/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- KILLED proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 254 ms] (4) CpxRelTRS (5) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (6) TRS for Loop Detection (7) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) CpxRelTRS (9) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (12) typed CpxTrs (13) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 5730 ms] (14) BOUNDS(1, INF) (15) RelTrsToTrsProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (16) CpxTRS (17) NonCtorToCtorProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (18) CpxRelTRS (19) RelTrsToWeightedTrsProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (20) CpxWeightedTrs (21) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (22) CpxTypedWeightedTrs (23) CompletionProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (24) CpxTypedWeightedCompleteTrs (25) CpxTypedWeightedTrsToRntsProof [UPPER BOUND(ID), 2 ms] (26) CpxRNTS (27) CompletionProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (28) CpxTypedWeightedCompleteTrs (29) NarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 9 ms] (30) CpxTypedWeightedCompleteTrs (31) CpxTypedWeightedTrsToRntsProof [UPPER BOUND(ID), 15 ms] (32) CpxRNTS (33) SimplificationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 2 ms] (34) CpxRNTS (35) CpxTrsToCdtProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (36) CdtProblem (37) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (38) CdtProblem (39) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (40) CdtProblem (41) CdtGraphSplitRhsProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (42) CdtProblem (43) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms] (44) CdtProblem (45) CdtUsableRulesProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 4 ms] (46) CdtProblem (47) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 6 ms] (48) CdtProblem (49) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (50) CdtProblem (51) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (52) CdtProblem (53) CdtGraphSplitRhsProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (54) CdtProblem (55) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (56) CdtProblem (57) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (58) CdtProblem (59) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (60) CdtProblem (61) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 8 ms] (62) CdtProblem (63) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 72 ms] (64) CdtProblem (65) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (66) CdtProblem (67) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (68) CdtProblem (69) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (70) CdtProblem (71) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 2 ms] (72) CdtProblem (73) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (74) CdtProblem (75) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 1 ms] (76) CdtProblem (77) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (78) CdtProblem (79) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 20 ms] (80) CdtProblem (81) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (82) CdtProblem (83) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (84) CdtProblem (85) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (86) CdtProblem (87) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (88) CdtProblem (89) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (90) CdtProblem (91) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (92) CdtProblem (93) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (94) CdtProblem (95) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (96) CdtProblem (97) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (98) CdtProblem (99) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (100) CdtProblem (101) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (102) CdtProblem (103) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (104) CdtProblem (105) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (106) CdtProblem (107) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (108) CdtProblem (109) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 11 ms] (110) CdtProblem (111) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (112) CdtProblem (113) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (114) CdtProblem (115) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (116) CdtProblem (117) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (118) CdtProblem (119) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (120) CdtProblem (121) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (122) CdtProblem (123) CdtGraphSplitRhsProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (124) CdtProblem (125) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (126) CdtProblem (127) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms] (128) CdtProblem (129) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 8 ms] (130) CdtProblem (131) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms] (132) CdtProblem (133) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (134) CdtProblem (135) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms] (136) CdtProblem (137) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (138) CdtProblem (139) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms] (140) CdtProblem (141) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (142) CdtProblem (143) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms] (144) CdtProblem (145) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (146) CdtProblem (147) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms] (148) CdtProblem (149) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (150) CdtProblem (151) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms] (152) CdtProblem (153) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (154) CdtProblem (155) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms] (156) CdtProblem (157) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (158) CdtProblem (159) CdtLeafRemovalProof [ComplexityIfPolyImplication, 0 ms] (160) CdtProblem (161) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (162) CdtProblem (163) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (164) CdtProblem (165) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (166) CdtProblem (167) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (168) CdtProblem ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: app(app(plus, 0), y) -> y app(app(plus, app(s, x)), y) -> app(s, app(app(plus, x), y)) app(app(times, 0), y) -> 0 app(app(times, app(s, x)), y) -> app(app(plus, app(app(times, x), y)), y) app(inc, xs) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), xs) app(double, xs) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), xs) app(app(map, f), nil) -> nil app(app(map, f), app(app(cons, x), xs)) -> app(app(cons, app(f, x)), app(app(map, f), xs)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_plus -> plus encode_0 -> 0 encode_s -> s encode_times -> times encode_inc -> inc encode_map -> map encode_double -> double encode_nil -> nil encode_cons -> cons ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: app(app(plus, 0), y) -> y app(app(plus, app(s, x)), y) -> app(s, app(app(plus, x), y)) app(app(times, 0), y) -> 0 app(app(times, app(s, x)), y) -> app(app(plus, app(app(times, x), y)), y) app(inc, xs) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), xs) app(double, xs) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), xs) app(app(map, f), nil) -> nil app(app(map, f), app(app(cons, x), xs)) -> app(app(cons, app(f, x)), app(app(map, f), xs)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_plus -> plus encode_0 -> 0 encode_s -> s encode_times -> times encode_inc -> inc encode_map -> map encode_double -> double encode_nil -> nil encode_cons -> cons Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: app(app(plus, 0), y) -> y app(app(plus, app(s, x)), y) -> app(s, app(app(plus, x), y)) app(app(times, 0), y) -> 0 app(app(times, app(s, x)), y) -> app(app(plus, app(app(times, x), y)), y) app(inc, xs) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), xs) app(double, xs) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), xs) app(app(map, f), nil) -> nil app(app(map, f), app(app(cons, x), xs)) -> app(app(cons, app(f, x)), app(app(map, f), xs)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_plus -> plus encode_0 -> 0 encode_s -> s encode_times -> times encode_inc -> inc encode_map -> map encode_double -> double encode_nil -> nil encode_cons -> cons Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof (LOWER BOUND(ID)) Transformed a relative TRS into a decreasing-loop problem. ---------------------------------------- (6) Obligation: Analyzing the following TRS for decreasing loops: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: app(app(plus, 0), y) -> y app(app(plus, app(s, x)), y) -> app(s, app(app(plus, x), y)) app(app(times, 0), y) -> 0 app(app(times, app(s, x)), y) -> app(app(plus, app(app(times, x), y)), y) app(inc, xs) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), xs) app(double, xs) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), xs) app(app(map, f), nil) -> nil app(app(map, f), app(app(cons, x), xs)) -> app(app(cons, app(f, x)), app(app(map, f), xs)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_plus -> plus encode_0 -> 0 encode_s -> s encode_times -> times encode_inc -> inc encode_map -> map encode_double -> double encode_nil -> nil encode_cons -> cons Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (8) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: app(app(plus, 0'), y) -> y app(app(plus, app(s, x)), y) -> app(s, app(app(plus, x), y)) app(app(times, 0'), y) -> 0' app(app(times, app(s, x)), y) -> app(app(plus, app(app(times, x), y)), y) app(inc, xs) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0'))), xs) app(double, xs) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0')))), xs) app(app(map, f), nil) -> nil app(app(map, f), app(app(cons, x), xs)) -> app(app(cons, app(f, x)), app(app(map, f), xs)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(plus) -> plus encArg(0') -> 0' encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_plus -> plus encode_0 -> 0' encode_s -> s encode_times -> times encode_inc -> inc encode_map -> map encode_double -> double encode_nil -> nil encode_cons -> cons Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (9) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: app(app(plus, 0'), y) -> y app(app(plus, app(s, x)), y) -> app(s, app(app(plus, x), y)) app(app(times, 0'), y) -> 0' app(app(times, app(s, x)), y) -> app(app(plus, app(app(times, x), y)), y) app(inc, xs) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0'))), xs) app(double, xs) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0')))), xs) app(app(map, f), nil) -> nil app(app(map, f), app(app(cons, x), xs)) -> app(app(cons, app(f, x)), app(app(map, f), xs)) encArg(plus) -> plus encArg(0') -> 0' encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_plus -> plus encode_0 -> 0' encode_s -> s encode_times -> times encode_inc -> inc encode_map -> map encode_double -> double encode_nil -> nil encode_cons -> cons Types: app :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app -> plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app -> plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app plus :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app 0' :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app s :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app times :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app inc :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app map :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app double :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app nil :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app cons :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app encArg :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app -> plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app cons_app :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app -> plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app -> plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app encode_app :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app -> plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app -> plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app encode_plus :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app encode_0 :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app encode_s :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app encode_times :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app encode_inc :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app encode_map :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app encode_double :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app encode_nil :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app encode_cons :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app hole_plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app1_3 :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app gen_plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app2_3 :: Nat -> plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app ---------------------------------------- (11) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: app, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: app < encArg ---------------------------------------- (12) Obligation: Innermost TRS: Rules: app(app(plus, 0'), y) -> y app(app(plus, app(s, x)), y) -> app(s, app(app(plus, x), y)) app(app(times, 0'), y) -> 0' app(app(times, app(s, x)), y) -> app(app(plus, app(app(times, x), y)), y) app(inc, xs) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0'))), xs) app(double, xs) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0')))), xs) app(app(map, f), nil) -> nil app(app(map, f), app(app(cons, x), xs)) -> app(app(cons, app(f, x)), app(app(map, f), xs)) encArg(plus) -> plus encArg(0') -> 0' encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_plus -> plus encode_0 -> 0' encode_s -> s encode_times -> times encode_inc -> inc encode_map -> map encode_double -> double encode_nil -> nil encode_cons -> cons Types: app :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app -> plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app -> plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app plus :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app 0' :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app s :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app times :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app inc :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app map :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app double :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app nil :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app cons :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app encArg :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app -> plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app cons_app :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app -> plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app -> plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app encode_app :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app -> plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app -> plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app encode_plus :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app encode_0 :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app encode_s :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app encode_times :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app encode_inc :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app encode_map :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app encode_double :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app encode_nil :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app encode_cons :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app hole_plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app1_3 :: plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app gen_plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app2_3 :: Nat -> plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app Generator Equations: gen_plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app2_3(0) <=> plus gen_plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app2_3(+(x, 1)) <=> cons_app(plus, gen_plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app2_3(x)) The following defined symbols remain to be analysed: app, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: app < encArg ---------------------------------------- (13) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app2_3(n1704_3)) -> *3_3, rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app2_3(0)) Induction Step: encArg(gen_plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app2_3(+(n1704_3, 1))) ->_R^Omega(0) app(encArg(plus), encArg(gen_plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app2_3(n1704_3))) ->_R^Omega(0) app(plus, encArg(gen_plus:0':s:times:inc:map:double:nil:cons:cons_app2_3(n1704_3))) ->_IH app(plus, *3_3) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (14) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (15) RelTrsToTrsProof (UPPER BOUND(ID)) transformed relative TRS to TRS ---------------------------------------- (16) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: app(app(plus, 0), y) -> y app(app(plus, app(s, x)), y) -> app(s, app(app(plus, x), y)) app(app(times, 0), y) -> 0 app(app(times, app(s, x)), y) -> app(app(plus, app(app(times, x), y)), y) app(inc, xs) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), xs) app(double, xs) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), xs) app(app(map, f), nil) -> nil app(app(map, f), app(app(cons, x), xs)) -> app(app(cons, app(f, x)), app(app(map, f), xs)) encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_plus -> plus encode_0 -> 0 encode_s -> s encode_times -> times encode_inc -> inc encode_map -> map encode_double -> double encode_nil -> nil encode_cons -> cons S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (17) NonCtorToCtorProof (UPPER BOUND(ID)) transformed non-ctor to ctor-system ---------------------------------------- (18) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: app(inc, xs) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), xs) app(double, xs) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), xs) app(c_app(map, f), c_app(c_app(cons, x), xs)) -> app(app(cons, app(f, x)), app(app(map, f), xs)) app(c_app(plus, c_app(s, x)), y) -> app(s, app(app(plus, x), y)) app(c_app(times, 0), y) -> 0 app(c_app(times, c_app(s, x)), y) -> app(app(plus, app(app(times, x), y)), y) app(c_app(map, f), nil) -> nil app(c_app(plus, 0), y) -> y The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_plus -> plus encode_0 -> 0 encode_s -> s encode_times -> times encode_inc -> inc encode_map -> map encode_double -> double encode_nil -> nil encode_cons -> cons app(x0, x1) -> c_app(x0, x1) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (19) RelTrsToWeightedTrsProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Transformed relative TRS to weighted TRS ---------------------------------------- (20) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxWeightedTrs could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: app(inc, xs) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), xs) [1] app(double, xs) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), xs) [1] app(c_app(map, f), c_app(c_app(cons, x), xs)) -> app(app(cons, app(f, x)), app(app(map, f), xs)) [1] app(c_app(plus, c_app(s, x)), y) -> app(s, app(app(plus, x), y)) [1] app(c_app(times, 0), y) -> 0 [1] app(c_app(times, c_app(s, x)), y) -> app(app(plus, app(app(times, x), y)), y) [1] app(c_app(map, f), nil) -> nil [1] app(c_app(plus, 0), y) -> y [1] encArg(plus) -> plus [0] encArg(0) -> 0 [0] encArg(s) -> s [0] encArg(times) -> times [0] encArg(inc) -> inc [0] encArg(map) -> map [0] encArg(double) -> double [0] encArg(nil) -> nil [0] encArg(cons) -> cons [0] encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_plus -> plus [0] encode_0 -> 0 [0] encode_s -> s [0] encode_times -> times [0] encode_inc -> inc [0] encode_map -> map [0] encode_double -> double [0] encode_nil -> nil [0] encode_cons -> cons [0] app(x0, x1) -> c_app(x0, x1) [0] Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (21) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (22) Obligation: Runtime Complexity Weighted TRS with Types. The TRS R consists of the following rules: app(inc, xs) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), xs) [1] app(double, xs) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), xs) [1] app(c_app(map, f), c_app(c_app(cons, x), xs)) -> app(app(cons, app(f, x)), app(app(map, f), xs)) [1] app(c_app(plus, c_app(s, x)), y) -> app(s, app(app(plus, x), y)) [1] app(c_app(times, 0), y) -> 0 [1] app(c_app(times, c_app(s, x)), y) -> app(app(plus, app(app(times, x), y)), y) [1] app(c_app(map, f), nil) -> nil [1] app(c_app(plus, 0), y) -> y [1] encArg(plus) -> plus [0] encArg(0) -> 0 [0] encArg(s) -> s [0] encArg(times) -> times [0] encArg(inc) -> inc [0] encArg(map) -> map [0] encArg(double) -> double [0] encArg(nil) -> nil [0] encArg(cons) -> cons [0] encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_plus -> plus [0] encode_0 -> 0 [0] encode_s -> s [0] encode_times -> times [0] encode_inc -> inc [0] encode_map -> map [0] encode_double -> double [0] encode_nil -> nil [0] encode_cons -> cons [0] app(x0, x1) -> c_app(x0, x1) [0] The TRS has the following type information: app :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app inc :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app map :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app plus :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app s :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app 0 :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app double :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app times :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app c_app :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app cons :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app nil :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app encArg :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app cons_app :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app encode_app :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app encode_plus :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app encode_0 :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app encode_s :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app encode_times :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app encode_inc :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app encode_map :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app encode_double :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app encode_nil :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app encode_cons :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (23) CompletionProof (UPPER BOUND(ID)) The TRS is a completely defined constructor system, as every type has a constant constructor and the following rules were added: encArg(v0) -> null_encArg [0] encode_app(v0, v1) -> null_encode_app [0] encode_plus -> null_encode_plus [0] encode_0 -> null_encode_0 [0] encode_s -> null_encode_s [0] encode_times -> null_encode_times [0] encode_inc -> null_encode_inc [0] encode_map -> null_encode_map [0] encode_double -> null_encode_double [0] encode_nil -> null_encode_nil [0] encode_cons -> null_encode_cons [0] app(v0, v1) -> null_app [0] And the following fresh constants: null_encArg, null_encode_app, null_encode_plus, null_encode_0, null_encode_s, null_encode_times, null_encode_inc, null_encode_map, null_encode_double, null_encode_nil, null_encode_cons, null_app ---------------------------------------- (24) Obligation: Runtime Complexity Weighted TRS where all functions are completely defined. The underlying TRS is: Runtime Complexity Weighted TRS with Types. The TRS R consists of the following rules: app(inc, xs) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), xs) [1] app(double, xs) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), xs) [1] app(c_app(map, f), c_app(c_app(cons, x), xs)) -> app(app(cons, app(f, x)), app(app(map, f), xs)) [1] app(c_app(plus, c_app(s, x)), y) -> app(s, app(app(plus, x), y)) [1] app(c_app(times, 0), y) -> 0 [1] app(c_app(times, c_app(s, x)), y) -> app(app(plus, app(app(times, x), y)), y) [1] app(c_app(map, f), nil) -> nil [1] app(c_app(plus, 0), y) -> y [1] encArg(plus) -> plus [0] encArg(0) -> 0 [0] encArg(s) -> s [0] encArg(times) -> times [0] encArg(inc) -> inc [0] encArg(map) -> map [0] encArg(double) -> double [0] encArg(nil) -> nil [0] encArg(cons) -> cons [0] encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_plus -> plus [0] encode_0 -> 0 [0] encode_s -> s [0] encode_times -> times [0] encode_inc -> inc [0] encode_map -> map [0] encode_double -> double [0] encode_nil -> nil [0] encode_cons -> cons [0] app(x0, x1) -> c_app(x0, x1) [0] encArg(v0) -> null_encArg [0] encode_app(v0, v1) -> null_encode_app [0] encode_plus -> null_encode_plus [0] encode_0 -> null_encode_0 [0] encode_s -> null_encode_s [0] encode_times -> null_encode_times [0] encode_inc -> null_encode_inc [0] encode_map -> null_encode_map [0] encode_double -> null_encode_double [0] encode_nil -> null_encode_nil [0] encode_cons -> null_encode_cons [0] app(v0, v1) -> null_app [0] The TRS has the following type information: app :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app inc :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app map :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app plus :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app s :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app 0 :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app double :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app times :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app c_app :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app cons :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app nil :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app encArg :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app cons_app :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app encode_app :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app encode_plus :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app encode_0 :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app encode_s :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app encode_times :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app encode_inc :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app encode_map :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app encode_double :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app encode_nil :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app encode_cons :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_encArg :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_encode_app :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_encode_plus :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_encode_0 :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_encode_s :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_encode_times :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_encode_inc :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_encode_map :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_encode_double :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_encode_nil :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_encode_cons :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_app :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (25) CpxTypedWeightedTrsToRntsProof (UPPER BOUND(ID)) Transformed the TRS into an over-approximating RNTS by (improved) Size Abstraction. The constant constructors are abstracted as follows: inc => 3 map => 4 plus => 6 s => 7 0 => 0 double => 2 times => 8 cons => 1 nil => 5 null_encArg => 0 null_encode_app => 0 null_encode_plus => 0 null_encode_0 => 0 null_encode_s => 0 null_encode_times => 0 null_encode_inc => 0 null_encode_map => 0 null_encode_double => 0 null_encode_nil => 0 null_encode_cons => 0 null_app => 0 ---------------------------------------- (26) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: app(z, z') -{ 1 }-> y :|: y >= 0, z = 1 + 6 + 0, z' = y app(z, z') -{ 1 }-> app(app(6, app(app(8, x), y)), y) :|: x >= 0, y >= 0, z = 1 + 8 + (1 + 7 + x), z' = y app(z, z') -{ 1 }-> app(app(4, app(8, app(7, app(7, 0)))), xs) :|: z = 2, xs >= 0, z' = xs app(z, z') -{ 1 }-> app(app(4, app(6, app(7, 0))), xs) :|: xs >= 0, z = 3, z' = xs app(z, z') -{ 1 }-> app(app(1, app(f, x)), app(app(4, f), xs)) :|: f >= 0, xs >= 0, x >= 0, z = 1 + 4 + f, z' = 1 + (1 + 1 + x) + xs app(z, z') -{ 1 }-> app(7, app(app(6, x), y)) :|: z = 1 + 6 + (1 + 7 + x), x >= 0, y >= 0, z' = y app(z, z') -{ 1 }-> 5 :|: f >= 0, z = 1 + 4 + f, z' = 5 app(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z = 1 + 8 + 0, y >= 0, z' = y app(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, v1 >= 0, z = v0, z' = v1 app(z, z') -{ 0 }-> 1 + x0 + x1 :|: z = x0, x0 >= 0, x1 >= 0, z' = x1 encArg(z) -{ 0 }-> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) :|: x_1 >= 0, z = 1 + x_1 + x_2, x_2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> 8 :|: z = 8 encArg(z) -{ 0 }-> 7 :|: z = 7 encArg(z) -{ 0 }-> 6 :|: z = 6 encArg(z) -{ 0 }-> 5 :|: z = 5 encArg(z) -{ 0 }-> 4 :|: z = 4 encArg(z) -{ 0 }-> 3 :|: z = 3 encArg(z) -{ 0 }-> 2 :|: z = 2 encArg(z) -{ 0 }-> 1 :|: z = 1 encArg(z) -{ 0 }-> 0 :|: z = 0 encArg(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 encode_0 -{ 0 }-> 0 :|: encode_app(z, z') -{ 0 }-> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) :|: x_1 >= 0, x_2 >= 0, z = x_1, z' = x_2 encode_app(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, v1 >= 0, z = v0, z' = v1 encode_cons -{ 0 }-> 1 :|: encode_cons -{ 0 }-> 0 :|: encode_double -{ 0 }-> 2 :|: encode_double -{ 0 }-> 0 :|: encode_inc -{ 0 }-> 3 :|: encode_inc -{ 0 }-> 0 :|: encode_map -{ 0 }-> 4 :|: encode_map -{ 0 }-> 0 :|: encode_nil -{ 0 }-> 5 :|: encode_nil -{ 0 }-> 0 :|: encode_plus -{ 0 }-> 6 :|: encode_plus -{ 0 }-> 0 :|: encode_s -{ 0 }-> 7 :|: encode_s -{ 0 }-> 0 :|: encode_times -{ 0 }-> 8 :|: encode_times -{ 0 }-> 0 :|: Only complete derivations are relevant for the runtime complexity. ---------------------------------------- (27) CompletionProof (UPPER BOUND(ID)) The transformation into a RNTS is sound, since: (a) The obligation is a constructor system where every type has a constant constructor, (b) The following defined symbols do not have to be completely defined, as they can never occur inside other defined symbols: none (c) The following functions are completely defined: encArg_1 encode_app_2 encode_plus encode_0 encode_s encode_times encode_inc encode_map encode_double encode_nil encode_cons app_2 Due to the following rules being added: encArg(v0) -> null_encArg [0] encode_app(v0, v1) -> null_encode_app [0] encode_plus -> null_encode_plus [0] encode_0 -> null_encode_0 [0] encode_s -> null_encode_s [0] encode_times -> null_encode_times [0] encode_inc -> null_encode_inc [0] encode_map -> null_encode_map [0] encode_double -> null_encode_double [0] encode_nil -> null_encode_nil [0] encode_cons -> null_encode_cons [0] app(v0, v1) -> null_app [0] And the following fresh constants: null_encArg, null_encode_app, null_encode_plus, null_encode_0, null_encode_s, null_encode_times, null_encode_inc, null_encode_map, null_encode_double, null_encode_nil, null_encode_cons, null_app ---------------------------------------- (28) Obligation: Runtime Complexity Weighted TRS where critical functions are completely defined. The underlying TRS is: Runtime Complexity Weighted TRS with Types. The TRS R consists of the following rules: app(inc, xs) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), xs) [1] app(double, xs) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), xs) [1] app(c_app(map, f), c_app(c_app(cons, x), xs)) -> app(app(cons, app(f, x)), app(app(map, f), xs)) [1] app(c_app(plus, c_app(s, x)), y) -> app(s, app(app(plus, x), y)) [1] app(c_app(times, 0), y) -> 0 [1] app(c_app(times, c_app(s, x)), y) -> app(app(plus, app(app(times, x), y)), y) [1] app(c_app(map, f), nil) -> nil [1] app(c_app(plus, 0), y) -> y [1] encArg(plus) -> plus [0] encArg(0) -> 0 [0] encArg(s) -> s [0] encArg(times) -> times [0] encArg(inc) -> inc [0] encArg(map) -> map [0] encArg(double) -> double [0] encArg(nil) -> nil [0] encArg(cons) -> cons [0] encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_plus -> plus [0] encode_0 -> 0 [0] encode_s -> s [0] encode_times -> times [0] encode_inc -> inc [0] encode_map -> map [0] encode_double -> double [0] encode_nil -> nil [0] encode_cons -> cons [0] app(x0, x1) -> c_app(x0, x1) [0] encArg(v0) -> null_encArg [0] encode_app(v0, v1) -> null_encode_app [0] encode_plus -> null_encode_plus [0] encode_0 -> null_encode_0 [0] encode_s -> null_encode_s [0] encode_times -> null_encode_times [0] encode_inc -> null_encode_inc [0] encode_map -> null_encode_map [0] encode_double -> null_encode_double [0] encode_nil -> null_encode_nil [0] encode_cons -> null_encode_cons [0] app(v0, v1) -> null_app [0] The TRS has the following type information: app :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app inc :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app map :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app plus :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app s :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app 0 :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app double :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app times :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app c_app :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app cons :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app nil :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app encArg :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app cons_app :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app encode_app :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app encode_plus :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app encode_0 :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app encode_s :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app encode_times :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app encode_inc :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app encode_map :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app encode_double :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app encode_nil :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app encode_cons :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_encArg :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_encode_app :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_encode_plus :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_encode_0 :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_encode_s :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_encode_times :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_encode_inc :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_encode_map :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_encode_double :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_encode_nil :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_encode_cons :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_app :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (29) NarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Narrowed the inner basic terms of all right-hand sides by a single narrowing step. ---------------------------------------- (30) Obligation: Runtime Complexity Weighted TRS where critical functions are completely defined. The underlying TRS is: Runtime Complexity Weighted TRS with Types. The TRS R consists of the following rules: app(inc, xs) -> app(app(map, app(plus, c_app(s, 0))), xs) [1] app(inc, xs) -> app(app(map, app(plus, null_app)), xs) [1] app(double, xs) -> app(app(map, app(times, app(s, c_app(s, 0)))), xs) [1] app(double, xs) -> app(app(map, app(times, app(s, null_app))), xs) [1] app(c_app(map, inc), c_app(c_app(cons, x), xs)) -> app(app(cons, app(app(map, app(plus, app(s, 0))), x)), app(c_app(map, inc), xs)) [2] app(c_app(map, inc), c_app(c_app(cons, x), xs)) -> app(app(cons, app(app(map, app(plus, app(s, 0))), x)), app(null_app, xs)) [2] app(c_app(map, double), c_app(c_app(cons, x), xs)) -> app(app(cons, app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), x)), app(c_app(map, double), xs)) [2] app(c_app(map, double), c_app(c_app(cons, x), xs)) -> app(app(cons, app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), x)), app(null_app, xs)) [2] app(c_app(map, c_app(map, f')), c_app(c_app(cons, c_app(c_app(cons, x'), xs')), xs)) -> app(app(cons, app(app(cons, app(f', x')), app(app(map, f'), xs'))), app(c_app(map, c_app(map, f')), xs)) [2] app(c_app(map, c_app(map, f')), c_app(c_app(cons, c_app(c_app(cons, x'), xs')), xs)) -> app(app(cons, app(app(cons, app(f', x')), app(app(map, f'), xs'))), app(null_app, xs)) [2] app(c_app(map, c_app(plus, c_app(s, x''))), c_app(c_app(cons, x), xs)) -> app(app(cons, app(s, app(app(plus, x''), x))), app(c_app(map, c_app(plus, c_app(s, x''))), xs)) [2] app(c_app(map, c_app(plus, c_app(s, x''))), c_app(c_app(cons, x), xs)) -> app(app(cons, app(s, app(app(plus, x''), x))), app(null_app, xs)) [2] app(c_app(map, c_app(times, 0)), c_app(c_app(cons, x), xs)) -> app(app(cons, 0), app(c_app(map, c_app(times, 0)), xs)) [2] app(c_app(map, c_app(times, 0)), c_app(c_app(cons, x), xs)) -> app(app(cons, 0), app(null_app, xs)) [2] app(c_app(map, c_app(times, c_app(s, x2))), c_app(c_app(cons, x), xs)) -> app(app(cons, app(app(plus, app(app(times, x2), x)), x)), app(c_app(map, c_app(times, c_app(s, x2))), xs)) [2] app(c_app(map, c_app(times, c_app(s, x2))), c_app(c_app(cons, x), xs)) -> app(app(cons, app(app(plus, app(app(times, x2), x)), x)), app(null_app, xs)) [2] app(c_app(map, c_app(map, f'')), c_app(c_app(cons, nil), xs)) -> app(app(cons, nil), app(c_app(map, c_app(map, f'')), xs)) [2] app(c_app(map, c_app(map, f'')), c_app(c_app(cons, nil), xs)) -> app(app(cons, nil), app(null_app, xs)) [2] app(c_app(map, c_app(plus, 0)), c_app(c_app(cons, x), xs)) -> app(app(cons, x), app(c_app(map, c_app(plus, 0)), xs)) [2] app(c_app(map, c_app(plus, 0)), c_app(c_app(cons, x), xs)) -> app(app(cons, x), app(null_app, xs)) [2] app(c_app(map, f), c_app(c_app(cons, x), xs)) -> app(app(cons, c_app(f, x)), app(c_app(map, f), xs)) [1] app(c_app(map, f), c_app(c_app(cons, x), xs)) -> app(app(cons, c_app(f, x)), app(null_app, xs)) [1] app(c_app(map, f), c_app(c_app(cons, x), xs)) -> app(app(cons, null_app), app(c_app(map, f), xs)) [1] app(c_app(map, f), c_app(c_app(cons, x), xs)) -> app(app(cons, null_app), app(null_app, xs)) [1] app(c_app(plus, c_app(s, x)), y) -> app(s, app(c_app(plus, x), y)) [1] app(c_app(plus, c_app(s, x)), y) -> app(s, app(null_app, y)) [1] app(c_app(times, 0), y) -> 0 [1] app(c_app(times, c_app(s, x)), y) -> app(app(plus, app(c_app(times, x), y)), y) [1] app(c_app(times, c_app(s, x)), y) -> app(app(plus, app(null_app, y)), y) [1] app(c_app(map, f), nil) -> nil [1] app(c_app(plus, 0), y) -> y [1] encArg(plus) -> plus [0] encArg(0) -> 0 [0] encArg(s) -> s [0] encArg(times) -> times [0] encArg(inc) -> inc [0] encArg(map) -> map [0] encArg(double) -> double [0] encArg(nil) -> nil [0] encArg(cons) -> cons [0] encArg(cons_app(x_1, x_2)) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_app(x_1, x_2) -> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) [0] encode_plus -> plus [0] encode_0 -> 0 [0] encode_s -> s [0] encode_times -> times [0] encode_inc -> inc [0] encode_map -> map [0] encode_double -> double [0] encode_nil -> nil [0] encode_cons -> cons [0] app(x0, x1) -> c_app(x0, x1) [0] encArg(v0) -> null_encArg [0] encode_app(v0, v1) -> null_encode_app [0] encode_plus -> null_encode_plus [0] encode_0 -> null_encode_0 [0] encode_s -> null_encode_s [0] encode_times -> null_encode_times [0] encode_inc -> null_encode_inc [0] encode_map -> null_encode_map [0] encode_double -> null_encode_double [0] encode_nil -> null_encode_nil [0] encode_cons -> null_encode_cons [0] app(v0, v1) -> null_app [0] The TRS has the following type information: app :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app inc :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app map :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app plus :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app s :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app 0 :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app double :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app times :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app c_app :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app cons :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app nil :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app encArg :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app cons_app :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app encode_app :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app -> inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app encode_plus :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app encode_0 :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app encode_s :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app encode_times :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app encode_inc :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app encode_map :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app encode_double :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app encode_nil :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app encode_cons :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_encArg :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_encode_app :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_encode_plus :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_encode_0 :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_encode_s :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_encode_times :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_encode_inc :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_encode_map :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_encode_double :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_encode_nil :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_encode_cons :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app null_app :: inc:map:plus:s:0:double:times:c_app:cons:nil:cons_app:null_encArg:null_encode_app:null_encode_plus:null_encode_0:null_encode_s:null_encode_times:null_encode_inc:null_encode_map:null_encode_double:null_encode_nil:null_encode_cons:null_app Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (31) CpxTypedWeightedTrsToRntsProof (UPPER BOUND(ID)) Transformed the TRS into an over-approximating RNTS by (improved) Size Abstraction. The constant constructors are abstracted as follows: inc => 3 map => 4 plus => 6 s => 7 0 => 0 double => 2 times => 8 cons => 1 nil => 5 null_encArg => 0 null_encode_app => 0 null_encode_plus => 0 null_encode_0 => 0 null_encode_s => 0 null_encode_times => 0 null_encode_inc => 0 null_encode_map => 0 null_encode_double => 0 null_encode_nil => 0 null_encode_cons => 0 null_app => 0 ---------------------------------------- (32) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: app(z, z') -{ 1 }-> y :|: y >= 0, z = 1 + 6 + 0, z' = y app(z, z') -{ 1 }-> app(app(6, app(0, y)), y) :|: x >= 0, y >= 0, z = 1 + 8 + (1 + 7 + x), z' = y app(z, z') -{ 1 }-> app(app(6, app(1 + 8 + x, y)), y) :|: x >= 0, y >= 0, z = 1 + 8 + (1 + 7 + x), z' = y app(z, z') -{ 1 }-> app(app(4, app(8, app(7, 0))), xs) :|: z = 2, xs >= 0, z' = xs app(z, z') -{ 1 }-> app(app(4, app(8, app(7, 1 + 7 + 0))), xs) :|: z = 2, xs >= 0, z' = xs app(z, z') -{ 1 }-> app(app(4, app(6, 0)), xs) :|: xs >= 0, z = 3, z' = xs app(z, z') -{ 1 }-> app(app(4, app(6, 1 + 7 + 0)), xs) :|: xs >= 0, z = 3, z' = xs app(z, z') -{ 2 }-> app(app(1, x), app(0, xs)) :|: xs >= 0, z = 1 + 4 + (1 + 6 + 0), x >= 0, z' = 1 + (1 + 1 + x) + xs app(z, z') -{ 2 }-> app(app(1, x), app(1 + 4 + (1 + 6 + 0), xs)) :|: xs >= 0, z = 1 + 4 + (1 + 6 + 0), x >= 0, z' = 1 + (1 + 1 + x) + xs app(z, z') -{ 2 }-> app(app(1, app(app(6, app(app(8, x2), x)), x)), app(0, xs)) :|: xs >= 0, x >= 0, x2 >= 0, z = 1 + 4 + (1 + 8 + (1 + 7 + x2)), z' = 1 + (1 + 1 + x) + xs app(z, z') -{ 2 }-> app(app(1, app(app(6, app(app(8, x2), x)), x)), app(1 + 4 + (1 + 8 + (1 + 7 + x2)), xs)) :|: xs >= 0, x >= 0, x2 >= 0, z = 1 + 4 + (1 + 8 + (1 + 7 + x2)), z' = 1 + (1 + 1 + x) + xs app(z, z') -{ 2 }-> app(app(1, app(app(4, app(8, app(7, app(7, 0)))), x)), app(0, xs)) :|: xs >= 0, z = 1 + 4 + 2, x >= 0, z' = 1 + (1 + 1 + x) + xs app(z, z') -{ 2 }-> app(app(1, app(app(4, app(8, app(7, app(7, 0)))), x)), app(1 + 4 + 2, xs)) :|: xs >= 0, z = 1 + 4 + 2, x >= 0, z' = 1 + (1 + 1 + x) + xs app(z, z') -{ 2 }-> app(app(1, app(app(4, app(6, app(7, 0))), x)), app(0, xs)) :|: xs >= 0, z = 1 + 4 + 3, x >= 0, z' = 1 + (1 + 1 + x) + xs app(z, z') -{ 2 }-> app(app(1, app(app(4, app(6, app(7, 0))), x)), app(1 + 4 + 3, xs)) :|: xs >= 0, z = 1 + 4 + 3, x >= 0, z' = 1 + (1 + 1 + x) + xs app(z, z') -{ 2 }-> app(app(1, app(app(1, app(f', x')), app(app(4, f'), xs'))), app(0, xs)) :|: xs >= 0, z' = 1 + (1 + 1 + (1 + (1 + 1 + x') + xs')) + xs, f' >= 0, x' >= 0, xs' >= 0, z = 1 + 4 + (1 + 4 + f') app(z, z') -{ 2 }-> app(app(1, app(app(1, app(f', x')), app(app(4, f'), xs'))), app(1 + 4 + (1 + 4 + f'), xs)) :|: xs >= 0, z' = 1 + (1 + 1 + (1 + (1 + 1 + x') + xs')) + xs, f' >= 0, x' >= 0, xs' >= 0, z = 1 + 4 + (1 + 4 + f') app(z, z') -{ 2 }-> app(app(1, app(7, app(app(6, x''), x))), app(0, xs)) :|: z = 1 + 4 + (1 + 6 + (1 + 7 + x'')), xs >= 0, x >= 0, x'' >= 0, z' = 1 + (1 + 1 + x) + xs app(z, z') -{ 2 }-> app(app(1, app(7, app(app(6, x''), x))), app(1 + 4 + (1 + 6 + (1 + 7 + x'')), xs)) :|: z = 1 + 4 + (1 + 6 + (1 + 7 + x'')), xs >= 0, x >= 0, x'' >= 0, z' = 1 + (1 + 1 + x) + xs app(z, z') -{ 2 }-> app(app(1, 5), app(0, xs)) :|: z' = 1 + (1 + 1 + 5) + xs, xs >= 0, z = 1 + 4 + (1 + 4 + f''), f'' >= 0 app(z, z') -{ 2 }-> app(app(1, 5), app(1 + 4 + (1 + 4 + f''), xs)) :|: z' = 1 + (1 + 1 + 5) + xs, xs >= 0, z = 1 + 4 + (1 + 4 + f''), f'' >= 0 app(z, z') -{ 2 }-> app(app(1, 0), app(0, xs)) :|: xs >= 0, x >= 0, z = 1 + 4 + (1 + 8 + 0), z' = 1 + (1 + 1 + x) + xs app(z, z') -{ 1 }-> app(app(1, 0), app(0, xs)) :|: f >= 0, xs >= 0, x >= 0, z = 1 + 4 + f, z' = 1 + (1 + 1 + x) + xs app(z, z') -{ 1 }-> app(app(1, 0), app(1 + 4 + f, xs)) :|: f >= 0, xs >= 0, x >= 0, z = 1 + 4 + f, z' = 1 + (1 + 1 + x) + xs app(z, z') -{ 2 }-> app(app(1, 0), app(1 + 4 + (1 + 8 + 0), xs)) :|: xs >= 0, x >= 0, z = 1 + 4 + (1 + 8 + 0), z' = 1 + (1 + 1 + x) + xs app(z, z') -{ 1 }-> app(app(1, 1 + f + x), app(0, xs)) :|: f >= 0, xs >= 0, x >= 0, z = 1 + 4 + f, z' = 1 + (1 + 1 + x) + xs app(z, z') -{ 1 }-> app(app(1, 1 + f + x), app(1 + 4 + f, xs)) :|: f >= 0, xs >= 0, x >= 0, z = 1 + 4 + f, z' = 1 + (1 + 1 + x) + xs app(z, z') -{ 1 }-> app(7, app(0, y)) :|: z = 1 + 6 + (1 + 7 + x), x >= 0, y >= 0, z' = y app(z, z') -{ 1 }-> app(7, app(1 + 6 + x, y)) :|: z = 1 + 6 + (1 + 7 + x), x >= 0, y >= 0, z' = y app(z, z') -{ 1 }-> 5 :|: f >= 0, z = 1 + 4 + f, z' = 5 app(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z = 1 + 8 + 0, y >= 0, z' = y app(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, v1 >= 0, z = v0, z' = v1 app(z, z') -{ 0 }-> 1 + x0 + x1 :|: z = x0, x0 >= 0, x1 >= 0, z' = x1 encArg(z) -{ 0 }-> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) :|: x_1 >= 0, z = 1 + x_1 + x_2, x_2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> 8 :|: z = 8 encArg(z) -{ 0 }-> 7 :|: z = 7 encArg(z) -{ 0 }-> 6 :|: z = 6 encArg(z) -{ 0 }-> 5 :|: z = 5 encArg(z) -{ 0 }-> 4 :|: z = 4 encArg(z) -{ 0 }-> 3 :|: z = 3 encArg(z) -{ 0 }-> 2 :|: z = 2 encArg(z) -{ 0 }-> 1 :|: z = 1 encArg(z) -{ 0 }-> 0 :|: z = 0 encArg(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 encode_0 -{ 0 }-> 0 :|: encode_app(z, z') -{ 0 }-> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) :|: x_1 >= 0, x_2 >= 0, z = x_1, z' = x_2 encode_app(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, v1 >= 0, z = v0, z' = v1 encode_cons -{ 0 }-> 1 :|: encode_cons -{ 0 }-> 0 :|: encode_double -{ 0 }-> 2 :|: encode_double -{ 0 }-> 0 :|: encode_inc -{ 0 }-> 3 :|: encode_inc -{ 0 }-> 0 :|: encode_map -{ 0 }-> 4 :|: encode_map -{ 0 }-> 0 :|: encode_nil -{ 0 }-> 5 :|: encode_nil -{ 0 }-> 0 :|: encode_plus -{ 0 }-> 6 :|: encode_plus -{ 0 }-> 0 :|: encode_s -{ 0 }-> 7 :|: encode_s -{ 0 }-> 0 :|: encode_times -{ 0 }-> 8 :|: encode_times -{ 0 }-> 0 :|: ---------------------------------------- (33) SimplificationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Simplified the RNTS by moving equalities from the constraints into the right-hand sides. ---------------------------------------- (34) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: app(z, z') -{ 1 }-> z' :|: z' >= 0, z = 1 + 6 + 0 app(z, z') -{ 1 }-> app(app(6, app(0, z')), z') :|: z - 17 >= 0, z' >= 0 app(z, z') -{ 1 }-> app(app(6, app(1 + 8 + (z - 17), z')), z') :|: z - 17 >= 0, z' >= 0 app(z, z') -{ 1 }-> app(app(4, app(8, app(7, 0))), z') :|: z = 2, z' >= 0 app(z, z') -{ 1 }-> app(app(4, app(8, app(7, 1 + 7 + 0))), z') :|: z = 2, z' >= 0 app(z, z') -{ 1 }-> app(app(4, app(6, 0)), z') :|: z' >= 0, z = 3 app(z, z') -{ 1 }-> app(app(4, app(6, 1 + 7 + 0)), z') :|: z' >= 0, z = 3 app(z, z') -{ 2 }-> app(app(1, x), app(0, xs)) :|: xs >= 0, z = 1 + 4 + (1 + 6 + 0), x >= 0, z' = 1 + (1 + 1 + x) + xs app(z, z') -{ 2 }-> app(app(1, x), app(1 + 4 + (1 + 6 + 0), xs)) :|: xs >= 0, z = 1 + 4 + (1 + 6 + 0), x >= 0, z' = 1 + (1 + 1 + x) + xs app(z, z') -{ 2 }-> app(app(1, app(app(6, app(app(8, z - 22), x)), x)), app(0, xs)) :|: xs >= 0, x >= 0, z - 22 >= 0, z' = 1 + (1 + 1 + x) + xs app(z, z') -{ 2 }-> app(app(1, app(app(6, app(app(8, z - 22), x)), x)), app(1 + 4 + (1 + 8 + (1 + 7 + (z - 22))), xs)) :|: xs >= 0, x >= 0, z - 22 >= 0, z' = 1 + (1 + 1 + x) + xs app(z, z') -{ 2 }-> app(app(1, app(app(4, app(8, app(7, app(7, 0)))), x)), app(0, xs)) :|: xs >= 0, z = 1 + 4 + 2, x >= 0, z' = 1 + (1 + 1 + x) + xs app(z, z') -{ 2 }-> app(app(1, app(app(4, app(8, app(7, app(7, 0)))), x)), app(1 + 4 + 2, xs)) :|: xs >= 0, z = 1 + 4 + 2, x >= 0, z' = 1 + (1 + 1 + x) + xs app(z, z') -{ 2 }-> app(app(1, app(app(4, app(6, app(7, 0))), x)), app(0, xs)) :|: xs >= 0, z = 1 + 4 + 3, x >= 0, z' = 1 + (1 + 1 + x) + xs app(z, z') -{ 2 }-> app(app(1, app(app(4, app(6, app(7, 0))), x)), app(1 + 4 + 3, xs)) :|: xs >= 0, z = 1 + 4 + 3, x >= 0, z' = 1 + (1 + 1 + x) + xs app(z, z') -{ 2 }-> app(app(1, app(app(1, app(z - 10, x')), app(app(4, z - 10), xs'))), app(0, xs)) :|: xs >= 0, z' = 1 + (1 + 1 + (1 + (1 + 1 + x') + xs')) + xs, z - 10 >= 0, x' >= 0, xs' >= 0 app(z, z') -{ 2 }-> app(app(1, app(app(1, app(z - 10, x')), app(app(4, z - 10), xs'))), app(1 + 4 + (1 + 4 + (z - 10)), xs)) :|: xs >= 0, z' = 1 + (1 + 1 + (1 + (1 + 1 + x') + xs')) + xs, z - 10 >= 0, x' >= 0, xs' >= 0 app(z, z') -{ 2 }-> app(app(1, app(7, app(app(6, z - 20), x))), app(0, xs)) :|: xs >= 0, x >= 0, z - 20 >= 0, z' = 1 + (1 + 1 + x) + xs app(z, z') -{ 2 }-> app(app(1, app(7, app(app(6, z - 20), x))), app(1 + 4 + (1 + 6 + (1 + 7 + (z - 20))), xs)) :|: xs >= 0, x >= 0, z - 20 >= 0, z' = 1 + (1 + 1 + x) + xs app(z, z') -{ 2 }-> app(app(1, 5), app(0, z' - 8)) :|: z' - 8 >= 0, z - 10 >= 0 app(z, z') -{ 2 }-> app(app(1, 5), app(1 + 4 + (1 + 4 + (z - 10)), z' - 8)) :|: z' - 8 >= 0, z - 10 >= 0 app(z, z') -{ 2 }-> app(app(1, 0), app(0, xs)) :|: xs >= 0, x >= 0, z = 1 + 4 + (1 + 8 + 0), z' = 1 + (1 + 1 + x) + xs app(z, z') -{ 1 }-> app(app(1, 0), app(0, xs)) :|: z - 5 >= 0, xs >= 0, x >= 0, z' = 1 + (1 + 1 + x) + xs app(z, z') -{ 1 }-> app(app(1, 0), app(1 + 4 + (z - 5), xs)) :|: z - 5 >= 0, xs >= 0, x >= 0, z' = 1 + (1 + 1 + x) + xs app(z, z') -{ 2 }-> app(app(1, 0), app(1 + 4 + (1 + 8 + 0), xs)) :|: xs >= 0, x >= 0, z = 1 + 4 + (1 + 8 + 0), z' = 1 + (1 + 1 + x) + xs app(z, z') -{ 1 }-> app(app(1, 1 + (z - 5) + x), app(0, xs)) :|: z - 5 >= 0, xs >= 0, x >= 0, z' = 1 + (1 + 1 + x) + xs app(z, z') -{ 1 }-> app(app(1, 1 + (z - 5) + x), app(1 + 4 + (z - 5), xs)) :|: z - 5 >= 0, xs >= 0, x >= 0, z' = 1 + (1 + 1 + x) + xs app(z, z') -{ 1 }-> app(7, app(0, z')) :|: z - 15 >= 0, z' >= 0 app(z, z') -{ 1 }-> app(7, app(1 + 6 + (z - 15), z')) :|: z - 15 >= 0, z' >= 0 app(z, z') -{ 1 }-> 5 :|: z - 5 >= 0, z' = 5 app(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z = 1 + 8 + 0, z' >= 0 app(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0, z' >= 0 app(z, z') -{ 0 }-> 1 + z + z' :|: z >= 0, z' >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> app(encArg(x_1), encArg(x_2)) :|: x_1 >= 0, z = 1 + x_1 + x_2, x_2 >= 0 encArg(z) -{ 0 }-> 8 :|: z = 8 encArg(z) -{ 0 }-> 7 :|: z = 7 encArg(z) -{ 0 }-> 6 :|: z = 6 encArg(z) -{ 0 }-> 5 :|: z = 5 encArg(z) -{ 0 }-> 4 :|: z = 4 encArg(z) -{ 0 }-> 3 :|: z = 3 encArg(z) -{ 0 }-> 2 :|: z = 2 encArg(z) -{ 0 }-> 1 :|: z = 1 encArg(z) -{ 0 }-> 0 :|: z = 0 encArg(z) -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0 encode_0 -{ 0 }-> 0 :|: encode_app(z, z') -{ 0 }-> app(encArg(z), encArg(z')) :|: z >= 0, z' >= 0 encode_app(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0, z' >= 0 encode_cons -{ 0 }-> 1 :|: encode_cons -{ 0 }-> 0 :|: encode_double -{ 0 }-> 2 :|: encode_double -{ 0 }-> 0 :|: encode_inc -{ 0 }-> 3 :|: encode_inc -{ 0 }-> 0 :|: encode_map -{ 0 }-> 4 :|: encode_map -{ 0 }-> 0 :|: encode_nil -{ 0 }-> 5 :|: encode_nil -{ 0 }-> 0 :|: encode_plus -{ 0 }-> 6 :|: encode_plus -{ 0 }-> 0 :|: encode_s -{ 0 }-> 7 :|: encode_s -{ 0 }-> 0 :|: encode_times -{ 0 }-> 8 :|: encode_times -{ 0 }-> 0 :|: ---------------------------------------- (35) CpxTrsToCdtProof (UPPER BOUND(ID)) Converted Cpx (relative) TRS to CDT ---------------------------------------- (36) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) encode_app(z0, z1) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) encode_plus -> plus encode_0 -> 0 encode_s -> s encode_times -> times encode_inc -> inc encode_map -> map encode_double -> double encode_nil -> nil encode_cons -> cons app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: ENCARG(plus) -> c ENCARG(0) -> c1 ENCARG(s) -> c2 ENCARG(times) -> c3 ENCARG(inc) -> c4 ENCARG(map) -> c5 ENCARG(double) -> c6 ENCARG(nil) -> c7 ENCARG(cons) -> c8 ENCARG(cons_app(z0, z1)) -> c9(APP(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_APP(z0, z1) -> c10(APP(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_PLUS -> c11 ENCODE_0 -> c12 ENCODE_S -> c13 ENCODE_TIMES -> c14 ENCODE_INC -> c15 ENCODE_MAP -> c16 ENCODE_DOUBLE -> c17 ENCODE_NIL -> c18 ENCODE_CONS -> c19 APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(s, app(app(plus, z0), z1)), APP(app(plus, z0), z1), APP(plus, z0)) APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(times, app(s, z0)), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1), APP(plus, app(app(times, z0), z1)), APP(app(times, z0), z1), APP(times, z0)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0), APP(map, app(plus, app(s, 0))), APP(plus, app(s, 0)), APP(s, 0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0), APP(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), APP(times, app(s, app(s, 0))), APP(s, app(s, 0)), APP(s, 0)) APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)), APP(cons, app(z0, z1)), APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2), APP(map, z0)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(s, app(app(plus, z0), z1)), APP(app(plus, z0), z1), APP(plus, z0)) APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(times, app(s, z0)), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1), APP(plus, app(app(times, z0), z1)), APP(app(times, z0), z1), APP(times, z0)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0), APP(map, app(plus, app(s, 0))), APP(plus, app(s, 0)), APP(s, 0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0), APP(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), APP(times, app(s, app(s, 0))), APP(s, app(s, 0)), APP(s, 0)) APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)), APP(cons, app(z0, z1)), APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2), APP(map, z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: app_2, encArg_1, encode_app_2, encode_plus, encode_0, encode_s, encode_times, encode_inc, encode_map, encode_double, encode_nil, encode_cons Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ENCODE_APP_2, ENCODE_PLUS, ENCODE_0, ENCODE_S, ENCODE_TIMES, ENCODE_INC, ENCODE_MAP, ENCODE_DOUBLE, ENCODE_NIL, ENCODE_CONS, APP_2 Compound Symbols: c, c1, c2, c3, c4, c5, c6, c7, c8, c9_3, c10_3, c11, c12, c13, c14, c15, c16, c17, c18, c19, c20, c21_3, c22, c23_4, c24_4, c25_5, c26, c27_5 ---------------------------------------- (37) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 18 trailing nodes: ENCODE_DOUBLE -> c17 ENCODE_MAP -> c16 ENCARG(map) -> c5 ENCARG(cons) -> c8 ENCODE_0 -> c12 ENCODE_TIMES -> c14 ENCODE_CONS -> c19 ENCODE_INC -> c15 ENCARG(plus) -> c ENCODE_S -> c13 ENCODE_NIL -> c18 ENCARG(0) -> c1 ENCARG(double) -> c6 ENCARG(s) -> c2 ENCARG(inc) -> c4 ENCODE_PLUS -> c11 ENCARG(nil) -> c7 ENCARG(times) -> c3 ---------------------------------------- (38) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) encode_app(z0, z1) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) encode_plus -> plus encode_0 -> 0 encode_s -> s encode_times -> times encode_inc -> inc encode_map -> map encode_double -> double encode_nil -> nil encode_cons -> cons app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: ENCARG(cons_app(z0, z1)) -> c9(APP(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_APP(z0, z1) -> c10(APP(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(s, app(app(plus, z0), z1)), APP(app(plus, z0), z1), APP(plus, z0)) APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(times, app(s, z0)), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1), APP(plus, app(app(times, z0), z1)), APP(app(times, z0), z1), APP(times, z0)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0), APP(map, app(plus, app(s, 0))), APP(plus, app(s, 0)), APP(s, 0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0), APP(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), APP(times, app(s, app(s, 0))), APP(s, app(s, 0)), APP(s, 0)) APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)), APP(cons, app(z0, z1)), APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2), APP(map, z0)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(s, app(app(plus, z0), z1)), APP(app(plus, z0), z1), APP(plus, z0)) APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(times, app(s, z0)), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1), APP(plus, app(app(times, z0), z1)), APP(app(times, z0), z1), APP(times, z0)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0), APP(map, app(plus, app(s, 0))), APP(plus, app(s, 0)), APP(s, 0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0), APP(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), APP(times, app(s, app(s, 0))), APP(s, app(s, 0)), APP(s, 0)) APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)), APP(cons, app(z0, z1)), APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2), APP(map, z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: app_2, encArg_1, encode_app_2, encode_plus, encode_0, encode_s, encode_times, encode_inc, encode_map, encode_double, encode_nil, encode_cons Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ENCODE_APP_2, APP_2 Compound Symbols: c9_3, c10_3, c20, c21_3, c22, c23_4, c24_4, c25_5, c26, c27_5 ---------------------------------------- (39) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 14 trailing tuple parts ---------------------------------------- (40) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) encode_app(z0, z1) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) encode_plus -> plus encode_0 -> 0 encode_s -> s encode_times -> times encode_inc -> inc encode_map -> map encode_double -> double encode_nil -> nil encode_cons -> cons app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: ENCARG(cons_app(z0, z1)) -> c9(APP(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) ENCODE_APP(z0, z1) -> c10(APP(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(app(times, app(s, z0)), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1), APP(app(times, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(app(times, app(s, z0)), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1), APP(app(times, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) K tuples:none Defined Rule Symbols: app_2, encArg_1, encode_app_2, encode_plus, encode_0, encode_s, encode_times, encode_inc, encode_map, encode_double, encode_nil, encode_cons Defined Pair Symbols: ENCARG_1, ENCODE_APP_2, APP_2 Compound Symbols: c9_3, c10_3, c20, c22, c26, c21_1, c23_2, c24_1, c25_1, c27_2 ---------------------------------------- (41) CdtGraphSplitRhsProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Split RHS of tuples not part of any SCC ---------------------------------------- (42) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) encode_app(z0, z1) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) encode_plus -> plus encode_0 -> 0 encode_s -> s encode_times -> times encode_inc -> inc encode_map -> map encode_double -> double encode_nil -> nil encode_cons -> cons app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: ENCARG(cons_app(z0, z1)) -> c9(APP(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(app(times, app(s, z0)), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1), APP(app(times, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCODE_APP(z0, z1) -> c(APP(encArg(z0), encArg(z1))) ENCODE_APP(z0, z1) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_APP(z0, z1) -> c(ENCARG(z1)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(app(times, app(s, z0)), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1), APP(app(times, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) K tuples:none Defined Rule Symbols: app_2, encArg_1, encode_app_2, encode_plus, encode_0, encode_s, encode_times, encode_inc, encode_map, encode_double, encode_nil, encode_cons Defined Pair Symbols: ENCARG_1, APP_2, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c9_3, c20, c22, c26, c21_1, c23_2, c24_1, c25_1, c27_2, c_1 ---------------------------------------- (43) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication) Removed 2 leading nodes: ENCODE_APP(z0, z1) -> c(ENCARG(z0)) ENCODE_APP(z0, z1) -> c(ENCARG(z1)) ---------------------------------------- (44) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) encode_app(z0, z1) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) encode_plus -> plus encode_0 -> 0 encode_s -> s encode_times -> times encode_inc -> inc encode_map -> map encode_double -> double encode_nil -> nil encode_cons -> cons app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: ENCARG(cons_app(z0, z1)) -> c9(APP(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(app(times, app(s, z0)), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1), APP(app(times, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCODE_APP(z0, z1) -> c(APP(encArg(z0), encArg(z1))) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(app(times, app(s, z0)), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1), APP(app(times, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) K tuples:none Defined Rule Symbols: app_2, encArg_1, encode_app_2, encode_plus, encode_0, encode_s, encode_times, encode_inc, encode_map, encode_double, encode_nil, encode_cons Defined Pair Symbols: ENCARG_1, APP_2, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c9_3, c20, c22, c26, c21_1, c23_2, c24_1, c25_1, c27_2, c_1 ---------------------------------------- (45) CdtUsableRulesProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules are not usable and were removed: encode_app(z0, z1) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) encode_plus -> plus encode_0 -> 0 encode_s -> s encode_times -> times encode_inc -> inc encode_map -> map encode_double -> double encode_nil -> nil encode_cons -> cons ---------------------------------------- (46) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: ENCARG(cons_app(z0, z1)) -> c9(APP(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(app(times, app(s, z0)), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1), APP(app(times, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCODE_APP(z0, z1) -> c(APP(encArg(z0), encArg(z1))) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(app(times, app(s, z0)), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1), APP(app(times, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: ENCARG_1, APP_2, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c9_3, c20, c22, c26, c21_1, c23_2, c24_1, c25_1, c27_2, c_1 ---------------------------------------- (47) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_app(z0, z1)) -> c9(APP(encArg(z0), encArg(z1)), ENCARG(z0), ENCARG(z1)) by ENCARG(cons_app(x0, plus)) -> c9(APP(encArg(x0), plus), ENCARG(x0), ENCARG(plus)) ENCARG(cons_app(x0, 0)) -> c9(APP(encArg(x0), 0), ENCARG(x0), ENCARG(0)) ENCARG(cons_app(x0, s)) -> c9(APP(encArg(x0), s), ENCARG(x0), ENCARG(s)) ENCARG(cons_app(x0, times)) -> c9(APP(encArg(x0), times), ENCARG(x0), ENCARG(times)) ENCARG(cons_app(x0, inc)) -> c9(APP(encArg(x0), inc), ENCARG(x0), ENCARG(inc)) ENCARG(cons_app(x0, map)) -> c9(APP(encArg(x0), map), ENCARG(x0), ENCARG(map)) ENCARG(cons_app(x0, double)) -> c9(APP(encArg(x0), double), ENCARG(x0), ENCARG(double)) ENCARG(cons_app(x0, nil)) -> c9(APP(encArg(x0), nil), ENCARG(x0), ENCARG(nil)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0), ENCARG(cons)) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(z0, z1))) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(APP(plus, encArg(x1)), ENCARG(plus), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(APP(0, encArg(x1)), ENCARG(0), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(APP(s, encArg(x1)), ENCARG(s), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(APP(times, encArg(x1)), ENCARG(times), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(inc), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(APP(map, encArg(x1)), ENCARG(map), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(double), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(APP(nil, encArg(x1)), ENCARG(nil), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(APP(cons, encArg(x1)), ENCARG(cons), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(x1)) ---------------------------------------- (48) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(app(times, app(s, z0)), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1), APP(app(times, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCODE_APP(z0, z1) -> c(APP(encArg(z0), encArg(z1))) ENCARG(cons_app(x0, plus)) -> c9(APP(encArg(x0), plus), ENCARG(x0), ENCARG(plus)) ENCARG(cons_app(x0, 0)) -> c9(APP(encArg(x0), 0), ENCARG(x0), ENCARG(0)) ENCARG(cons_app(x0, s)) -> c9(APP(encArg(x0), s), ENCARG(x0), ENCARG(s)) ENCARG(cons_app(x0, times)) -> c9(APP(encArg(x0), times), ENCARG(x0), ENCARG(times)) ENCARG(cons_app(x0, inc)) -> c9(APP(encArg(x0), inc), ENCARG(x0), ENCARG(inc)) ENCARG(cons_app(x0, map)) -> c9(APP(encArg(x0), map), ENCARG(x0), ENCARG(map)) ENCARG(cons_app(x0, double)) -> c9(APP(encArg(x0), double), ENCARG(x0), ENCARG(double)) ENCARG(cons_app(x0, nil)) -> c9(APP(encArg(x0), nil), ENCARG(x0), ENCARG(nil)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0), ENCARG(cons)) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(z0, z1))) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(APP(plus, encArg(x1)), ENCARG(plus), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(APP(0, encArg(x1)), ENCARG(0), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(APP(s, encArg(x1)), ENCARG(s), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(APP(times, encArg(x1)), ENCARG(times), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(inc), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(APP(map, encArg(x1)), ENCARG(map), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(double), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(APP(nil, encArg(x1)), ENCARG(nil), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(APP(cons, encArg(x1)), ENCARG(cons), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(x1)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(app(times, app(s, z0)), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1), APP(app(times, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCODE_APP_2, ENCARG_1 