/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files


--------------------------------------------------------------------------------


WORST_CASE(Omega(n^3), ?)
proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml
# AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty


The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^3, INF).

(0) DCpxTrs
(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 628 ms]
(4) CpxRelTRS
(5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(6) CpxRelTRS
(7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms]
(8) typed CpxTrs
(9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(10) typed CpxTrs
(11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 277 ms]
(12) BEST
    (13) proven lower bound
        (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (15) BOUNDS(n^1, INF)
    (16) typed CpxTrs
        (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 93 ms]
        (18) BEST
            (19) proven lower bound
                (20) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
                (21) BOUNDS(n^3, INF)
            (22) typed CpxTrs
                (23) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 110 ms]
                (24) typed CpxTrs
                (25) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 132 ms]
                (26) typed CpxTrs
                (27) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 11.0 s]
                (28) BOUNDS(1, INF)


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^3, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   p(0) -> 0
   p(s(x)) -> x
   plus(x, 0) -> x
   plus(0, y) -> y
   plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
   plus(s(x), y) -> s(plus(p(s(x)), y))
   plus(x, s(y)) -> s(plus(x, p(s(y))))
   times(0, y) -> 0
   times(s(0), y) -> y
   times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
   div(0, y) -> 0
   div(x, y) -> quot(x, y, y)
   quot(zero(y), s(y), z) -> 0
   quot(s(x), s(y), z) -> quot(x, y, z)
   quot(x, 0, s(z)) -> s(div(x, s(z)))
   div(div(x, y), z) -> div(x, times(zero(y), z))
   eq(0, 0) -> true
   eq(s(x), 0) -> false
   eq(0, s(y)) -> false
   eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
   divides(y, x) -> eq(x, times(div(x, y), y))
   prime(s(s(x))) -> pr(s(s(x)), s(x))
   pr(x, s(0)) -> true
   pr(x, s(s(y))) -> if(divides(s(s(y)), x), x, s(y))
   if(true, x, y) -> false
   if(false, x, y) -> pr(x, y)
   zero(div(x, x)) -> x
   zero(divides(x, x)) -> x
   zero(times(x, x)) -> x
   zero(quot(x, x, x)) -> x
   zero(s(x)) -> if(eq(x, s(0)), plus(zero(0), 0), s(plus(0, zero(0))))

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_quot(x_1, x_2, x_3)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_prime(x_1)) -> prime(encArg(x_1))
   encArg(cons_pr(x_1, x_2)) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_zero(x_1)) -> zero(encArg(x_1))
   encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_quot(x_1, x_2, x_3) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_zero(x_1) -> zero(encArg(x_1))
   encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_prime(x_1) -> prime(encArg(x_1))
   encode_pr(x_1, x_2) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))


