/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files


--------------------------------------------------------------------------------


WORST_CASE(Omega(n^2), ?)
proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 287 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 3 ms]
(6) CpxRelTRS
(7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(8) typed CpxTrs
(9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(10) typed CpxTrs
(11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 319 ms]
(12) BEST
    (13) proven lower bound
        (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (15) BOUNDS(n^1, INF)
    (16) typed CpxTrs
        (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 58 ms]
        (18) BEST
            (19) proven lower bound
                (20) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
                (21) BOUNDS(n^2, INF)
            (22) typed CpxTrs
                (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 643 ms]
                (24) typed CpxTrs
                (25) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 21 ms]
                (26) typed CpxTrs
                (27) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 894 ms]
                (28) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   plus(0, x) -> x
   plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
   times(0, y) -> 0
   times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
   exp(x, 0) -> s(0)
   exp(x, s(y)) -> times(x, exp(x, y))
   ge(x, 0) -> true
   ge(0, s(x)) -> false
   ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
   tower(x, y) -> towerIter(0, x, y, s(0))
   towerIter(c, x, y, z) -> help(ge(c, x), c, x, y, z)
   help(true, c, x, y, z) -> z
   help(false, c, x, y, z) -> towerIter(s(c), x, y, exp(y, z))

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_exp(x_1, x_2)) -> exp(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_tower(x_1, x_2)) -> tower(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_towerIter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> towerIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encArg(cons_help(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_exp(x_1, x_2) -> exp(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_tower(x_1, x_2) -> tower(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_towerIter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> towerIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_help(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   plus(0, x) -> x
   plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
   times(0, y) -> 0
   times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
   exp(x, 0) -> s(0)
   exp(x, s(y)) -> times(x, exp(x, y))
   ge(x, 0) -> true
   ge(0, s(x)) -> false
   ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
   tower(x, y) -> towerIter(0, x, y, s(0))
   towerIter(c, x, y, z) -> help(ge(c, x), c, x, y, z)
   help(true, c, x, y, z) -> z
   help(false, c, x, y, z) -> towerIter(s(c), x, y, exp(y, z))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_exp(x_1, x_2)) -> exp(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_tower(x_1, x_2)) -> tower(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_towerIter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> towerIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encArg(cons_help(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_exp(x_1, x_2) -> exp(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_tower(x_1, x_2) -> tower(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_towerIter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> towerIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_help(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   plus(0, x) -> x
   plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
   times(0, y) -> 0
   times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
   exp(x, 0) -> s(0)
   exp(x, s(y)) -> times(x, exp(x, y))
   ge(x, 0) -> true
   ge(0, s(x)) -> false
   ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
   tower(x, y) -> towerIter(0, x, y, s(0))
   towerIter(c, x, y, z) -> help(ge(c, x), c, x, y, z)
   help(true, c, x, y, z) -> z
   help(false, c, x, y, z) -> towerIter(s(c), x, y, exp(y, z))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_exp(x_1, x_2)) -> exp(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_tower(x_1, x_2)) -> tower(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_towerIter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> towerIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encArg(cons_help(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_exp(x_1, x_2) -> exp(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_tower(x_1, x_2) -> tower(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_towerIter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> towerIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_help(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   plus(0', x) -> x
   plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
   times(0', y) -> 0'
   times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
   exp(x, 0') -> s(0')
   exp(x, s(y)) -> times(x, exp(x, y))
   ge(x, 0') -> true
   ge(0', s(x)) -> false
   ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
   tower(x, y) -> towerIter(0', x, y, s(0'))
   towerIter(c, x, y, z) -> help(ge(c, x), c, x, y, z)
   help(true, c, x, y, z) -> z
   help(false, c, x, y, z) -> towerIter(s(c), x, y, exp(y, z))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0') -> 0'
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_exp(x_1, x_2)) -> exp(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_tower(x_1, x_2)) -> tower(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_towerIter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> towerIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encArg(cons_help(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_0 -> 0'
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_exp(x_1, x_2) -> exp(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_tower(x_1, x_2) -> tower(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_towerIter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> towerIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
   encode_help(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(8)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
plus(0', x) -> x
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
times(0', y) -> 0'
times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
exp(x, 0') -> s(0')
exp(x, s(y)) -> times(x, exp(x, y))
ge(x, 0') -> true
ge(0', s(x)) -> false
ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
tower(x, y) -> towerIter(0', x, y, s(0'))
towerIter(c, x, y, z) -> help(ge(c, x), c, x, y, z)
help(true, c, x, y, z) -> z
help(false, c, x, y, z) -> towerIter(s(c), x, y, exp(y, z))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_exp(x_1, x_2)) -> exp(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_tower(x_1, x_2)) -> tower(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_towerIter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> towerIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encArg(cons_help(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_exp(x_1, x_2) -> exp(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_tower(x_1, x_2) -> tower(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_towerIter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> towerIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_help(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))