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c23_2, c24_1, c25_1, c27_2, c_1, c9_3 ---------------------------------------- (49) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 25 trailing tuple parts ---------------------------------------- (50) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(app(times, app(s, z0)), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1), APP(app(times, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCODE_APP(z0, z1) -> c(APP(encArg(z0), encArg(z1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(z0, z1))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(x0, plus)) -> c9(APP(encArg(x0), plus), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, 0)) -> c9(APP(encArg(x0), 0), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, s)) -> c9(APP(encArg(x0), s), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, times)) -> c9(APP(encArg(x0), times), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, inc)) -> c9(APP(encArg(x0), inc), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, map)) -> c9(APP(encArg(x0), map), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, double)) -> c9(APP(encArg(x0), double), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, nil)) -> c9(APP(encArg(x0), nil), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(app(times, app(s, z0)), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1), APP(app(times, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCODE_APP_2, ENCARG_1 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c23_2, c24_1, c25_1, c27_2, c_1, c9_3, c9_2, c9_1 ---------------------------------------- (51) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace APP(app(times, app(s, z0)), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1), APP(app(times, z0), z1)) by APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c23(APP(app(plus, 0), z0), APP(app(times, 0), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) ---------------------------------------- (52) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCODE_APP(z0, z1) -> c(APP(encArg(z0), encArg(z1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(z0, z1))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(x0, plus)) -> c9(APP(encArg(x0), plus), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, 0)) -> c9(APP(encArg(x0), 0), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, s)) -> c9(APP(encArg(x0), s), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, times)) -> c9(APP(encArg(x0), times), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, inc)) -> c9(APP(encArg(x0), inc), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, map)) -> c9(APP(encArg(x0), map), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, double)) -> c9(APP(encArg(x0), double), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, nil)) -> c9(APP(encArg(x0), nil), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c23(APP(app(plus, 0), z0), APP(app(times, 0), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c23(APP(app(plus, 0), z0), APP(app(times, 0), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCODE_APP_2, ENCARG_1 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c_1, c9_3, c9_2, c9_1, c23_2 ---------------------------------------- (53) CdtGraphSplitRhsProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Split RHS of tuples not part of any SCC ---------------------------------------- (54) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCODE_APP(z0, z1) -> c(APP(encArg(z0), encArg(z1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(z0, z1))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(x0, plus)) -> c9(APP(encArg(x0), plus), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, 0)) -> c9(APP(encArg(x0), 0), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, s)) -> c9(APP(encArg(x0), s), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, times)) -> c9(APP(encArg(x0), times), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, inc)) -> c9(APP(encArg(x0), inc), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, map)) -> c9(APP(encArg(x0), map), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, double)) -> c9(APP(encArg(x0), double), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, nil)) -> c9(APP(encArg(x0), nil), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCODE_APP_2, ENCARG_1 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c_1, c9_3, c9_2, c9_1, c23_2, c1_1 ---------------------------------------- (55) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_APP(z0, z1) -> c(APP(encArg(z0), encArg(z1))) by ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(plus, x1) -> c(APP(plus, encArg(x1))) ENCODE_APP(0, x1) -> c(APP(0, encArg(x1))) ENCODE_APP(s, x1) -> c(APP(s, encArg(x1))) ENCODE_APP(times, x1) -> c(APP(times, encArg(x1))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(map, x1) -> c(APP(map, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(nil, x1) -> c(APP(nil, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons, x1) -> c(APP(cons, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ---------------------------------------- (56) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(z0, z1))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(x0, plus)) -> c9(APP(encArg(x0), plus), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, 0)) -> c9(APP(encArg(x0), 0), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, s)) -> c9(APP(encArg(x0), s), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, times)) -> c9(APP(encArg(x0), times), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, inc)) -> c9(APP(encArg(x0), inc), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, map)) -> c9(APP(encArg(x0), map), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, double)) -> c9(APP(encArg(x0), double), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, nil)) -> c9(APP(encArg(x0), nil), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(plus, x1) -> c(APP(plus, encArg(x1))) ENCODE_APP(0, x1) -> c(APP(0, encArg(x1))) ENCODE_APP(s, x1) -> c(APP(s, encArg(x1))) ENCODE_APP(times, x1) -> c(APP(times, encArg(x1))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(map, x1) -> c(APP(map, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(nil, x1) -> c(APP(nil, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons, x1) -> c(APP(cons, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_3, c9_2, c9_1, c23_2, c1_1, c_1 ---------------------------------------- (57) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 7 trailing nodes: ENCODE_APP(s, x1) -> c(APP(s, encArg(x1))) ENCODE_APP(plus, x1) -> c(APP(plus, encArg(x1))) ENCODE_APP(map, x1) -> c(APP(map, encArg(x1))) ENCODE_APP(times, x1) -> c(APP(times, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons, x1) -> c(APP(cons, encArg(x1))) ENCODE_APP(nil, x1) -> c(APP(nil, encArg(x1))) ENCODE_APP(0, x1) -> c(APP(0, encArg(x1))) ---------------------------------------- (58) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(z0, z1))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(x0, plus)) -> c9(APP(encArg(x0), plus), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, 0)) -> c9(APP(encArg(x0), 0), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, s)) -> c9(APP(encArg(x0), s), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, times)) -> c9(APP(encArg(x0), times), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, inc)) -> c9(APP(encArg(x0), inc), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, map)) -> c9(APP(encArg(x0), map), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, double)) -> c9(APP(encArg(x0), double), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, nil)) -> c9(APP(encArg(x0), nil), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_3, c9_2, c9_1, c23_2, c1_1, c_1 ---------------------------------------- (59) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(z0, z1))) by ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(plus, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(plus), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(0, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(0), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(s, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(s), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(times, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(times), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(inc), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(map, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(map), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(double), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(nil, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(nil), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(cons, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ---------------------------------------- (60) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(x0, plus)) -> c9(APP(encArg(x0), plus), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, 0)) -> c9(APP(encArg(x0), 0), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, s)) -> c9(APP(encArg(x0), s), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, times)) -> c9(APP(encArg(x0), times), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, inc)) -> c9(APP(encArg(x0), inc), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, map)) -> c9(APP(encArg(x0), map), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, double)) -> c9(APP(encArg(x0), double), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, nil)) -> c9(APP(encArg(x0), nil), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(plus, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(plus), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(0, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(0), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(s, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(s), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(times, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(times), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(inc), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(map, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(map), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(double), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(nil, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(nil), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(cons, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_3, c9_2, c9_1, c23_2, c1_1, c_1 ---------------------------------------- (61) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 16 trailing tuple parts ---------------------------------------- (62) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(x0, plus)) -> c9(APP(encArg(x0), plus), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, 0)) -> c9(APP(encArg(x0), 0), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, s)) -> c9(APP(encArg(x0), s), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, times)) -> c9(APP(encArg(x0), times), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, inc)) -> c9(APP(encArg(x0), inc), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, map)) -> c9(APP(encArg(x0), map), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, double)) -> c9(APP(encArg(x0), double), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, nil)) -> c9(APP(encArg(x0), nil), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_3, c9_2, c9_1, c23_2, c1_1, c_1 ---------------------------------------- (63) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(x1)) by ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1)), ENCARG(plus)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1)), ENCARG(0)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1)), ENCARG(s)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1)), ENCARG(times)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1)), ENCARG(inc)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1)), ENCARG(map)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1)), ENCARG(double)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1)), ENCARG(nil)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1)), ENCARG(cons)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons_app(z0, z1))) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), app(encArg(z0), encArg(z1))), ENCARG(cons_app(x0, x1)), ENCARG(cons_app(z0, z1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(APP(app(0, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(APP(app(s, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(APP(app(nil, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(APP(app(cons, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ---------------------------------------- (64) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(x0, plus)) -> c9(APP(encArg(x0), plus), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, 0)) -> c9(APP(encArg(x0), 0), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, s)) -> c9(APP(encArg(x0), s), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, times)) -> c9(APP(encArg(x0), times), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, inc)) -> c9(APP(encArg(x0), inc), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, map)) -> c9(APP(encArg(x0), map), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, double)) -> c9(APP(encArg(x0), double), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, nil)) -> c9(APP(encArg(x0), nil), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1)), ENCARG(plus)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1)), ENCARG(0)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1)), ENCARG(s)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1)), ENCARG(times)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1)), ENCARG(inc)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1)), ENCARG(map)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1)), ENCARG(double)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1)), ENCARG(nil)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1)), ENCARG(cons)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(APP(app(0, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(APP(app(s, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(APP(app(nil, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(APP(app(cons, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_2, c9_1, c23_2, c1_1, c_1, c9_3 ---------------------------------------- (65) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 13 trailing tuple parts ---------------------------------------- (66) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(x0, plus)) -> c9(APP(encArg(x0), plus), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, 0)) -> c9(APP(encArg(x0), 0), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, s)) -> c9(APP(encArg(x0), s), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, times)) -> c9(APP(encArg(x0), times), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, inc)) -> c9(APP(encArg(x0), inc), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, map)) -> c9(APP(encArg(x0), map), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, double)) -> c9(APP(encArg(x0), double), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, nil)) -> c9(APP(encArg(x0), nil), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_2, c9_1, c23_2, c1_1, c_1, c9_3 ---------------------------------------- (67) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_app(x0, plus)) -> c9(APP(encArg(x0), plus), ENCARG(x0)) by ENCARG(cons_app(plus, plus)) -> c9(APP(plus, plus), ENCARG(plus)) ENCARG(cons_app(0, plus)) -> c9(APP(0, plus), ENCARG(0)) ENCARG(cons_app(s, plus)) -> c9(APP(s, plus), ENCARG(s)) ENCARG(cons_app(times, plus)) -> c9(APP(times, plus), ENCARG(times)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus), ENCARG(inc)) ENCARG(cons_app(map, plus)) -> c9(APP(map, plus), ENCARG(map)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus), ENCARG(double)) ENCARG(cons_app(nil, plus)) -> c9(APP(nil, plus), ENCARG(nil)) ENCARG(cons_app(cons, plus)) -> c9(APP(cons, plus), ENCARG(cons)) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), plus), ENCARG(cons_app(z0, z1))) ---------------------------------------- (68) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(x0, 0)) -> c9(APP(encArg(x0), 0), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, s)) -> c9(APP(encArg(x0), s), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, times)) -> c9(APP(encArg(x0), times), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, inc)) -> c9(APP(encArg(x0), inc), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, map)) -> c9(APP(encArg(x0), map), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, double)) -> c9(APP(encArg(x0), double), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, nil)) -> c9(APP(encArg(x0), nil), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(plus, plus)) -> c9(APP(plus, plus), ENCARG(plus)) ENCARG(cons_app(0, plus)) -> c9(APP(0, plus), ENCARG(0)) ENCARG(cons_app(s, plus)) -> c9(APP(s, plus), ENCARG(s)) ENCARG(cons_app(times, plus)) -> c9(APP(times, plus), ENCARG(times)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus), ENCARG(inc)) ENCARG(cons_app(map, plus)) -> c9(APP(map, plus), ENCARG(map)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus), ENCARG(double)) ENCARG(cons_app(nil, plus)) -> c9(APP(nil, plus), ENCARG(nil)) ENCARG(cons_app(cons, plus)) -> c9(APP(cons, plus), ENCARG(cons)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_2, c9_1, c23_2, c1_1, c_1, c9_3 ---------------------------------------- (69) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 7 trailing nodes: ENCARG(cons_app(map, plus)) -> c9(APP(map, plus), ENCARG(map)) ENCARG(cons_app(nil, plus)) -> c9(APP(nil, plus), ENCARG(nil)) ENCARG(cons_app(times, plus)) -> c9(APP(times, plus), ENCARG(times)) ENCARG(cons_app(cons, plus)) -> c9(APP(cons, plus), ENCARG(cons)) ENCARG(cons_app(s, plus)) -> c9(APP(s, plus), ENCARG(s)) ENCARG(cons_app(0, plus)) -> c9(APP(0, plus), ENCARG(0)) ENCARG(cons_app(plus, plus)) -> c9(APP(plus, plus), ENCARG(plus)) ---------------------------------------- (70) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(x0, 0)) -> c9(APP(encArg(x0), 0), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, s)) -> c9(APP(encArg(x0), s), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, times)) -> c9(APP(encArg(x0), times), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, inc)) -> c9(APP(encArg(x0), inc), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, map)) -> c9(APP(encArg(x0), map), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, double)) -> c9(APP(encArg(x0), double), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, nil)) -> c9(APP(encArg(x0), nil), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus), ENCARG(inc)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus), ENCARG(double)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_2, c9_1, c23_2, c1_1, c_1, c9_3 ---------------------------------------- (71) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing tuple parts ---------------------------------------- (72) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(x0, 0)) -> c9(APP(encArg(x0), 0), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, s)) -> c9(APP(encArg(x0), s), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, times)) -> c9(APP(encArg(x0), times), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, inc)) -> c9(APP(encArg(x0), inc), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, map)) -> c9(APP(encArg(x0), map), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, double)) -> c9(APP(encArg(x0), double), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, nil)) -> c9(APP(encArg(x0), nil), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_2, c9_1, c23_2, c1_1, c_1, c9_3 ---------------------------------------- (73) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_app(x0, 0)) -> c9(APP(encArg(x0), 0), ENCARG(x0)) by ENCARG(cons_app(plus, 0)) -> c9(APP(plus, 0), ENCARG(plus)) ENCARG(cons_app(0, 0)) -> c9(APP(0, 0), ENCARG(0)) ENCARG(cons_app(s, 0)) -> c9(APP(s, 0), ENCARG(s)) ENCARG(cons_app(times, 0)) -> c9(APP(times, 0), ENCARG(times)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0), ENCARG(inc)) ENCARG(cons_app(map, 0)) -> c9(APP(map, 0), ENCARG(map)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0), ENCARG(double)) ENCARG(cons_app(nil, 0)) -> c9(APP(nil, 0), ENCARG(nil)) ENCARG(cons_app(cons, 0)) -> c9(APP(cons, 0), ENCARG(cons)) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), 0), ENCARG(cons_app(z0, z1))) ---------------------------------------- (74) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(x0, s)) -> c9(APP(encArg(x0), s), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, times)) -> c9(APP(encArg(x0), times), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, inc)) -> c9(APP(encArg(x0), inc), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, map)) -> c9(APP(encArg(x0), map), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, double)) -> c9(APP(encArg(x0), double), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, nil)) -> c9(APP(encArg(x0), nil), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(plus, 0)) -> c9(APP(plus, 0), ENCARG(plus)) ENCARG(cons_app(0, 0)) -> c9(APP(0, 0), ENCARG(0)) ENCARG(cons_app(s, 0)) -> c9(APP(s, 0), ENCARG(s)) ENCARG(cons_app(times, 0)) -> c9(APP(times, 0), ENCARG(times)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0), ENCARG(inc)) ENCARG(cons_app(map, 0)) -> c9(APP(map, 0), ENCARG(map)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0), ENCARG(double)) ENCARG(cons_app(nil, 0)) -> c9(APP(nil, 0), ENCARG(nil)) ENCARG(cons_app(cons, 0)) -> c9(APP(cons, 0), ENCARG(cons)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_2, c9_1, c23_2, c1_1, c_1, c9_3 ---------------------------------------- (75) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 7 trailing nodes: ENCARG(cons_app(plus, 0)) -> c9(APP(plus, 0), ENCARG(plus)) ENCARG(cons_app(map, 0)) -> c9(APP(map, 0), ENCARG(map)) ENCARG(cons_app(cons, 0)) -> c9(APP(cons, 0), ENCARG(cons)) ENCARG(cons_app(nil, 0)) -> c9(APP(nil, 