----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^3, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   p(0) -> 0
   p(s(x)) -> x
   plus(x, 0) -> x
   plus(0, y) -> y
   plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
   plus(s(x), y) -> s(plus(p(s(x)), y))
   plus(x, s(y)) -> s(plus(x, p(s(y))))
   times(0, y) -> 0
   times(s(0), y) -> y
   times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
   div(0, y) -> 0
   div(x, y) -> quot(x, y, y)
   quot(zero(y), s(y), z) -> 0
   quot(s(x), s(y), z) -> quot(x, y, z)
   quot(x, 0, s(z)) -> s(div(x, s(z)))
   div(div(x, y), z) -> div(x, times(zero(y), z))
   eq(0, 0) -> true
   eq(s(x), 0) -> false
   eq(0, s(y)) -> false
   eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
   divides(y, x) -> eq(x, times(div(x, y), y))
   prime(s(s(x))) -> pr(s(s(x)), s(x))
   pr(x, s(0)) -> true
   pr(x, s(s(y))) -> if(divides(s(s(y)), x), x, s(y))
   if(true, x, y) -> false
   if(false, x, y) -> pr(x, y)
   zero(div(x, x)) -> x
   zero(divides(x, x)) -> x
   zero(times(x, x)) -> x
   zero(quot(x, x, x)) -> x
   zero(s(x)) -> if(eq(x, s(0)), plus(zero(0), 0), s(plus(0, zero(0))))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_quot(x_1, x_2, x_3)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_prime(x_1)) -> prime(encArg(x_1))
   encArg(cons_pr(x_1, x_2)) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_zero(x_1)) -> zero(encArg(x_1))
   encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_quot(x_1, x_2, x_3) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_zero(x_1) -> zero(encArg(x_1))
   encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_prime(x_1) -> prime(encArg(x_1))
   encode_pr(x_1, x_2) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(4)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^3, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   p(0) -> 0
   p(s(x)) -> x
   plus(x, 0) -> x
   plus(0, y) -> y
   plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
   plus(s(x), y) -> s(plus(p(s(x)), y))
   plus(x, s(y)) -> s(plus(x, p(s(y))))
   times(0, y) -> 0
   times(s(0), y) -> y
   times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
   div(0, y) -> 0
   div(x, y) -> quot(x, y, y)
   quot(zero(y), s(y), z) -> 0
   quot(s(x), s(y), z) -> quot(x, y, z)
   quot(x, 0, s(z)) -> s(div(x, s(z)))
   div(div(x, y), z) -> div(x, times(zero(y), z))
   eq(0, 0) -> true
   eq(s(x), 0) -> false
   eq(0, s(y)) -> false
   eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
   divides(y, x) -> eq(x, times(div(x, y), y))
   prime(s(s(x))) -> pr(s(s(x)), s(x))
   pr(x, s(0)) -> true
   pr(x, s(s(y))) -> if(divides(s(s(y)), x), x, s(y))
   if(true, x, y) -> false
   if(false, x, y) -> pr(x, y)
   zero(div(x, x)) -> x
   zero(divides(x, x)) -> x
   zero(times(x, x)) -> x
   zero(quot(x, x, x)) -> x
   zero(s(x)) -> if(eq(x, s(0)), plus(zero(0), 0), s(plus(0, zero(0))))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0) -> 0
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_quot(x_1, x_2, x_3)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_prime(x_1)) -> prime(encArg(x_1))
   encArg(cons_pr(x_1, x_2)) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_zero(x_1)) -> zero(encArg(x_1))
   encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_quot(x_1, x_2, x_3) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_zero(x_1) -> zero(encArg(x_1))
   encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_prime(x_1) -> prime(encArg(x_1))
   encode_pr(x_1, x_2) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
----------------------------------------

(6)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^3, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   p(0') -> 0'
   p(s(x)) -> x
   plus(x, 0') -> x
   plus(0', y) -> y
   plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
   plus(s(x), y) -> s(plus(p(s(x)), y))
   plus(x, s(y)) -> s(plus(x, p(s(y))))
   times(0', y) -> 0'
   times(s(0'), y) -> y
   times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
   div(0', y) -> 0'
   div(x, y) -> quot(x, y, y)
   quot(zero(y), s(y), z) -> 0'
   quot(s(x), s(y), z) -> quot(x, y, z)
   quot(x, 0', s(z)) -> s(div(x, s(z)))
   div(div(x, y), z) -> div(x, times(zero(y), z))
   eq(0', 0') -> true
   eq(s(x), 0') -> false
   eq(0', s(y)) -> false
   eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
   divides(y, x) -> eq(x, times(div(x, y), y))
   prime(s(s(x))) -> pr(s(s(x)), s(x))
   pr(x, s(0')) -> true
   pr(x, s(s(y))) -> if(divides(s(s(y)), x), x, s(y))
   if(true, x, y) -> false
   if(false, x, y) -> pr(x, y)
   zero(div(x, x)) -> x
   zero(divides(x, x)) -> x
   zero(times(x, x)) -> x
   zero(quot(x, x, x)) -> x
   zero(s(x)) -> if(eq(x, s(0')), plus(zero(0'), 0'), s(plus(0', zero(0'))))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   encArg(0') -> 0'
   encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
   encArg(true) -> true
   encArg(false) -> false
   encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
   encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_quot(x_1, x_2, x_3)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_prime(x_1)) -> prime(encArg(x_1))
   encArg(cons_pr(x_1, x_2)) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encArg(cons_zero(x_1)) -> zero(encArg(x_1))
   encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
   encode_0 -> 0'
   encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
   encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_quot(x_1, x_2, x_3) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
   encode_zero(x_1) -> zero(encArg(x_1))
   encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_true -> true
   encode_false -> false
   encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_prime(x_1) -> prime(encArg(x_1))
   encode_pr(x_1, x_2) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2))
   encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID))
Infered types.
----------------------------------------

