/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 664 ms] (4) CpxRelTRS (5) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (6) TRS for Loop Detection (7) DecreasingLoopProof [LOWER BOUND(ID), 5 ms] (8) BEST (9) proven lower bound (10) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (11) BOUNDS(n^1, INF) (12) TRS for Loop Detection ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: eq(0, 0) -> true eq(0, s(x)) -> false eq(s(x), 0) -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) le(0, y) -> true le(s(x), 0) -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) app(nil, y) -> y app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y)) min(nil) -> 0 min(add(n, x)) -> minIter(add(n, x), add(n, x), 0) minIter(nil, add(n, y), m) -> minIter(add(n, y), add(n, y), s(m)) minIter(add(n, x), y, m) -> if_min(le(n, m), x, y, m) if_min(true, x, y, m) -> m if_min(false, x, y, m) -> minIter(x, y, m) head(add(n, x)) -> n tail(add(n, x)) -> x tail(nil) -> nil null(nil) -> true null(add(n, x)) -> false rm(n, nil) -> nil rm(n, add(m, x)) -> if_rm(eq(n, m), n, add(m, x)) if_rm(true, n, add(m, x)) -> rm(n, x) if_rm(false, n, add(m, x)) -> add(m, rm(n, x)) minsort(nil, nil) -> nil minsort(add(n, x), y) -> if_minsort(eq(n, min(add(n, x))), add(n, x), y) if_minsort(true, add(n, x), y) -> add(n, minsort(app(rm(n, x), y), nil)) if_minsort(false, add(n, x), y) -> minsort(x, add(n, y)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(nil) -> nil encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_min(x_1)) -> min(encArg(x_1)) encArg(cons_minIter(x_1, x_2, x_3)) -> minIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if_min(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_null(x_1)) -> null(encArg(x_1)) encArg(cons_rm(x_1, x_2)) -> rm(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if_rm(x_1, x_2, x_3)) -> if_rm(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_minsort(x_1, x_2)) -> minsort(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if_minsort(x_1, x_2, x_3)) -> if_minsort(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1) -> min(encArg(x_1)) encode_minIter(x_1, x_2, x_3) -> minIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if_min(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_null(x_1) -> null(encArg(x_1)) encode_rm(x_1, x_2) -> rm(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if_rm(x_1, x_2, x_3) -> if_rm(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_minsort(x_1, x_2) -> minsort(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if_minsort(x_1, x_2, x_3) -> if_minsort(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: eq(0, 0) -> true eq(0, s(x)) -> false eq(s(x), 0) -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) le(0, y) -> true le(s(x), 0) -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) app(nil, y) -> y app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y)) min(nil) -> 0 min(add(n, x)) -> minIter(add(n, x), add(n, x), 0) minIter(nil, add(n, y), m) -> minIter(add(n, y), add(n, y), s(m)) minIter(add(n, x), y, m) -> if_min(le(n, m), x, y, m) if_min(true, x, y, m) -> m if_min(false, x, y, m) -> minIter(x, y, m) head(add(n, x)) -> n tail(add(n, x)) -> x tail(nil) -> nil null(nil) -> true null(add(n, x)) -> false rm(n, nil) -> nil rm(n, add(m, x)) -> if_rm(eq(n, m), n, add(m, x)) if_rm(true, n, add(m, x)) -> rm(n, x) if_rm(false, n, add(m, x)) -> add(m, rm(n, x)) minsort(nil, nil) -> nil minsort(add(n, x), y) -> if_minsort(eq(n, min(add(n, x))), add(n, x), y) if_minsort(true, add(n, x), y) -> add(n, minsort(app(rm(n, x), y), nil)) if_minsort(false, add(n, x), y) -> minsort(x, add(n, y)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(nil) -> nil encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_min(x_1)) -> min(encArg(x_1)) encArg(cons_minIter(x_1, x_2, x_3)) -> minIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if_min(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_null(x_1)) -> null(encArg(x_1)) encArg(cons_rm(x_1, x_2)) -> rm(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if_rm(x_1, x_2, x_3)) -> if_rm(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_minsort(x_1, x_2)) -> minsort(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if_minsort(x_1, x_2, x_3)) -> if_minsort(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1) -> min(encArg(x_1)) encode_minIter(x_1, x_2, x_3) -> minIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if_min(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_null(x_1) -> null(encArg(x_1)) encode_rm(x_1, x_2) -> rm(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if_rm(x_1, x_2, x_3) -> if_rm(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_minsort(x_1, x_2) -> minsort(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if_minsort(x_1, x_2, x_3) -> if_minsort(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: eq(0, 0) -> true eq(0, s(x)) -> false eq(s(x), 0) -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) le(0, y) -> true le(s(x), 0) -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) app(nil, y) -> y app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y)) min(nil) -> 0 