/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 631 ms] (4) CpxRelTRS (5) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (6) TRS for Loop Detection (7) DecreasingLoopProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (8) BEST (9) proven lower bound (10) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (11) BOUNDS(n^1, INF) (12) TRS for Loop Detection ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: eq(0, 0) -> true eq(0, s(m)) -> false eq(s(n), 0) -> false eq(s(n), s(m)) -> eq(n, m) le(0, m) -> true le(s(n), 0) -> false le(s(n), s(m)) -> le(n, m) min(cons(x, nil)) -> x min(cons(n, cons(m, x))) -> if_min(le(n, m), cons(n, cons(m, x))) if_min(true, cons(n, cons(m, x))) -> min(cons(n, x)) if_min(false, cons(n, cons(m, x))) -> min(cons(m, x)) replace(n, m, nil) -> nil replace(n, m, cons(k, x)) -> if_replace(eq(n, k), n, m, cons(k, x)) if_replace(true, n, m, cons(k, x)) -> cons(m, x) if_replace(false, n, m, cons(k, x)) -> cons(k, replace(n, m, x)) empty(nil) -> true empty(cons(n, x)) -> false head(cons(n, x)) -> n tail(nil) -> nil tail(cons(n, x)) -> x sort(x) -> sortIter(x, nil) sortIter(x, y) -> if(empty(x), x, y, append(y, cons(min(x), nil))) if(true, x, y, z) -> y if(false, x, y, z) -> sortIter(replace(min(x), head(x), tail(x)), z) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_min(x_1)) -> min(encArg(x_1)) encArg(cons_if_min(x_1, x_2)) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_replace(x_1, x_2, x_3)) -> replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if_replace(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if_replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_empty(x_1)) -> empty(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_sort(x_1)) -> sort(encArg(x_1)) encArg(cons_sortIter(x_1, x_2)) -> sortIter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1) -> min(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_if_min(x_1, x_2) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_replace(x_1, x_2, x_3) -> replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if_replace(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if_replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_empty(x_1) -> empty(encArg(x_1)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_sort(x_1) -> sort(encArg(x_1)) encode_sortIter(x_1, x_2) -> sortIter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: eq(0, 0) -> true eq(0, s(m)) -> false eq(s(n), 0) -> false eq(s(n), s(m)) -> eq(n, m) le(0, m) -> true le(s(n), 0) -> false le(s(n), s(m)) -> le(n, m) min(cons(x, nil)) -> x min(cons(n, cons(m, x))) -> if_min(le(n, m), cons(n, cons(m, x))) if_min(true, cons(n, cons(m, x))) -> min(cons(n, x)) if_min(false, cons(n, cons(m, x))) -> min(cons(m, x)) replace(n, m, nil) -> nil replace(n, m, cons(k, x)) -> if_replace(eq(n, k), n, m, cons(k, x)) if_replace(true, n, m, cons(k, x)) -> cons(m, x) if_replace(false, n, m, cons(k, x)) -> cons(k, replace(n, m, x)) empty(nil) -> true empty(cons(n, x)) -> false head(cons(n, x)) -> n tail(nil) -> nil tail(cons(n, x)) -> x sort(x) -> sortIter(x, nil) sortIter(x, y) -> if(empty(x), x, y, append(y, cons(min(x), nil))) if(true, x, y, z) -> y if(false, x, y, z) -> sortIter(replace(min(x), head(x), tail(x)), z) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_min(x_1)) -> min(encArg(x_1)) encArg(cons_if_min(x_1, x_2)) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_replace(x_1, x_2, x_3)) -> replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if_replace(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if_replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_empty(x_1)) -> empty(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_sort(x_1)) -> sort(encArg(x_1)) encArg(cons_sortIter(x_1, x_2)) -> sortIter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1) -> min(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_if_min(x_1, x_2) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_replace(x_1, x_2, x_3) -> replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if_replace(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if_replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_empty(x_1) -> empty(encArg(x_1)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_sort(x_1) -> sort(encArg(x_1)) encode_sortIter(x_1, x_2) -> sortIter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: eq(0, 0) -> true eq(0, s(m)) -> false eq(s(n), 0) -> false eq(s(n), s(m)) -> eq(n, m) le(0, m) -> true le(s(n), 0) -> false