(8)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
p(0') -> 0'
p(s(x)) -> x
plus(x, 0') -> x
plus(0', y) -> y
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
plus(s(x), y) -> s(plus(p(s(x)), y))
plus(x, s(y)) -> s(plus(x, p(s(y))))
times(0', y) -> 0'
times(s(0'), y) -> y
times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
div(0', y) -> 0'
div(x, y) -> quot(x, y, y)
quot(zero(y), s(y), z) -> 0'
quot(s(x), s(y), z) -> quot(x, y, z)
quot(x, 0', s(z)) -> s(div(x, s(z)))
div(div(x, y), z) -> div(x, times(zero(y), z))
eq(0', 0') -> true
eq(s(x), 0') -> false
eq(0', s(y)) -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
divides(y, x) -> eq(x, times(div(x, y), y))
prime(s(s(x))) -> pr(s(s(x)), s(x))
pr(x, s(0')) -> true
pr(x, s(s(y))) -> if(divides(s(s(y)), x), x, s(y))
if(true, x, y) -> false
if(false, x, y) -> pr(x, y)
zero(div(x, x)) -> x
zero(divides(x, x)) -> x
zero(times(x, x)) -> x
zero(quot(x, x, x)) -> x
zero(s(x)) -> if(eq(x, s(0')), plus(zero(0'), 0'), s(plus(0', zero(0'))))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_quot(x_1, x_2, x_3)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_prime(x_1)) -> prime(encArg(x_1))
encArg(cons_pr(x_1, x_2)) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_zero(x_1)) -> zero(encArg(x_1))
encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_quot(x_1, x_2, x_3) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_zero(x_1) -> zero(encArg(x_1))
encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_prime(x_1) -> prime(encArg(x_1))
encode_pr(x_1, x_2) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Types:
p :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
0' :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
s :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
plus :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
times :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
div :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
quot :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
zero :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
eq :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
true :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
false :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
divides :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
prime :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
pr :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
if :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encArg :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_p :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_plus :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_times :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_div :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_quot :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_eq :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_divides :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_prime :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_pr :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_if :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_zero :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_p :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_s :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_plus :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_times :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_div :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_quot :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_zero :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_eq :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_true :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_false :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_divides :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_prime :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_pr :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_if :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
hole_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero1_4 :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero

----------------------------------------

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID))
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
plus, times, div, quot, zero, eq, divides, pr, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
plus < times
plus < zero
plus < encArg
times < div
times < divides
times < encArg
div = quot
div = zero
div = divides
div = pr
div = if
div < encArg
quot = zero
quot = divides
quot = pr
quot = if
quot < encArg
eq < zero
zero = divides
zero = pr
zero = if
zero < encArg
eq < divides
eq < encArg
divides = pr
divides = if
divides < encArg
pr = if
pr < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(10)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
p(0') -> 0'
p(s(x)) -> x
plus(x, 0') -> x
plus(0', y) -> y
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
plus(s(x), y) -> s(plus(p(s(x)), y))
plus(x, s(y)) -> s(plus(x, p(s(y))))
times(0', y) -> 0'
times(s(0'), y) -> y
times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
div(0', y) -> 0'
div(x, y) -> quot(x, y, y)
quot(zero(y), s(y), z) -> 0'
quot(s(x), s(y), z) -> quot(x, y, z)
quot(x, 0', s(z)) -> s(div(x, s(z)))
div(div(x, y), z) -> div(x, times(zero(y), z))
eq(0', 0') -> true
eq(s(x), 0') -> false
eq(0', s(y)) -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
divides(y, x) -> eq(x, times(div(x, y), y))
prime(s(s(x))) -> pr(s(s(x)), s(x))
pr(x, s(0')) -> true
pr(x, s(s(y))) -> if(divides(s(s(y)), x), x, s(y))
if(true, x, y) -> false
if(false, x, y) -> pr(x, y)
zero(div(x, x)) -> x
zero(divides(x, x)) -> x
zero(times(x, x)) -> x
zero(quot(x, x, x)) -> x
zero(s(x)) -> if(eq(x, s(0')), plus(zero(0'), 0'), s(plus(0', zero(0'))))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_quot(x_1, x_2, x_3)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_prime(x_1)) -> prime(encArg(x_1))
encArg(cons_pr(x_1, x_2)) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_zero(x_1)) -> zero(encArg(x_1))
encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_quot(x_1, x_2, x_3) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_zero(x_1) -> zero(encArg(x_1))
encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_prime(x_1) -> prime(encArg(x_1))
encode_pr(x_1, x_2) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Types:
p :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
0' :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
s :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
plus :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
times :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
div :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
quot :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
zero :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
eq :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
true :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
false :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
divides :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
prime :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
pr :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
if :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encArg :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_p :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_plus :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_times :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_div :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_quot :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_eq :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_divides :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_prime :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_pr :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_if :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_zero :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_p :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_s :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_plus :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_times :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_div :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_quot :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_zero :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_eq :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_true :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_false :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_divides :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_prime :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_pr :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_if :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
hole_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero1_4 :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
plus, times, div, quot, zero, eq, divides, pr, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
plus < times
plus < zero
plus < encArg
times < div
times < divides
times < encArg
div = quot
div = zero
div = divides
div = pr
div = if
div < encArg
quot = zero
quot = divides
quot = pr
quot = if
quot < encArg
eq < zero
zero = divides
zero = pr
zero = if
zero < encArg
eq < divides
eq < encArg
divides = pr
divides = if
divides < encArg
pr = if
pr < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
plus(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(a), gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(n4_4)) -> gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(+(n4_4, a)), rt in Omega(1 + n4_4)

