1, x_2)) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_empty(x_1)) -> empty(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_weight(x_1)) -> weight(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if2(x_1, x_2)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1, x_2) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_nil -> nil encode_empty(x_1) -> empty(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_weight(x_1) -> weight(encArg(x_1)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_weight_undefined_error -> weight_undefined_error encode_if2(x_1, x_2) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: sum :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 cons :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 s :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 0' :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 nil :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 empty :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 true :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 false :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 tail :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 head :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 weight :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 if :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 weight_undefined_error :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 if2 :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encArg :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 cons_sum :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 cons_empty :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 cons_tail :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 cons_head :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 cons_weight :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 cons_if :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 cons_if2 :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_sum :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_cons :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_s :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_0 :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_nil :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_empty :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_true :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_false :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_tail :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_head :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_weight :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_if :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_weight_undefined_error :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_if2 :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 hole_s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if21_4 :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 gen_s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if22_4 :: Nat -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: sum, weight, if, if2, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: sum < if2 sum < encArg weight = if weight = if2 weight < encArg if = if2 if < encArg if2 < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: sum(cons(s(n), x), cons(m, y)) -> sum(cons(n, x), cons(s(m), y)) sum(cons(0', x), y) -> sum(x, y) sum(nil, y) -> y empty(nil) -> true empty(cons(n, x)) -> false tail(nil) -> nil tail(cons(n, x)) -> x head(cons(n, x)) -> n weight(x) -> if(empty(x), empty(tail(x)), x) if(true, b, x) -> weight_undefined_error if(false, b, x) -> if2(b, x) if2(true, x) -> head(x) if2(false, x) -> weight(sum(x, cons(0', tail(tail(x))))) encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(weight_undefined_error) -> weight_undefined_error encArg(cons_sum(x_1, x_2)) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_empty(x_1)) -> empty(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_weight(x_1)) -> weight(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if2(x_1, x_2)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1, x_2) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_nil -> nil encode_empty(x_1) -> empty(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_weight(x_1) -> weight(encArg(x_1)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_weight_undefined_error -> weight_undefined_error encode_if2(x_1, x_2) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: sum :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 cons :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 s :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 0' :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 nil :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 empty :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 true :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 false :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 tail :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 head :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 weight :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 if :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 weight_undefined_error :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 if2 :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encArg :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 cons_sum :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 cons_empty :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 cons_tail :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 cons_head :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 cons_weight :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 cons_if :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 cons_if2 :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_sum :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_cons :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_s :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_0 :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_nil :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_empty :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_true :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_false :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_tail :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_head :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_weight :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_if :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_weight_undefined_error :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_if2 :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 hole_s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if21_4 :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 gen_s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if22_4 :: Nat -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 Generator Equations: gen_s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if22_4(0) <=> 0' gen_s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if22_4(+(x, 1)) <=> cons(0', gen_s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if22_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: sum, weight, if, if2, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: sum < if2 sum < encArg weight = if weight = if2 weight < encArg if = if2 if < encArg if2 < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: sum(gen_s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if22_4(+(1, n4_4)), gen_s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if22_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) Induction Base: sum(gen_s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if22_4(+(1, 0)), gen_s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if22_4(b)) Induction Step: sum(gen_s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if22_4(+(1, +(n4_4, 1))), gen_s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if22_4(b)) ->_R^Omega(1) sum(gen_s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if22_4(+(1, n4_4)), gen_s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if22_4(b)) ->_IH *3_4 We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: sum(cons(s(n), x), cons(m, y)) -> sum(cons(n, x), cons(s(m), y)) sum(cons(0', x), y) -> sum(x, y) sum(nil, y) -> y empty(nil) -> true empty(cons(n, x)) -> false tail(nil) -> nil tail(cons(n, x)) -> x head(cons(n, x)) -> n weight(x) -> if(empty(x), empty(tail(x)), x) if(true, b, x) -> weight_undefined_error if(false, b, x) -> if2(b, x) if2(true, x) -> head(x) if2(false, x) -> weight(sum(x, cons(0', tail(tail(x))))) encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(weight_undefined_error) -> weight_undefined_error encArg(cons_sum(x_1, x_2)) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_empty(x_1)) -> empty(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_weight(x_1)) -> weight(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if2(x_1, x_2)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1, x_2) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_nil -> nil encode_empty(x_1) -> empty(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_weight(x_1) -> weight(encArg(x_1)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_weight_undefined_error -> weight_undefined_error encode_if2(x_1, x_2) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: sum :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 cons :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 s :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 0' :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 nil :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 empty :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 true :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 false :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 tail :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 head :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 weight :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 if :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 weight_undefined_error :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 if2 :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encArg :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 cons_sum :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 cons_empty :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 cons_tail :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 cons_head :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 cons_weight :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 cons_if :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 cons_if2 :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_sum :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_cons :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_s :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_0 :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_nil :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_empty :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_true :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_false :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_tail :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_head :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_weight :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_if :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_weight_undefined_error :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_if2 :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 hole_s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if21_4 :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 gen_s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if22_4 :: Nat -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 Generator Equations: gen_s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if22_4(0) <=> 0' gen_s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if22_4(+(x, 1)) <=> cons(0', gen_s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if22_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: sum, weight, if, if2, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: sum < if2 sum < encArg weight = if weight = if2 weight < encArg if = if2 if < encArg if2 < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: sum(cons(s(n), x), cons(m, y)) -> sum(cons(n, x), cons(s(m), y)) sum(cons(0', x), y) -> sum(x, y) sum(nil, y) -> y empty(nil) -> true empty(cons(n, x)) -> false tail(nil) -> nil tail(cons(n, x)) -> x head(cons(n, x)) -> n weight(x) -> if(empty(x), empty(tail(x)), x) if(true, b, x) -> weight_undefined_error if(false, b, x) -> if2(b, x) if2(true, x) -> head(x) if2(false, x) -> weight(sum(x, cons(0', tail(tail(x))))) encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(nil) -> nil encArg(true) -> true encArg(false) -> false encArg(weight_undefined_error) -> weight_undefined_error encArg(cons_sum(x_1, x_2)) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_empty(x_1)) -> empty(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_weight(x_1)) -> weight(encArg(x_1)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if2(x_1, x_2)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_sum(x_1, x_2) -> sum(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_nil -> nil encode_empty(x_1) -> empty(encArg(x_1)) encode_true -> true encode_false -> false encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_weight(x_1) -> weight(encArg(x_1)) encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_weight_undefined_error -> weight_undefined_error encode_if2(x_1, x_2) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: sum :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 cons :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 s :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 0' :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 nil :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 empty :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 true :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 false :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 tail :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 head :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 weight :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 if :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 weight_undefined_error :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 if2 :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encArg :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 cons_sum :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 cons_empty :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 cons_tail :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 cons_head :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 cons_weight :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 cons_if :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 cons_if2 :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_sum :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_cons :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_s :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_0 :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_nil :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_empty :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_true :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_false :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_tail :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_head :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_weight :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_if :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_weight_undefined_error :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 encode_if2 :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 hole_s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if21_4 :: s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 gen_s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if22_4 :: Nat -> s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if2 Lemmas: sum(gen_s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if22_4(+(1, n4_4)), gen_s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if22_4(b)) -> *3_4, rt in Omega(n4_4) Generator Equations: gen_s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if22_4(0) <=> 0' gen_s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if22_4(+(x, 1)) <=> cons(0', gen_s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if22_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: if, weight, if2, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: weight = if weight = if2 weight < encArg if = if2 if < encArg if2 < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if22_4(n2970_4)) -> gen_s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if22_4(n2970_4), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if22_4(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if22_4(+(n2970_4, 1))) ->_R^Omega(0) cons(encArg(0'), encArg(gen_s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if22_4(n2970_4))) ->_R^Omega(0) cons(0', encArg(gen_s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if22_4(n2970_4))) ->_IH cons(0', gen_s:cons:0':nil:true:false:weight_undefined_error:cons_sum:cons_empty:cons_tail:cons_head:cons_weight:cons_if:cons_if22_4(c2971_4)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (18) BOUNDS(1, INF)