le(s(n), s(m)) -> le(n, m) min(cons(x, nil)) -> x min(cons(n, cons(m, x))) -> if_min(le(n, m), cons(n, cons(m, x))) if_min(true, cons(n, cons(m, x))) -> min(cons(n, x)) if_min(false, cons(n, cons(m, x))) -> min(cons(m, x)) replace(n, m, nil) -> nil replace(n, m, cons(k, x)) -> if_replace(eq(n, k), n, m, cons(k, x)) if_replace(true, n, m, cons(k, x)) -> cons(m, x) if_replace(false, n, m, cons(k, x)) -> cons(k, replace(n, m, x)) empty(nil) -> true empty(cons(n, x)) -> false head(cons(n, x)) -> n tail(nil) -> nil tail(cons(n, x)) -> x sort(x) -> sortIter(x, nil) sortIter(x, y) -> if(empty(x), x, y, append(y, cons(min(x), nil))) if(true, x, y, z) -> y if(false, x, y, z) -> sortIter(replace(min(x), head(x), tail(x)), z) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_min(x_1)) -> min(encArg(x_1)) encArg(cons_if_min(x_1, x_2)) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_replace(x_1, x_2, x_3)) -> replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if_replace(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if_replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_empty(x_1)) -> empty(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_sort(x_1)) -> sort(encArg(x_1)) encArg(cons_sortIter(x_1, x_2)) -> sortIter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1) -> min(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_if_min(x_1, x_2) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_replace(x_1, x_2, x_3) -> replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if_replace(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if_replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_empty(x_1) -> empty(encArg(x_1)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_sort(x_1) -> sort(encArg(x_1)) encode_sortIter(x_1, x_2) -> sortIter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof (LOWER BOUND(ID)) Transformed a relative TRS into a decreasing-loop problem. ---------------------------------------- (6) Obligation: Analyzing the following TRS for decreasing loops: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: eq(0, 0) -> true eq(0, s(m)) -> false eq(s(n), 0) -> false eq(s(n), s(m)) -> eq(n, m) le(0, m) -> true le(s(n), 0) -> false le(s(n), s(m)) -> le(n, m) min(cons(x, nil)) -> x min(cons(n, cons(m, x))) -> if_min(le(n, m), cons(n, cons(m, x))) if_min(true, cons(n, cons(m, x))) -> min(cons(n, x)) if_min(false, cons(n, cons(m, x))) -> min(cons(m, x)) replace(n, m, nil) -> nil replace(n, m, cons(k, x)) -> if_replace(eq(n, k), n, m, cons(k, x)) if_replace(true, n, m, cons(k, x)) -> cons(m, x) if_replace(false, n, m, cons(k, x)) -> cons(k, replace(n, m, x)) empty(nil) -> true empty(cons(n, x)) -> false head(cons(n, x)) -> n tail(nil) -> nil tail(cons(n, x)) -> x sort(x) -> sortIter(x, nil) sortIter(x, y) -> if(empty(x), x, y, append(y, cons(min(x), nil))) if(true, x, y, z) -> y if(false, x, y, z) -> sortIter(replace(min(x), head(x), tail(x)), z) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_min(x_1)) -> min(encArg(x_1)) encArg(cons_if_min(x_1, x_2)) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_replace(x_1, x_2, x_3)) -> replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if_replace(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if_replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_empty(x_1)) -> empty(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_sort(x_1)) -> sort(encArg(x_1)) encArg(cons_sortIter(x_1, x_2)) -> sortIter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1) -> min(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_if_min(x_1, x_2) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_replace(x_1, x_2, x_3) -> replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if_replace(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if_replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_empty(x_1) -> empty(encArg(x_1)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_sort(x_1) -> sort(encArg(x_1)) encode_sortIter(x_1, x_2) -> sortIter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) DecreasingLoopProof (LOWER BOUND(ID)) The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Omega(n^1): The rewrite sequence eq(s(n), s(m)) ->^+ eq(n, m) gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position []. The pumping substitution is [n / s(n), m / s(m)]. The result substitution is [ ]. ---------------------------------------- (8) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (9) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: eq(0, 0) -> true eq(0, s(m)) -> false eq(s(n), 0) -> false eq(s(n), s(m)) -> eq(n, m) le(0, m) -> true le(s(n), 0) -> false le(s(n), s(m)) -> le(n, m) min(cons(x, nil)) -> x min(cons(n, cons(m, x))) -> if_min(le(n, m), cons(n, cons(m, x))) if_min(true, cons(n, cons(m, x))) -> min(cons(n, x)) if_min(false, cons(n, cons(m, x))) -> min(cons(m, x)) replace(n, m, nil) -> nil replace(n, m, cons(k, x)) -> if_replace(eq(n, k), n, m, cons(k, x)) if_replace(true, n, m, cons(k, x)) -> cons(m, x) if_replace(false, n, m, cons(k, x)) -> cons(k, replace(n, m, x)) empty(nil) -> true empty(cons(n, x)) -> false head(cons(n, x)) -> n tail(nil) -> nil tail(cons(n, x)) -> x sort(x) -> sortIter(x, nil) sortIter(x, y) -> if(empty(x), x, y, append(y, cons(min(x), nil))) if(true, x, y, z) -> y if(false, x, y, z) -> sortIter(replace(min(x), head(x), tail(x)), z) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_min(x_1)) -> min(encArg(x_1)) encArg(cons_if_min(x_1, x_2)) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_replace(x_1, x_2, x_3)) -> replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if_replace(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if_replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_empty(x_1)) -> empty(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_sort(x_1)) -> sort(encArg(x_1)) encArg(cons_sortIter(x_1, x_2)) -> sortIter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1) -> min(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_if_min(x_1, x_2) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_replace(x_1, x_2, x_3) -> replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if_replace(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if_replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_empty(x_1) -> empty(encArg(x_1)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_sort(x_1) -> sort(encArg(x_1)) encode_sortIter(x_1, x_2) -> sortIter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (10) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (11) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (12) Obligation: Analyzing the following TRS for decreasing loops: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: eq(0, 0) -> true eq(0, s(m)) -> false eq(s(n), 0) -> false eq(s(n), s(m)) -> eq(n, m) le(0, m) -> true le(s(n), 0) -> false le(s(n), s(m)) -> le(n, m) min(cons(x, nil)) -> x min(cons(n, cons(m, x))) -> if_min(le(n, m), cons(n, cons(m, x))) if_min(true, cons(n, cons(m, x))) -> min(cons(n, x)) if_min(false, cons(n, cons(m, x))) -> min(cons(m, x)) replace(n, m, nil) -> nil replace(n, m, cons(k, x)) -> if_replace(eq(n, k), n, m, cons(k, x)) if_replace(true, n, m, cons(k, x)) -> cons(m, x) if_replace(false, n, m, cons(k, x)) -> cons(k, replace(n, m, x)) empty(nil) -> true empty(cons(n, x)) -> false head(cons(n, x)) -> n tail(nil) -> nil tail(cons(n, x)) -> x sort(x) -> sortIter(x, nil) sortIter(x, y) -> if(empty(x), x, y, append(y, cons(min(x), nil))) if(true, x, y, z) -> y if(false, x, y, z) -> sortIter(replace(min(x), head(x), tail(x)), z) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons(x_1, x_2)) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(nil) -> nil encArg(append(x_1, x_2)) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_min(x_1)) -> min(encArg(x_1)) encArg(cons_if_min(x_1, x_2)) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_replace(x_1, x_2, x_3)) -> replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if_replace(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if_replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_empty(x_1)) -> empty(encArg(x_1)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_sort(x_1)) -> sort(encArg(x_1)) encArg(cons_sortIter(x_1, x_2)) -> sortIter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1) -> min(encArg(x_1)) encode_cons(x_1, x_2) -> cons(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_if_min(x_1, x_2) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_replace(x_1, x_2, x_3) -> replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if_replace(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if_replace(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_empty(x_1) -> empty(encArg(x_1)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_sort(x_1) -> sort(encArg(x_1)) encode_sortIter(x_1, x_2) -> sortIter(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_append(x_1, x_2) -> append(encArg(x_1), encArg(x_2)) Rewrite Strategy: INNERMOST