0), ENCARG(nil)) ENCARG(cons_app(times, 0)) -> c9(APP(times, 0), ENCARG(times)) ENCARG(cons_app(s, 0)) -> c9(APP(s, 0), ENCARG(s)) ENCARG(cons_app(0, 0)) -> c9(APP(0, 0), ENCARG(0)) ---------------------------------------- (76) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(x0, s)) -> c9(APP(encArg(x0), s), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, times)) -> c9(APP(encArg(x0), times), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, inc)) -> c9(APP(encArg(x0), inc), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, map)) -> c9(APP(encArg(x0), map), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, double)) -> c9(APP(encArg(x0), double), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, nil)) -> c9(APP(encArg(x0), nil), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0), ENCARG(inc)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0), ENCARG(double)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_2, c9_1, c23_2, c1_1, c_1, c9_3 ---------------------------------------- (77) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing tuple parts ---------------------------------------- (78) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(x0, s)) -> c9(APP(encArg(x0), s), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, times)) -> c9(APP(encArg(x0), times), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, inc)) -> c9(APP(encArg(x0), inc), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, map)) -> c9(APP(encArg(x0), map), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, double)) -> c9(APP(encArg(x0), double), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, nil)) -> c9(APP(encArg(x0), nil), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_2, c9_1, c23_2, c1_1, c_1, c9_3 ---------------------------------------- (79) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_app(x0, s)) -> c9(APP(encArg(x0), s), ENCARG(x0)) by ENCARG(cons_app(plus, s)) -> c9(APP(plus, s), ENCARG(plus)) ENCARG(cons_app(0, s)) -> c9(APP(0, s), ENCARG(0)) ENCARG(cons_app(s, s)) -> c9(APP(s, s), ENCARG(s)) ENCARG(cons_app(times, s)) -> c9(APP(times, s), ENCARG(times)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s), ENCARG(inc)) ENCARG(cons_app(map, s)) -> c9(APP(map, s), ENCARG(map)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s), ENCARG(double)) ENCARG(cons_app(nil, s)) -> c9(APP(nil, s), ENCARG(nil)) ENCARG(cons_app(cons, s)) -> c9(APP(cons, s), ENCARG(cons)) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), s)) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), s), ENCARG(cons_app(z0, z1))) ---------------------------------------- (80) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(x0, times)) -> c9(APP(encArg(x0), times), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, inc)) -> c9(APP(encArg(x0), inc), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, map)) -> c9(APP(encArg(x0), map), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, double)) -> c9(APP(encArg(x0), double), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, nil)) -> c9(APP(encArg(x0), nil), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(plus, s)) -> c9(APP(plus, s), ENCARG(plus)) ENCARG(cons_app(0, s)) -> c9(APP(0, s), ENCARG(0)) ENCARG(cons_app(s, s)) -> c9(APP(s, s), ENCARG(s)) ENCARG(cons_app(times, s)) -> c9(APP(times, s), ENCARG(times)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s), ENCARG(inc)) ENCARG(cons_app(map, s)) -> c9(APP(map, s), ENCARG(map)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s), ENCARG(double)) ENCARG(cons_app(nil, s)) -> c9(APP(nil, s), ENCARG(nil)) ENCARG(cons_app(cons, s)) -> c9(APP(cons, s), ENCARG(cons)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_2, c9_1, c23_2, c1_1, c_1, c9_3 ---------------------------------------- (81) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 7 trailing nodes: ENCARG(cons_app(map, s)) -> c9(APP(map, s), ENCARG(map)) ENCARG(cons_app(s, s)) -> c9(APP(s, s), ENCARG(s)) ENCARG(cons_app(cons, s)) -> c9(APP(cons, s), ENCARG(cons)) ENCARG(cons_app(0, s)) -> c9(APP(0, s), ENCARG(0)) ENCARG(cons_app(nil, s)) -> c9(APP(nil, s), ENCARG(nil)) ENCARG(cons_app(times, s)) -> c9(APP(times, s), ENCARG(times)) ENCARG(cons_app(plus, s)) -> c9(APP(plus, s), ENCARG(plus)) ---------------------------------------- (82) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(x0, times)) -> c9(APP(encArg(x0), times), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, inc)) -> c9(APP(encArg(x0), inc), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, map)) -> c9(APP(encArg(x0), map), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, double)) -> c9(APP(encArg(x0), double), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, nil)) -> c9(APP(encArg(x0), nil), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s), ENCARG(inc)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s), ENCARG(double)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_2, c9_1, c23_2, c1_1, c_1, c9_3 ---------------------------------------- (83) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing tuple parts ---------------------------------------- (84) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(x0, times)) -> c9(APP(encArg(x0), times), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, inc)) -> c9(APP(encArg(x0), inc), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, map)) -> c9(APP(encArg(x0), map), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, double)) -> c9(APP(encArg(x0), double), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, nil)) -> c9(APP(encArg(x0), nil), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_2, c9_1, c23_2, c1_1, c_1, c9_3 ---------------------------------------- (85) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_app(x0, times)) -> c9(APP(encArg(x0), times), ENCARG(x0)) by ENCARG(cons_app(plus, times)) -> c9(APP(plus, times), ENCARG(plus)) ENCARG(cons_app(0, times)) -> c9(APP(0, times), ENCARG(0)) ENCARG(cons_app(s, times)) -> c9(APP(s, times), ENCARG(s)) ENCARG(cons_app(times, times)) -> c9(APP(times, times), ENCARG(times)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times), ENCARG(inc)) ENCARG(cons_app(map, times)) -> c9(APP(map, times), ENCARG(map)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times), ENCARG(double)) ENCARG(cons_app(nil, times)) -> c9(APP(nil, times), ENCARG(nil)) ENCARG(cons_app(cons, times)) -> c9(APP(cons, times), ENCARG(cons)) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), times)) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), times), ENCARG(cons_app(z0, z1))) ---------------------------------------- (86) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(x0, inc)) -> c9(APP(encArg(x0), inc), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, map)) -> c9(APP(encArg(x0), map), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, double)) -> c9(APP(encArg(x0), double), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, nil)) -> c9(APP(encArg(x0), nil), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(plus, times)) -> c9(APP(plus, times), ENCARG(plus)) ENCARG(cons_app(0, times)) -> c9(APP(0, times), ENCARG(0)) ENCARG(cons_app(s, times)) -> c9(APP(s, times), ENCARG(s)) ENCARG(cons_app(times, times)) -> c9(APP(times, times), ENCARG(times)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times), ENCARG(inc)) ENCARG(cons_app(map, times)) -> c9(APP(map, times), ENCARG(map)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times), ENCARG(double)) ENCARG(cons_app(nil, times)) -> c9(APP(nil, times), ENCARG(nil)) ENCARG(cons_app(cons, times)) -> c9(APP(cons, times), ENCARG(cons)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_2, c9_1, c23_2, c1_1, c_1, c9_3 ---------------------------------------- (87) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 7 trailing nodes: ENCARG(cons_app(plus, times)) -> c9(APP(plus, times), ENCARG(plus)) ENCARG(cons_app(nil, times)) -> c9(APP(nil, times), ENCARG(nil)) ENCARG(cons_app(times, times)) -> c9(APP(times, times), ENCARG(times)) ENCARG(cons_app(map, times)) -> c9(APP(map, times), ENCARG(map)) ENCARG(cons_app(0, times)) -> c9(APP(0, times), ENCARG(0)) ENCARG(cons_app(cons, times)) -> c9(APP(cons, times), ENCARG(cons)) ENCARG(cons_app(s, times)) -> c9(APP(s, times), ENCARG(s)) ---------------------------------------- (88) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(x0, inc)) -> c9(APP(encArg(x0), inc), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, map)) -> c9(APP(encArg(x0), map), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, double)) -> c9(APP(encArg(x0), double), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, nil)) -> c9(APP(encArg(x0), nil), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times), ENCARG(inc)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times), ENCARG(double)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_2, c9_1, c23_2, c1_1, c_1, c9_3 ---------------------------------------- (89) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing tuple parts ---------------------------------------- (90) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(x0, inc)) -> c9(APP(encArg(x0), inc), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, map)) -> c9(APP(encArg(x0), map), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, double)) -> c9(APP(encArg(x0), double), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, nil)) -> c9(APP(encArg(x0), nil), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_2, c9_1, c23_2, c1_1, c_1, c9_3 ---------------------------------------- (91) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_app(x0, inc)) -> c9(APP(encArg(x0), inc), ENCARG(x0)) by ENCARG(cons_app(plus, inc)) -> c9(APP(plus, inc), ENCARG(plus)) ENCARG(cons_app(0, inc)) -> c9(APP(0, inc), ENCARG(0)) ENCARG(cons_app(s, inc)) -> c9(APP(s, inc), ENCARG(s)) ENCARG(cons_app(times, inc)) -> c9(APP(times, inc), ENCARG(times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc), ENCARG(inc)) ENCARG(cons_app(map, inc)) -> c9(APP(map, inc), ENCARG(map)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc), ENCARG(double)) ENCARG(cons_app(nil, inc)) -> c9(APP(nil, inc), ENCARG(nil)) ENCARG(cons_app(cons, inc)) -> c9(APP(cons, inc), ENCARG(cons)) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), inc), ENCARG(cons_app(z0, z1))) ---------------------------------------- (92) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(x0, map)) -> c9(APP(encArg(x0), map), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, double)) -> c9(APP(encArg(x0), double), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, nil)) -> c9(APP(encArg(x0), nil), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(plus, inc)) -> c9(APP(plus, inc), ENCARG(plus)) ENCARG(cons_app(0, inc)) -> c9(APP(0, inc), ENCARG(0)) ENCARG(cons_app(s, inc)) -> c9(APP(s, inc), ENCARG(s)) ENCARG(cons_app(times, inc)) -> c9(APP(times, inc), ENCARG(times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc), ENCARG(inc)) ENCARG(cons_app(map, inc)) -> c9(APP(map, inc), ENCARG(map)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc), ENCARG(double)) ENCARG(cons_app(nil, inc)) -> c9(APP(nil, inc), ENCARG(nil)) ENCARG(cons_app(cons, inc)) -> c9(APP(cons, inc), ENCARG(cons)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_2, c9_1, c23_2, c1_1, c_1, c9_3 ---------------------------------------- (93) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 7 trailing nodes: ENCARG(cons_app(nil, inc)) -> c9(APP(nil, inc), ENCARG(nil)) ENCARG(cons_app(times, inc)) -> c9(APP(times, inc), ENCARG(times)) ENCARG(cons_app(plus, inc)) -> c9(APP(plus, inc), ENCARG(plus)) ENCARG(cons_app(cons, inc)) -> c9(APP(cons, inc), ENCARG(cons)) ENCARG(cons_app(0, inc)) -> c9(APP(0, inc), ENCARG(0)) ENCARG(cons_app(s, inc)) -> c9(APP(s, inc), ENCARG(s)) ENCARG(cons_app(map, inc)) -> c9(APP(map, inc), ENCARG(map)) ---------------------------------------- (94) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(x0, map)) -> c9(APP(encArg(x0), map), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, double)) -> c9(APP(encArg(x0), double), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, nil)) -> c9(APP(encArg(x0), nil), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc), ENCARG(inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc), ENCARG(double)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_2, c9_1, c23_2, c1_1, c_1, c9_3 ---------------------------------------- (95) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing tuple parts ---------------------------------------- (96) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(x0, map)) -> c9(APP(encArg(x0), map), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, double)) -> c9(APP(encArg(x0), double), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, nil)) -> c9(APP(encArg(x0), nil), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_2, c9_1, c23_2, c1_1, c_1, c9_3 ---------------------------------------- (97) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_app(x0, map)) -> c9(APP(encArg(x0), map), ENCARG(x0)) by ENCARG(cons_app(plus, map)) -> c9(APP(plus, map), ENCARG(plus)) ENCARG(cons_app(0, map)) -> c9(APP(0, map), ENCARG(0)) ENCARG(cons_app(s, map)) -> c9(APP(s, map), ENCARG(s)) ENCARG(cons_app(times, map)) -> c9(APP(times, map), ENCARG(times)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map), ENCARG(inc)) ENCARG(cons_app(map, map)) -> c9(APP(map, map), ENCARG(map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map), ENCARG(double)) ENCARG(cons_app(nil, map)) -> c9(APP(nil, map), ENCARG(nil)) ENCARG(cons_app(cons, map)) -> c9(APP(cons, map), ENCARG(cons)) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), map)) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), map), ENCARG(cons_app(z0, z1))) ---------------------------------------- (98) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(x0, double)) -> c9(APP(encArg(x0), double), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, nil)) -> c9(APP(encArg(x0), nil), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(plus, map)) -> c9(APP(plus, map), ENCARG(plus)) ENCARG(cons_app(0, map)) -> c9(APP(0, map), ENCARG(0)) ENCARG(cons_app(s, map)) -> c9(APP(s, map), ENCARG(s)) ENCARG(cons_app(times, map)) -> c9(APP(times, map), ENCARG(times)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map), ENCARG(inc)) ENCARG(cons_app(map, map)) -> c9(APP(map, map), ENCARG(map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map), ENCARG(double)) ENCARG(cons_app(nil, map)) -> c9(APP(nil, map), ENCARG(nil)) ENCARG(cons_app(cons, map)) -> c9(APP(cons, map), ENCARG(cons)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_2, c9_1, c23_2, c1_1, c_1, c9_3 ---------------------------------------- (99) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 7 trailing nodes: ENCARG(cons_app(nil, map)) -> c9(APP(nil, map), ENCARG(nil)) ENCARG(cons_app(times, map)) -> c9(APP(times, map), ENCARG(times)) ENCARG(cons_app(map, map)) -> c9(APP(map, map), ENCARG(map)) ENCARG(cons_app(plus, map)) -> c9(APP(plus, map), ENCARG(plus)) ENCARG(cons_app(0, map)) -> c9(APP(0, map), ENCARG(0)) ENCARG(cons_app(cons, map)) -> c9(APP(cons, map), ENCARG(cons)) ENCARG(cons_app(s, map)) -> c9(APP(s, map), ENCARG(s)) ---------------------------------------- (100) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(x0, double)) -> c9(APP(encArg(x0), double), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, nil)) -> c9(APP(encArg(x0), nil), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, 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cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map), ENCARG(inc)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map), ENCARG(double)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_2, c9_1, c23_2, c1_1, c_1, c9_3 ---------------------------------------- (101) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing tuple parts ---------------------------------------- (102) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(x0, double)) -> c9(APP(encArg(x0), double), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, nil)) -> c9(APP(encArg(x0), nil), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_2, c9_1, c23_2, c1_1, c_1, c9_3 ---------------------------------------- (103) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_app(x0, double)) -> c9(APP(encArg(x0), double), ENCARG(x0)) by ENCARG(cons_app(plus, double)) -> c9(APP(plus, double), ENCARG(plus)) ENCARG(cons_app(0, double)) -> c9(APP(0, double), ENCARG(0)) ENCARG(cons_app(s, double)) -> c9(APP(s, double), ENCARG(s)) ENCARG(cons_app(times, double)) -> c9(APP(times, double), ENCARG(times)) ENCARG(cons_app(inc, double)) -> c9(APP(inc, double), ENCARG(inc)) ENCARG(cons_app(map, double)) -> c9(APP(map, double), ENCARG(map)) ENCARG(cons_app(double, double)) -> c9(APP(double, double), ENCARG(double)) ENCARG(cons_app(nil, double)) -> c9(APP(nil, double), ENCARG(nil)) ENCARG(cons_app(cons, double)) -> c9(APP(cons, double), ENCARG(cons)) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), double)) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), double), ENCARG(cons_app(z0, z1))) ---------------------------------------- (104) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(x0, nil)) -> c9(APP(encArg(x0), nil), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map)) ENCARG(cons_app(plus, double)) -> c9(APP(plus, double), ENCARG(plus)) ENCARG(cons_app(0, double)) -> c9(APP(0, double), ENCARG(0)) ENCARG(cons_app(s, double)) -> c9(APP(s, double), ENCARG(s)) ENCARG(cons_app(times, double)) -> c9(APP(times, double), ENCARG(times)) ENCARG(cons_app(inc, double)) -> c9(APP(inc, double), ENCARG(inc)) ENCARG(cons_app(map, double)) -> c9(APP(map, double), ENCARG(map)) ENCARG(cons_app(double, double)) -> c9(APP(double, double), ENCARG(double)) ENCARG(cons_app(nil, double)) -> c9(APP(nil, double), ENCARG(nil)) ENCARG(cons_app(cons, double)) -> c9(APP(cons, double), ENCARG(cons)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_2, c9_1, c23_2, c1_1, c_1, c9_3 ---------------------------------------- (105) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 7 trailing nodes: ENCARG(cons_app(cons, double)) -> c9(APP(cons, double), ENCARG(cons)) ENCARG(cons_app(map, double)) -> c9(APP(map, double), ENCARG(map)) ENCARG(cons_app(s, double)) -> c9(APP(s, double), ENCARG(s)) ENCARG(cons_app(0, double)) -> c9(APP(0, double), ENCARG(0)) ENCARG(cons_app(nil, double)) -> c9(APP(nil, double), ENCARG(nil)) ENCARG(cons_app(times, double)) -> c9(APP(times, double), ENCARG(times)) ENCARG(cons_app(plus, double)) -> c9(APP(plus, double), ENCARG(plus)) ---------------------------------------- (106) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(x0, nil)) -> c9(APP(encArg(x0), nil), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map)) ENCARG(cons_app(inc, double)) -> c9(APP(inc, double), ENCARG(inc)) ENCARG(cons_app(double, double)) -> c9(APP(double, double), ENCARG(double)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_2, c9_1, c23_2, c1_1, c_1, c9_3 ---------------------------------------- (107) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing tuple parts ---------------------------------------- (108) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(x0, nil)) -> c9(APP(encArg(x0), nil), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map)) ENCARG(cons_app(inc, double)) -> c9(APP(inc, double)) ENCARG(cons_app(double, double)) -> c9(APP(double, double)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_2, c9_1, c23_2, c1_1, c_1, c9_3 ---------------------------------------- (109) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_app(x0, nil)) -> c9(APP(encArg(x0), nil), ENCARG(x0)) by ENCARG(cons_app(plus, nil)) -> c9(APP(plus, nil), ENCARG(plus)) ENCARG(cons_app(0, nil)) -> c9(APP(0, nil), ENCARG(0)) ENCARG(cons_app(s, nil)) -> c9(APP(s, nil), ENCARG(s)) ENCARG(cons_app(times, nil)) -> c9(APP(times, nil), ENCARG(times)) ENCARG(cons_app(inc, nil)) -> c9(APP(inc, nil), ENCARG(inc)) ENCARG(cons_app(map, nil)) -> c9(APP(map, nil), ENCARG(map)) ENCARG(cons_app(double, nil)) -> c9(APP(double, nil), ENCARG(double)) ENCARG(cons_app(nil, nil)) -> c9(APP(nil, nil), ENCARG(nil)) ENCARG(cons_app(cons, nil)) -> c9(APP(cons, nil), ENCARG(cons)) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), nil), ENCARG(cons_app(z0, z1))) ---------------------------------------- (110) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map)) ENCARG(cons_app(inc, double)) -> c9(APP(inc, double)) ENCARG(cons_app(double, double)) -> c9(APP(double, double)) ENCARG(cons_app(plus, nil)) -> c9(APP(plus, nil), ENCARG(plus)) ENCARG(cons_app(0, nil)) -> c9(APP(0, nil), ENCARG(0)) ENCARG(cons_app(s, nil)) -> c9(APP(s, nil), ENCARG(s)) ENCARG(cons_app(times, nil)) -> c9(APP(times, nil), ENCARG(times)) ENCARG(cons_app(inc, nil)) -> c9(APP(inc, nil), ENCARG(inc)) ENCARG(cons_app(map, nil)) -> c9(APP(map, nil), ENCARG(map)) ENCARG(cons_app(double, nil)) -> c9(APP(double, nil), ENCARG(double)) ENCARG(cons_app(nil, nil)) -> c9(APP(nil, nil), ENCARG(nil)) ENCARG(cons_app(cons, nil)) -> c9(APP(cons, nil), ENCARG(cons)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_2, c9_1, c23_2, c1_1, c_1, c9_3 ---------------------------------------- (111) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 7 trailing nodes: ENCARG(cons_app(map, nil)) -> c9(APP(map, nil), ENCARG(map)) ENCARG(cons_app(nil, nil)) -> c9(APP(nil, nil), ENCARG(nil)) ENCARG(cons_app(times, nil)) -> c9(APP(times, nil), ENCARG(times)) ENCARG(cons_app(0, nil)) -> c9(APP(0, nil), ENCARG(0)) ENCARG(cons_app(plus, nil)) -> c9(APP(plus, nil), ENCARG(plus)) ENCARG(cons_app(s, nil)) -> c9(APP(s, nil), ENCARG(s)) ENCARG(cons_app(cons, nil)) -> c9(APP(cons, nil), ENCARG(cons)) ---------------------------------------- (112) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map)) ENCARG(cons_app(inc, double)) -> c9(APP(inc, double)) ENCARG(cons_app(double, double)) -> c9(APP(double, double)) ENCARG(cons_app(inc, nil)) -> c9(APP(inc, nil), ENCARG(inc)) ENCARG(cons_app(double, nil)) -> c9(APP(double, nil), ENCARG(double)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_2, c9_1, c23_2, c1_1, c_1, c9_3 ---------------------------------------- (113) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing tuple parts ---------------------------------------- (114) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map)) ENCARG(cons_app(inc, double)) -> c9(APP(inc, double)) ENCARG(cons_app(double, double)) -> c9(APP(double, double)) ENCARG(cons_app(inc, nil)) -> c9(APP(inc, nil)) ENCARG(cons_app(double, nil)) -> c9(APP(double, nil)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_2, c9_1, c23_2, c1_1, c_1, c9_3 ---------------------------------------- (115) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCARG(cons_app(x0, cons)) -> c9(APP(encArg(x0), cons), ENCARG(x0)) by