Types:
plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
0' :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
exp :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
ge :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
tower :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
towerIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
help :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encArg :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_exp :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_ge :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_tower :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_towerIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_help :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_exp :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_ge :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_tower :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_towerIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_help :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
hole_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help1_6 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help

----------------------------------------

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
plus, times, exp, ge, towerIter, help, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
plus < times
plus < encArg
times < exp
times < encArg
exp < help
exp < encArg
ge < towerIter
ge < encArg
towerIter = help
towerIter < encArg
help < encArg

----------------------------------------

(10)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
plus(0', x) -> x
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
times(0', y) -> 0'
times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
exp(x, 0') -> s(0')
exp(x, s(y)) -> times(x, exp(x, y))
ge(x, 0') -> true
ge(0', s(x)) -> false
ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
tower(x, y) -> towerIter(0', x, y, s(0'))
towerIter(c, x, y, z) -> help(ge(c, x), c, x, y, z)
help(true, c, x, y, z) -> z
help(false, c, x, y, z) -> towerIter(s(c), x, y, exp(y, z))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_exp(x_1, x_2)) -> exp(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_tower(x_1, x_2)) -> tower(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_towerIter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> towerIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encArg(cons_help(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_exp(x_1, x_2) -> exp(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_tower(x_1, x_2) -> tower(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_towerIter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> towerIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_help(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))

Types:
plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
0' :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
exp :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
ge :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
tower :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
towerIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
help :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encArg :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_exp :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_ge :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_tower :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_towerIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_help :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_exp :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_ge :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_tower :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_towerIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_help :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
hole_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help1_6 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
plus, times, exp, ge, towerIter, help, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
plus < times
plus < encArg
times < exp
times < encArg
exp < help
exp < encArg
ge < towerIter
ge < encArg
towerIter = help
towerIter < encArg
help < encArg

----------------------------------------

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
plus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(n4_6), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(+(n4_6, b)), rt in Omega(1 + n4_6)

Induction Base:
plus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(0), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(b)) ->_R^Omega(1)
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(b)

Induction Step:
plus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(+(n4_6, 1)), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(b)) ->_R^Omega(1)
s(plus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(n4_6), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(b))) ->_IH
s(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(+(b, c5_6)))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(12)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(13)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
plus(0', x) -> x
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
times(0', y) -> 0'
times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
exp(x, 0') -> s(0')
exp(x, s(y)) -> times(x, exp(x, y))
ge(x, 0') -> true
ge(0', s(x)) -> false
ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
tower(x, y) -> towerIter(0', x, y, s(0'))
towerIter(c, x, y, z) -> help(ge(c, x), c, x, y, z)
help(true, c, x, y, z) -> z
help(false, c, x, y, z) -> towerIter(s(c), x, y, exp(y, z))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_exp(x_1, x_2)) -> exp(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_tower(x_1, x_2)) -> tower(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_towerIter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> towerIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encArg(cons_help(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_exp(x_1, x_2) -> exp(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_tower(x_1, x_2) -> tower(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_towerIter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> towerIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_help(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))

Types:
plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
0' :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
exp :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
ge :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
tower :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
towerIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
help :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encArg :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_exp :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_ge :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_tower :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_towerIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_help :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_exp :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_ge :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_tower :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_towerIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_help :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
hole_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help1_6 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
plus, times, exp, ge, towerIter, help, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
plus < times
plus < encArg
times < exp
times < encArg
exp < help
exp < encArg
ge < towerIter
ge < encArg
towerIter = help
towerIter < encArg
help < encArg

----------------------------------------

(14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(15)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
plus(0', x) -> x
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
times(0', y) -> 0'
times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
exp(x, 0') -> s(0')
exp(x, s(y)) -> times(x, exp(x, y))
ge(x, 0') -> true
ge(0', s(x)) -> false
ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
tower(x, y) -> towerIter(0', x, y, s(0'))
towerIter(c, x, y, z) -> help(ge(c, x), c, x, y, z)
help(true, c, x, y, z) -> z
help(false, c, x, y, z) -> towerIter(s(c), x, y, exp(y, z))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_exp(x_1, x_2)) -> exp(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_tower(x_1, x_2)) -> tower(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_towerIter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> towerIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encArg(cons_help(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_exp(x_1, x_2) -> exp(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_tower(x_1, x_2) -> tower(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_towerIter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> towerIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_help(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))

