/export/starexec/sandbox/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 345 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 279 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 69 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 78 ms] (20) typed CpxTrs (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 3315 ms] (22) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: le(0, y) -> true le(s(x), 0) -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) inc(0) -> 0 inc(s(x)) -> s(inc(x)) minus(0, y) -> 0 minus(x, 0) -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) quot(0, s(y)) -> 0 quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y))) log(x) -> log2(x, 0) log2(x, y) -> if(le(x, 0), le(x, s(0)), x, inc(y)) if(true, b, x, y) -> log_undefined if(false, b, x, y) -> if2(b, x, y) if2(true, x, s(y)) -> y if2(false, x, y) -> log2(quot(x, s(s(0))), y) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(log_undefined) -> log_undefined encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inc(x_1)) -> inc(encArg(x_1)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) encArg(cons_log2(x_1, x_2)) -> log2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_inc(x_1) -> inc(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) encode_log2(x_1, x_2) -> log2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_log_undefined -> log_undefined encode_if2(x_1, x_2, x_3) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: le(0, y) -> true le(s(x), 0) -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) inc(0) -> 0 inc(s(x)) -> s(inc(x)) minus(0, y) -> 0 minus(x, 0) -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) quot(0, s(y)) -> 0 quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y))) log(x) -> log2(x, 0) log2(x, y) -> if(le(x, 0), le(x, s(0)), x, inc(y)) if(true, b, x, y) -> log_undefined if(false, b, x, y) -> if2(b, x, y) if2(true, x, s(y)) -> y if2(false, x, y) -> log2(quot(x, s(s(0))), y) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(log_undefined) -> log_undefined encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inc(x_1)) -> inc(encArg(x_1)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) encArg(cons_log2(x_1, x_2)) -> log2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_inc(x_1) -> inc(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) encode_log2(x_1, x_2) -> log2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_log_undefined -> log_undefined encode_if2(x_1, x_2, x_3) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: le(0, y) -> true le(s(x), 0) -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) inc(0) -> 0 inc(s(x)) -> s(inc(x)) minus(0, y) -> 0 minus(x, 0) -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) quot(0, s(y)) -> 0 quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y))) log(x) -> log2(x, 0) log2(x, y) -> if(le(x, 0), le(x, s(0)), x, inc(y)) if(true, b, x, y) -> log_undefined if(false, b, x, y) -> if2(b, x, y) if2(true, x, s(y)) -> y if2(false, x, y) -> log2(quot(x, s(s(0))), y) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(log_undefined) -> log_undefined encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inc(x_1)) -> inc(encArg(x_1)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) encArg(cons_log2(x_1, x_2)) -> log2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_inc(x_1) -> inc(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) encode_log2(x_1, x_2) -> log2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_log_undefined -> log_undefined encode_if2(x_1, x_2, x_3) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: le(0', y) -> true le(s(x), 0') -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) inc(0') -> 0' inc(s(x)) -> s(inc(x)) minus(0', y) -> 0' minus(x, 0') -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) quot(0', s(y)) -> 0' quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y))) log(x) -> log2(x, 0') log2(x, y) -> if(le(x, 0'), le(x, s(0')), x, inc(y)) if(true, b, x, y) -> log_undefined if(false, b, x, y) -> if2(b, x, y) if2(true, x, s(y)) -> y if2(false, x, y) -> log2(quot(x, s(s(0'))), y) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(log_undefined) -> log_undefined encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inc(x_1)) -> inc(encArg(x_1)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) encArg(cons_log2(x_1, x_2)) -> log2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_inc(x_1) -> inc(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) encode_log2(x_1, x_2) -> log2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_log_undefined -> log_undefined encode_if2(x_1, x_2, x_3) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: le(0', y) -> true le(s(x), 0') -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) inc(0') -> 0' inc(s(x)) -> s(inc(x)) minus(0', y) -> 0' minus(x, 0') -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) quot(0', s(y)) -> 0' quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y))) log(x) -> log2(x, 0') log2(x, y) -> if(le(x, 0'), le(x, s(0')), x, inc(y)) if(true, b, x, y) -> log_undefined if(false, b, x, y) -> if2(b, x, y) if2(true, x, s(y)) -> y if2(false, x, y) -> log2(quot(x, s(s(0'))), y) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(log_undefined) -> log_undefined encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inc(x_1)) -> inc(encArg(x_1)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) encArg(cons_log2(x_1, x_2)) -> log2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_inc(x_1) -> inc(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) encode_log2(x_1, x_2) -> log2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_log_undefined -> log_undefined encode_if2(x_1, x_2, x_3) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: le :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 0' :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 true :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 s :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 false :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 inc :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 minus :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 quot :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 log :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 log2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 if :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 log_undefined :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 if2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encArg :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_le :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_inc :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_minus :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_quot :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_log :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_log2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_if :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_if2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_le :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_0 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_true :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_s :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_false :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_inc :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_minus :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_quot :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_log :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_log2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_if :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_log_undefined :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_if2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 hole_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if21_5 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5 :: Nat -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: le, inc, minus, quot, log2, if, if2, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: le < log2 le < encArg inc < log2 inc < encArg minus < quot minus < encArg quot < if2 quot < encArg log2 = if log2 = if2 log2 < encArg if = if2 if < encArg if2 < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: le(0', y) -> true le(s(x), 0') -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) inc(0') -> 0' inc(s(x)) -> s(inc(x)) minus(0', y) -> 0' minus(x, 0') -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) quot(0', s(y)) -> 0' quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y))) log(x) -> log2(x, 0') log2(x, y) -> if(le(x, 0'), le(x, s(0')), x, inc(y)) if(true, b, x, y) -> log_undefined if(false, b, x, y) -> if2(b, x, y) if2(true, x, s(y)) -> y if2(false, x, y) -> log2(quot(x, s(s(0'))), y) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(log_undefined) -> log_undefined encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inc(x_1)) -> inc(encArg(x_1)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) encArg(cons_log2(x_1, x_2)) -> log2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_inc(x_1) -> inc(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) encode_log2(x_1, x_2) -> log2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_log_undefined -> log_undefined encode_if2(x_1, x_2, x_3) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: le :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 0' :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 true :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 s :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 false :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 inc :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 minus :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 quot :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 log :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 log2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 if :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 log_undefined :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 if2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encArg :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_le :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_inc :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_minus :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_quot :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_log :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_log2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_if :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_if2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_le :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_0 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_true :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_s :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_false :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_inc :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_minus :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_quot :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_log :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_log2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_if :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_log_undefined :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_if2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 hole_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if21_5 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5 :: Nat -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 Generator Equations: gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(0) <=> 0' gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: le, inc, minus, quot, log2, if, if2, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: le < log2 le < encArg inc < log2 inc < encArg minus < quot minus < encArg quot < if2 quot < encArg log2 = if log2 = if2 log2 < encArg if = if2 if < encArg if2 < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: le(gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(n4_5), gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(n4_5)) -> true, rt in Omega(1 + n4_5) Induction Base: le(gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(0), gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(0)) ->_R^Omega(1) true Induction Step: le(gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(+(n4_5, 1)), gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(+(n4_5, 1))) ->_R^Omega(1) le(gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(n4_5), gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(n4_5)) ->_IH true We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: le(0', y) -> true le(s(x), 0') -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) inc(0') -> 0' inc(s(x)) -> s(inc(x)) minus(0', y) -> 0' minus(x, 0') -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) quot(0', s(y)) -> 0' quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y))) log(x) -> log2(x, 0') log2(x, y) -> if(le(x, 0'), le(x, s(0')), x, inc(y)) if(true, b, x, y) -> log_undefined if(false, b, x, y) -> if2(b, x, y) if2(true, x, s(y)) -> y if2(false, x, y) -> log2(quot(x, s(s(0'))), y) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(log_undefined) -> log_undefined encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inc(x_1)) -> inc(encArg(x_1)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) encArg(cons_log2(x_1, x_2)) -> log2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_inc(x_1) -> inc(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) encode_log2(x_1, x_2) -> log2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_log_undefined -> log_undefined encode_if2(x_1, x_2, x_3) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: le :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 0' :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 true :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 s :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 false :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 inc :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 minus :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 quot :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 log :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 log2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 if :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 log_undefined :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 if2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encArg :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_le :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_inc :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_minus :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_quot :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_log :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_log2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_if :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_if2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_le :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_0 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_true :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_s :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_false :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_inc :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_minus :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_quot :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_log :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_log2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_if :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_log_undefined :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_if2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 hole_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if21_5 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5 :: Nat -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 Generator Equations: gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(0) <=> 0' gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: le, inc, minus, quot, log2, if, if2, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: le < log2 le < encArg inc < log2 inc < encArg minus < quot minus < encArg quot < if2 quot < encArg log2 = if log2 = if2 log2 < encArg if = if2 if < encArg if2 < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: le(0', y) -> true le(s(x), 0') -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) inc(0') -> 0' inc(s(x)) -> s(inc(x)) minus(0', y) -> 0' minus(x, 0') -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) quot(0', s(y)) -> 0' quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y))) log(x) -> log2(x, 0') log2(x, y) -> if(le(x, 0'), le(x, s(0')), x, inc(y)) if(true, b, x, y) -> log_undefined if(false, b, x, y) -> if2(b, x, y) if2(true, x, s(y)) -> y if2(false, x, y) -> log2(quot(x, s(s(0'))), y) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(log_undefined) -> log_undefined encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inc(x_1)) -> inc(encArg(x_1)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) encArg(cons_log2(x_1, x_2)) -> log2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_inc(x_1) -> inc(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) encode_log2(x_1, x_2) -> log2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_log_undefined -> log_undefined encode_if2(x_1, x_2, x_3) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: le :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 0' :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 true :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 s :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 false :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 inc :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 minus :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 quot :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 log :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 log2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 if :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 log_undefined :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 if2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encArg :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_le :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_inc :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_minus :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_quot :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_log :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_log2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_if :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_if2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_le :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_0 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_true :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_s :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_false :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_inc :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_minus :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_quot :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_log :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_log2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_if :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_log_undefined :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_if2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 hole_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if21_5 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5 :: Nat -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 Lemmas: le(gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(n4_5), gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(n4_5)) -> true, rt in Omega(1 + n4_5) Generator Equations: gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(0) <=> 0' gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: inc, minus, quot, log2, if, if2, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: inc < log2 inc < encArg minus < quot minus < encArg quot < if2 quot < encArg log2 = if log2 = if2 log2 < encArg if = if2 if < encArg if2 < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: inc(gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(n695_5)) -> gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(n695_5), rt in Omega(1 + n695_5) Induction Base: inc(gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(0)) ->_R^Omega(1) 0' Induction Step: inc(gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(+(n695_5, 1))) ->_R^Omega(1) s(inc(gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(n695_5))) ->_IH s(gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(c696_5)) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: le(0', y) -> true le(s(x), 0') -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) inc(0') -> 0' inc(s(x)) -> s(inc(x)) minus(0', y) -> 0' minus(x, 0') -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) quot(0', s(y)) -> 0' quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y))) log(x) -> log2(x, 0') log2(x, y) -> if(le(x, 0'), le(x, s(0')), x, inc(y)) if(true, b, x, y) -> log_undefined if(false, b, x, y) -> if2(b, x, y) if2(true, x, s(y)) -> y if2(false, x, y) -> log2(quot(x, s(s(0'))), y) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(log_undefined) -> log_undefined encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inc(x_1)) -> inc(encArg(x_1)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) encArg(cons_log2(x_1, x_2)) -> log2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_inc(x_1) -> inc(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) encode_log2(x_1, x_2) -> log2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_log_undefined -> log_undefined encode_if2(x_1, x_2, x_3) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: le :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 0' :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 true :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 s :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 false :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 inc :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 minus :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 quot :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 log :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 log2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 if :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 log_undefined :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 if2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encArg :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_le :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_inc :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_minus :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_quot :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_log :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_log2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_if :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_if2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_le :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_0 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_true :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_s :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_false :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_inc :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_minus :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_quot :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_log :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_log2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_if :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_log_undefined :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_if2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 hole_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if21_5 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5 :: Nat -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 Lemmas: le(gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(n4_5), gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(n4_5)) -> true, rt in Omega(1 + n4_5) inc(gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(n695_5)) -> gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(n695_5), rt in Omega(1 + n695_5) Generator Equations: gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(0) <=> 0' gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: minus, quot, log2, if, if2, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: minus < quot minus < encArg quot < if2 quot < encArg log2 = if log2 = if2 log2 < encArg if = if2 if < encArg if2 < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: minus(gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(n1181_5), gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(n1181_5)) -> gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(0), rt in Omega(1 + n1181_5) Induction Base: minus(gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(0), gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(0)) ->_R^Omega(1) 0' Induction Step: minus(gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(+(n1181_5, 1)), gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(+(n1181_5, 1))) ->_R^Omega(1) minus(gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(n1181_5), gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(n1181_5)) ->_IH gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(0) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (20) Obligation: Innermost TRS: Rules: le(0', y) -> true le(s(x), 0') -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) inc(0') -> 0' inc(s(x)) -> s(inc(x)) minus(0', y) -> 0' minus(x, 0') -> x minus(s(x), s(y)) -> minus(x, y) quot(0', s(y)) -> 0' quot(s(x), s(y)) -> s(quot(minus(x, y), s(y))) log(x) -> log2(x, 0') log2(x, y) -> if(le(x, 0'), le(x, s(0')), x, inc(y)) if(true, b, x, y) -> log_undefined if(false, b, x, y) -> if2(b, x, y) if2(true, x, s(y)) -> y if2(false, x, y) -> log2(quot(x, s(s(0'))), y) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(log_undefined) -> log_undefined encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_inc(x_1)) -> inc(encArg(x_1)) encArg(cons_minus(x_1, x_2)) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_quot(x_1, x_2)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_log(x_1)) -> log(encArg(x_1)) encArg(cons_log2(x_1, x_2)) -> log2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_if2(x_1, x_2, x_3)) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_inc(x_1) -> inc(encArg(x_1)) encode_minus(x_1, x_2) -> minus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_quot(x_1, x_2) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_log(x_1) -> log(encArg(x_1)) encode_log2(x_1, x_2) -> log2(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_log_undefined -> log_undefined encode_if2(x_1, x_2, x_3) -> if2(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: le :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 0' :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 true :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 s :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 false :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 inc :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 minus :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 quot :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 log :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 log2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 if :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 log_undefined :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 if2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encArg :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_le :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_inc :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_minus :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_quot :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_log :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_log2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_if :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 cons_if2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_le :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_0 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_true :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_s :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_false :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_inc :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_minus :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_quot :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_log :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_log2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_if :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_log_undefined :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 encode_if2 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 hole_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if21_5 :: 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5 :: Nat -> 0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if2 Lemmas: le(gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(n4_5), gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(n4_5)) -> true, rt in Omega(1 + n4_5) inc(gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(n695_5)) -> gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(n695_5), rt in Omega(1 + n695_5) minus(gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(n1181_5), gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(n1181_5)) -> gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(0), rt in Omega(1 + n1181_5) Generator Equations: gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(0) <=> 0' gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(x)) The following defined symbols remain to be analysed: quot, log2, if, if2, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: quot < if2 quot < encArg log2 = if log2 = if2 log2 < encArg if = if2 if < encArg if2 < encArg ---------------------------------------- (21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(n2240_5)) -> gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(n2240_5), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(+(n2240_5, 1))) ->_R^Omega(0) s(encArg(gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(n2240_5))) ->_IH s(gen_0':true:s:false:log_undefined:cons_le:cons_inc:cons_minus:cons_quot:cons_log:cons_log2:cons_if:cons_if22_5(c2241_5)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (22) BOUNDS(1, INF)