Induction Base:
plus(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(a), gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(0)) ->_R^Omega(1)
gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(a)

Induction Step:
plus(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(a), gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(+(n4_4, 1))) ->_R^Omega(1)
s(plus(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(a), p(s(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(n4_4))))) ->_R^Omega(1)
s(plus(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(a), gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(n4_4))) ->_IH
s(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(+(a, c5_4)))

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(12)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(13)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
p(0') -> 0'
p(s(x)) -> x
plus(x, 0') -> x
plus(0', y) -> y
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
plus(s(x), y) -> s(plus(p(s(x)), y))
plus(x, s(y)) -> s(plus(x, p(s(y))))
times(0', y) -> 0'
times(s(0'), y) -> y
times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
div(0', y) -> 0'
div(x, y) -> quot(x, y, y)
quot(zero(y), s(y), z) -> 0'
quot(s(x), s(y), z) -> quot(x, y, z)
quot(x, 0', s(z)) -> s(div(x, s(z)))
div(div(x, y), z) -> div(x, times(zero(y), z))
eq(0', 0') -> true
eq(s(x), 0') -> false
eq(0', s(y)) -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
divides(y, x) -> eq(x, times(div(x, y), y))
prime(s(s(x))) -> pr(s(s(x)), s(x))
pr(x, s(0')) -> true
pr(x, s(s(y))) -> if(divides(s(s(y)), x), x, s(y))
if(true, x, y) -> false
if(false, x, y) -> pr(x, y)
zero(div(x, x)) -> x
zero(divides(x, x)) -> x
zero(times(x, x)) -> x
zero(quot(x, x, x)) -> x
zero(s(x)) -> if(eq(x, s(0')), plus(zero(0'), 0'), s(plus(0', zero(0'))))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_quot(x_1, x_2, x_3)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_prime(x_1)) -> prime(encArg(x_1))
encArg(cons_pr(x_1, x_2)) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_zero(x_1)) -> zero(encArg(x_1))
encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_quot(x_1, x_2, x_3) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_zero(x_1) -> zero(encArg(x_1))
encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_prime(x_1) -> prime(encArg(x_1))
encode_pr(x_1, x_2) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Types:
p :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
0' :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
s :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
plus :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
times :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
div :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
quot :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
zero :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
eq :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
true :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
false :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
divides :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
prime :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
pr :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
if :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encArg :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_p :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_plus :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_times :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_div :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_quot :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_eq :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_divides :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_prime :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_pr :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_if :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_zero :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_p :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_s :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_plus :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_times :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_div :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_quot :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_zero :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_eq :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_true :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_false :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_divides :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_prime :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_pr :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_if :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
hole_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero1_4 :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
plus, times, div, quot, zero, eq, divides, pr, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
plus < times
plus < zero
plus < encArg
times < div
times < divides
times < encArg
div = quot
div = zero
div = divides
div = pr
div = if
div < encArg
quot = zero
quot = divides
quot = pr
quot = if
quot < encArg
eq < zero
zero = divides
zero = pr
zero = if
zero < encArg
eq < divides
eq < encArg
divides = pr
divides = if
divides < encArg
pr = if
pr < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(15)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(16)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
p(0') -> 0'
p(s(x)) -> x
plus(x, 0') -> x
plus(0', y) -> y
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
plus(s(x), y) -> s(plus(p(s(x)), y))
plus(x, s(y)) -> s(plus(x, p(s(y))))
times(0', y) -> 0'
times(s(0'), y) -> y
times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
div(0', y) -> 0'
div(x, y) -> quot(x, y, y)
quot(zero(y), s(y), z) -> 0'
quot(s(x), s(y), z) -> quot(x, y, z)
quot(x, 0', s(z)) -> s(div(x, s(z)))
div(div(x, y), z) -> div(x, times(zero(y), z))
eq(0', 0') -> true
eq(s(x), 0') -> false
eq(0', s(y)) -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
divides(y, x) -> eq(x, times(div(x, y), y))
prime(s(s(x))) -> pr(s(s(x)), s(x))
pr(x, s(0')) -> true
pr(x, s(s(y))) -> if(divides(s(s(y)), x), x, s(y))
if(true, x, y) -> false
if(false, x, y) -> pr(x, y)
zero(div(x, x)) -> x
zero(divides(x, x)) -> x
zero(times(x, x)) -> x
zero(quot(x, x, x)) -> x
zero(s(x)) -> if(eq(x, s(0')), plus(zero(0'), 0'), s(plus(0', zero(0'))))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_quot(x_1, x_2, x_3)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_prime(x_1)) -> prime(encArg(x_1))
encArg(cons_pr(x_1, x_2)) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_zero(x_1)) -> zero(encArg(x_1))
encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_quot(x_1, x_2, x_3) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_zero(x_1) -> zero(encArg(x_1))
encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_prime(x_1) -> prime(encArg(x_1))
encode_pr(x_1, x_2) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Types:
p :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
0' :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
s :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
plus :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
times :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
div :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
quot :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
zero :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
eq :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
true :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
false :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
divides :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
prime :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
pr :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
if :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encArg :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_p :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_plus :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_times :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_div :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_quot :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_eq :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_divides :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_prime :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_pr :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_if :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_zero :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_p :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_s :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_plus :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_times :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_div :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_quot :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_zero :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_eq :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_true :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_false :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_divides :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_prime :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_pr :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_if :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
hole_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero1_4 :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero


Lemmas:
plus(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(a), gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(n4_4)) -> gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(+(n4_4, a)), rt in Omega(1 + n4_4)


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
times, div, quot, zero, eq, divides, pr, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
times < div
times < divides
times < encArg
div = quot
div = zero
div = divides
div = pr
div = if
div < encArg
quot = zero
quot = divides
quot = pr
quot = if
quot < encArg
eq < zero
zero = divides
zero = pr
zero = if
zero < encArg
eq < divides
eq < encArg
divides = pr
divides = if
divides < encArg
pr = if
pr < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
times(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(n2223_4), gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(*(n2223_4, b)), rt in Omega(1 + b*n2223_4^2 + n2223_4)

Induction Base:
times(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(0), gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(b)) ->_R^Omega(1)
0'

Induction Step:
times(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(+(n2223_4, 1)), gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(b)) ->_R^Omega(1)
plus(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(b), times(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(n2223_4), gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(b))) ->_IH
plus(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(b), gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(*(c2224_4, b))) ->_L^Omega(1 + b*n2223_4)
gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(+(*(n2223_4, b), b))

We have rt in Omega(n^3) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^3).
----------------------------------------

(18)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(19)
Obligation:
Proved the lower bound n^3 for the following obligation:

Innermost TRS:
Rules:
p(0') -> 0'
p(s(x)) -> x
plus(x, 0') -> x
plus(0', y) -> y
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
plus(s(x), y) -> s(plus(p(s(x)), y))
plus(x, s(y)) -> s(plus(x, p(s(y))))
times(0', y) -> 0'
times(s(0'), y) -> y
times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
div(0', y) -> 0'
div(x, y) -> quot(x, y, y)
quot(zero(y), s(y), z) -> 0'
quot(s(x), s(y), z) -> quot(x, y, z)
quot(x, 0', s(z)) -> s(div(x, s(z)))
div(div(x, y), z) -> div(x, times(zero(y), z))
eq(0', 0') -> true
eq(s(x), 0') -> false
eq(0', s(y)) -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
divides(y, x) -> eq(x, times(div(x, y), y))
prime(s(s(x))) -> pr(s(s(x)), s(x))
pr(x, s(0')) -> true
pr(x, s(s(y))) -> if(divides(s(s(y)), x), x, s(y))
if(true, x, y) -> false
if(false, x, y) -> pr(x, y)
zero(div(x, x)) -> x
zero(divides(x, x)) -> x
zero(times(x, x)) -> x
zero(quot(x, x, x)) -> x
zero(s(x)) -> if(eq(x, s(0')), plus(zero(0'), 0'), s(plus(0', zero(0'))))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_quot(x_1, x_2, x_3)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_prime(x_1)) -> prime(encArg(x_1))
encArg(cons_pr(x_1, x_2)) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_zero(x_1)) -> zero(encArg(x_1))
encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_quot(x_1, x_2, x_3) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_zero(x_1) -> zero(encArg(x_1))
encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_prime(x_1) -> prime(encArg(x_1))
encode_pr(x_1, x_2) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Types:
p :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
0' :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
s :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
plus :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
times :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
div :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
quot :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
zero :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
eq :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
true :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
false :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
divides :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
prime :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
pr :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
if :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encArg :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_p :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_plus :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_times :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_div :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_quot :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_eq :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_divides :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_prime :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_pr :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_if :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_zero :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_p :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_s :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_plus :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_times :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_div :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_quot :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_zero :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_eq :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_true :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_false :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_divides :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_prime :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_pr :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_if :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
hole_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero1_4 :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero


Lemmas:
plus(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(a), gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(n4_4)) -> gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(+(n4_4, a)), rt in Omega(1 + n4_4)


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
times, div, quot, zero, eq, divides, pr, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
times < div
times < divides
times < encArg
div = quot
div = zero
div = divides
div = pr
div = if
div < encArg
quot = zero
quot = divides
quot = pr
quot = if
quot < encArg
eq < zero
zero = divides
zero = pr
zero = if
zero < encArg
eq < divides
eq < encArg
divides = pr
divides = if
divides < encArg
pr = if
pr < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(20) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(21)
BOUNDS(n^3, INF)

----------------------------------------

(22)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
p(0') -> 0'
p(s(x)) -> x
plus(x, 0') -> x
plus(0', y) -> y
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
plus(s(x), y) -> s(plus(p(s(x)), y))
plus(x, s(y)) -> s(plus(x, p(s(y))))
times(0', y) -> 0'
times(s(0'), y) -> y
times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
div(0', y) -> 0'
div(x, y) -> quot(x, y, y)
quot(zero(y), s(y), z) -> 0'
quot(s(x), s(y), z) -> quot(x, y, z)
quot(x, 0', s(z)) -> s(div(x, s(z)))
div(div(x, y), z) -> div(x, times(zero(y), z))
eq(0', 0') -> true
eq(s(x), 0') -> false
eq(0', s(y)) -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
divides(y, x) -> eq(x, times(div(x, y), y))
prime(s(s(x))) -> pr(s(s(x)), s(x))
pr(x, s(0')) -> true
pr(x, s(s(y))) -> if(divides(s(s(y)), x), x, s(y))
if(true, x, y) -> false
if(false, x, y) -> pr(x, y)
zero(div(x, x)) -> x
zero(divides(x, x)) -> x
zero(times(x, x)) -> x
zero(quot(x, x, x)) -> x
zero(s(x)) -> if(eq(x, s(0')), plus(zero(0'), 0'), s(plus(0', zero(0'))))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_quot(x_1, x_2, x_3)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_prime(x_1)) -> prime(encArg(x_1))
encArg(cons_pr(x_1, x_2)) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_zero(x_1)) -> zero(encArg(x_1))
encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_quot(x_1, x_2, x_3) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_zero(x_1) -> zero(encArg(x_1))
encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_prime(x_1) -> prime(encArg(x_1))
encode_pr(x_1, x_2) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Types:
p :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
0' :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
s :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
plus :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
times :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
div :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
quot :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
zero :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
eq :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
true :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
false :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
divides :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
prime :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
pr :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
if :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encArg :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_p :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_plus :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_times :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_div :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_quot :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_eq :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_divides :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_prime :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_pr :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_if :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_zero :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_p :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_s :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_plus :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_times :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_div :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_quot :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_zero :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_eq :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_true :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_false :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_divides :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_prime :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_pr :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_if :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
hole_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero1_4 :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero


Lemmas:
plus(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(a), gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(n4_4)) -> gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(+(n4_4, a)), rt in Omega(1 + n4_4)
times(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(n2223_4), gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(*(n2223_4, b)), rt in Omega(1 + b*n2223_4^2 + n2223_4)


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
eq, div, quot, zero, divides, pr, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
div = quot
div = zero
div = divides
div = pr
div = if
div < encArg
quot = zero
quot = divides
quot = pr
quot = if
quot < encArg
eq < zero
zero = divides
zero = pr
zero = if
zero < encArg
eq < divides
eq < encArg
divides = pr
divides = if
divides < encArg
pr = if
pr < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(23) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
eq(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(n4804_4), gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(n4804_4)) -> true, rt in Omega(1 + n4804_4)