Types:
plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
0' :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
exp :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
ge :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
tower :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
towerIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
help :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encArg :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_exp :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_ge :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_tower :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_towerIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_help :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_exp :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_ge :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_tower :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_towerIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_help :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
hole_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help1_6 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help


Lemmas:
plus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(n4_6), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(+(n4_6, b)), rt in Omega(1 + n4_6)


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
times, exp, ge, towerIter, help, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
times < exp
times < encArg
exp < help
exp < encArg
ge < towerIter
ge < encArg
towerIter = help
towerIter < encArg
help < encArg

----------------------------------------

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
times(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(n1241_6), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(*(n1241_6, b)), rt in Omega(1 + b*n1241_6 + n1241_6)

Induction Base:
times(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(0), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(b)) ->_R^Omega(1)
0'

Induction Step:
times(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(+(n1241_6, 1)), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(b)) ->_R^Omega(1)
plus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(b), times(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(n1241_6), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(b))) ->_IH
plus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(b), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(*(c1242_6, b))) ->_L^Omega(1 + b)
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(+(b, *(n1241_6, b)))

We have rt in Omega(n^2) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^2).
----------------------------------------

(18)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(19)
Obligation:
Proved the lower bound n^2 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
plus(0', x) -> x
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
times(0', y) -> 0'
times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
exp(x, 0') -> s(0')
exp(x, s(y)) -> times(x, exp(x, y))
ge(x, 0') -> true
ge(0', s(x)) -> false
ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
tower(x, y) -> towerIter(0', x, y, s(0'))
towerIter(c, x, y, z) -> help(ge(c, x), c, x, y, z)
help(true, c, x, y, z) -> z
help(false, c, x, y, z) -> towerIter(s(c), x, y, exp(y, z))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_exp(x_1, x_2)) -> exp(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_tower(x_1, x_2)) -> tower(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_towerIter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> towerIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encArg(cons_help(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_exp(x_1, x_2) -> exp(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_tower(x_1, x_2) -> tower(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_towerIter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> towerIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_help(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))

Types:
plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
0' :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
exp :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
ge :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
tower :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
towerIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
help :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encArg :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_exp :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_ge :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_tower :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_towerIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_help :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_exp :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_ge :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_tower :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_towerIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_help :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
hole_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help1_6 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help


Lemmas:
plus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(n4_6), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(+(n4_6, b)), rt in Omega(1 + n4_6)


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
times, exp, ge, towerIter, help, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
times < exp
times < encArg
exp < help
exp < encArg
ge < towerIter
ge < encArg
towerIter = help
towerIter < encArg
help < encArg

----------------------------------------

(20) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(21)
BOUNDS(n^2, INF)

----------------------------------------

(22)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
plus(0', x) -> x
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
times(0', y) -> 0'
times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
exp(x, 0') -> s(0')
exp(x, s(y)) -> times(x, exp(x, y))
ge(x, 0') -> true
ge(0', s(x)) -> false
ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
tower(x, y) -> towerIter(0', x, y, s(0'))
towerIter(c, x, y, z) -> help(ge(c, x), c, x, y, z)
help(true, c, x, y, z) -> z
help(false, c, x, y, z) -> towerIter(s(c), x, y, exp(y, z))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_exp(x_1, x_2)) -> exp(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_tower(x_1, x_2)) -> tower(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_towerIter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> towerIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encArg(cons_help(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_exp(x_1, x_2) -> exp(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_tower(x_1, x_2) -> tower(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_towerIter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> towerIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_help(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))

Types:
plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
0' :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
exp :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
ge :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
tower :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
towerIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
help :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encArg :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_exp :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_ge :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_tower :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_towerIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_help :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_exp :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_ge :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_tower :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_towerIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_help :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
hole_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help1_6 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help


Lemmas:
plus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(n4_6), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(+(n4_6, b)), rt in Omega(1 + n4_6)
times(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(n1241_6), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(*(n1241_6, b)), rt in Omega(1 + b*n1241_6 + n1241_6)


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
exp, ge, towerIter, help, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
exp < help
exp < encArg
ge < towerIter
ge < encArg
towerIter = help
towerIter < encArg
help < encArg

----------------------------------------

(23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
exp(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(a), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(+(1, n2831_6))) -> *3_6, rt in Omega(n2831_6)

