/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files


--------------------------------------------------------------------------------


WORST_CASE(Omega(n^1), ?)
proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 304 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(6) CpxRelTRS
(7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(8) typed CpxTrs
(9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(10) typed CpxTrs
(11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 290 ms]
(12) BEST
    (13) proven lower bound
        (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (15) BOUNDS(n^1, INF)
    (16) typed CpxTrs
        (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 551 ms]
        (18) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   le(0, y) -> true
   le(s(x), 0) -> false
   le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
   mod(x, 0) -> modZeroErro
   mod(x, s(y)) -> modIter(x, s(y), 0, 0)
   modIter(x, s(y), z, u) -> if(le(x, z), x, s(y), z, u)
   if(true, x, y, z, u) -> u
   if(false, x, y, z, u) -> if2(le(y, s(u)), x, y, s(z), s(u))
   if2(false, x, y, z, u) -> modIter(x, y, z, u)
   if2(true, x, y, z, u) -> modIter(x, y, z, 0)

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(false) -> false
   encArg(modZeroErro) -> modZeroErro
   encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_mod(x_1, x_2)) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_modIter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> modIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
   encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
   encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_true -> true
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_false -> false
   encode_mod(x_1, x_2) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_modZeroErro -> modZeroErro
   encode_modIter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> modIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
   encode_if2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   le(0, y) -> true
   le(s(x), 0) -> false
   le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
   mod(x, 0) -> modZeroErro
   mod(x, s(y)) -> modIter(x, s(y), 0, 0)
   modIter(x, s(y), z, u) -> if(le(x, z), x, s(y), z, u)
   if(true, x, y, z, u) -> u
   if(false, x, y, z, u) -> if2(le(y, s(u)), x, y, s(z), s(u))
   if2(false, x, y, z, u) -> modIter(x, y, z, u)
   if2(true, x, y, z, u) -> modIter(x, y, z, 0)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(false) -> false
   encArg(modZeroErro) -> modZeroErro
   encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_mod(x_1, x_2)) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_modIter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> modIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
   encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
   encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_true -> true
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_false -> false
   encode_mod(x_1, x_2) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_modZeroErro -> modZeroErro
   encode_modIter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> modIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
   encode_if2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   le(0, y) -> true
   le(s(x), 0) -> false
   le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
   mod(x, 0) -> modZeroErro
   mod(x, s(y)) -> modIter(x, s(y), 0, 0)
   modIter(x, s(y), z, u) -> if(le(x, z), x, s(y), z, u)
   if(true, x, y, z, u) -> u
   if(false, x, y, z, u) -> if2(le(y, s(u)), x, y, s(z), s(u))
   if2(false, x, y, z, u) -> modIter(x, y, z, u)
   if2(true, x, y, z, u) -> modIter(x, y, z, 0)

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(true) -> true
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(false) -> false
   encArg(modZeroErro) -> modZeroErro
   encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_mod(x_1, x_2)) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_modIter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> modIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
   encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
   encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_true -> true
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_false -> false
   encode_mod(x_1, x_2) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_modZeroErro -> modZeroErro
   encode_modIter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> modIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
   encode_if2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   le(0', y) -> true
   le(s(x), 0') -> false
   le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
   mod(x, 0') -> modZeroErro
   mod(x, s(y)) -> modIter(x, s(y), 0', 0')
   modIter(x, s(y), z, u) -> if(le(x, z), x, s(y), z, u)
   if(true, x, y, z, u) -> u
   if(false, x, y, z, u) -> if2(le(y, s(u)), x, y, s(z), s(u))
   if2(false, x, y, z, u) -> modIter(x, y, z, u)
   if2(true, x, y, z, u) -> modIter(x, y, z, 0')