min(add(n, x)) -> minIter(add(n, x), add(n, x), 0) minIter(nil, add(n, y), m) -> minIter(add(n, y), add(n, y), s(m)) minIter(add(n, x), y, m) -> if_min(le(n, m), x, y, m) if_min(true, x, y, m) -> m if_min(false, x, y, m) -> minIter(x, y, m) head(add(n, x)) -> n tail(add(n, x)) -> x tail(nil) -> nil null(nil) -> true null(add(n, x)) -> false rm(n, nil) -> nil rm(n, add(m, x)) -> if_rm(eq(n, m), n, add(m, x)) if_rm(true, n, add(m, x)) -> rm(n, x) if_rm(false, n, add(m, x)) -> add(m, rm(n, x)) minsort(nil, nil) -> nil minsort(add(n, x), y) -> if_minsort(eq(n, min(add(n, x))), add(n, x), y) if_minsort(true, add(n, x), y) -> add(n, minsort(app(rm(n, x), y), nil)) if_minsort(false, add(n, x), y) -> minsort(x, add(n, y)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(nil) -> nil encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_min(x_1)) -> min(encArg(x_1)) encArg(cons_minIter(x_1, x_2, x_3)) -> minIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if_min(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_null(x_1)) -> null(encArg(x_1)) encArg(cons_rm(x_1, x_2)) -> rm(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if_rm(x_1, x_2, x_3)) -> if_rm(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_minsort(x_1, x_2)) -> minsort(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if_minsort(x_1, x_2, x_3)) -> if_minsort(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1) -> min(encArg(x_1)) encode_minIter(x_1, x_2, x_3) -> minIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if_min(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_null(x_1) -> null(encArg(x_1)) encode_rm(x_1, x_2) -> rm(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if_rm(x_1, x_2, x_3) -> if_rm(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_minsort(x_1, x_2) -> minsort(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if_minsort(x_1, x_2, x_3) -> if_minsort(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof (LOWER BOUND(ID)) Transformed a relative TRS into a decreasing-loop problem. ---------------------------------------- (6) Obligation: Analyzing the following TRS for decreasing loops: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: eq(0, 0) -> true eq(0, s(x)) -> false eq(s(x), 0) -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) le(0, y) -> true le(s(x), 0) -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) app(nil, y) -> y app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y)) min(nil) -> 0 min(add(n, x)) -> minIter(add(n, x), add(n, x), 0) minIter(nil, add(n, y), m) -> minIter(add(n, y), add(n, y), s(m)) minIter(add(n, x), y, m) -> if_min(le(n, m), x, y, m) if_min(true, x, y, m) -> m if_min(false, x, y, m) -> minIter(x, y, m) head(add(n, x)) -> n tail(add(n, x)) -> x tail(nil) -> nil null(nil) -> true null(add(n, x)) -> false rm(n, nil) -> nil rm(n, add(m, x)) -> if_rm(eq(n, m), n, add(m, x)) if_rm(true, n, add(m, x)) -> rm(n, x) if_rm(false, n, add(m, x)) -> add(m, rm(n, x)) minsort(nil, nil) -> nil minsort(add(n, x), y) -> if_minsort(eq(n, min(add(n, x))), add(n, x), y) if_minsort(true, add(n, x), y) -> add(n, minsort(app(rm(n, x), y), nil)) if_minsort(false, add(n, x), y) -> minsort(x, add(n, y)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(nil) -> nil encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_min(x_1)) -> min(encArg(x_1)) encArg(cons_minIter(x_1, x_2, x_3)) -> minIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if_min(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_null(x_1)) -> null(encArg(x_1)) encArg(cons_rm(x_1, x_2)) -> rm(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if_rm(x_1, x_2, x_3)) -> if_rm(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_minsort(x_1, x_2)) -> minsort(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if_minsort(x_1, x_2, x_3)) -> if_minsort(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1) -> min(encArg(x_1)) encode_minIter(x_1, x_2, x_3) -> minIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if_min(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_null(x_1) -> null(encArg(x_1)) encode_rm(x_1, x_2) -> rm(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if_rm(x_1, x_2, x_3) -> if_rm(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_minsort(x_1, x_2) -> minsort(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if_minsort(x_1, x_2, x_3) -> if_minsort(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) DecreasingLoopProof (LOWER BOUND(ID)) The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Omega(n^1): The rewrite sequence le(s(x), s(y)) ->^+ le(x, y) gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position []. The pumping substitution is [x / s(x), y / s(y)]. The result substitution is [ ]. ---------------------------------------- (8) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (9) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: eq(0, 0) -> true eq(0, s(x)) -> false eq(s(x), 0) -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) le(0, y) -> true le(s(x), 0) -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) app(nil, y) -> y app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y)) min(nil) -> 