/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files


--------------------------------------------------------------------------------


WORST_CASE(Omega(n^2), ?)
proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 236 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(6) CpxRelTRS
(7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 3 ms]
(8) typed CpxTrs
(9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(10) typed CpxTrs
(11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 289 ms]
(12) BEST
    (13) proven lower bound
        (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (15) BOUNDS(n^1, INF)
    (16) typed CpxTrs
        (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 36 ms]
        (18) typed CpxTrs
        (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 64 ms]
        (20) BEST
            (21) proven lower bound
                (22) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
                (23) BOUNDS(n^2, INF)
            (24) typed CpxTrs
                (25) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 323 ms]
                (26) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   lt(0, s(x)) -> true
   lt(x, 0) -> false
   lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y)
   times(0, y) -> 0
   times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
   plus(0, y) -> y
   plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
   fac(x) -> loop(x, s(0), s(0))
   loop(x, c, y) -> if(lt(x, c), x, c, y)
   if(false, x, c, y) -> loop(x, s(c), times(y, s(c)))
   if(true, x, c, y) -> y

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_fac(x_1)) -> fac(encArg(x_1))
   encArg(cons_loop(x_1, x_2, x_3)) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_fac(x_1) -> fac(encArg(x_1))
   encode_loop(x_1, x_2, x_3) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   lt(0, s(x)) -> true
   lt(x, 0) -> false
   lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y)
   times(0, y) -> 0
   times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
   plus(0, y) -> y
   plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
   fac(x) -> loop(x, s(0), s(0))
   loop(x, c, y) -> if(lt(x, c), x, c, y)
   if(false, x, c, y) -> loop(x, s(c), times(y, s(c)))
   if(true, x, c, y) -> y

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_fac(x_1)) -> fac(encArg(x_1))
   encArg(cons_loop(x_1, x_2, x_3)) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_fac(x_1) -> fac(encArg(x_1))
   encode_loop(x_1, x_2, x_3) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   lt(0, s(x)) -> true
   lt(x, 0) -> false
   lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y)
   times(0, y) -> 0
   times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
   plus(0, y) -> y
   plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
   fac(x) -> loop(x, s(0), s(0))
   loop(x, c, y) -> if(lt(x, c), x, c, y)
   if(false, x, c, y) -> loop(x, s(c), times(y, s(c)))
   if(true, x, c, y) -> y

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_fac(x_1)) -> fac(encArg(x_1))
   encArg(cons_loop(x_1, x_2, x_3)) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_fac(x_1) -> fac(encArg(x_1))
   encode_loop(x_1, x_2, x_3) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   lt(0', s(x)) -> true
   lt(x, 0') -> false
   lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y)
   times(0', y) -> 0'
   times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
   plus(0', y) -> y
   plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
   fac(x) -> loop(x, s(0'), s(0'))
   loop(x, c, y) -> if(lt(x, c), x, c, y)
   if(false, x, c, y) -> loop(x, s(c), times(y, s(c)))
   if(true, x, c, y) -> y

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0') -> 0'
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_fac(x_1)) -> fac(encArg(x_1))
   encArg(cons_loop(x_1, x_2, x_3)) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0'
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_fac(x_1) -> fac(encArg(x_1))
   encode_loop(x_1, x_2, x_3) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(8)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
lt(0', s(x)) -> true
lt(x, 0') -> false
lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y)
times(0', y) -> 0'
times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
plus(0', y) -> y
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
fac(x) -> loop(x, s(0'), s(0'))
loop(x, c, y) -> if(lt(x, c), x, c, y)
if(false, x, c, y) -> loop(x, s(c), times(y, s(c)))
if(true, x, c, y) -> y
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_fac(x_1)) -> fac(encArg(x_1))
encArg(cons_loop(x_1, x_2, x_3)) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_fac(x_1) -> fac(encArg(x_1))
encode_loop(x_1, x_2, x_3) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Types:
lt :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
0' :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
s :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
true :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
false :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
times :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
plus :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
fac :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
loop :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
if :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encArg :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_lt :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_times :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_plus :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_fac :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_loop :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_if :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_lt :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_s :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_true :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_false :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_times :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_plus :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_fac :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_loop :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_if :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
hole_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if1_5 :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if