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0') -> 0'
   encArg(true) -> true
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(false) -> false
   encArg(modZeroErro) -> modZeroErro
   encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_mod(x_1, x_2)) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_modIter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> modIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
   encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
   encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0'
   encode_true -> true
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_false -> false
   encode_mod(x_1, x_2) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_modZeroErro -> modZeroErro
   encode_modIter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> modIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
   encode_if2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(8)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
le(0', y) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
mod(x, 0') -> modZeroErro
mod(x, s(y)) -> modIter(x, s(y), 0', 0')
modIter(x, s(y), z, u) -> if(le(x, z), x, s(y), z, u)
if(true, x, y, z, u) -> u
if(false, x, y, z, u) -> if2(le(y, s(u)), x, y, s(z), s(u))
if2(false, x, y, z, u) -> modIter(x, y, z, u)
if2(true, x, y, z, u) -> modIter(x, y, z, 0')
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(false) -> false
encArg(modZeroErro) -> modZeroErro
encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mod(x_1, x_2)) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_modIter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> modIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_true -> true
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_false -> false
encode_mod(x_1, x_2) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_modZeroErro -> modZeroErro
encode_modIter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> modIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
encode_if2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))

Types:
le :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
0' :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
true :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
s :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
false :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
mod :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
modZeroErro :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
modIter :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
if :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
if2 :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encArg :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
cons_le :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
cons_mod :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
cons_modIter :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
cons_if :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
cons_if2 :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_le :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_0 :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_true :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_s :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_false :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_mod :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_modZeroErro :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_modIter :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_if :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_if2 :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
hole_0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if21_6 :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
gen_0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if22_6 :: Nat -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2

----------------------------------------

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
le, modIter, if, if2, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
le < modIter
le < if
le < encArg
modIter = if
modIter = if2
modIter < encArg
if = if2
if < encArg
if2 < encArg

----------------------------------------

(10)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
le(0', y) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
mod(x, 0') -> modZeroErro
mod(x, s(y)) -> modIter(x, s(y), 0', 0')
modIter(x, s(y), z, u) -> if(le(x, z), x, s(y), z, u)
if(true, x, y, z, u) -> u
if(false, x, y, z, u) -> if2(le(y, s(u)), x, y, s(z), s(u))
if2(false, x, y, z, u) -> modIter(x, y, z, u)
if2(true, x, y, z, u) -> modIter(x, y, z, 0')
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(false) -> false
encArg(modZeroErro) -> modZeroErro
encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mod(x_1, x_2)) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_modIter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> modIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_true -> true
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_false -> false
encode_mod(x_1, x_2) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_modZeroErro -> modZeroErro
encode_modIter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> modIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
encode_if2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))

Types:
le :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
0' :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
true :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
s :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
false :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
mod :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
modZeroErro :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
modIter :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
if :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
if2 :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encArg :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
cons_le :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
cons_mod :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
cons_modIter :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
cons_if :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
cons_if2 :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_le :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_0 :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_true :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_s :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_false :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_mod :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_modZeroErro :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_modIter :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_if :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_if2 :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
hole_0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if21_6 :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
gen_0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if22_6 :: Nat -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2


Generator Equations:
gen_0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if22_6(0) <=> 0'
gen_0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if22_6(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if22_6(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
le, modIter, if, if2, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
le < modIter
le < if
le < encArg
modIter = if
modIter = if2
modIter < encArg
if = if2
if < encArg
if2 < encArg

----------------------------------------

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
le(gen_0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if22_6(n4_6), gen_0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if22_6(n4_6)) -> true, rt in Omega(1 + n4_6)

Induction Base:
le(gen_0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if22_6(0), gen_0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if22_6(0)) ->_R^Omega(1)
true

Induction Step:
le(gen_0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if22_6(+(n4_6, 1)), gen_0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if22_6(+(n4_6, 1))) ->_R^Omega(1)
le(gen_0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if22_6(n4_6), gen_0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if22_6(n4_6)) ->_IH
true

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(12)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(13)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
le(0', y) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
mod(x, 0') -> modZeroErro
mod(x, s(y)) -> modIter(x, s(y), 0', 0')
modIter(x, s(y), z, u) -> if(le(x, z), x, s(y), z, u)
if(true, x, y, z, u) -> u
if(false, x, y, z, u) -> if2(le(y, s(u)), x, y, s(z), s(u))
if2(false, x, y, z, u) -> modIter(x, y, z, u)
if2(true, x, y, z, u) -> modIter(x, y, z, 0')
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(false) -> false
encArg(modZeroErro) -> modZeroErro
encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mod(x_1, x_2)) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_modIter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> modIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_true -> true
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_false -> false
encode_mod(x_1, x_2) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_modZeroErro -> modZeroErro
encode_modIter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> modIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
encode_if2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))

Types:
le :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
0' :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
true :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
s :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
false :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
mod :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
modZeroErro :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
modIter :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
if :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
if2 :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encArg :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
cons_le :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
cons_mod :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
cons_modIter :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
cons_if :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
cons_if2 :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_le :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_0 :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_true :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_s :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_false :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_mod :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_modZeroErro :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_modIter :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_if :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_if2 :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
hole_0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if21_6 :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
gen_0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if22_6 :: Nat -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2


Generator Equations:
gen_0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if22_6(0) <=> 0'
gen_0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if22_6(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if22_6(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
le, modIter, if, if2, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
le < modIter
le < if
le < encArg
modIter = if
modIter = if2
modIter < encArg
if = if2
if < encArg
if2 < encArg

----------------------------------------

(14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(15)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
le(0', y) -> true
le(s(x), 0') -> false
le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
mod(x, 0') -> modZeroErro
mod(x, s(y)) -> modIter(x, s(y), 0', 0')
modIter(x, s(y), z, u) -> if(le(x, z), x, s(y), z, u)
if(true, x, y, z, u) -> u
if(false, x, y, z, u) -> if2(le(y, s(u)), x, y, s(z), s(u))
if2(false, x, y, z, u) -> modIter(x, y, z, u)
if2(true, x, y, z, u) -> modIter(x, y, z, 0')
encArg(0') -> 0'
encArg(true) -> true
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(false) -> false
encArg(modZeroErro) -> modZeroErro
encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_mod(x_1, x_2)) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_modIter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> modIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_true -> true
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_false -> false
encode_mod(x_1, x_2) -> mod(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_modZeroErro -> modZeroErro
encode_modIter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> modIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
encode_if2(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))

Types:
le :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
0' :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
true :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
s :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
false :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
mod :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
modZeroErro :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
modIter :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
if :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
if2 :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encArg :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
cons_le :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
cons_mod :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
cons_modIter :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
cons_if :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
cons_if2 :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_le :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_0 :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_true :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_s :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_false :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_mod :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_modZeroErro :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_modIter :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_if :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
encode_if2 :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
hole_0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if21_6 :: 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2
gen_0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if22_6 :: Nat -> 0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if2


Lemmas:
le(gen_0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if22_6(n4_6), gen_0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if22_6(n4_6)) -> true, rt in Omega(1 + n4_6)


Generator Equations:
gen_0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if22_6(0) <=> 0'
gen_0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if22_6(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if22_6(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
if, modIter, if2, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
modIter = if
modIter = if2
modIter < encArg
if = if2
if < encArg
if2 < encArg

----------------------------------------

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if22_6(n687_6)) -> gen_0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if22_6(n687_6), rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if22_6(0)) ->_R^Omega(0)
0'

Induction Step:
encArg(gen_0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if22_6(+(n687_6, 1))) ->_R^Omega(0)
s(encArg(gen_0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if22_6(n687_6))) ->_IH
s(gen_0':true:s:false:modZeroErro:cons_le:cons_mod:cons_modIter:cons_if:cons_if22_6(c688_6))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(18)
BOUNDS(1, INF)