ENCARG(cons_app(plus, cons)) -> c9(APP(plus, cons), ENCARG(plus)) ENCARG(cons_app(0, cons)) -> c9(APP(0, cons), ENCARG(0)) ENCARG(cons_app(s, cons)) -> c9(APP(s, cons), ENCARG(s)) ENCARG(cons_app(times, cons)) -> c9(APP(times, cons), ENCARG(times)) ENCARG(cons_app(inc, cons)) -> c9(APP(inc, cons), ENCARG(inc)) ENCARG(cons_app(map, cons)) -> c9(APP(map, cons), ENCARG(map)) ENCARG(cons_app(double, cons)) -> c9(APP(double, cons), ENCARG(double)) ENCARG(cons_app(nil, cons)) -> c9(APP(nil, cons), ENCARG(nil)) ENCARG(cons_app(cons, cons)) -> c9(APP(cons, cons), ENCARG(cons)) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), cons), ENCARG(cons_app(z0, z1))) ---------------------------------------- (116) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map)) ENCARG(cons_app(inc, double)) -> c9(APP(inc, double)) ENCARG(cons_app(double, double)) -> c9(APP(double, double)) ENCARG(cons_app(inc, nil)) -> c9(APP(inc, nil)) ENCARG(cons_app(double, nil)) -> c9(APP(double, nil)) ENCARG(cons_app(plus, cons)) -> c9(APP(plus, cons), ENCARG(plus)) ENCARG(cons_app(0, cons)) -> c9(APP(0, cons), ENCARG(0)) ENCARG(cons_app(s, cons)) -> c9(APP(s, cons), ENCARG(s)) ENCARG(cons_app(times, cons)) -> c9(APP(times, cons), ENCARG(times)) ENCARG(cons_app(inc, cons)) -> c9(APP(inc, cons), ENCARG(inc)) ENCARG(cons_app(map, cons)) -> c9(APP(map, cons), ENCARG(map)) ENCARG(cons_app(double, cons)) -> c9(APP(double, cons), ENCARG(double)) ENCARG(cons_app(nil, cons)) -> c9(APP(nil, cons), ENCARG(nil)) ENCARG(cons_app(cons, cons)) -> c9(APP(cons, cons), ENCARG(cons)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_1, c9_2, c23_2, c1_1, c_1, c9_3 ---------------------------------------- (117) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 7 trailing nodes: ENCARG(cons_app(map, cons)) -> c9(APP(map, cons), ENCARG(map)) ENCARG(cons_app(cons, cons)) -> c9(APP(cons, cons), ENCARG(cons)) ENCARG(cons_app(s, cons)) -> c9(APP(s, cons), ENCARG(s)) ENCARG(cons_app(nil, cons)) -> c9(APP(nil, cons), ENCARG(nil)) ENCARG(cons_app(times, cons)) -> c9(APP(times, cons), ENCARG(times)) ENCARG(cons_app(0, cons)) -> c9(APP(0, cons), ENCARG(0)) ENCARG(cons_app(plus, cons)) -> c9(APP(plus, cons), ENCARG(plus)) ---------------------------------------- (118) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map)) ENCARG(cons_app(inc, double)) -> c9(APP(inc, double)) ENCARG(cons_app(double, double)) -> c9(APP(double, double)) ENCARG(cons_app(inc, nil)) -> c9(APP(inc, nil)) ENCARG(cons_app(double, nil)) -> c9(APP(double, nil)) ENCARG(cons_app(inc, cons)) -> c9(APP(inc, cons), ENCARG(inc)) ENCARG(cons_app(double, cons)) -> c9(APP(double, cons), ENCARG(double)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_1, c9_2, c23_2, c1_1, c_1, c9_3 ---------------------------------------- (119) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing tuple parts ---------------------------------------- (120) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map)) ENCARG(cons_app(inc, double)) -> c9(APP(inc, double)) ENCARG(cons_app(double, double)) -> c9(APP(double, double)) ENCARG(cons_app(inc, nil)) -> c9(APP(inc, nil)) ENCARG(cons_app(double, nil)) -> c9(APP(double, nil)) ENCARG(cons_app(inc, cons)) -> c9(APP(inc, cons)) ENCARG(cons_app(double, cons)) -> c9(APP(double, cons)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_1, c9_2, c23_2, c1_1, c_1, c9_3 ---------------------------------------- (121) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, z0)), z1)) by APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0), APP(app(times, app(s, 0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) ---------------------------------------- (122) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map)) ENCARG(cons_app(inc, double)) -> c9(APP(inc, double)) ENCARG(cons_app(double, double)) -> c9(APP(double, double)) ENCARG(cons_app(inc, nil)) -> c9(APP(inc, nil)) ENCARG(cons_app(double, nil)) -> c9(APP(double, nil)) ENCARG(cons_app(inc, cons)) -> c9(APP(inc, cons)) ENCARG(cons_app(double, cons)) -> c9(APP(double, cons)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0), APP(app(times, app(s, 0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0), APP(app(times, app(s, 0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_1, c9_2, c1_1, c_1, c9_3, c23_2 ---------------------------------------- (123) CdtGraphSplitRhsProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Split RHS of tuples not part of any SCC ---------------------------------------- (124) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map)) ENCARG(cons_app(inc, double)) -> c9(APP(inc, double)) ENCARG(cons_app(double, double)) -> c9(APP(double, double)) ENCARG(cons_app(inc, nil)) -> c9(APP(inc, nil)) ENCARG(cons_app(double, nil)) -> c9(APP(double, nil)) ENCARG(cons_app(inc, cons)) -> c9(APP(inc, cons)) ENCARG(cons_app(double, cons)) -> c9(APP(double, cons)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_1, c9_2, c1_1, c_1, c9_3, c23_2, c2_1 ---------------------------------------- (125) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_APP(x0, plus) -> c(APP(encArg(x0), plus)) by ENCODE_APP(plus, plus) -> c(APP(plus, plus)) ENCODE_APP(0, plus) -> c(APP(0, plus)) ENCODE_APP(s, plus) -> c(APP(s, plus)) ENCODE_APP(times, plus) -> c(APP(times, plus)) ENCODE_APP(inc, plus) -> c(APP(inc, plus)) ENCODE_APP(map, plus) -> c(APP(map, plus)) ENCODE_APP(double, plus) -> c(APP(double, plus)) ENCODE_APP(nil, plus) -> c(APP(nil, plus)) ENCODE_APP(cons, plus) -> c(APP(cons, plus)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), plus) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), plus)) ---------------------------------------- (126) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map)) ENCARG(cons_app(inc, double)) -> c9(APP(inc, double)) ENCARG(cons_app(double, double)) -> c9(APP(double, double)) ENCARG(cons_app(inc, nil)) -> c9(APP(inc, nil)) ENCARG(cons_app(double, nil)) -> c9(APP(double, nil)) ENCARG(cons_app(inc, cons)) -> c9(APP(inc, cons)) ENCARG(cons_app(double, cons)) -> c9(APP(double, cons)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) ENCODE_APP(plus, plus) -> c(APP(plus, plus)) ENCODE_APP(0, plus) -> c(APP(0, plus)) ENCODE_APP(s, plus) -> c(APP(s, plus)) ENCODE_APP(times, plus) -> c(APP(times, plus)) ENCODE_APP(inc, plus) -> c(APP(inc, plus)) ENCODE_APP(map, plus) -> c(APP(map, plus)) ENCODE_APP(double, plus) -> c(APP(double, plus)) ENCODE_APP(nil, plus) -> c(APP(nil, plus)) ENCODE_APP(cons, plus) -> c(APP(cons, plus)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), plus) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), plus)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_1, c9_2, c1_1, c_1, c9_3, c23_2, c2_1 ---------------------------------------- (127) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication) Removed 2 leading nodes: ENCODE_APP(inc, plus) -> c(APP(inc, plus)) ENCODE_APP(double, plus) -> c(APP(double, plus)) Removed 7 trailing nodes: ENCODE_APP(plus, plus) -> c(APP(plus, plus)) ENCODE_APP(cons, plus) -> c(APP(cons, plus)) ENCODE_APP(map, plus) -> c(APP(map, plus)) ENCODE_APP(nil, plus) -> c(APP(nil, plus)) ENCODE_APP(times, plus) -> c(APP(times, plus)) ENCODE_APP(s, plus) -> c(APP(s, plus)) ENCODE_APP(0, plus) -> c(APP(0, plus)) ---------------------------------------- (128) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map)) ENCARG(cons_app(inc, double)) -> c9(APP(inc, double)) ENCARG(cons_app(double, double)) -> c9(APP(double, double)) ENCARG(cons_app(inc, nil)) -> c9(APP(inc, nil)) ENCARG(cons_app(double, nil)) -> c9(APP(double, nil)) ENCARG(cons_app(inc, cons)) -> c9(APP(inc, cons)) ENCARG(cons_app(double, cons)) -> c9(APP(double, cons)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), plus) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), plus)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_1, c9_2, c1_1, c_1, c9_3, c23_2, c2_1 ---------------------------------------- (129) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_APP(x0, 0) -> c(APP(encArg(x0), 0)) by ENCODE_APP(plus, 0) -> c(APP(plus, 0)) ENCODE_APP(0, 0) -> c(APP(0, 0)) ENCODE_APP(s, 0) -> c(APP(s, 0)) ENCODE_APP(times, 0) -> c(APP(times, 0)) ENCODE_APP(inc, 0) -> c(APP(inc, 0)) ENCODE_APP(map, 0) -> c(APP(map, 0)) ENCODE_APP(double, 0) -> c(APP(double, 0)) ENCODE_APP(nil, 0) -> c(APP(nil, 0)) ENCODE_APP(cons, 0) -> c(APP(cons, 0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), 0) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), 0)) ---------------------------------------- (130) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map)) ENCARG(cons_app(inc, double)) -> c9(APP(inc, double)) ENCARG(cons_app(double, double)) -> c9(APP(double, double)) ENCARG(cons_app(inc, nil)) -> c9(APP(inc, nil)) ENCARG(cons_app(double, nil)) -> c9(APP(double, nil)) ENCARG(cons_app(inc, cons)) -> c9(APP(inc, cons)) ENCARG(cons_app(double, cons)) -> c9(APP(double, cons)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), plus) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), plus)) ENCODE_APP(plus, 0) -> c(APP(plus, 0)) ENCODE_APP(0, 0) -> c(APP(0, 0)) ENCODE_APP(s, 0) -> c(APP(s, 0)) ENCODE_APP(times, 0) -> c(APP(times, 0)) ENCODE_APP(inc, 0) -> c(APP(inc, 0)) ENCODE_APP(map, 0) -> c(APP(map, 0)) ENCODE_APP(double, 0) -> c(APP(double, 0)) ENCODE_APP(nil, 0) -> c(APP(nil, 0)) ENCODE_APP(cons, 0) -> c(APP(cons, 0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), 0) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), 0)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_1, c9_2, c1_1, c_1, c9_3, c23_2, c2_1 ---------------------------------------- (131) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication) Removed 2 leading nodes: ENCODE_APP(inc, 0) -> c(APP(inc, 0)) ENCODE_APP(double, 0) -> c(APP(double, 0)) Removed 7 trailing nodes: ENCODE_APP(cons, 0) -> c(APP(cons, 0)) ENCODE_APP(s, 0) -> c(APP(s, 0)) ENCODE_APP(map, 0) -> c(APP(map, 0)) ENCODE_APP(nil, 0) -> c(APP(nil, 0)) ENCODE_APP(times, 0) -> c(APP(times, 0)) ENCODE_APP(0, 0) -> c(APP(0, 0)) ENCODE_APP(plus, 0) -> c(APP(plus, 0)) ---------------------------------------- (132) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map)) ENCARG(cons_app(inc, double)) -> c9(APP(inc, double)) ENCARG(cons_app(double, double)) -> c9(APP(double, double)) ENCARG(cons_app(inc, nil)) -> c9(APP(inc, nil)) ENCARG(cons_app(double, nil)) -> c9(APP(double, nil)) ENCARG(cons_app(inc, cons)) -> c9(APP(inc, cons)) ENCARG(cons_app(double, cons)) -> c9(APP(double, cons)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), plus) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), plus)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), 0) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), 0)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_1, c9_2, c1_1, c_1, c9_3, c23_2, c2_1 ---------------------------------------- (133) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_APP(x0, s) -> c(APP(encArg(x0), s)) by ENCODE_APP(plus, s) -> c(APP(plus, s)) ENCODE_APP(0, s) -> c(APP(0, s)) ENCODE_APP(s, s) -> c(APP(s, s)) ENCODE_APP(times, s) -> c(APP(times, s)) ENCODE_APP(inc, s) -> c(APP(inc, s)) ENCODE_APP(map, s) -> c(APP(map, s)) ENCODE_APP(double, s) -> c(APP(double, s)) ENCODE_APP(nil, s) -> c(APP(nil, s)) ENCODE_APP(cons, s) -> c(APP(cons, s)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), s) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), s)) ---------------------------------------- (134) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map)) ENCARG(cons_app(inc, double)) -> c9(APP(inc, double)) ENCARG(cons_app(double, double)) -> c9(APP(double, double)) ENCARG(cons_app(inc, nil)) -> c9(APP(inc, nil)) ENCARG(cons_app(double, nil)) -> c9(APP(double, nil)) ENCARG(cons_app(inc, cons)) -> c9(APP(inc, cons)) ENCARG(cons_app(double, cons)) -> c9(APP(double, cons)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), plus) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), plus)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), 0) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), 0)) ENCODE_APP(plus, s) -> c(APP(plus, s)) ENCODE_APP(0, s) -> c(APP(0, s)) ENCODE_APP(s, s) -> c(APP(s, s)) ENCODE_APP(times, s) -> c(APP(times, s)) ENCODE_APP(inc, s) -> c(APP(inc, s)) ENCODE_APP(map, s) -> c(APP(map, s)) ENCODE_APP(double, s) -> c(APP(double, s)) ENCODE_APP(nil, s) -> c(APP(nil, s)) ENCODE_APP(cons, s) -> c(APP(cons, s)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), s) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), s)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_1, c9_2, c1_1, c_1, c9_3, c23_2, c2_1 ---------------------------------------- (135) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication) Removed 2 leading nodes: ENCODE_APP(inc, s) -> c(APP(inc, s)) ENCODE_APP(double, s) -> c(APP(double, s)) Removed 7 trailing nodes: ENCODE_APP(0, s) -> c(APP(0, s)) ENCODE_APP(s, s) -> c(APP(s, s)) ENCODE_APP(nil, s) -> c(APP(nil, s)) ENCODE_APP(map, s) -> c(APP(map, s)) ENCODE_APP(times, s) -> c(APP(times, s)) ENCODE_APP(cons, s) -> c(APP(cons, s)) ENCODE_APP(plus, s) -> c(APP(plus, s)) ---------------------------------------- (136) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map)) ENCARG(cons_app(inc, double)) -> c9(APP(inc, double)) ENCARG(cons_app(double, double)) -> c9(APP(double, double)) ENCARG(cons_app(inc, nil)) -> c9(APP(inc, nil)) ENCARG(cons_app(double, nil)) -> c9(APP(double, nil)) ENCARG(cons_app(inc, cons)) -> c9(APP(inc, cons)) ENCARG(cons_app(double, cons)) -> c9(APP(double, cons)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), plus) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), plus)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), 0) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), 0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), s) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), s)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_1, c9_2, c1_1, c_1, c9_3, c23_2, c2_1 ---------------------------------------- (137) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_APP(x0, times) -> c(APP(encArg(x0), times)) by ENCODE_APP(plus, times) -> c(APP(plus, times)) ENCODE_APP(0, times) -> c(APP(0, times)) ENCODE_APP(s, times) -> c(APP(s, times)) ENCODE_APP(times, times) -> c(APP(times, times)) ENCODE_APP(inc, times) -> c(APP(inc, times)) ENCODE_APP(map, times) -> c(APP(map, times)) ENCODE_APP(double, times) -> c(APP(double, times)) ENCODE_APP(nil, times) -> c(APP(nil, times)) ENCODE_APP(cons, times) -> c(APP(cons, times)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), times) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), times)) ---------------------------------------- (138) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map)) ENCARG(cons_app(inc, double)) -> c9(APP(inc, double)) ENCARG(cons_app(double, double)) -> c9(APP(double, double)) ENCARG(cons_app(inc, nil)) -> c9(APP(inc, nil)) ENCARG(cons_app(double, nil)) -> c9(APP(double, nil)) ENCARG(cons_app(inc, cons)) -> c9(APP(inc, cons)) ENCARG(cons_app(double, cons)) -> c9(APP(double, cons)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), plus) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), plus)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), 0) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), 0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), s) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), s)) ENCODE_APP(plus, times) -> c(APP(plus, times)) ENCODE_APP(0, times) -> c(APP(0, times)) ENCODE_APP(s, times) -> c(APP(s, times)) ENCODE_APP(times, times) -> c(APP(times, times)) ENCODE_APP(inc, times) -> c(APP(inc, times)) ENCODE_APP(map, times) -> c(APP(map, times)) ENCODE_APP(double, times) -> c(APP(double, times)) ENCODE_APP(nil, times) -> c(APP(nil, times)) ENCODE_APP(cons, times) -> c(APP(cons, times)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), times) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), times)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_1, c9_2, c1_1, c_1, c9_3, c23_2, c2_1 ---------------------------------------- (139) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication) Removed 2 leading nodes: ENCODE_APP(inc, times) -> c(APP(inc, times)) ENCODE_APP(double, times) -> c(APP(double, times)) Removed 7 trailing nodes: ENCODE_APP(s, times) -> c(APP(s, times)) ENCODE_APP(cons, times) -> c(APP(cons, times)) ENCODE_APP(0, times) -> c(APP(0, times)) ENCODE_APP(nil, times) -> c(APP(nil, times)) ENCODE_APP(times, times) -> c(APP(times, times)) ENCODE_APP(plus, times) -> c(APP(plus, times)) ENCODE_APP(map, times) -> c(APP(map, times)) ---------------------------------------- (140) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map)) ENCARG(cons_app(inc, double)) -> c9(APP(inc, double)) ENCARG(cons_app(double, double)) -> c9(APP(double, double)) ENCARG(cons_app(inc, nil)) -> c9(APP(inc, nil)) ENCARG(cons_app(double, nil)) -> c9(APP(double, nil)) ENCARG(cons_app(inc, cons)) -> c9(APP(inc, cons)) ENCARG(cons_app(double, cons)) -> c9(APP(double, cons)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), plus) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), plus)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), 0) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), 0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), s) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), s)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), times) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), times)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_1, c9_2, c1_1, c_1, c9_3, c23_2, c2_1 ---------------------------------------- (141) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_APP(x0, inc) -> c(APP(encArg(x0), inc)) by ENCODE_APP(plus, inc) -> c(APP(plus, inc)) ENCODE_APP(0, inc) -> c(APP(0, inc)) ENCODE_APP(s, inc) -> c(APP(s, inc)) ENCODE_APP(times, inc) -> c(APP(times, inc)) ENCODE_APP(inc, inc) -> c(APP(inc, inc)) ENCODE_APP(map, inc) -> c(APP(map, inc)) ENCODE_APP(double, inc) -> c(APP(double, inc)) ENCODE_APP(nil, inc) -> c(APP(nil, inc)) ENCODE_APP(cons, inc) -> c(APP(cons, inc)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), inc) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), inc)) ---------------------------------------- (142) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map)) ENCARG(cons_app(inc, double)) -> c9(APP(inc, double)) ENCARG(cons_app(double, double)) -> c9(APP(double, double)) ENCARG(cons_app(inc, nil)) -> c9(APP(inc, nil)) ENCARG(cons_app(double, nil)) -> c9(APP(double, nil)) ENCARG(cons_app(inc, cons)) -> c9(APP(inc, cons)) ENCARG(cons_app(double, cons)) -> c9(APP(double, cons)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), plus) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), plus)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), 0) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), 0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), s) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), s)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), times) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), times)) ENCODE_APP(plus, inc) -> c(APP(plus, inc)) ENCODE_APP(0, inc) -> c(APP(0, inc)) ENCODE_APP(s, inc) -> c(APP(s, inc)) ENCODE_APP(times, inc) -> c(APP(times, inc)) ENCODE_APP(inc, inc) -> c(APP(inc, inc)) ENCODE_APP(map, inc) -> c(APP(map, inc)) ENCODE_APP(double, inc) -> c(APP(double, inc)) ENCODE_APP(nil, inc) -> c(APP(nil, inc)) ENCODE_APP(cons, inc) -> c(APP(cons, inc)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), inc) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), inc)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_1, c9_2, c1_1, c_1, c9_3, c23_2, c2_1 ---------------------------------------- (143) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication) Removed 2 leading nodes: ENCODE_APP(inc, inc) -> c(APP(inc, inc)) ENCODE_APP(double, inc) -> c(APP(double, inc)) Removed 7 trailing nodes: ENCODE_APP(plus, inc) -> c(APP(plus, inc)) ENCODE_APP(map, inc) -> c(APP(map, inc)) ENCODE_APP(nil, inc) -> c(APP(nil, inc)) ENCODE_APP(times, inc) -> c(APP(times, inc)) ENCODE_APP(s, inc) -> c(APP(s, inc)) ENCODE_APP(cons, inc) -> c(APP(cons, inc)) ENCODE_APP(0, inc) -> c(APP(0, inc)) ---------------------------------------- (144) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map)) ENCARG(cons_app(inc, double)) -> c9(APP(inc, double)) ENCARG(cons_app(double, double)) -> c9(APP(double, double)) ENCARG(cons_app(inc, nil)) -> c9(APP(inc, nil)) ENCARG(cons_app(double, nil)) -> c9(APP(double, nil)) ENCARG(cons_app(inc, cons)) -> c9(APP(inc, cons)) ENCARG(cons_app(double, cons)) -> c9(APP(double, cons)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), plus) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), plus)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), 0) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), 0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), s) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), s)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), times) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), times)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), inc) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), inc)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_1, c9_2, c1_1, c_1, c9_3, c23_2, c2_1 ---------------------------------------- (145) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_APP(x0, map) -> c(APP(encArg(x0), map)) by ENCODE_APP(plus, map) -> c(APP(plus, map)) ENCODE_APP(0, map) -> c(APP(0, map)) ENCODE_APP(s, map) -> c(APP(s, map)) ENCODE_APP(times, map) -> c(APP(times, map)) ENCODE_APP(inc, map) -> c(APP(inc, map)) ENCODE_APP(map, map) -> c(APP(map, map)) ENCODE_APP(double, map) -> c(APP(double, map)) ENCODE_APP(nil, map) -> c(APP(nil, map)) ENCODE_APP(cons, map) -> c(APP(cons, map)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), map) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), map)) ---------------------------------------- (146) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, 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ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map)) ENCARG(cons_app(inc, double)) -> c9(APP(inc, double)) ENCARG(cons_app(double, double)) -> c9(APP(double, double)) ENCARG(cons_app(inc, nil)) -> c9(APP(inc, nil)) ENCARG(cons_app(double, nil)) -> c9(APP(double, nil)) ENCARG(cons_app(inc, cons)) -> c9(APP(inc, cons)) ENCARG(cons_app(double, cons)) -> c9(APP(double, cons)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), plus) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), plus)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), 0) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), 