Induction Base:
exp(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(a), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(+(1, 0)))

Induction Step:
exp(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(a), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(+(1, +(n2831_6, 1)))) ->_R^Omega(1)
times(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(a), exp(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(a), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(+(1, n2831_6)))) ->_IH
times(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(a), *3_6)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(24)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
plus(0', x) -> x
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
times(0', y) -> 0'
times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
exp(x, 0') -> s(0')
exp(x, s(y)) -> times(x, exp(x, y))
ge(x, 0') -> true
ge(0', s(x)) -> false
ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
tower(x, y) -> towerIter(0', x, y, s(0'))
towerIter(c, x, y, z) -> help(ge(c, x), c, x, y, z)
help(true, c, x, y, z) -> z
help(false, c, x, y, z) -> towerIter(s(c), x, y, exp(y, z))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_exp(x_1, x_2)) -> exp(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_tower(x_1, x_2)) -> tower(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_towerIter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> towerIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encArg(cons_help(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_exp(x_1, x_2) -> exp(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_tower(x_1, x_2) -> tower(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_towerIter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> towerIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_help(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))

Types:
plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
0' :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
exp :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
ge :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
tower :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
towerIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
help :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encArg :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_exp :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_ge :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_tower :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_towerIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_help :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_exp :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_ge :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_tower :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_towerIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_help :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
hole_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help1_6 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help


Lemmas:
plus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(n4_6), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(+(n4_6, b)), rt in Omega(1 + n4_6)
times(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(n1241_6), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(*(n1241_6, b)), rt in Omega(1 + b*n1241_6 + n1241_6)
exp(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(a), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(+(1, n2831_6))) -> *3_6, rt in Omega(n2831_6)


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
ge, towerIter, help, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
ge < towerIter
ge < encArg
towerIter = help
towerIter < encArg
help < encArg

----------------------------------------

(25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
ge(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(n7599_6), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(n7599_6)) -> true, rt in Omega(1 + n7599_6)

Induction Base:
ge(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(0), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(0)) ->_R^Omega(1)
true

Induction Step:
ge(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(+(n7599_6, 1)), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(+(n7599_6, 1))) ->_R^Omega(1)
ge(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(n7599_6), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(n7599_6)) ->_IH
true

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(26)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
plus(0', x) -> x
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
times(0', y) -> 0'
times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
exp(x, 0') -> s(0')
exp(x, s(y)) -> times(x, exp(x, y))
ge(x, 0') -> true
ge(0', s(x)) -> false
ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y)
tower(x, y) -> towerIter(0', x, y, s(0'))
towerIter(c, x, y, z) -> help(ge(c, x), c, x, y, z)
help(true, c, x, y, z) -> z
help(false, c, x, y, z) -> towerIter(s(c), x, y, exp(y, z))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_exp(x_1, x_2)) -> exp(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_tower(x_1, x_2)) -> tower(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_towerIter(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> towerIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encArg(cons_help(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_exp(x_1, x_2) -> exp(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_tower(x_1, x_2) -> tower(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_towerIter(x_1, x_2, x_3, x_4) -> towerIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4))
encode_help(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) -> help(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4), encArg(x_5))

Types:
plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
0' :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
exp :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
ge :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
tower :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
towerIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
help :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encArg :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_exp :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_ge :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_tower :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_towerIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
cons_help :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_plus :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_s :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_times :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_exp :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_ge :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_true :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_false :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_tower :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_towerIter :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
encode_help :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
hole_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help1_6 :: 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help


Lemmas:
plus(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(n4_6), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(+(n4_6, b)), rt in Omega(1 + n4_6)
times(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(n1241_6), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(*(n1241_6, b)), rt in Omega(1 + b*n1241_6 + n1241_6)
exp(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(a), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(+(1, n2831_6))) -> *3_6, rt in Omega(n2831_6)
ge(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(n7599_6), gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(n7599_6)) -> true, rt in Omega(1 + n7599_6)


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
help, towerIter, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
towerIter = help
towerIter < encArg
help < encArg

----------------------------------------

(27) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(n8456_6)) -> gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(n8456_6), rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(0)) ->_R^Omega(0)
0'

Induction Step:
encArg(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(+(n8456_6, 1))) ->_R^Omega(0)
s(encArg(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(n8456_6))) ->_IH
s(gen_0':s:true:false:cons_plus:cons_times:cons_exp:cons_ge:cons_tower:cons_towerIter:cons_help2_6(c8457_6))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(28)
BOUNDS(1, INF)