Induction Base:
eq(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(0), gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(0)) ->_R^Omega(1)
true

Induction Step:
eq(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(+(n4804_4, 1)), gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(+(n4804_4, 1))) ->_R^Omega(1)
eq(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(n4804_4), gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(n4804_4)) ->_IH
true

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(24)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
p(0') -> 0'
p(s(x)) -> x
plus(x, 0') -> x
plus(0', y) -> y
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
plus(s(x), y) -> s(plus(p(s(x)), y))
plus(x, s(y)) -> s(plus(x, p(s(y))))
times(0', y) -> 0'
times(s(0'), y) -> y
times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
div(0', y) -> 0'
div(x, y) -> quot(x, y, y)
quot(zero(y), s(y), z) -> 0'
quot(s(x), s(y), z) -> quot(x, y, z)
quot(x, 0', s(z)) -> s(div(x, s(z)))
div(div(x, y), z) -> div(x, times(zero(y), z))
eq(0', 0') -> true
eq(s(x), 0') -> false
eq(0', s(y)) -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
divides(y, x) -> eq(x, times(div(x, y), y))
prime(s(s(x))) -> pr(s(s(x)), s(x))
pr(x, s(0')) -> true
pr(x, s(s(y))) -> if(divides(s(s(y)), x), x, s(y))
if(true, x, y) -> false
if(false, x, y) -> pr(x, y)
zero(div(x, x)) -> x
zero(divides(x, x)) -> x
zero(times(x, x)) -> x
zero(quot(x, x, x)) -> x
zero(s(x)) -> if(eq(x, s(0')), plus(zero(0'), 0'), s(plus(0', zero(0'))))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_quot(x_1, x_2, x_3)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_prime(x_1)) -> prime(encArg(x_1))
encArg(cons_pr(x_1, x_2)) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_zero(x_1)) -> zero(encArg(x_1))
encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_quot(x_1, x_2, x_3) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_zero(x_1) -> zero(encArg(x_1))
encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_prime(x_1) -> prime(encArg(x_1))
encode_pr(x_1, x_2) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Types:
p :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
0' :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
s :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
plus :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
times :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
div :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
quot :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
zero :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
eq :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
true :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
false :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
divides :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
prime :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
pr :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
if :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encArg :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_p :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_plus :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_times :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_div :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_quot :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_eq :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_divides :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_prime :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_pr :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_if :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_zero :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_p :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_s :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_plus :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_times :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_div :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_quot :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_zero :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_eq :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_true :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_false :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_divides :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_prime :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_pr :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_if :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
hole_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero1_4 :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero


Lemmas:
plus(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(a), gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(n4_4)) -> gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(+(n4_4, a)), rt in Omega(1 + n4_4)
times(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(n2223_4), gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(*(n2223_4, b)), rt in Omega(1 + b*n2223_4^2 + n2223_4)
eq(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(n4804_4), gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(n4804_4)) -> true, rt in Omega(1 + n4804_4)


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
quot, div, zero, divides, pr, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
div = quot
div = zero
div = divides
div = pr
div = if
div < encArg
quot = zero
quot = divides
quot = pr
quot = if
quot < encArg
zero = divides
zero = pr
zero = if
zero < encArg
divides = pr
divides = if
divides < encArg
pr = if
pr < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
quot(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(n5947_4), gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(n5947_4), gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(1)) -> gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(1), rt in Omega(1 + n5947_4)

Induction Base:
quot(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(0), gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(0), gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(1)) ->_R^Omega(1)
s(div(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(0), s(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(0)))) ->_R^Omega(1)
s(0')

Induction Step:
quot(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(+(n5947_4, 1)), gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(+(n5947_4, 1)), gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(1)) ->_R^Omega(1)
quot(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(n5947_4), gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(n5947_4), gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(1)) ->_IH
gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(1)

We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n).
----------------------------------------