0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), s) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), s)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), times) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), times)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), inc) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), inc)) ENCODE_APP(plus, map) -> c(APP(plus, map)) ENCODE_APP(0, map) -> c(APP(0, map)) ENCODE_APP(s, map) -> c(APP(s, map)) ENCODE_APP(times, map) -> c(APP(times, map)) ENCODE_APP(inc, map) -> c(APP(inc, map)) ENCODE_APP(map, map) -> c(APP(map, map)) ENCODE_APP(double, map) -> c(APP(double, map)) ENCODE_APP(nil, map) -> c(APP(nil, map)) ENCODE_APP(cons, map) -> c(APP(cons, map)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), map) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), map)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_1, c9_2, c1_1, c_1, c9_3, c23_2, c2_1 ---------------------------------------- (147) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication) Removed 2 leading nodes: ENCODE_APP(inc, map) -> c(APP(inc, map)) ENCODE_APP(double, map) -> c(APP(double, map)) Removed 7 trailing nodes: ENCODE_APP(0, map) -> c(APP(0, map)) ENCODE_APP(nil, map) -> c(APP(nil, map)) ENCODE_APP(times, map) -> c(APP(times, map)) ENCODE_APP(plus, map) -> c(APP(plus, map)) ENCODE_APP(cons, map) -> c(APP(cons, map)) ENCODE_APP(s, map) -> c(APP(s, map)) ENCODE_APP(map, map) -> c(APP(map, map)) ---------------------------------------- (148) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map)) ENCARG(cons_app(inc, double)) -> c9(APP(inc, double)) ENCARG(cons_app(double, double)) -> c9(APP(double, double)) ENCARG(cons_app(inc, nil)) -> c9(APP(inc, nil)) ENCARG(cons_app(double, nil)) -> c9(APP(double, nil)) ENCARG(cons_app(inc, cons)) -> c9(APP(inc, cons)) ENCARG(cons_app(double, cons)) -> c9(APP(double, cons)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), plus) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), plus)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), 0) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), 0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), s) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), s)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), times) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), times)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), inc) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), inc)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), map) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), map)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_1, c9_2, c1_1, c_1, c9_3, c23_2, c2_1 ---------------------------------------- (149) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_APP(x0, double) -> c(APP(encArg(x0), double)) by ENCODE_APP(plus, double) -> c(APP(plus, double)) ENCODE_APP(0, double) -> c(APP(0, double)) ENCODE_APP(s, double) -> c(APP(s, double)) ENCODE_APP(times, double) -> c(APP(times, double)) ENCODE_APP(inc, double) -> c(APP(inc, double)) ENCODE_APP(map, double) -> c(APP(map, double)) ENCODE_APP(double, double) -> c(APP(double, double)) ENCODE_APP(nil, double) -> c(APP(nil, double)) ENCODE_APP(cons, double) -> c(APP(cons, double)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), double) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), double)) ---------------------------------------- (150) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map)) ENCARG(cons_app(inc, double)) -> c9(APP(inc, double)) ENCARG(cons_app(double, double)) -> c9(APP(double, double)) ENCARG(cons_app(inc, nil)) -> c9(APP(inc, nil)) ENCARG(cons_app(double, nil)) -> c9(APP(double, nil)) ENCARG(cons_app(inc, cons)) -> c9(APP(inc, cons)) ENCARG(cons_app(double, cons)) -> c9(APP(double, cons)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), plus) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), plus)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), 0) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), 0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), s) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), s)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), times) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), times)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), inc) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), inc)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), map) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), map)) ENCODE_APP(plus, double) -> c(APP(plus, double)) ENCODE_APP(0, double) -> c(APP(0, double)) ENCODE_APP(s, double) -> c(APP(s, double)) ENCODE_APP(times, double) -> c(APP(times, double)) ENCODE_APP(inc, double) -> c(APP(inc, double)) ENCODE_APP(map, double) -> c(APP(map, double)) ENCODE_APP(double, double) -> c(APP(double, double)) ENCODE_APP(nil, double) -> c(APP(nil, double)) ENCODE_APP(cons, double) -> c(APP(cons, double)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), double) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), double)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_1, c9_2, c1_1, c_1, c9_3, c23_2, c2_1 ---------------------------------------- (151) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication) Removed 2 leading nodes: ENCODE_APP(inc, double) -> c(APP(inc, double)) ENCODE_APP(double, double) -> c(APP(double, double)) Removed 7 trailing nodes: ENCODE_APP(map, double) -> c(APP(map, double)) ENCODE_APP(plus, double) -> c(APP(plus, double)) ENCODE_APP(cons, double) -> c(APP(cons, double)) ENCODE_APP(0, double) -> c(APP(0, double)) ENCODE_APP(s, double) -> c(APP(s, double)) ENCODE_APP(nil, double) -> c(APP(nil, double)) ENCODE_APP(times, double) -> c(APP(times, double)) ---------------------------------------- (152) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map)) ENCARG(cons_app(inc, double)) -> c9(APP(inc, double)) ENCARG(cons_app(double, double)) -> c9(APP(double, double)) ENCARG(cons_app(inc, nil)) -> c9(APP(inc, nil)) ENCARG(cons_app(double, nil)) -> c9(APP(double, nil)) ENCARG(cons_app(inc, cons)) -> c9(APP(inc, cons)) ENCARG(cons_app(double, cons)) -> c9(APP(double, cons)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), plus) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), plus)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), 0) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), 0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), s) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), s)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), times) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), times)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), inc) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), inc)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), map) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), map)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), double) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), double)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_1, c9_2, c1_1, c_1, c9_3, c23_2, c2_1 ---------------------------------------- (153) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_APP(x0, nil) -> c(APP(encArg(x0), nil)) by ENCODE_APP(plus, nil) -> c(APP(plus, nil)) ENCODE_APP(0, nil) -> c(APP(0, nil)) ENCODE_APP(s, nil) -> c(APP(s, nil)) ENCODE_APP(times, nil) -> c(APP(times, nil)) ENCODE_APP(inc, nil) -> c(APP(inc, nil)) ENCODE_APP(map, nil) -> c(APP(map, nil)) ENCODE_APP(double, nil) -> c(APP(double, nil)) ENCODE_APP(nil, nil) -> c(APP(nil, nil)) ENCODE_APP(cons, nil) -> c(APP(cons, nil)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), nil) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), nil)) ---------------------------------------- (154) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map)) ENCARG(cons_app(inc, double)) -> c9(APP(inc, double)) ENCARG(cons_app(double, double)) -> c9(APP(double, double)) ENCARG(cons_app(inc, nil)) -> c9(APP(inc, nil)) ENCARG(cons_app(double, nil)) -> c9(APP(double, nil)) ENCARG(cons_app(inc, cons)) -> c9(APP(inc, cons)) ENCARG(cons_app(double, cons)) -> c9(APP(double, cons)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), plus) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), plus)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), 0) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), 0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), s) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), s)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), times) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), times)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), inc) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), inc)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), map) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), map)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), double) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), double)) ENCODE_APP(plus, nil) -> c(APP(plus, nil)) ENCODE_APP(0, nil) -> c(APP(0, nil)) ENCODE_APP(s, nil) -> c(APP(s, nil)) ENCODE_APP(times, nil) -> c(APP(times, nil)) ENCODE_APP(inc, nil) -> c(APP(inc, nil)) ENCODE_APP(map, nil) -> c(APP(map, nil)) ENCODE_APP(double, nil) -> c(APP(double, nil)) ENCODE_APP(nil, nil) -> c(APP(nil, nil)) ENCODE_APP(cons, nil) -> c(APP(cons, nil)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), nil) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), nil)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_1, c9_2, c1_1, c_1, c9_3, c23_2, c2_1 ---------------------------------------- (155) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication) Removed 2 leading nodes: ENCODE_APP(inc, nil) -> c(APP(inc, nil)) ENCODE_APP(double, nil) -> c(APP(double, nil)) Removed 7 trailing nodes: ENCODE_APP(cons, nil) -> c(APP(cons, nil)) ENCODE_APP(s, nil) -> c(APP(s, nil)) ENCODE_APP(nil, nil) -> c(APP(nil, nil)) ENCODE_APP(times, nil) -> c(APP(times, nil)) ENCODE_APP(map, nil) -> c(APP(map, nil)) ENCODE_APP(0, nil) -> c(APP(0, nil)) ENCODE_APP(plus, nil) -> c(APP(plus, nil)) ---------------------------------------- (156) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map)) ENCARG(cons_app(inc, double)) -> c9(APP(inc, double)) ENCARG(cons_app(double, double)) -> c9(APP(double, double)) ENCARG(cons_app(inc, nil)) -> c9(APP(inc, nil)) ENCARG(cons_app(double, nil)) -> c9(APP(double, nil)) ENCARG(cons_app(inc, cons)) -> c9(APP(inc, cons)) ENCARG(cons_app(double, cons)) -> c9(APP(double, cons)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), plus) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), plus)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), 0) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), 0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), s) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), s)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), times) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), times)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), inc) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), inc)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), map) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), map)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), double) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), double)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), nil) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), nil)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_1, c9_2, c1_1, c_1, c9_3, c23_2, c2_1 ---------------------------------------- (157) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_APP(x0, cons) -> c(APP(encArg(x0), cons)) by ENCODE_APP(plus, cons) -> c(APP(plus, cons)) ENCODE_APP(0, cons) -> c(APP(0, cons)) ENCODE_APP(s, cons) -> c(APP(s, cons)) ENCODE_APP(times, cons) -> c(APP(times, cons)) ENCODE_APP(inc, cons) -> c(APP(inc, cons)) ENCODE_APP(map, cons) -> c(APP(map, cons)) ENCODE_APP(double, cons) -> c(APP(double, cons)) ENCODE_APP(nil, cons) -> c(APP(nil, cons)) ENCODE_APP(cons, cons) -> c(APP(cons, cons)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), cons) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), cons)) ---------------------------------------- (158) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map)) ENCARG(cons_app(inc, double)) -> c9(APP(inc, double)) ENCARG(cons_app(double, double)) -> c9(APP(double, double)) ENCARG(cons_app(inc, nil)) -> c9(APP(inc, nil)) ENCARG(cons_app(double, nil)) -> c9(APP(double, nil)) ENCARG(cons_app(inc, cons)) -> c9(APP(inc, cons)) ENCARG(cons_app(double, cons)) -> c9(APP(double, cons)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), plus) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), plus)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), 0) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), 0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), s) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), s)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), times) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), times)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), inc) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), inc)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), map) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), map)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), double) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), double)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), nil) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), nil)) ENCODE_APP(plus, cons) -> c(APP(plus, cons)) ENCODE_APP(0, cons) -> c(APP(0, cons)) ENCODE_APP(s, cons) -> c(APP(s, cons)) ENCODE_APP(times, cons) -> c(APP(times, cons)) ENCODE_APP(inc, cons) -> c(APP(inc, cons)) ENCODE_APP(map, cons) -> c(APP(map, cons)) ENCODE_APP(double, cons) -> c(APP(double, cons)) ENCODE_APP(nil, cons) -> c(APP(nil, cons)) ENCODE_APP(cons, cons) -> c(APP(cons, cons)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), cons) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), cons)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_1, c9_2, c1_1, c_1, c9_3, c23_2, c2_1 ---------------------------------------- (159) CdtLeafRemovalProof (ComplexityIfPolyImplication) Removed 2 leading nodes: ENCODE_APP(inc, cons) -> c(APP(inc, cons)) ENCODE_APP(double, cons) -> c(APP(double, cons)) Removed 7 trailing nodes: ENCODE_APP(plus, cons) -> c(APP(plus, cons)) ENCODE_APP(map, cons) -> c(APP(map, cons)) ENCODE_APP(nil, cons) -> c(APP(nil, cons)) ENCODE_APP(times, cons) -> c(APP(times, cons)) ENCODE_APP(s, cons) -> c(APP(s, cons)) ENCODE_APP(cons, cons) -> c(APP(cons, cons)) ENCODE_APP(0, cons) -> c(APP(0, cons)) ---------------------------------------- (160) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map)) ENCARG(cons_app(inc, double)) -> c9(APP(inc, double)) ENCARG(cons_app(double, double)) -> c9(APP(double, double)) ENCARG(cons_app(inc, nil)) -> c9(APP(inc, nil)) ENCARG(cons_app(double, nil)) -> c9(APP(double, nil)) ENCARG(cons_app(inc, cons)) -> c9(APP(inc, cons)) ENCARG(cons_app(double, cons)) -> c9(APP(double, cons)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), plus) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), plus)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), 0) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), 0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), s) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), s)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), times) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), times)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), inc) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), inc)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), map) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), map)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), double) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), double)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), nil) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), nil)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), cons) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), cons)) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_1, c9_2, c1_1, c_1, c9_3, c23_2, c2_1 ---------------------------------------- (161) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_APP(x0, cons_app(z0, z1)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1)))) by ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, plus)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, 0)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, s)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, times)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, inc)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, map)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, double)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, nil)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, cons)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1))) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_APP(x0, cons_app(plus, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(0, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(s, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(times, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(inc, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(map, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(double, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(nil, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(cons, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)))) ENCODE_APP(plus, cons_app(x1, x2)) -> c(APP(plus, app(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_APP(0, cons_app(x1, x2)) -> c(APP(0, app(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_APP(s, cons_app(x1, x2)) -> c(APP(s, app(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_APP(times, cons_app(x1, x2)) -> c(APP(times, app(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_APP(inc, cons_app(x1, x2)) -> c(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_APP(map, cons_app(x1, x2)) -> c(APP(map, app(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_APP(double, cons_app(x1, x2)) -> c(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_APP(nil, cons_app(x1, x2)) -> c(APP(nil, app(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_APP(cons, cons_app(x1, x2)) -> c(APP(cons, app(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2)) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2)))) ---------------------------------------- (162) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map)) ENCARG(cons_app(inc, double)) -> c9(APP(inc, double)) ENCARG(cons_app(double, double)) -> c9(APP(double, double)) ENCARG(cons_app(inc, nil)) -> c9(APP(inc, nil)) ENCARG(cons_app(double, nil)) -> c9(APP(double, nil)) ENCARG(cons_app(inc, cons)) -> c9(APP(inc, cons)) ENCARG(cons_app(double, cons)) -> c9(APP(double, cons)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), plus) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), plus)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), 0) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), 0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), s) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), s)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), times) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), times)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), inc) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), inc)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), map) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), map)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), double) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), double)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), nil) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), nil)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), cons) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, plus)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, 0)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, s)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, times)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, inc)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, map)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, double)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, nil)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, cons)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1))) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_APP(x0, cons_app(plus, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(0, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(s, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(times, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(inc, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(map, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(double, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(nil, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(cons, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)))) ENCODE_APP(plus, cons_app(x1, x2)) -> c(APP(plus, app(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_APP(0, cons_app(x1, x2)) -> c(APP(0, app(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_APP(s, cons_app(x1, x2)) -> c(APP(s, app(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_APP(times, cons_app(x1, x2)) -> c(APP(times, app(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_APP(inc, cons_app(x1, x2)) -> c(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_APP(map, cons_app(x1, x2)) -> c(APP(map, app(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_APP(double, cons_app(x1, x2)) -> c(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_APP(nil, cons_app(x1, x2)) -> c(APP(nil, app(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_APP(cons, cons_app(x1, x2)) -> c(APP(cons, app(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2)) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2)))) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_1, c9_2, c1_1, c_1, c9_3, c23_2, c2_1 ---------------------------------------- (163) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 7 trailing nodes: ENCODE_APP(times, cons_app(x1, x2)) -> c(APP(times, app(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_APP(s, cons_app(x1, x2)) -> c(APP(s, app(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_APP(cons, cons_app(x1, x2)) -> c(APP(cons, app(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_APP(0, cons_app(x1, x2)) -> c(APP(0, app(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_APP(nil, cons_app(x1, x2)) -> c(APP(nil, app(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_APP(map, cons_app(x1, x2)) -> c(APP(map, app(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_APP(plus, cons_app(x1, x2)) -> c(APP(plus, app(encArg(x1), encArg(x2)))) ---------------------------------------- (164) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map)) ENCARG(cons_app(inc, double)) -> c9(APP(inc, double)) ENCARG(cons_app(double, double)) -> c9(APP(double, double)) ENCARG(cons_app(inc, nil)) -> c9(APP(inc, nil)) ENCARG(cons_app(double, nil)) -> c9(APP(double, nil)) ENCARG(cons_app(inc, cons)) -> c9(APP(inc, cons)) ENCARG(cons_app(double, cons)) -> c9(APP(double, cons)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), plus) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), plus)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), 0) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), 0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), s) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), s)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), times) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), times)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), inc) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), inc)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), map) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), map)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), double) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), double)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), nil) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), nil)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), cons) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, plus)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, 0)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, s)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, times)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, inc)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, map)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, double)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, nil)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, cons)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1))) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_APP(x0, cons_app(plus, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(0, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(s, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(times, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(inc, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(map, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(double, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(nil, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(cons, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)))) ENCODE_APP(inc, cons_app(x1, x2)) -> c(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_APP(double, cons_app(x1, x2)) -> c(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2)) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2)))) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_1, c9_2, c1_1, c_1, c9_3, c23_2, c2_1 ---------------------------------------- (165) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), x1) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1))) by ENCODE_APP(cons_app(x0, x1), plus) -> c(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus)) ENCODE_APP(cons_app(x0, x1), 0) -> c(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0)) ENCODE_APP(cons_app(x0, x1), s) -> c(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s)) ENCODE_APP(cons_app(x0, x1), times) -> c(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times)) ENCODE_APP(cons_app(x0, x1), inc) -> c(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc)) ENCODE_APP(cons_app(x0, x1), map) -> c(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map)) ENCODE_APP(cons_app(x0, x1), double) -> c(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double)) ENCODE_APP(cons_app(x0, x1), nil) -> c(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil)) ENCODE_APP(cons_app(x0, x1), cons) -> c(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons)) ENCODE_APP(cons_app(x0, x1), cons_app(z0, z1)) -> c(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), app(encArg(z0), encArg(z1)))) ENCODE_APP(cons_app(x0, plus), x2) -> c(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(x0, 0), x2) -> c(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(x0, s), x2) -> c(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(x0, times), x2) -> c(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(x0, inc), x2) -> c(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(x0, map), x2) -> c(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(x0, double), x2) -> c(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(x0, nil), x2) -> c(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(x0, cons), x2) -> c(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2) -> c(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(plus, x1), x2) -> c(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(0, x1), x2) -> c(APP(app(0, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(s, x1), x2) -> c(APP(app(s, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(times, x1), x2) -> c(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(inc, x1), x2) -> c(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(map, x1), x2) -> c(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(double, x1), x2) -> c(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(nil, x1), x2) -> c(APP(app(nil, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(cons, x1), x2) -> c(APP(app(cons, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2) -> c(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2))) ---------------------------------------- (166) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(double, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(nil, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(nil, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(z0, z1)), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(plus, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(0, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(s, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(times, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(inc, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(map, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(double, cons_app(x1, x2))) -> c9(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2))), ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(nil, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons, cons_app(x1, x2))) -> c9(ENCARG(cons_app(x1, x2))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, plus), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, plus)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, 0), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, 0)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, s), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, s)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, times), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, times)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, inc), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, inc)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, map), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, map)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, double), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, double)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, nil), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, nil)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2)) -> c9(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(x0, cons_app(z0, z1))), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(plus, x1), x2)) -> c9(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(plus, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(times, x1), x2)) -> c9(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(times, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(inc, x1), x2)) -> c9(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(inc, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(map, x1), x2)) -> c9(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(map, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(double, x1), x2)) -> c9(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(double, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2)) -> c9(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2)), ENCARG(cons_app(cons_app(z0, z1), x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), plus)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), plus), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), 0)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), 0), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), s)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), s), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), times)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), times), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), inc)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), inc), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), map)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), map), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), double)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), double), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), nil)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), nil), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(x0, x1), cons)) -> c9(APP(app(encArg(x0), encArg(x1)), cons), ENCARG(cons_app(x0, x1))) ENCARG(cons_app(cons_app(0, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(0, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(s, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(s, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(nil, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(nil, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(cons_app(cons, x1), x2)) -> c9(ENCARG(cons_app(cons, x1)), ENCARG(x2)) ENCARG(cons_app(inc, plus)) -> c9(APP(inc, plus)) ENCARG(cons_app(double, plus)) -> c9(APP(double, plus)) ENCARG(cons_app(inc, 0)) -> c9(APP(inc, 0)) ENCARG(cons_app(double, 0)) -> c9(APP(double, 0)) ENCARG(cons_app(inc, s)) -> c9(APP(inc, s)) ENCARG(cons_app(double, s)) -> c9(APP(double, s)) ENCARG(cons_app(inc, times)) -> c9(APP(inc, times)) ENCARG(cons_app(double, times)) -> c9(APP(double, times)) ENCARG(cons_app(inc, inc)) -> c9(APP(inc, inc)) ENCARG(cons_app(double, inc)) -> c9(APP(double, inc)) ENCARG(cons_app(inc, map)) -> c9(APP(inc, map)) ENCARG(cons_app(double, map)) -> c9(APP(double, map)) ENCARG(cons_app(inc, double)) -> c9(APP(inc, double)) ENCARG(cons_app(double, double)) -> c9(APP(double, double)) ENCARG(cons_app(inc, nil)) -> c9(APP(inc, nil)) ENCARG(cons_app(double, nil)) -> c9(APP(double, nil)) ENCARG(cons_app(inc, cons)) -> c9(APP(inc, cons)) ENCARG(cons_app(double, cons)) -> c9(APP(double, cons)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), plus) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), plus)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), 0) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), 0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), s) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), s)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), times) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), times)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), inc) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), inc)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), map) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), map)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), double) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), double)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), nil) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), nil)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), cons) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, plus)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, 0)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, s)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, times)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, inc)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, map)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, double)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, nil)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, cons)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1))) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1))))) ENCODE_APP(x0, cons_app(plus, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(0, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(s, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(times, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(inc, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(map, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(double, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(nil, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(nil, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(cons, x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(cons, encArg(x2)))) ENCODE_APP(x0, cons_app(cons_app(z0, z1), x2)) -> c(APP(encArg(x0), app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x2)))) ENCODE_APP(inc, cons_app(x1, x2)) -> c(APP(inc, app(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_APP(double, cons_app(x1, x2)) -> c(APP(double, app(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), cons_app(x1, x2)) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), app(encArg(x1), encArg(x2)))) ENCODE_APP(cons_app(x0, plus), x2) -> c(APP(app(encArg(x0), plus), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(x0, 0), x2) -> c(APP(app(encArg(x0), 0), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(x0, s), x2) -> c(APP(app(encArg(x0), s), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(x0, times), x2) -> c(APP(app(encArg(x0), times), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(x0, inc), x2) -> c(APP(app(encArg(x0), inc), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(x0, map), x2) -> c(APP(app(encArg(x0), map), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(x0, double), x2) -> c(APP(app(encArg(x0), double), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(x0, nil), x2) -> c(APP(app(encArg(x0), nil), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(x0, cons), x2) -> c(APP(app(encArg(x0), cons), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(x0, cons_app(z0, z1)), x2) -> c(APP(app(encArg(x0), app(encArg(z0), encArg(z1))), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(plus, x1), x2) -> c(APP(app(plus, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(0, x1), x2) -> c(APP(app(0, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(s, x1), x2) -> c(APP(app(s, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(times, x1), x2) -> c(APP(app(times, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(inc, x1), x2) -> c(APP(app(inc, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(map, x1), x2) -> c(APP(app(map, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(double, x1), x2) -> c(APP(app(double, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(nil, x1), x2) -> c(APP(app(nil, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(cons, x1), x2) -> c(APP(app(cons, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2) -> c(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2))) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_1, c9_2, c1_1, c_1, c9_3, c23_2, c2_1 ---------------------------------------- (167) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 4 trailing nodes: ENCODE_APP(cons_app(s, x1), x2) -> c(APP(app(s, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(0, x1), x2) -> c(APP(app(0, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(cons, x1), x2) -> c(APP(app(cons, encArg(x1)), encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(nil, x1), x2) -> c(APP(app(nil, encArg(x1)), encArg(x2))) ---------------------------------------- (168) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: encArg(plus) -> plus encArg(0) -> 0 encArg(s) -> s encArg(times) -> times encArg(inc) -> inc encArg(map) -> map encArg(double) -> double encArg(nil) -> nil encArg(cons) -> cons encArg(cons_app(z0, z1)) -> app(encArg(z0), encArg(z1)) app(app(plus, 0), z0) -> z0 app(app(plus, app(s, z0)), z1) -> app(s, app(app(plus, z0), z1)) app(app(times, 0), z0) -> 0 app(app(times, app(s, z0)), z1) -> app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1) app(inc, z0) -> app(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0) app(double, z0) -> app(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0) app(app(map, z0), nil) -> nil app(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> app(app(cons, app(z0, z1)), app(app(map, z0), z2)) Tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) ENCARG(cons_app(plus, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(0, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(s, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(times, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(inc, x1)) -> c9(APP(inc, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(map, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(double, x1)) -> c9(APP(double, encArg(x1)), ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(nil, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) ENCARG(cons_app(cons, x1)) -> c9(ENCARG(x1)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) ENCODE_APP(inc, x1) -> c(APP(inc, encArg(x1))) ENCODE_APP(double, x1) -> c(APP(double, encArg(x1))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, plus))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, plus))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, 0))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, 0))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, s))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), s)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, s))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, times))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), times)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, times))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, inc))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), inc)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, inc))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, map))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), map)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, map))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, double))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), double)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, double))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, nil))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), nil)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, nil))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), cons)), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) -> c9(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), app(encArg(z0), encArg(z1)))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(x1, cons_app(z0, z1)))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(plus, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(plus, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(plus, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(0, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(0, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(0, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(s, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(s, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(s, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(times, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(times, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(times, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(inc, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(inc, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(inc, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(map, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(map, encArg(x2))), ENCARG(x0), ENCARG(cons_app(map, x2))) ENCARG(cons_app(x0, cons_app(double, x2))) -> c9(APP(encArg(x0), app(double, encArg(x2))), ENCARG(x0), 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z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), plus) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), plus)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), 0) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), 0)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), s) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), s)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), times) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), times)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), inc) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), inc)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), map) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), map)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), double) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), double)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), nil) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), nil)) ENCODE_APP(cons_app(z0, z1), cons) -> c(APP(app(encArg(z0), encArg(z1)), cons)) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, plus)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), plus))) ENCODE_APP(x0, cons_app(x1, 0)) -> c(APP(encArg(x0), app(encArg(x1), 0))) 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encArg(x2))) ENCODE_APP(cons_app(cons_app(z0, z1), x1), x2) -> c(APP(app(app(encArg(z0), encArg(z1)), encArg(x1)), encArg(x2))) S tuples: APP(app(plus, 0), z0) -> c20 APP(app(times, 0), z0) -> c22 APP(app(map, z0), nil) -> c26 APP(app(plus, app(s, z0)), z1) -> c21(APP(app(plus, z0), z1)) APP(inc, z0) -> c24(APP(app(map, app(plus, app(s, 0))), z0)) APP(double, z0) -> c25(APP(app(map, app(times, app(s, app(s, 0)))), z0)) APP(app(map, z0), app(app(cons, z1), z2)) -> c27(APP(z0, z1), APP(app(map, z0), z2)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(plus, 0), z0)) APP(app(times, app(s, 0)), z0) -> c1(APP(app(times, 0), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, app(s, z0)))), z1) -> c23(APP(app(plus, app(app(plus, app(app(plus, app(app(times, z0), z1)), z1)), z1)), z1), APP(app(times, app(s, app(s, z0))), z1)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(plus, app(app(plus, 0), z0)), z0)) APP(app(times, app(s, app(s, 0))), z0) -> c2(APP(app(times, app(s, 0)), z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: encArg_1, app_2 Defined Pair Symbols: APP_2, ENCARG_1, ENCODE_APP_2 Compound Symbols: c20, c22, c26, c21_1, c24_1, c25_1, c27_2, c9_1, c9_2, c1_1, c_1, c9_3, c23_2, c2_1