/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 229 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 247 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 47 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 380 ms] (20) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: ge(x, 0) -> true ge(0, s(y)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) minus(x, 0) -> x minus(0, y) -> 0 minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) id_inc(x) -> x id_inc(x) -> s(x) div(x, y) -> if(ge(y, s(0)), ge(x, y), x, y) if(false, b, x, y) -> div_by_zero if(true, false, x, y) -> 0 if(true, true, x, y) -> id_inc(div(minus(x, y), y)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(div_by_zero) -> div_by_zero encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_id_inc(x_1)) -> id_inc(encArg(x_1)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_id_inc(x_1) -> id_inc(encArg(x_1)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_div_by_zero -> div_by_zero ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: ge(x, 0) -> true ge(0, s(y)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) minus(x, 0) -> x minus(0, y) -> 0 minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) id_inc(x) -> x id_inc(x) -> s(x) div(x, y) -> if(ge(y, s(0)), ge(x, y), x, y) if(false, b, x, y) -> div_by_zero if(true, false, x, y) -> 0 if(true, true, x, y) -> id_inc(div(minus(x, y), y)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(div_by_zero) -> div_by_zero encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_id_inc(x_1)) -> id_inc(encArg(x_1)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_id_inc(x_1) -> id_inc(encArg(x_1)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_div_by_zero -> div_by_zero Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: ge(x, 0) -> true ge(0, s(y)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) minus(x, 0) -> x minus(0, y) -> 0 minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) id_inc(x) -> x id_inc(x) -> s(x) div(x, y) -> if(ge(y, s(0)), ge(x, y), x, y) if(false, b, x, y) -> div_by_zero if(true, false, x, y) -> 0 if(true, true, x, y) -> id_inc(div(minus(x, y), y)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(div_by_zero) -> div_by_zero encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_id_inc(x_1)) -> id_inc(encArg(x_1)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_id_inc(x_1) -> id_inc(encArg(x_1)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_div_by_zero -> div_by_zero Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: ge(x, 0') -> true ge(0', s(y)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) minus(x, 0') -> x minus(0', y) -> 0' minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) id_inc(x) -> x id_inc(x) -> s(x) div(x, y) -> if(ge(y, s(0')), ge(x, y), x, y) if(false, b, x, y) -> div_by_zero if(true, false, x, y) -> 0' if(true, true, x, y) -> id_inc(div(minus(x, y), y)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(div_by_zero) -> div_by_zero encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_id_inc(x_1)) -> id_inc(encArg(x_1)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_id_inc(x_1) -> id_inc(encArg(x_1)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_div_by_zero -> div_by_zero Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: ge(x, 0') -> true ge(0', s(y)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) minus(x, 0') -> x minus(0', y) -> 0' minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) id_inc(x) -> x id_inc(x) -> s(x) div(x, y) -> if(ge(y, s(0')), ge(x, y), x, y) if(false, b, x, y) -> div_by_zero if(true, false, x, y) -> 0' if(true, true, x, y) -> id_inc(div(minus(x, y), y)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(div_by_zero) -> div_by_zero encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_id_inc(x_1)) -> id_inc(encArg(x_1)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_id_inc(x_1) -> id_inc(encArg(x_1)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_div_by_zero -> div_by_zero Types: ge :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if 0' :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if true :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if s :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if false :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if minus :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if id_inc :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if div :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if if :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if div_by_zero :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encArg :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if cons_ge :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if cons_minus :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if cons_id_inc :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if cons_div :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if cons_if :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_ge :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_0 :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_true :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_s :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_false :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_minus :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_id_inc :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_div :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_if :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_div_by_zero :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if hole_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if1_5 :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5 :: Nat -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: ge, minus, div, if, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: ge < div ge < encArg minus < if minus < encArg div = if div < encArg if < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: ge(x, 0') -> true ge(0', s(y)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) minus(x, 0') -> x minus(0', y) -> 0' minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) id_inc(x) -> x id_inc(x) -> s(x) div(x, y) -> if(ge(y, s(0')), ge(x, y), x, y) if(false, b, x, y) -> div_by_zero if(true, false, x, y) -> 0' if(true, true, x, y) -> id_inc(div(minus(x, y), y)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(div_by_zero) -> div_by_zero encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_id_inc(x_1)) -> id_inc(encArg(x_1)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_id_inc(x_1) -> id_inc(encArg(x_1)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_div_by_zero -> div_by_zero Types: ge :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if 0' :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if true :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if s :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if false :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if minus :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if id_inc :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if div :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if if :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if div_by_zero :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encArg :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if cons_ge :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if cons_minus :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if cons_id_inc :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if cons_div :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if cons_if :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_ge :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_0 :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_true :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_s :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_false :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_minus :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_id_inc :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_div :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_if :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_div_by_zero :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if hole_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if1_5 :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5 :: Nat -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if Generator Equations: gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(0) <=> 0' gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: ge, minus, div, if, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: ge < div ge < encArg minus < if minus < encArg div = if div < encArg if < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: ge(gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(n4_5), gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(n4_5)) -> true, rt in Omega(1 + n4_5) Induction Base: ge(gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(0), gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(0)) ->_R^Omega(1) true Induction Step: ge(gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(+(n4_5, 1)), gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(+(n4_5, 1))) ->_R^Omega(1) ge(gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(n4_5), gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(n4_5)) ->_IH true We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: ge(x, 0') -> true ge(0', s(y)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) minus(x, 0') -> x minus(0', y) -> 0' minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) id_inc(x) -> x id_inc(x) -> s(x) div(x, y) -> if(ge(y, s(0')), ge(x, y), x, y) if(false, b, x, y) -> div_by_zero if(true, false, x, y) -> 0' if(true, true, x, y) -> id_inc(div(minus(x, y), y)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(div_by_zero) -> div_by_zero encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_id_inc(x_1)) -> id_inc(encArg(x_1)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_id_inc(x_1) -> id_inc(encArg(x_1)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_div_by_zero -> div_by_zero Types: ge :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if 0' :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if true :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if s :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if false :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if minus :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if id_inc :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if div :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if if :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if div_by_zero :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encArg :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if cons_ge :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if cons_minus :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if cons_id_inc :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if cons_div :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if cons_if :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_ge :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_0 :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_true :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_s :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_false :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_minus :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_id_inc :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_div :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_if :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_div_by_zero :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if hole_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if1_5 :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5 :: Nat -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if Generator Equations: gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(0) <=> 0' gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: ge, minus, div, if, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: ge < div ge < encArg minus < if minus < encArg div = if div < encArg if < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: ge(x, 0') -> true ge(0', s(y)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) minus(x, 0') -> x minus(0', y) -> 0' minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) id_inc(x) -> x id_inc(x) -> s(x) div(x, y) -> if(ge(y, s(0')), ge(x, y), x, y) if(false, b, x, y) -> div_by_zero if(true, false, x, y) -> 0' if(true, true, x, y) -> id_inc(div(minus(x, y), y)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(div_by_zero) -> div_by_zero encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_id_inc(x_1)) -> id_inc(encArg(x_1)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_id_inc(x_1) -> id_inc(encArg(x_1)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_div_by_zero -> div_by_zero Types: ge :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if 0' :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if true :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if s :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if false :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if minus :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if id_inc :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if div :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if if :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if div_by_zero :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encArg :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if cons_ge :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if cons_minus :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if cons_id_inc :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if cons_div :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if cons_if :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_ge :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_0 :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_true :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_s :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_false :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_minus :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_id_inc :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_div :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_if :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_div_by_zero :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if hole_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if1_5 :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5 :: Nat -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if Lemmas: ge(gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(n4_5), gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(n4_5)) -> true, rt in Omega(1 + n4_5) Generator Equations: gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(0) <=> 0' gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: minus, div, if, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: minus < if minus < encArg div = if div < encArg if < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: minus(gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(n574_5), gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(n574_5)) -> gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(0), rt in Omega(1 + n574_5) Induction Base: minus(gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(0), gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(0)) ->_R^Omega(1) gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(0) Induction Step: minus(gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(+(n574_5, 1)), gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(+(n574_5, 1))) ->_R^Omega(1) minus(gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(n574_5), gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(n574_5)) ->_IH gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: ge(x, 0') -> true ge(0', s(y)) -> false ge(s(x), s(y)) -> ge(x, y) minus(x, 0') -> x minus(0', y) -> 0' minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) id_inc(x) -> x id_inc(x) -> s(x) div(x, y) -> if(ge(y, s(0')), ge(x, y), x, y) if(false, b, x, y) -> div_by_zero if(true, false, x, y) -> 0' if(true, true, x, y) -> id_inc(div(minus(x, y), y)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(div_by_zero) -> div_by_zero encArg(cons_ge(x_1, x_2)) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_id_inc(x_1)) -> id_inc(encArg(x_1)) encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_ge(x_1, x_2) -> ge(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_id_inc(x_1) -> id_inc(encArg(x_1)) encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_div_by_zero -> div_by_zero Types: ge :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if 0' :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if true :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if s :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if false :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if minus :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if id_inc :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if div :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if if :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if div_by_zero :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encArg :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if cons_ge :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if cons_minus :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if cons_id_inc :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if cons_div :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if cons_if :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_ge :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_0 :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_true :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_s :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_false :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_minus :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_id_inc :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_div :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_if :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if encode_div_by_zero :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if hole_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if1_5 :: 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5 :: Nat -> 0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if Lemmas: ge(gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(n4_5), gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(n4_5)) -> true, rt in Omega(1 + n4_5) minus(gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(n574_5), gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(n574_5)) -> gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(0), rt in Omega(1 + n574_5) Generator Equations: gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(0) <=> 0' gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: if, div, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: div = if div < encArg if < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(n1472_5)) -> gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(n1472_5), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(+(n1472_5, 1))) ->_R^Omega(0) s(encArg(gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(n1472_5))) ->_IH s(gen_0':true:s:false:div_by_zero:cons_ge:cons_minus:cons_id_inc:cons_div:cons_if2_5(c1473_5)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (20) BOUNDS(1, INF)