(26)
Obligation:
Innermost TRS:
Rules:
p(0') -> 0'
p(s(x)) -> x
plus(x, 0') -> x
plus(0', y) -> y
plus(s(x), y) -> s(plus(x, y))
plus(s(x), y) -> s(plus(p(s(x)), y))
plus(x, s(y)) -> s(plus(x, p(s(y))))
times(0', y) -> 0'
times(s(0'), y) -> y
times(s(x), y) -> plus(y, times(x, y))
div(0', y) -> 0'
div(x, y) -> quot(x, y, y)
quot(zero(y), s(y), z) -> 0'
quot(s(x), s(y), z) -> quot(x, y, z)
quot(x, 0', s(z)) -> s(div(x, s(z)))
div(div(x, y), z) -> div(x, times(zero(y), z))
eq(0', 0') -> true
eq(s(x), 0') -> false
eq(0', s(y)) -> false
eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
divides(y, x) -> eq(x, times(div(x, y), y))
prime(s(s(x))) -> pr(s(s(x)), s(x))
pr(x, s(0')) -> true
pr(x, s(s(y))) -> if(divides(s(s(y)), x), x, s(y))
if(true, x, y) -> false
if(false, x, y) -> pr(x, y)
zero(div(x, x)) -> x
zero(divides(x, x)) -> x
zero(times(x, x)) -> x
zero(quot(x, x, x)) -> x
zero(s(x)) -> if(eq(x, s(0')), plus(zero(0'), 0'), s(plus(0', zero(0'))))
encArg(0') -> 0'
encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1))
encArg(true) -> true
encArg(false) -> false
encArg(cons_p(x_1)) -> p(encArg(x_1))
encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_div(x_1, x_2)) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_quot(x_1, x_2, x_3)) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_divides(x_1, x_2)) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_prime(x_1)) -> prime(encArg(x_1))
encArg(cons_pr(x_1, x_2)) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2))
encArg(cons_if(x_1, x_2, x_3)) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encArg(cons_zero(x_1)) -> zero(encArg(x_1))
encode_p(x_1) -> p(encArg(x_1))
encode_0 -> 0'
encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1))
encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_div(x_1, x_2) -> div(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_quot(x_1, x_2, x_3) -> quot(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))
encode_zero(x_1) -> zero(encArg(x_1))
encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_true -> true
encode_false -> false
encode_divides(x_1, x_2) -> divides(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_prime(x_1) -> prime(encArg(x_1))
encode_pr(x_1, x_2) -> pr(encArg(x_1), encArg(x_2))
encode_if(x_1, x_2, x_3) -> if(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3))

Types:
p :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
0' :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
s :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
plus :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
times :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
div :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
quot :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
zero :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
eq :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
true :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
false :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
divides :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
prime :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
pr :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
if :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encArg :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_p :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_plus :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_times :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_div :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_quot :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_eq :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_divides :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_prime :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_pr :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_if :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
cons_zero :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_p :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_0 :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_s :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_plus :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_times :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_div :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_quot :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_zero :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_eq :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_true :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_false :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_divides :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_prime :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_pr :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
encode_if :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
hole_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero1_4 :: 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero
gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4 :: Nat -> 0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero


Lemmas:
plus(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(a), gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(n4_4)) -> gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(+(n4_4, a)), rt in Omega(1 + n4_4)
times(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(n2223_4), gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(b)) -> gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(*(n2223_4, b)), rt in Omega(1 + b*n2223_4^2 + n2223_4)
eq(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(n4804_4), gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(n4804_4)) -> true, rt in Omega(1 + n4804_4)
quot(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(n5947_4), gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(n5947_4), gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(1)) -> gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(1), rt in Omega(1 + n5947_4)


Generator Equations:
gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(0) <=> 0'
gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(x))


The following defined symbols remain to be analysed:
div, zero, divides, pr, if, encArg

They will be analysed ascendingly in the following order:
div = quot
div = zero
div = divides
div = pr
div = if
div < encArg
quot = zero
quot = divides
quot = pr
quot = if
quot < encArg
zero = divides
zero = pr
zero = if
zero < encArg
divides = pr
divides = if
divides < encArg
pr = if
pr < encArg
if < encArg

----------------------------------------

(27) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID))
Proved the following rewrite lemma:
encArg(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(n8850_4)) -> gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(n8850_4), rt in Omega(0)

Induction Base:
encArg(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(0)) ->_R^Omega(0)
0'

Induction Step:
encArg(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(+(n8850_4, 1))) ->_R^Omega(0)
s(encArg(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(n8850_4))) ->_IH
s(gen_0':s:true:false:cons_p:cons_plus:cons_times:cons_div:cons_quot:cons_eq:cons_divides:cons_prime:cons_pr:cons_if:cons_zero2_4(c8851_4))

We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0).
----------------------------------------

(28)
BOUNDS(1, INF)