----------------------------------------

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
lt, times, plus, loop, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
lt < loop
lt < encArg
plus < times
times < if
times < encArg
plus < encArg
loop = if
loop < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(10)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
lt(0', s(x)) -> true
lt(x, 0') -> false
lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y)
times(0', y) -> 0'
times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
plus(0', y) -> y
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
fac(x) -> loop(x, s(0'), s(0'))
loop(x, c, y) -> if(lt(x, c), x, c, y)
if(false, x, c, y) -> loop(x, s(c), times(y, s(c)))
if(true, x, c, y) -> y
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_fac(x_1)) -> fac(encArg(x_1))
encArg(cons_loop(x_1, x_2, x_3)) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_fac(x_1) -> fac(encArg(x_1))
encode_loop(x_1, x_2, x_3) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Types:
lt :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
0' :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
s :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
true :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
false :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
times :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
plus :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
fac :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
loop :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
if :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encArg :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_lt :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_times :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_plus :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_fac :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_loop :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_if :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_lt :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_s :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_true :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_false :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_times :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_plus :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_fac :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_loop :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_if :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
hole_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if1_5 :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
lt, times, plus, loop, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
lt < loop
lt < encArg
plus < times
times < if
times < encArg
plus < encArg
loop = if
loop < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
lt(gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(n4_5), gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(+(1, n4_5))) -> true, rt in Omega(1 + n4_5)

Induction Base:
lt(gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(0), gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(+(1, 0))) ->_R^Omega(1)
true

Induction Step:
lt(gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(+(n4_5, 1)), gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(+(1, +(n4_5, 1)))) ->_R^Omega(1)
lt(gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(n4_5), gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(+(1, n4_5))) ->_IH
true

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(12)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(13)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
lt(0', s(x)) -> true
lt(x, 0') -> false
lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y)
times(0', y) -> 0'
times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
plus(0', y) -> y
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
fac(x) -> loop(x, s(0'), s(0'))
loop(x, c, y) -> if(lt(x, c), x, c, y)
if(false, x, c, y) -> loop(x, s(c), times(y, s(c)))
if(true, x, c, y) -> y
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_fac(x_1)) -> fac(encArg(x_1))
encArg(cons_loop(x_1, x_2, x_3)) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_fac(x_1) -> fac(encArg(x_1))
encode_loop(x_1, x_2, x_3) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Types:
lt :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
0' :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
s :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
true :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
false :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
times :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
plus :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
fac :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
loop :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
if :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encArg :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_lt :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_times :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_plus :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_fac :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_loop :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_if :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_lt :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_s :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_true :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_false :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_times :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_plus :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_fac :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_loop :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_if :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
hole_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if1_5 :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
lt, times, plus, loop, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
lt < loop
lt < encArg
plus < times
times < if
times < encArg
plus < encArg
loop = if
loop < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(15)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
lt(0', s(x)) -> true
lt(x, 0') -> false
lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y)
times(0', y) -> 0'
times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
plus(0', y) -> y
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
fac(x) -> loop(x, s(0'), s(0'))
loop(x, c, y) -> if(lt(x, c), x, c, y)
if(false, x, c, y) -> loop(x, s(c), times(y, s(c)))
if(true, x, c, y) -> y
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_fac(x_1)) -> fac(encArg(x_1))
encArg(cons_loop(x_1, x_2, x_3)) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_fac(x_1) -> fac(encArg(x_1))
encode_loop(x_1, x_2, x_3) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Types:
lt :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
0' :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
s :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
true :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
false :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
times :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
plus :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
fac :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
loop :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
if :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encArg :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_lt :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_times :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_plus :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_fac :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_loop :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_if :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_lt :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_s :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_true :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_false :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_times :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_plus :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_fac :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_loop :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_if :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
hole_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if1_5 :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if


Lemmas:
lt(gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(n4_5), gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(+(1, n4_5))) -> true, rt in Omega(1 + n4_5)


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
plus, times, loop, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
plus < times
times < if
times < encArg
plus < encArg
loop = if
loop < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
plus(gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(n562_5), gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(+(n562_5, b)), rt in Omega(1 + n562_5)

Induction Base:
plus(gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(0), gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(b)) ->_R^Omega(1)
gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(b)

Induction Step:
plus(gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(+(n562_5, 1)), gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(b)) ->_R^Omega(1)
s(plus(gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(n562_5), gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(b))) ->_IH
s(gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(+(b, c563_5)))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(18)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
lt(0', s(x)) -> true
lt(x, 0') -> false
lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y)
times(0', y) -> 0'
times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
plus(0', y) -> y
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
fac(x) -> loop(x, s(0'), s(0'))
loop(x, c, y) -> if(lt(x, c), x, c, y)
if(false, x, c, y) -> loop(x, s(c), times(y, s(c)))
if(true, x, c, y) -> y
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_fac(x_1)) -> fac(encArg(x_1))
encArg(cons_loop(x_1, x_2, x_3)) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_fac(x_1) -> fac(encArg(x_1))
encode_loop(x_1, x_2, x_3) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Types:
lt :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
0' :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
s :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
true :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
false :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
times :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
plus :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
fac :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
loop :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
if :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encArg :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_lt :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_times :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_plus :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_fac :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_loop :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_if :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_lt :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_s :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_true :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_false :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_times :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_plus :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_fac :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_loop :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_if :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
hole_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if1_5 :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if


Lemmas:
lt(gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(n4_5), gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(+(1, n4_5))) -> true, rt in Omega(1 + n4_5)
plus(gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(n562_5), gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(+(n562_5, b)), rt in Omega(1 + n562_5)


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
times, loop, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
times < if
times < encArg
loop = if
loop < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
times(gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(n1713_5), gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(*(n1713_5, b)), rt in Omega(1 + b*n1713_5 + n1713_5)

Induction Base:
times(gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(0), gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(b)) ->_R^Omega(1)
0'

Induction Step:
times(gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(+(n1713_5, 1)), gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(b)) ->_R^Omega(1)
plus(gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(b), times(gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(n1713_5), gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(b))) ->_IH
plus(gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(b), gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(*(c1714_5, b))) ->_L^Omega(1 + b)
gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(+(b, *(n1713_5, b)))

We have rt in Omega(n^2) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^2).
----------------------------------------

(20)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(21)
Obligation:
Proved the lower bound n^2 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
lt(0', s(x)) -> true
lt(x, 0') -> false
lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y)
times(0', y) -> 0'
times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
plus(0', y) -> y
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
fac(x) -> loop(x, s(0'), s(0'))
loop(x, c, y) -> if(lt(x, c), x, c, y)
if(false, x, c, y) -> loop(x, s(c), times(y, s(c)))
if(true, x, c, y) -> y
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_fac(x_1)) -> fac(encArg(x_1))
encArg(cons_loop(x_1, x_2, x_3)) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_fac(x_1) -> fac(encArg(x_1))
encode_loop(x_1, x_2, x_3) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Types:
lt :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
0' :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
s :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
true :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
false :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
times :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
plus :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
fac :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
loop :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
if :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encArg :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_lt :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_times :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_plus :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_fac :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_loop :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_if :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_lt :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_s :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_true :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_false :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_times :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_plus :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_fac :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_loop :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_if :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
hole_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if1_5 :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if


Lemmas:
lt(gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(n4_5), gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(+(1, n4_5))) -> true, rt in Omega(1 + n4_5)
plus(gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(n562_5), gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(+(n562_5, b)), rt in Omega(1 + n562_5)


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
times, loop, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
times < if
times < encArg
loop = if
loop < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(22) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(23)
BOUNDS(n^2, INF)

----------------------------------------

(24)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
lt(0', s(x)) -> true
lt(x, 0') -> false
lt(s(x), s(y)) -> lt(x, y)
times(0', y) -> 0'
times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
plus(0', y) -> y
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
fac(x) -> loop(x, s(0'), s(0'))
loop(x, c, y) -> if(lt(x, c), x, c, y)
if(false, x, c, y) -> loop(x, s(c), times(y, s(c)))
if(true, x, c, y) -> y
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_lt(x_1, x_2)) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_fac(x_1)) -> fac(encArg(x_1))
encArg(cons_loop(x_1, x_2, x_3)) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_lt(x_1, x_2) -> lt(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_fac(x_1) -> fac(encArg(x_1))
encode_loop(x_1, x_2, x_3) -> loop(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))

Types:
lt :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
0' :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
s :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
true :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
false :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
times :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
plus :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
fac :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
loop :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
if :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encArg :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_lt :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_times :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_plus :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_fac :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_loop :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
cons_if :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_lt :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_s :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_true :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_false :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_times :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_plus :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_fac :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_loop :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
encode_if :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
hole_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if1_5 :: 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if
gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if


Lemmas:
lt(gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(n4_5), gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(+(1, n4_5))) -> true, rt in Omega(1 + n4_5)
plus(gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(n562_5), gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(+(n562_5, b)), rt in Omega(1 + n562_5)
times(gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(n1713_5), gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(*(n1713_5, b)), rt in Omega(1 + b*n1713_5 + n1713_5)


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
if, loop, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
loop = if
loop < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(n3271_5)) -> gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(n3271_5), rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(0)) ->_R^Omega(0)
0'

Induction Step:
encArg(gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(+(n3271_5, 1))) ->_R^Omega(0)
s(encArg(gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(n3271_5))) ->_IH
s(gen_0':s:true:false:cons_lt:cons_times:cons_plus:cons_fac:cons_loop:cons_if2_5(c3272_5))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(26)
BOUNDS(1, INF)