/export/starexec/sandbox2/solver/bin/starexec_run_rcdcRelativeAlsoLower /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml /export/starexec/sandbox2/output/output_files -------------------------------------------------------------------------------- WORST_CASE(Omega(n^1), ?) proof of /export/starexec/sandbox2/benchmark/theBenchmark.xml # AProVE Commit ID: 794c25de1cacf0d048858bcd21c9a779e1221865 marcel 20200619 unpublished dirty The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). (0) DCpxTrs (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxRelTRS (3) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 310 ms] (4) CpxRelTRS (5) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (6) CpxRelTRS (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) typed CpxTrs (9) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (10) typed CpxTrs (11) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 233 ms] (12) BEST (13) proven lower bound (14) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (15) BOUNDS(n^1, INF) (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 66 ms] (18) typed CpxTrs (19) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 52 ms] (20) typed CpxTrs (21) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 271 ms] (22) BOUNDS(1, INF) ---------------------------------------- (0) Obligation: The Derivational Complexity (innermost) of the given DCpxTrs could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: even(0) -> true even(s(0)) -> false even(s(s(x))) -> even(x) half(0) -> 0 half(s(s(x))) -> s(half(x)) plus(0, y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) times(0, y) -> 0 times(s(x), y) -> if_times(even(s(x)), s(x), y) if_times(true, s(x), y) -> plus(times(half(s(x)), y), times(half(s(x)), y)) if_times(false, s(x), y) -> plus(y, times(x, y)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (1) DerivationalComplexityToRuntimeComplexityProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules have been added to S to convert the given derivational complexity problem to a runtime complexity problem: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons_even(x_1)) -> even(encArg(x_1)) encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if_times(x_1, x_2, x_3)) -> if_times(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_even(x_1) -> even(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if_times(x_1, x_2, x_3) -> if_times(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: even(0) -> true even(s(0)) -> false even(s(s(x))) -> even(x) half(0) -> 0 half(s(s(x))) -> s(half(x)) plus(0, y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) times(0, y) -> 0 times(s(x), y) -> if_times(even(s(x)), s(x), y) if_times(true, s(x), y) -> plus(times(half(s(x)), y), times(half(s(x)), y)) if_times(false, s(x), y) -> plus(y, times(x, y)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons_even(x_1)) -> even(encArg(x_1)) encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if_times(x_1, x_2, x_3)) -> if_times(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_even(x_1) -> even(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if_times(x_1, x_2, x_3) -> if_times(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (3) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID)) proved innermost termination of relative rules ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: even(0) -> true even(s(0)) -> false even(s(s(x))) -> even(x) half(0) -> 0 half(s(s(x))) -> s(half(x)) plus(0, y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) times(0, y) -> 0 times(s(x), y) -> if_times(even(s(x)), s(x), y) if_times(true, s(x), y) -> plus(times(half(s(x)), y), times(half(s(x)), y)) if_times(false, s(x), y) -> plus(y, times(x, y)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0) -> 0 encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons_even(x_1)) -> even(encArg(x_1)) encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if_times(x_1, x_2, x_3)) -> if_times(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_even(x_1) -> even(encArg(x_1)) encode_0 -> 0 encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if_times(x_1, x_2, x_3) -> if_times(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (5) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: even(0') -> true even(s(0')) -> false even(s(s(x))) -> even(x) half(0') -> 0' half(s(s(x))) -> s(half(x)) plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) times(0', y) -> 0' times(s(x), y) -> if_times(even(s(x)), s(x), y) if_times(true, s(x), y) -> plus(times(half(s(x)), y), times(half(s(x)), y)) if_times(false, s(x), y) -> plus(y, times(x, y)) The (relative) TRS S consists of the following rules: encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons_even(x_1)) -> even(encArg(x_1)) encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if_times(x_1, x_2, x_3)) -> if_times(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_even(x_1) -> even(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if_times(x_1, x_2, x_3) -> if_times(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Innermost TRS: Rules: even(0') -> true even(s(0')) -> false even(s(s(x))) -> even(x) half(0') -> 0' half(s(s(x))) -> s(half(x)) plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) times(0', y) -> 0' times(s(x), y) -> if_times(even(s(x)), s(x), y) if_times(true, s(x), y) -> plus(times(half(s(x)), y), times(half(s(x)), y)) if_times(false, s(x), y) -> plus(y, times(x, y)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons_even(x_1)) -> even(encArg(x_1)) encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if_times(x_1, x_2, x_3)) -> if_times(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_even(x_1) -> even(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if_times(x_1, x_2, x_3) -> if_times(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: even :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times 0' :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times true :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times s :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times false :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times half :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times plus :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times if_times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encArg :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times cons_even :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times cons_half :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times cons_plus :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times cons_times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times cons_if_times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_even :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_0 :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_true :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_s :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_false :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_half :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_plus :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_if_times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times hole_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times1_4 :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4 :: Nat -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times ---------------------------------------- (9) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: even, half, plus, times, if_times, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: even < times even < encArg half < if_times half < encArg plus < if_times plus < encArg times = if_times times < encArg if_times < encArg ---------------------------------------- (10) Obligation: Innermost TRS: Rules: even(0') -> true even(s(0')) -> false even(s(s(x))) -> even(x) half(0') -> 0' half(s(s(x))) -> s(half(x)) plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) times(0', y) -> 0' times(s(x), y) -> if_times(even(s(x)), s(x), y) if_times(true, s(x), y) -> plus(times(half(s(x)), y), times(half(s(x)), y)) if_times(false, s(x), y) -> plus(y, times(x, y)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons_even(x_1)) -> even(encArg(x_1)) encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if_times(x_1, x_2, x_3)) -> if_times(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_even(x_1) -> even(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if_times(x_1, x_2, x_3) -> if_times(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: even :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times 0' :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times true :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times s :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times false :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times half :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times plus :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times if_times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encArg :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times cons_even :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times cons_half :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times cons_plus :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times cons_times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times cons_if_times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_even :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_0 :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_true :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_s :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_false :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_half :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_plus :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_if_times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times hole_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times1_4 :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4 :: Nat -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times Generator Equations: gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(0) <=> 0' gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: even, half, plus, times, if_times, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: even < times even < encArg half < if_times half < encArg plus < if_times plus < encArg times = if_times times < encArg if_times < encArg ---------------------------------------- (11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: even(gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(*(2, n4_4))) -> true, rt in Omega(1 + n4_4) Induction Base: even(gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(*(2, 0))) ->_R^Omega(1) true Induction Step: even(gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(*(2, +(n4_4, 1)))) ->_R^Omega(1) even(gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(*(2, n4_4))) ->_IH true We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (12) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (13) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: even(0') -> true even(s(0')) -> false even(s(s(x))) -> even(x) half(0') -> 0' half(s(s(x))) -> s(half(x)) plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) times(0', y) -> 0' times(s(x), y) -> if_times(even(s(x)), s(x), y) if_times(true, s(x), y) -> plus(times(half(s(x)), y), times(half(s(x)), y)) if_times(false, s(x), y) -> plus(y, times(x, y)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons_even(x_1)) -> even(encArg(x_1)) encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if_times(x_1, x_2, x_3)) -> if_times(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_even(x_1) -> even(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if_times(x_1, x_2, x_3) -> if_times(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: even :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times 0' :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times true :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times s :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times false :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times half :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times plus :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times if_times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encArg :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times cons_even :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times cons_half :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times cons_plus :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times cons_times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times cons_if_times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_even :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_0 :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_true :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_s :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_false :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_half :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_plus :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_if_times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times hole_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times1_4 :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4 :: Nat -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times Generator Equations: gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(0) <=> 0' gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: even, half, plus, times, if_times, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: even < times even < encArg half < if_times half < encArg plus < if_times plus < encArg times = if_times times < encArg if_times < encArg ---------------------------------------- (14) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (15) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: even(0') -> true even(s(0')) -> false even(s(s(x))) -> even(x) half(0') -> 0' half(s(s(x))) -> s(half(x)) plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) times(0', y) -> 0' times(s(x), y) -> if_times(even(s(x)), s(x), y) if_times(true, s(x), y) -> plus(times(half(s(x)), y), times(half(s(x)), y)) if_times(false, s(x), y) -> plus(y, times(x, y)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons_even(x_1)) -> even(encArg(x_1)) encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if_times(x_1, x_2, x_3)) -> if_times(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_even(x_1) -> even(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if_times(x_1, x_2, x_3) -> if_times(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: even :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times 0' :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times true :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times s :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times false :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times half :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times plus :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times if_times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encArg :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times cons_even :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times cons_half :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times cons_plus :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times cons_times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times cons_if_times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_even :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_0 :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_true :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_s :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_false :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_half :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_plus :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_if_times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times hole_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times1_4 :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4 :: Nat -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times Lemmas: even(gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(*(2, n4_4))) -> true, rt in Omega(1 + n4_4) Generator Equations: gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(0) <=> 0' gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: half, plus, times, if_times, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: half < if_times half < encArg plus < if_times plus < encArg times = if_times times < encArg if_times < encArg ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: half(gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(*(2, n289_4))) -> gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(n289_4), rt in Omega(1 + n289_4) Induction Base: half(gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(*(2, 0))) ->_R^Omega(1) 0' Induction Step: half(gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(*(2, +(n289_4, 1)))) ->_R^Omega(1) s(half(gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(*(2, n289_4)))) ->_IH s(gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(c290_4)) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Obligation: Innermost TRS: Rules: even(0') -> true even(s(0')) -> false even(s(s(x))) -> even(x) half(0') -> 0' half(s(s(x))) -> s(half(x)) plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) times(0', y) -> 0' times(s(x), y) -> if_times(even(s(x)), s(x), y) if_times(true, s(x), y) -> plus(times(half(s(x)), y), times(half(s(x)), y)) if_times(false, s(x), y) -> plus(y, times(x, y)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons_even(x_1)) -> even(encArg(x_1)) encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if_times(x_1, x_2, x_3)) -> if_times(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_even(x_1) -> even(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if_times(x_1, x_2, x_3) -> if_times(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: even :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times 0' :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times true :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times s :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times false :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times half :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times plus :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times if_times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encArg :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times cons_even :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times cons_half :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times cons_plus :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times cons_times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times cons_if_times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_even :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_0 :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_true :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_s :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_false :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_half :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_plus :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_if_times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times hole_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times1_4 :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4 :: Nat -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times Lemmas: even(gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(*(2, n4_4))) -> true, rt in Omega(1 + n4_4) half(gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(*(2, n289_4))) -> gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(n289_4), rt in Omega(1 + n289_4) Generator Equations: gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(0) <=> 0' gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: plus, times, if_times, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: plus < if_times plus < encArg times = if_times times < encArg if_times < encArg ---------------------------------------- (19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: plus(gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(n683_4), gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(b)) -> gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(+(n683_4, b)), rt in Omega(1 + n683_4) Induction Base: plus(gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(0), gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(b)) ->_R^Omega(1) gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(b) Induction Step: plus(gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(+(n683_4, 1)), gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(b)) ->_R^Omega(1) s(plus(gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(n683_4), gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(b))) ->_IH s(gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(+(b, c684_4))) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (20) Obligation: Innermost TRS: Rules: even(0') -> true even(s(0')) -> false even(s(s(x))) -> even(x) half(0') -> 0' half(s(s(x))) -> s(half(x)) plus(0', y) -> y plus(s(x), y) -> s(plus(x, y)) times(0', y) -> 0' times(s(x), y) -> if_times(even(s(x)), s(x), y) if_times(true, s(x), y) -> plus(times(half(s(x)), y), times(half(s(x)), y)) if_times(false, s(x), y) -> plus(y, times(x, y)) encArg(0') -> 0' encArg(true) -> true encArg(s(x_1)) -> s(encArg(x_1)) encArg(false) -> false encArg(cons_even(x_1)) -> even(encArg(x_1)) encArg(cons_half(x_1)) -> half(encArg(x_1)) encArg(cons_plus(x_1, x_2)) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_times(x_1, x_2)) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encArg(cons_if_times(x_1, x_2, x_3)) -> if_times(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) encode_even(x_1) -> even(encArg(x_1)) encode_0 -> 0' encode_true -> true encode_s(x_1) -> s(encArg(x_1)) encode_false -> false encode_half(x_1) -> half(encArg(x_1)) encode_plus(x_1, x_2) -> plus(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_times(x_1, x_2) -> times(encArg(x_1), encArg(x_2)) encode_if_times(x_1, x_2, x_3) -> if_times(encArg(x_1), encArg(x_2), encArg(x_3)) Types: even :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times 0' :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times true :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times s :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times false :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times half :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times plus :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times if_times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encArg :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times cons_even :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times cons_half :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times cons_plus :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times cons_times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times cons_if_times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_even :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_0 :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_true :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_s :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_false :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_half :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_plus :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times encode_if_times :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times hole_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times1_4 :: 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4 :: Nat -> 0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times Lemmas: even(gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(*(2, n4_4))) -> true, rt in Omega(1 + n4_4) half(gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(*(2, n289_4))) -> gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(n289_4), rt in Omega(1 + n289_4) plus(gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(n683_4), gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(b)) -> gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(+(n683_4, b)), rt in Omega(1 + n683_4) Generator Equations: gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(0) <=> 0' gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(+(x, 1)) <=> s(gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(x)) The following defined symbols remain to be analysed: if_times, times, encArg They will be analysed ascendingly in the following order: times = if_times times < encArg if_times < encArg ---------------------------------------- (21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: encArg(gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(n2579_4)) -> gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(n2579_4), rt in Omega(0) Induction Base: encArg(gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: encArg(gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(+(n2579_4, 1))) ->_R^Omega(0) s(encArg(gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(n2579_4))) ->_IH s(gen_0':true:s:false:cons_even:cons_half:cons_plus:cons_times:cons_if_times2_4(c2580_4)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (22) BOUNDS(1, INF)