0 min(add(n, x)) -> minIter(add(n, x), add(n, x), 0) minIter(nil, add(n, y), m) -> minIter(add(n, y), add(n, y), s(m)) minIter(add(n, x), y, m) -> if_min(le(n, m), x, y, m) if_min(true, x, y, m) -> m if_min(false, x, y, m) -> minIter(x, y, m) head(add(n, x)) -> n tail(add(n, x)) -> x tail(nil) -> nil null(nil) -> true null(add(n, x)) -> false rm(n, nil) -> nil rm(n, add(m, x)) -> if_rm(eq(n, m), n, add(m, x)) if_rm(true, n, add(m, x)) -> rm(n, x) if_rm(false, n, add(m, x)) -> add(m, rm(n, x)) minsort(nil, nil) -> nil minsort(add(n, x), y) -> if_minsort(eq(n, min(add(n, x))), add(n, x), y) if_minsort(true, add(n, x), y) -> add(n, minsort(app(rm(n, x), y), nil)) if_minsort(false, add(n, x), y) -> minsort(x, add(n, y)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(nil) -> nil encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_min(x_1)) -> min(encArg(x_1)) encArg(cons_minIter(x_1, x_2, x_3)) -> minIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if_min(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_null(x_1)) -> null(encArg(x_1)) encArg(cons_rm(x_1, x_2)) -> rm(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if_rm(x_1, x_2, x_3)) -> if_rm(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_minsort(x_1, x_2)) -> minsort(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if_minsort(x_1, x_2, x_3)) -> if_minsort(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1) -> min(encArg(x_1)) encode_minIter(x_1, x_2, x_3) -> minIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if_min(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_null(x_1) -> null(encArg(x_1)) encode_rm(x_1, x_2) -> rm(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if_rm(x_1, x_2, x_3) -> if_rm(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_minsort(x_1, x_2) -> minsort(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if_minsort(x_1, x_2, x_3) -> if_minsort(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (10) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (11) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (12) Obligation: Analyzing the following TRS for decreasing loops: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: eq(0, 0) -> true eq(0, s(x)) -> false eq(s(x), 0) -> false eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y) le(0, y) -> true le(s(x), 0) -> false le(s(x), s(y)) -> le(x, y) app(nil, y) -> y app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y)) min(nil) -> 0 min(add(n, x)) -> minIter(add(n, x), add(n, x), 0) minIter(nil, add(n, y), m) -> minIter(add(n, y), add(n, y), s(m)) minIter(add(n, x), y, m) -> if_min(le(n, m), x, y, m) if_min(true, x, y, m) -> m if_min(false, x, y, m) -> minIter(x, y, m) head(add(n, x)) -> n tail(add(n, x)) -> x tail(nil) -> nil null(nil) -> true null(add(n, x)) -> false rm(n, nil) -> nil rm(n, add(m, x)) -> if_rm(eq(n, m), n, add(m, x)) if_rm(true, n, add(m, x)) -> rm(n, x) if_rm(false, n, add(m, x)) -> add(m, rm(n, x)) minsort(nil, nil) -> nil minsort(add(n, x), y) -> if_minsort(eq(n, min(add(n, x))), add(n, x), y) if_minsort(true, add(n, x), y) -> add(n, minsort(app(rm(n, x), y), nil)) if_minsort(false, add(n, x), y) -> minsort(x, add(n, y)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(nil) -> nil encArg(add(x_1, x_2)) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_eq(x_1, x_2)) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_le(x_1, x_2)) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_min(x_1)) -> min(encArg(x_1)) encArg(cons_minIter(x_1, x_2, x_3)) -> minIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_if_min(x_1, x_2, x_3, x_4)) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encArg(cons_head(x_1)) -> head(encArg(x_1)) encArg(cons_tail(x_1)) -> tail(encArg(x_1)) encArg(cons_null(x_1)) -> null(encArg(x_1)) encArg(cons_rm(x_1, x_2)) -> rm(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if_rm(x_1, x_2, x_3)) -> if_rm(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encArg(cons_minsort(x_1, x_2)) -> minsort(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if_minsort(x_1, x_2, x_3)) -> if_minsort(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_eq(x_1, x_2) -> eq(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_0 -> 0 encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_le(x_1, x_2) -> le(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_nil -> nil encode_add(x_1, x_2) -> add(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_min(x_1) -> min(encArg(x_1)) encode_minIter(x_1, x_2, x_3) -> minIter(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_if_min(x_1, x_2, x_3, x_4) -> if_min(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3), encArg(x_4)) encode_head(x_1) -> head(encArg(x_1)) encode_tail(x_1) -> tail(encArg(x_1)) encode_null(x_1) -> null(encArg(x_1)) encode_rm(x_1, x_2) -> rm(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if_rm(x_1, x_2, x_3) -> if_rm(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_minsort(x_1, x_2) -> minsort(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if_minsort(x_1, x_2, x_3) -> if_minsort(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST