/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^2), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^2, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 428 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 2 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 289 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 85 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 122 ms] (20) BEST (21) proven lower bound (22) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (23) BOUNDS(n^2, INF) (24) typed CpxTrs (25) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 14.7 s] (26) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^2, INF). The TRS R consists of the following rules: table -> gen(s(0)) gen(x) -> if1(le(x, 10), x) if1(false, x) -> nil if1(true, x) -> if2(x, x) if2(x, y) -> if3(le(y, 10), x, y) if3(true, x, y) -> cons(entry(x, y, times(x, y)), if2(x, s(y))) if3(false, x, y) -> gen(s(x)) le(0, y) -> true le(s(x), 0) -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) plus(0, y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) times(0, y) -> 0 times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y)) 10 -> s(s(s(s(s(s(s(s(s(s(0)))))))))) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(false) -> false encArg(nil) -> nil encArg(true) -> true encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(entry(x_1, x_2, x_3)) -> entry(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_table) -> table encArg(cons_gen(x_1)) -> gen(encArg(x_1)) encArg(cons_if1(x_1, x_2)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if2(x_1, x_2)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if3(x_1, x_2, x_3)) -> if3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_10) -> 10 encode_table -> table encode_gen(x_1) -> gen(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_if1(x_1, x_2) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_10 -> 10 encode_false -> false encode_nil -> nil encode_true -> true encode_if2(x_1, x_2) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if3(x_1, x_2, x_3) -> if3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_entry(x_1, x_2, x_3) -> entry(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF). The TRS R consists of the following rules: table -> gen(s(0)) gen(x) -> if1(le(x, 10), x) if1(false, x) -> nil if1(true, x) -> if2(x, x) if2(x, y) -> if3(le(y, 10), x, y) if3(true, x, y) -> cons(entry(x, y, times(x, y)), if2(x, s(y))) if3(false, x, y) -> gen(s(x)) le(0, y) -> true le(s(x), 0) -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) plus(0, y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) times(0, y) -> 0 times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y)) 10 -> s(s(s(s(s(s(s(s(s(s(0)))))))))) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(false) -> false encArg(nil) -> nil encArg(true) -> true encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(entry(x_1, x_2, x_3)) -> entry(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_table) -> table encArg(cons_gen(x_1)) -> gen(encArg(x_1)) encArg(cons_if1(x_1, x_2)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if2(x_1, x_2)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if3(x_1, x_2, x_3)) -> if3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_10) -> 10 encode_table -> table encode_gen(x_1) -> gen(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_if1(x_1, x_2) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_10 -> 10 encode_false -> false encode_nil -> nil encode_true -> true encode_if2(x_1, x_2) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if3(x_1, x_2, x_3) -> if3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_entry(x_1, x_2, x_3) -> entry(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF). The TRS R consists of the following rules: table -> gen(s(0)) gen(x) -> if1(le(x, 10), x) if1(false, x) -> nil if1(true, x) -> if2(x, x) if2(x, y) -> if3(le(y, 10), x, y) if3(true, x, y) -> cons(entry(x, y, times(x, y)), if2(x, s(y))) if3(false, x, y) -> gen(s(x)) le(0, y) -> true le(s(x), 0) -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) plus(0, y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) times(0, y) -> 0 times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y)) 10 -> s(s(s(s(s(s(s(s(s(s(0)))))))))) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0) -> 0 encArg(false) -> false encArg(nil) -> nil encArg(true) -> true encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(entry(x_1, x_2, x_3)) -> entry(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_table) -> table encArg(cons_gen(x_1)) -> gen(encArg(x_1)) encArg(cons_if1(x_1, x_2)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if2(x_1, x_2)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if3(x_1, x_2, x_3)) -> if3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_10) -> 10 encode_table -> table encode_gen(x_1) -> gen(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_if1(x_1, x_2) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_10 -> 10 encode_false -> false encode_nil -> nil encode_true -> true encode_if2(x_1, x_2) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if3(x_1, x_2, x_3) -> if3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_entry(x_1, x_2, x_3) -> entry(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF). The TRS R consists of the following rules: table -> gen(s(0')) gen(x) -> if1(le(x, 10'), x) if1(false, x) -> nil if1(true, x) -> if2(x, x) if2(x, y) -> if3(le(y, 10'), x, y) if3(true, x, y) -> cons(entry(x, y, times(x, y)), if2(x, s(y))) if3(false, x, y) -> gen(s(x)) le(0', y) -> true le(s(x), 0') -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) times(0', y) -> 0' times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y)) 10' -> s(s(s(s(s(s(s(s(s(s(0')))))))))) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(nil) -> nil encArg(true) -> true encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(entry(x_1, x_2, x_3)) -> entry(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_table) -> table encArg(cons_gen(x_1)) -> gen(encArg(x_1)) encArg(cons_if1(x_1, x_2)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if2(x_1, x_2)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if3(x_1, x_2, x_3)) -> if3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_10) -> 10' encode_table -> table encode_gen(x_1) -> gen(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_if1(x_1, x_2) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_10 -> 10' encode_false -> false encode_nil -> nil encode_true -> true encode_if2(x_1, x_2) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if3(x_1, x_2, x_3) -> if3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_entry(x_1, x_2, x_3) -> entry(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: table -> gen(s(0')) gen(x) -> if1(le(x, 10'), x) if1(false, x) -> nil if1(true, x) -> if2(x, x) if2(x, y) -> if3(le(y, 10'), x, y) if3(true, x, y) -> cons(entry(x, y, times(x, y)), if2(x, s(y))) if3(false, x, y) -> gen(s(x)) le(0', y) -> true le(s(x), 0') -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) times(0', y) -> 0' times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y)) 10' -> s(s(s(s(s(s(s(s(s(s(0')))))))))) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(nil) -> nil encArg(true) -> true encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(entry(x_1, x_2, x_3)) -> entry(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_table) -> table encArg(cons_gen(x_1)) -> gen(encArg(x_1)) encArg(cons_if1(x_1, x_2)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if2(x_1, x_2)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if3(x_1, x_2, x_3)) -> if3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_10) -> 10' encode_table -> table encode_gen(x_1) -> gen(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_if1(x_1, x_2) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_10 -> 10' encode_false -> false encode_nil -> nil encode_true -> true encode_if2(x_1, x_2) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if3(x_1, x_2, x_3) -> if3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_entry(x_1, x_2, x_3) -> entry(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: table :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 gen :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 s :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 0' :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 if1 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 le :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 10' :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 false :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 nil :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 true :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 if2 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 if3 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 entry :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 times :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 plus :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encArg :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_table :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_gen :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_if1 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_if2 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_if3 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_le :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_plus :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_times :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_10 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_table :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_gen :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_s :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_0 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_if1 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_le :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_10 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_false :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_nil :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_true :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_if2 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_if3 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_cons :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_entry :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_times :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_plus :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 hole_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_101_4 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4 :: Nat -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: gen, if1, le, if2, if3, times, plus, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: gen = if1 le < gen gen = if2 gen = if3 gen < encArg if1 = if2 if1 = if3 if1 < encArg le < if2 le < encArg if2 = if3 if2 < encArg times < if3 if3 < encArg plus < times times < encArg plus < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: table -> gen(s(0')) gen(x) -> if1(le(x, 10'), x) if1(false, x) -> nil if1(true, x) -> if2(x, x) if2(x, y) -> if3(le(y, 10'), x, y) if3(true, x, y) -> cons(entry(x, y, times(x, y)), if2(x, s(y))) if3(false, x, y) -> gen(s(x)) le(0', y) -> true le(s(x), 0') -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) times(0', y) -> 0' times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y)) 10' -> s(s(s(s(s(s(s(s(s(s(0')))))))))) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(nil) -> nil encArg(true) -> true encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(entry(x_1, x_2, x_3)) -> entry(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_table) -> table encArg(cons_gen(x_1)) -> gen(encArg(x_1)) encArg(cons_if1(x_1, x_2)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if2(x_1, x_2)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if3(x_1, x_2, x_3)) -> if3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_10) -> 10' encode_table -> table encode_gen(x_1) -> gen(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_if1(x_1, x_2) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_10 -> 10' encode_false -> false encode_nil -> nil encode_true -> true encode_if2(x_1, x_2) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if3(x_1, x_2, x_3) -> if3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_entry(x_1, x_2, x_3) -> entry(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: table :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 gen :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 s :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 0' :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 if1 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 le :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 10' :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 false :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 nil :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 true :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 if2 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 if3 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 entry :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 times :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 plus :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encArg :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_table :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_gen :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_if1 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_if2 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_if3 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_le :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_plus :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_times :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_10 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_table :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_gen :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_s :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_0 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_if1 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_le :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_10 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_false :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_nil :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_true :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_if2 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_if3 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_cons :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_entry :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_times :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_plus :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 hole_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_101_4 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4 :: Nat -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 Generator Equations: gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(0) <=> 0' gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: le, gen, if1, if2, if3, times, plus, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: gen = if1 le < gen gen = if2 gen = if3 gen < encArg if1 = if2 if1 = if3 if1 < encArg le < if2 le < encArg if2 = if3 if2 < encArg times < if3 if3 < encArg plus < times times < encArg plus < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: le(gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(n4_4), gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(n4_4)) -> true, rt in Omega(1 + n4_4) Induction Base: le(gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(0), gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(0)) ->_R^Omega(1) true Induction Step: le(gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(+(n4_4, 1)), gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(+(n4_4, 1))) ->_R^Omega(1) le(gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(n4_4), gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(n4_4)) ->_IH true We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: table -> gen(s(0')) gen(x) -> if1(le(x, 10'), x) if1(false, x) -> nil if1(true, x) -> if2(x, x) if2(x, y) -> if3(le(y, 10'), x, y) if3(true, x, y) -> cons(entry(x, y, times(x, y)), if2(x, s(y))) if3(false, x, y) -> gen(s(x)) le(0', y) -> true le(s(x), 0') -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) times(0', y) -> 0' times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y)) 10' -> s(s(s(s(s(s(s(s(s(s(0')))))))))) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(nil) -> nil encArg(true) -> true encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(entry(x_1, x_2, x_3)) -> entry(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_table) -> table encArg(cons_gen(x_1)) -> gen(encArg(x_1)) encArg(cons_if1(x_1, x_2)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if2(x_1, x_2)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if3(x_1, x_2, x_3)) -> if3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_10) -> 10' encode_table -> table encode_gen(x_1) -> gen(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_if1(x_1, x_2) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_10 -> 10' encode_false -> false encode_nil -> nil encode_true -> true encode_if2(x_1, x_2) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if3(x_1, x_2, x_3) -> if3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_entry(x_1, x_2, x_3) -> entry(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: table :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 gen :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 s :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 0' :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 if1 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 le :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 10' :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 false :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 nil :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 true :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 if2 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 if3 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 entry :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 times :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 plus :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encArg :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_table :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_gen :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_if1 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_if2 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_if3 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_le :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_plus :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_times :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_10 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_table :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_gen :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_s :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_0 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_if1 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_le :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_10 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_false :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_nil :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_true :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_if2 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_if3 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_cons :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_entry :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_times :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_plus :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 hole_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_101_4 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4 :: Nat -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 Generator Equations: gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(0) <=> 0' gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: le, gen, if1, if2, if3, times, plus, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: gen = if1 le < gen gen = if2 gen = if3 gen < encArg if1 = if2 if1 = if3 if1 < encArg le < if2 le < encArg if2 = if3 if2 < encArg times < if3 if3 < encArg plus < times times < encArg plus < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: table -> gen(s(0')) gen(x) -> if1(le(x, 10'), x) if1(false, x) -> nil if1(true, x) -> if2(x, x) if2(x, y) -> if3(le(y, 10'), x, y) if3(true, x, y) -> cons(entry(x, y, times(x, y)), if2(x, s(y))) if3(false, x, y) -> gen(s(x)) le(0', y) -> true le(s(x), 0') -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) times(0', y) -> 0' times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y)) 10' -> s(s(s(s(s(s(s(s(s(s(0')))))))))) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(nil) -> nil encArg(true) -> true encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(entry(x_1, x_2, x_3)) -> entry(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_table) -> table encArg(cons_gen(x_1)) -> gen(encArg(x_1)) encArg(cons_if1(x_1, x_2)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if2(x_1, x_2)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if3(x_1, x_2, x_3)) -> if3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_10) -> 10' encode_table -> table encode_gen(x_1) -> gen(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_if1(x_1, x_2) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_10 -> 10' encode_false -> false encode_nil -> nil encode_true -> true encode_if2(x_1, x_2) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if3(x_1, x_2, x_3) -> if3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_entry(x_1, x_2, x_3) -> entry(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: table :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 gen :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 s :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 0' :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 if1 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 le :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 10' :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 false :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 nil :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 true :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 if2 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 if3 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 entry :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 times :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 plus :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encArg :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_table :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_gen :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_if1 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_if2 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_if3 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_le :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_plus :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_times :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_10 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_table :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_gen :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_s :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_0 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_if1 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_le :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_10 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_false :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_nil :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_true :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_if2 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_if3 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_cons :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_entry :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_times :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_plus :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 hole_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_101_4 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4 :: Nat -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 Lemmas: le(gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(n4_4), gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(n4_4)) -> true, rt in Omega(1 + n4_4) Generator Equations: gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(0) <=> 0' gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: plus, gen, if1, if2, if3, times, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: gen = if1 gen = if2 gen = if3 gen < encArg if1 = if2 if1 = if3 if1 < encArg if2 = if3 if2 < encArg times < if3 if3 < encArg plus < times times < encArg plus < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: plus(gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(n755_4), gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(b)) -> gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(+(n755_4, b)), rt in Omega(1 + n755_4) Induction Base: plus(gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(0), gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(b)) ->_R^Omega(1) gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(b) Induction Step: plus(gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(+(n755_4, 1)), gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(b)) ->_R^Omega(1) s(plus(gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(n755_4), gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(b))) ->_IH s(gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(+(b, c756_4))) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: table -> gen(s(0')) gen(x) -> if1(le(x, 10'), x) if1(false, x) -> nil if1(true, x) -> if2(x, x) if2(x, y) -> if3(le(y, 10'), x, y) if3(true, x, y) -> cons(entry(x, y, times(x, y)), if2(x, s(y))) if3(false, x, y) -> gen(s(x)) le(0', y) -> true le(s(x), 0') -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) times(0', y) -> 0' times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y)) 10' -> s(s(s(s(s(s(s(s(s(s(0')))))))))) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(nil) -> nil encArg(true) -> true encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(entry(x_1, x_2, x_3)) -> entry(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_table) -> table encArg(cons_gen(x_1)) -> gen(encArg(x_1)) encArg(cons_if1(x_1, x_2)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if2(x_1, x_2)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if3(x_1, x_2, x_3)) -> if3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_10) -> 10' encode_table -> table encode_gen(x_1) -> gen(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_if1(x_1, x_2) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_10 -> 10' encode_false -> false encode_nil -> nil encode_true -> true encode_if2(x_1, x_2) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if3(x_1, x_2, x_3) -> if3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_entry(x_1, x_2, x_3) -> entry(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: table :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 gen :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 s :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 0' :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 if1 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 le :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 10' :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 false :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 nil :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 true :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 if2 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 if3 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 entry :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 times :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 plus :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encArg :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_table :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_gen :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_if1 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_if2 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_if3 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_le :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_plus :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_times :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_10 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_table :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_gen :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_s :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_0 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_if1 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_le :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_10 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_false :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_nil :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_true :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_if2 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_if3 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_cons :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_entry :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_times :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_plus :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 hole_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_101_4 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4 :: Nat -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 Lemmas: le(gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(n4_4), gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(n4_4)) -> true, rt in Omega(1 + n4_4) plus(gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(n755_4), gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(b)) -> gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(+(n755_4, b)), rt in Omega(1 + n755_4) Generator Equations: gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(0) <=> 0' gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: times, gen, if1, if2, if3, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: gen = if1 gen = if2 gen = if3 gen < encArg if1 = if2 if1 = if3 if1 < encArg if2 = if3 if2 < encArg times < if3 if3 < encArg times < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: times(gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(n2322_4), gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(b)) -> gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(*(n2322_4, b)), rt in Omega(1 + b*n2322_4 + n2322_4) Induction Base: times(gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(0), gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(b)) ->_R^Omega(1) 0' Induction Step: times(gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(+(n2322_4, 1)), gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(b)) ->_R^Omega(1) plus(gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(b), times(gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(n2322_4), gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(b))) ->_IH plus(gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(b), gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(*(c2323_4, b))) ->_L^Omega(1 + b) gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(+(b, *(n2322_4, b))) We have rt in Omega(n^2) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^2). ---------------------------------------- (20) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (21) Obligation: Proved the lower bound n^2 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: table -> gen(s(0')) gen(x) -> if1(le(x, 10'), x) if1(false, x) -> nil if1(true, x) -> if2(x, x) if2(x, y) -> if3(le(y, 10'), x, y) if3(true, x, y) -> cons(entry(x, y, times(x, y)), if2(x, s(y))) if3(false, x, y) -> gen(s(x)) le(0', y) -> true le(s(x), 0') -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) times(0', y) -> 0' times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y)) 10' -> s(s(s(s(s(s(s(s(s(s(0')))))))))) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(nil) -> nil encArg(true) -> true encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(entry(x_1, x_2, x_3)) -> entry(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_table) -> table encArg(cons_gen(x_1)) -> gen(encArg(x_1)) encArg(cons_if1(x_1, x_2)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if2(x_1, x_2)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if3(x_1, x_2, x_3)) -> if3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_10) -> 10' encode_table -> table encode_gen(x_1) -> gen(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_if1(x_1, x_2) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_10 -> 10' encode_false -> false encode_nil -> nil encode_true -> true encode_if2(x_1, x_2) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if3(x_1, x_2, x_3) -> if3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_entry(x_1, x_2, x_3) -> entry(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: table :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 gen :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 s :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 0' :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 if1 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 le :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 10' :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 false :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 nil :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 true :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 if2 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 if3 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 entry :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 times :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 plus :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encArg :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_table :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_gen :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_if1 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_if2 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_if3 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_le :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_plus :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_times :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_10 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_table :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_gen :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_s :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_0 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_if1 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_le :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_10 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_false :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_nil :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_true :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_if2 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_if3 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_cons :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_entry :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_times :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_plus :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 hole_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_101_4 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4 :: Nat -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 Lemmas: le(gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(n4_4), gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(n4_4)) -> true, rt in Omega(1 + n4_4) plus(gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(n755_4), gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(b)) -> gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(+(n755_4, b)), rt in Omega(1 + n755_4) Generator Equations: gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(0) <=> 0' gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: times, gen, if1, if2, if3, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: gen = if1 gen = if2 gen = if3 gen < encArg if1 = if2 if1 = if3 if1 < encArg if2 = if3 if2 < encArg times < if3 if3 < encArg times < encArg ---------------------------------------- (22) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (23) BOUNDS(n^2, INF) ---------------------------------------- (24) Obligation: Innermost TRS: Rules: table -> gen(s(0')) gen(x) -> if1(le(x, 10'), x) if1(false, x) -> nil if1(true, x) -> if2(x, x) if2(x, y) -> if3(le(y, 10'), x, y) if3(true, x, y) -> cons(entry(x, y, times(x, y)), if2(x, s(y))) if3(false, x, y) -> gen(s(x)) le(0', y) -> true le(s(x), 0') -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) times(0', y) -> 0' times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y)) 10' -> s(s(s(s(s(s(s(s(s(s(0')))))))))) encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(0') -> 0' encArg(false) -> false encArg(nil) -> nil encArg(true) -> true encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(entry(x_1, x_2, x_3)) -> entry(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_table) -> table encArg(cons_gen(x_1)) -> gen(encArg(x_1)) encArg(cons_if1(x_1, x_2)) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if2(x_1, x_2)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if3(x_1, x_2, x_3)) -> if3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_10) -> 10' encode_table -> table encode_gen(x_1) -> gen(encArg(x_1)) encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_if1(x_1, x_2) -> if1(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_10 -> 10' encode_false -> false encode_nil -> nil encode_true -> true encode_if2(x_1, x_2) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if3(x_1, x_2, x_3) -> if3(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_entry(x_1, x_2, x_3) -> entry(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) Types: table :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 gen :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 s :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 0' :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 if1 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 le :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 10' :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 false :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 nil :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 true :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 if2 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 if3 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 entry :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 times :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 plus :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encArg :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_table :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_gen :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_if1 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_if2 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_if3 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_le :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_plus :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_times :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 cons_10 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_table :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_gen :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_s :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_0 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_if1 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_le :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_10 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_false :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_nil :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_true :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_if2 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_if3 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_cons :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_entry :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_times :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 encode_plus :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 hole_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_101_4 :: 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4 :: Nat -> 0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_10 Lemmas: le(gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(n4_4), gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(n4_4)) -> true, rt in Omega(1 + n4_4) plus(gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(n755_4), gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(b)) -> gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(+(n755_4, b)), rt in Omega(1 + n755_4) times(gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(n2322_4), gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(b)) -> gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(*(n2322_4, b)), rt in Omega(1 + b*n2322_4 + n2322_4) Generator Equations: gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(0) <=> 0' gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: if1, gen, if2, if3, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: gen = if1 gen = if2 gen = if3 gen < encArg if1 = if2 if1 = if3 if1 < encArg if2 = if3 if2 < encArg if3 < encArg ---------------------------------------- (25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(n5273_4)) -> gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(n5273_4), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(+(n5273_4, 1))) ->_R^Omega(0) s(encArg(gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(n5273_4))) ->_IH s(gen_0':s:false:nil:true:entry:cons:cons_table:cons_gen:cons_if1:cons_if2:cons_if3:cons_le:cons_plus:cons_times:cons_102_4(c5274_4)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (26) BOUNDS(1, INF)